2020年浙江省湖州市中考数学试卷(含解析）

2020年浙江省湖州市中考数学试卷(含解析）

‎2020年浙江省湖州市中考数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．‎ ‎1．（3分）数4的算术平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．‎‎2‎ ‎2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（　　）‎ A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106‎ ‎3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）‎ A．70° B．110° C．130° D．140°‎ ‎5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2.5 D．2‎ ‎6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 ‎ B．有两个相等的实数根 ‎ C．没有实数根 ‎ 第25页（共25页）‎ D．实数根的个数与实数b的取值有关 ‎7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）‎ A．1 B．‎1‎‎2‎ C．‎2‎‎2‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y‎=‎‎2‎‎3‎x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）‎ A．y＝x+2 B．y‎=‎‎2‎x+2 C．y＝4x+2 D．y‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎x+2‎ ‎9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　）‎ A．DC＝DT B．AD‎=‎‎2‎DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC ‎10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）计算：﹣2﹣1＝　 　．‎ ‎12．（4分）化简：x+1‎x‎2‎‎+2x+1‎‎=‎　 　．‎ ‎13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是　 　．‎ ‎14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，‎ 第二次 第一次 白 红Ⅰ 红Ⅱ 白 白，白 白，红Ⅰ 白，红Ⅱ 红Ⅰ 红Ⅰ，白 红Ⅰ，红Ⅰ 红Ⅰ，红Ⅱ 红Ⅱ 红Ⅱ，白 红Ⅱ，红Ⅰ 红Ⅱ，红Ⅱ 则两次摸出的球都是红球的概率是　 　．‎ ‎15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　 　．‎ ‎16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y‎=‎kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D 第25页（共25页）‎ ‎，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　 　．‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分）‎ ‎17．（6分）计算：‎8‎‎+‎|‎2‎‎-‎1|．‎ ‎18．（6分）解不等式组‎3x-2＜x，①‎‎1‎‎3‎x＜-2，②‎．‎ ‎19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．‎ ‎（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；‎ ‎（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）‎ ‎20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．‎ 第25页（共25页）‎ 请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）‎ ‎（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；‎ ‎（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？‎ ‎21．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．‎ ‎（1）求证：∠CAD＝∠ABC；‎ ‎（2）若AD＝6，求CD的长．‎ ‎22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．‎ ‎（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？‎ ‎（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：‎ 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．‎ 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．‎ 第25页（共25页）‎ 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．‎ ‎①求乙车间需临时招聘的工人数；‎ ‎②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．‎ ‎23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．‎ ‎（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP‎=‎‎1‎‎2‎AC；‎ ‎（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6‎2‎，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；‎ ‎（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．‎ ‎24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．‎ ‎（1）如图1，当AC∥x轴时，‎ ‎①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；‎ ‎②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．