北京区中考数学二模分类汇编及答案——代几综合新定义
（东城）
29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这 个封闭图形的等分线。
（1）请在如下的三个图形中，分别作一条等分线.
圆 平行四边形 等腰三角形
(2)请在图中用尺规作图作一条直线，使它即是矩形的等分线，也是圆的等分线.(保留作图痕迹，不写作法)
（西城）
29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，
△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．
（1）如图1，已知点，，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可）
（2）如图2，已知点，点（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，
且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为，求m的值；
（3）若是抛物线的τ型点，直接写出n的取值范围．
（海淀）
29. 如图1，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点的直线l与，都有公共点，则称点是联络点．例如，点是联络点．
（1）以下各点中，__________________是联络点（填出所有正确的序号）；
①；②；③.
图1 备用图
（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为联络点，
①若，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．
（朝阳）
29.如图，顶点为A（－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）若点P的坐标是（－6,3），求△OPN的面积；
（3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时，
请解答下面问题：
① 求证：∠PNM＝∠ONM；
② 若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合
条件的点P的坐标.
（丰台）
29．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是2．
1）分别判断函数 （）和（）是不是有上界函数？如果是有上界函数，求其上确界；
2）如果函数 （）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围；
3）如果函数（）是以3为上确界的 有上界函数，求实数的值.
（顺义）
29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点，其中B（6，0），与y轴交于点C（0，8），点P是x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为，若点落在y轴上（不与点C重合），请判断以P，C，E，为顶点的四边形的形状， 并说明理由；
（3）在（2）的条件下直接写出点P的坐标．
（昌平）
29. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：形如与的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．
（1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ；
（2）判断二次函数与的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出与的值，如果不是，请说明理由；
（3）若一对兄弟抛物线各自与轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式．
（石景山）
29．对于平面直角坐标系中的点，定义一种变换：作点关于轴对称的点，再将向左平移个单位得到点，叫做对点的阶“”变换．
（1）求的阶“”变换后的坐标；
（2）若直线与轴，轴分别交于两点，点的阶“”变换后得到点，求过三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴与轴交于，若在抛物线对称轴上存在一点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标．
（门头沟）
29．我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别
交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
图1 图2
（1）如图1，如果抛物线y=x 2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
① a= ，b= ．
② 如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）
A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．
求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，
请直接写出点B的坐标．
（平谷）
29．定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O．
（1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；
图1
图3
图2
[来源:Zxxk.Com]
（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为
（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，），且∠AOB=30°，求OM的长．
房山
29.如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线.
（1）一条抛物线的“友好”抛物线有_______条.
A . 1 B. 2 C. 3 D. 无数
（2）如图2，已知抛物线L3：与y轴交于点C，点C关于该抛物线对称轴的对称点为D，请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的表达式;
图2
（3）若抛物线的“友好”抛物线的解析式为,请直接写出与的关系式为 .
图1
怀柔
29. 阅读理解：
学习了三角形全等的判定方法:“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和直角三角形全等的判定方法“HL”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究．
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D.
初步探究：
如图1，已知AC=DF, ∠A=∠D,过C作CH⊥射线AM于点H，对△ABC 的CB边进行分类，可分为“CB
r，F(0，)．
在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，，
∴，．
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+，，
∴．
∴．又∵，
∴．……………………………………………………………………………………8分
朝阳
29.（1）解：设二次函数的表达式为，
把点（0,0）代入表达式，解得. ………………………………………1分
∴二次函数的表达式为，
即. ……………………………………………………………2分
（2）解：设直线OP为，
将P（－6,3）代入，解得，
∴.
当时，.
∴M（－4,2）. ……………………………………………………………………3分
∵点M、N关于点A对称，
∴N（－4,6）.
∴MN＝4.
∴. ……………………………………………………4分
（3）①证明：设点P的坐标为，
其中，
设直线OP为，
将P代入，解得.
∴.
当时，.
∴M（－4,）.
∴AN＝AM＝＝.
设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C，
则B（－4,0），C.
∴OB＝4，NB＝＝，PC＝，
NC＝＝.
则，.
∴.
又∵∠NCP＝∠NBO＝90°，
∴△NCP∽△NBO.
∴∠PNM＝∠ONM. …………………………………………………………………6分
② （）. ………………………………………………………………8分
丰台
29. 解：（1） （）不是有上界函数；…….1分
（）是有上界函数，上确界是1. …….2分
（2）∵在y=-x+2中，y随x的增大而减小，∴上确界为，即. 3分
又，所以，解得. …….4分
∵函数的最小值是，∴，得，解得.
综上所述：.…….5分
（3）函数的对称轴为.…….6分
①当时，函数的上确界是.