‎ ‎（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC‎=‎‎3‎‎5‎，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第25页（共25页）‎ 第25页（共25页）‎ ‎2020年浙江省湖州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．‎ ‎1．（3分）数4的算术平方根是（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．±2 D．‎‎2‎ ‎【解答】解：∵2的平方为4，‎ ‎∴4的算术平方根为2．‎ 故选：A．‎ ‎2．（3分）近几年来，我国经济规模不断扩大，综合国力显著增强．2019年我国国内生产总值约991000亿元，则数991000用科学记数法可表示为（　　）‎ A．991×103 B．99.1×104 C．9.91×105 D．9.91×106‎ ‎【解答】解：将991000用科学记数法表示为：9.91×105．‎ 故选：C．‎ ‎3．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵主视图和左视图是三角形，‎ ‎∴几何体是锥体，‎ ‎∵俯视图的大致轮廓是圆，‎ ‎∴该几何体是圆锥．‎ 故选：A．‎ ‎4．（3分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．70° B．110° C．130° D．140°‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，‎ ‎∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，‎ 故选：B．‎ ‎5．（3分）数据﹣1，0，3，4，4的平均数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2.5 D．2‎ ‎【解答】解：x‎=‎-1+0+3+4+4‎‎5‎=‎2，‎ 故选：D．‎ ‎6．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）‎ A．有两个不相等的实数根 ‎ B．有两个相等的实数根 ‎ C．没有实数根 ‎ D．实数根的个数与实数b的取值有关 ‎【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根．‎ 故选：A．‎ ‎7．（3分）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（　　）‎ A．1 B．‎1‎‎2‎ C．‎2‎‎2‎ D．‎‎3‎‎2‎ ‎【解答】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴菱形ABC′D′的面积为‎1‎‎2‎AB‎2‎，正方形ABCD的面积为AB2．‎ ‎∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是‎1‎‎2‎．‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y‎=‎‎2‎‎3‎x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）‎ A．y＝x+2 B．y‎=‎‎2‎x+2 C．y＝4x+2 D．y‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎x+2‎ ‎【解答】解：∵直线y＝2x+2和直线y‎=‎‎2‎‎3‎x+2分别交x轴于点A和点B．‎ ‎∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）‎ A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；‎ B、y‎=‎‎2‎x+2与x轴的交点为（‎-‎‎2‎，0）；故直线y‎=‎‎2‎x+2与x轴的交点在线段AB上；‎ C、y＝4x+2与x轴的交点为（‎-‎‎1‎‎2‎，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；‎ D、y‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎x+2与x轴的交点为（‎-‎‎3‎，0）；故直线y‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎x+2与x轴的交点在线段AB上；‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO＝BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　）‎ A．DC＝DT B．AD‎=‎‎2‎DT C．BD＝BO D．2OC＝5AC ‎【解答】解：如图，连接OD．‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵OT是半径，OT⊥AB，‎ ‎∴DT是⊙O的切线，‎ ‎∵DC是⊙O的切线，‎ ‎∴DC＝DT，故选项A正确，‎ ‎∵OA＝OB，∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠B＝45°，‎ ‎∵DC是切线，‎ ‎∴CD⊥OC，‎ ‎∴∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠ADC＝45°，‎ ‎∴AC＝CD＝DT，‎ ‎∴AC‎=‎‎2‎CD‎=‎‎2‎DT，故选项B正确，‎ ‎∵OD＝OD，OC＝OT，DC＝DT，‎ ‎∴△DOC≌△DOT（SSS），‎ ‎∴∠DOC＝∠DOT，‎ ‎∵OA＝OB，OT⊥AB，∠AOB＝90°，‎ ‎∴∠AOT＝∠BOT＝45°，‎ ‎∴∠DOT＝∠DOC＝22.5°，‎ ‎∴∠BOD＝∠ODB＝67.5°，‎ ‎∴BO＝BD，故选项C正确，‎ 故选：D．‎ ‎10．（3分）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（　　）‎ 第25页（共25页）‎ A．1和1 B．1和2 C．2和1 D．2和2‎ ‎【解答】解：中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数都是2，如图所示：‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）计算：﹣2﹣1＝　﹣3　．‎ ‎【解答】解：﹣2﹣1‎ ‎＝﹣3‎ 故答案为：﹣3‎ ‎12．（4分）化简：x+1‎x‎2‎‎+2x+1‎‎=‎　‎1‎x+1‎　．‎ ‎【解答】解：‎x+1‎x‎2‎‎+2x+1‎ ‎=‎x+1‎‎(x+1‎‎)‎‎2‎‎ ‎ ‎=‎‎1‎x+1‎‎．‎ 故答案为：‎1‎x+1‎．‎ ‎13．（4分）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB 第25页（共25页）‎ 之间的距离是　3　．‎ ‎【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，则CH＝DH‎=‎‎1‎‎2‎CD＝4，‎ 在Rt△OCH中，OH‎=‎5‎‎2‎‎-‎‎4‎‎2‎=‎3，‎ 所以CD与AB之间的距离是3．‎ 故答案为3．‎ ‎14．（4分）在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，‎ 第二次 第一次 白 红Ⅰ 红Ⅱ 白 白，白 白，红Ⅰ 白，红Ⅱ 红Ⅰ 红Ⅰ，白 红Ⅰ，红Ⅰ 红Ⅰ，红Ⅱ 红Ⅱ 红Ⅱ，白 红Ⅱ，红Ⅰ 红Ⅱ，红Ⅱ 则两次摸出的球都是红球的概率是　‎4‎‎9‎　．‎ ‎【解答】解：根据图表给可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，‎ 则两次摸出的球都是红球的概率为‎4‎‎9‎；‎ 故答案为：‎4‎‎9‎．‎ ‎15．（4分）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　5‎2‎　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，‎ ‎∴AB‎=‎‎5‎，AC：BC＝1：2，‎ ‎∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，‎ 若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6‎2‎，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE‎=‎‎10‎，EF＝2‎10‎，DF＝5‎2‎的三角形，‎ ‎∵‎10‎‎1‎‎=‎2‎‎10‎‎2‎=‎5‎‎2‎‎5‎=‎‎10‎，‎ ‎∴△ABC∽△DEF，‎ ‎∴∠DEF＝∠C＝90°，‎ ‎∴此时△DEF的面积为：‎10‎‎×‎2‎10‎‎÷‎2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5‎2‎．‎ 故答案为：5‎2‎．‎ ‎16．（4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y‎=‎kx（x＞0）的图象经过OA的中点C．交AB于点D，连结CD．若△ACD的面积是2，则k的值是　‎8‎‎3‎　．‎ 第25页（共25页）‎ ‎【解答】解：连接OD，过C作CE∥AB，交x轴于E，‎ ‎∵∠ABO＝90°，反比例函数y‎=‎kx（x＞0）的图象经过OA的中点C，‎ ‎∴S△COE＝S△BOD‎=‎1‎‎2‎k，S△ACD＝S△OCD＝2，‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴△OCE∽△OAB，‎ ‎∴S‎△OCES‎△OAB‎=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴4S△OCE＝S△OAB，‎ ‎∴4‎×‎‎1‎‎2‎k＝2+2‎+‎‎1‎‎2‎k，‎ ‎∴k‎=‎‎8‎‎3‎，‎ 故答案为：‎8‎‎3‎．‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分）‎ ‎17．（6分）计算：‎8‎‎+‎|‎2‎‎-‎1|．‎ ‎【解答】解：原式＝2‎2‎‎+‎2‎-‎1＝3‎2‎‎-‎1．‎ ‎18．（6分）解不等式组‎3x-2＜x，①‎‎1‎‎3‎x＜-2，②‎．‎ ‎【解答】解：‎3x-2＜x①‎‎1‎‎3‎x＜-2②‎，‎ 解①得x＜1；‎ 第25页（共25页）‎ 解②得x＜﹣6．‎ 故不等式组的解集为x＜﹣6．‎ ‎19．（6分）有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度．‎ ‎（1）如图2﹣1．若AB＝CD＝110cm，∠AOC＝120°，求h的值；‎ ‎（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．‎ ‎（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）‎ ‎【解答】解：（1）过点B作BE⊥AC于E，‎ ‎∵OA＝OC，∠AOC＝120°，‎ ‎∴∠OAC＝∠OCA‎=‎180°-120°‎‎2‎=‎30°，‎ ‎∴h＝BE＝AB•sin30°＝110‎×‎1‎‎2‎=‎55；‎ ‎（2）过点B作BE⊥AC于E，‎ ‎∵OA＝OC，∠AOC＝74°，‎ ‎∴∠OAC＝∠OCA‎=‎180°-74°‎‎2‎=‎53°，‎ ‎∴AB＝BE÷sin53°＝120÷0.8＝150（cm），‎ 即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．‎ 第25页（共25页）‎ ‎20．（8分）为了解学生对网上在线学习效果的满意度，某校设置了：非常满意、满意、基本满意、不满意四个选项，随机抽查了部分学生，要求每名学生都只选其中的一项，并将抽查结果绘制成如图统计图（不完整）．‎ 请根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）求被抽查的学生人数，并补全条形统计图；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）‎ ‎（2）求扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数；‎ ‎（3）若该校共有1000名学生参与网上在线学习，根据抽查结果，试估计该校对学习效果的满意度是“非常满意”或“满意”的学生共有多少人？‎ ‎【解答】解：（1）抽查的学生数：20÷40%＝50（人），‎ 抽查人数中“基本满意”人数：50﹣20﹣15﹣1＝14（人），补全的条形统计图如图所示：‎ ‎（2）360°‎×‎15‎‎50‎=‎108°，‎ 答：扇形统计图中表示“满意”的扇形的圆心角度数为108°；‎ ‎（3）1000×（‎20‎‎50‎‎+‎‎15‎‎50‎）＝700（人），‎ 第25页（共25页）‎ 答：该校共有1000名学生中“非常满意”或“满意”的约有700人．‎ ‎21．（8分）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．‎ ‎（1）求证：∠CAD＝∠ABC；‎ ‎（2）若AD＝6，求CD的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵BC平分∠ABD，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC，‎ ‎∵∠CAD＝∠DBC，‎ ‎∴∠CAD＝∠ABC；‎ ‎（2）∵∠CAD＝∠ABC，‎ ‎∴CD‎=‎AC，‎ ‎∵AD是⊙O的直径，AD＝6，‎ ‎∴CD的长‎=‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎×‎π×6‎=‎‎3‎‎2‎π．