∴，解得，符合题意. …….7分
②当时，函数的上确界是.
∴，解得，不符合题意.
综上所述：.…….8分
顺义
29．解：
（1）∵点C（0，8）在抛物线上，
∴，................................................................................................................................1分
又∵B（6，0）在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为．......................................................................2分
（2） 结论：以P，C，E，为顶点的四边形为菱形．..............................................3分
证明：∵E和关于直线PC对称，
∴∠=∠ECP，，，
又∵PE∥y轴，
∴∠EPC=∠=∠ECP，
∴EP=EC，..........................................................................................................................5分
∴，
∴四边形为菱形．................................................................................................6分
（3）∵B（6，0），C（0，8），
∴BC的表达式为．
设，则，
∴PE的长为=，
过点E作EF⊥y轴于点F，
∴△CFE∽△COB，
∴，∴，即．
由PE=EC得，解得，
∴点P的坐标为．................................................8分（不需要过程，结论正确给2分）
昌平
29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a值和相同的m值即可（每空各1分）…… 2分
（2）是兄弟抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分
∵ ， ……………………………………………………… 4分
， …………………………………………………… 5分
∴ 二次函数与的图象是兄弟抛物线．
此时 ，． …………………………………………………………………… 6分
（3） ， ； ………………………………… 7分
或 ，． ………………………………………… 8分
石景山
29．解：（1）由阶“”变换定义：
将于轴对称的点为：…………………………………………1分
再将向左平移个单位得的坐标
……………………………………………………………………2分
（2）直线：，令∴
令∴
……………………………………………………………………3分
由阶“”变换定义：………………………………………4分
设：过三点的抛物线的解析式
将代入：
∴抛物线的解析式为：
……………………………………………………………………5分
（3），
（I）若顶角顶点，为腰，
∵
∴
，……………………………6分
（II）若为顶角顶点，为腰，
∴
……………………………………………………7分
（III）若为底，
过点作轴交抛物线对称轴于
设，，，
在中，由勾股定理
解得：∴
综上所述：点的坐标是：，，，……8分
门头沟
29．（本小题满分8分）
解：（1）① a=1，b=2．…………………………………………………………2分
② D．……………………………………………………………………3分
（2）∵ B（2，c－1），
∴ AC=2×2=4．………………………………………………………4分
∵ 当x=0，y= c，
∴ A（0，c）．
∵ F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．
∴ 设F2：y=a(x－2)2+c－1．
∵ 点A（0，c）在F2上，
∴ 4a+c－1=c，
∴ ．
∴ BD=(4a+c)－(c－1)=2．……………………………………………5分
∴ S四边形ABCD=4．……………………………………………………6分
（3）（，1），（，1）．………………………………………8分
说明：
若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
平谷
29．答案：（1）2；……………………………………………………………………………………1
（2）
…………………………………………………………2
过M作MN⊥AB于N
∵直线l⊥CD于O，∠BOD=120°，
∴∠MON=30°.
∵ON=p，OM=q，
∴…………………………………………………………………………………………3
（3）分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM……………………4
∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．
∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，
OM=OE=OF．
∴∠EOF=60°．……………………………………………………5
∴OM=OE=OF=EF．
∵MD=1，MC=，
∴MF=2，ME=．
∵∠AOB=30°，
∴∠CMD=150°．…………………………………………………6
过F做FG⊥CM，交CM延长线于G，
∴∠FMG=30°．
房山
29. (1) D……………………………………………………………………………………2分
(2) 由L3:=2(x-2)2-4
∴C(0，4) ，对称轴为x=2，顶点坐标（2，-4）………………………………3分
∴点C关于对称轴x=2的对称点D（4，4）……………………………………4分
设L4：
将顶点D(4，4)代入得，
再将点（2，-4）代入得，-4=4a+4
解得：a= -2
L3的友好抛物线L4的解析式为：…………………………6分
(3) （或）………………………………………………………8分
怀柔
29. 解:（1）解：HL或AAS；……………………………1分
（2）如图：……………………………3分
（3）当BC≥CA时，也能使△ABC≌△DEF．……………………………4分
证明：
当BC=CA时，△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形，根据AAS易证两三角形全等，当BC>CA时，在射线AM上取点B，使BC>CA，连接BC，以F为圆心，CB长为半径画弧交射线DN于点E，连接FE，则BC=EF,过点F作FG⊥DE于点G，
在△CAH和△FDG中，
∴△CAH≌△FDG（AAS），∴CH=FG，……………………………5分
在Rt△CBH和Rt△FEG中，
∴Rt△CBH≌Rt△FEG（HL），∴∠CBA=∠FED，……………………………6分
在△ABC和△EFD中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）. ……………………………8分
[来源:Z&xx&k.Com]