‎ ‎22．（10分）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．‎ ‎（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？‎ 第25页（共25页）‎ ‎（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：‎ 方案一 甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．‎ 方案二 乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．‎ 设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．‎ ‎①求乙车间需临时招聘的工人数；‎ ‎②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间各有y名工人参与生产，由题意得：‎ x+y=50‎‎20(25x+30y)=27000‎‎，‎ 解得x=30‎y=20‎．‎ ‎∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间各有20名工人参与生产．‎ ‎（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：‎ ‎27000‎‎30×25×(1+20%)+20×30‎‎=‎‎27000‎‎30×25+(20+m)×30‎‎，‎ 解得m＝5．‎ 经检验，m＝5是原方程的解，且符合题意．‎ ‎∴乙车间需临时招聘5名工人．‎ ‎②企业完成生产任务所需的时间为：‎ ‎27000‎‎30×25×(1+20%)+20×30‎‎=‎‎18（天）．‎ ‎∴选择方案一需增加的费用为900×18+1500＝17700（元）．‎ 选择方案二需增加的费用为5×18×200＝18000（元）．‎ ‎∵17700＜18000，‎ ‎∴选择方案一能更节省开支．‎ ‎23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．‎ ‎（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP‎=‎‎1‎‎2‎AC；‎ ‎（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6‎2‎，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，‎ 第25页（共25页）‎ 求DH和AP的长；‎ ‎（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AC＝AB，∠A＝60°，‎ 由题意，得DB＝DP，DA＝DB，‎ ‎∴DA＝DP，‎ ‎∴△ADP使得等边三角形，‎ ‎∴AP＝AD‎=‎‎1‎‎2‎AB‎=‎‎1‎‎2‎AC．‎ ‎（2）解：∵AC＝BC＝6‎2‎，∠C＝90°，‎ ‎∴AB‎=AC‎2‎+BC‎2‎=‎(6‎2‎‎)‎‎2‎+(6‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎12，‎ ‎∵DH⊥AC，‎ ‎∴DH∥BC，‎ ‎∴△ADH∽△ABC，‎ ‎∴DHBC‎=‎ADAB，‎ ‎∵AD＝7，‎ ‎∴DH‎6‎‎2‎‎=‎‎7‎‎12‎，‎ ‎∴DH‎=‎‎7‎‎2‎‎2‎，‎ 将∠B沿过点D的直线折叠，‎ 情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵AB＝12，‎ ‎∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，‎ ‎∴HP1‎=DP‎1‎‎2‎-DH‎2‎=‎5‎‎2‎‎-(‎‎7‎‎2‎‎2‎‎)‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∴A1＝AH+HP1＝4‎2‎，‎ 情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，‎ 同法可证HP2‎=‎‎2‎‎2‎，‎ ‎∴AP2＝AH﹣HP2＝3‎2‎，‎ 综上所述，满足条件的AP的值为4‎2‎或3‎2‎．‎ ‎（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．‎ ‎∵CA＝CB，CH⊥AB，‎ ‎∴AH＝HB＝6，‎ ‎∴CH‎=AC‎2‎-AH‎2‎=‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=‎8，‎ 当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∵tanA‎=CHAC=‎PDAD，‎ ‎∴‎8‎‎10‎‎=‎x‎12-x，‎ ‎∴x‎=‎‎16‎‎3‎，‎ ‎∴AD＝AB﹣BD‎=‎‎20‎‎3‎，‎ 观察图形可知当6＜a‎＜‎‎20‎‎3‎时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．‎ ‎24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．‎ ‎（1）如图1，当AC∥x轴时，‎ ‎①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；‎ ‎②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．‎ ‎（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC‎=‎‎3‎‎5‎，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）①∵AC∥x轴，点A（﹣2，1），‎ ‎∴C（0，1），‎ 将点A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得‎-4-2b+c=1‎c=1‎，‎ ‎∴b=-2‎c=1‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；‎ 第25页（共25页）‎ ‎②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，‎ ‎∵AC∥x轴，‎ ‎∴EF＝OC＝c，‎ ‎∵点D是抛物线的顶点坐标，‎ ‎∴D（b‎2‎，c‎+‎b‎2‎‎4‎），‎ ‎∴DF＝DE﹣EF＝c‎+b‎2‎‎4‎-‎c‎=‎b‎2‎‎4‎，‎ ‎∵四边形AOBD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝DO，AD∥OB，‎ ‎∴∠DAF＝∠OBC，‎ ‎∵∠AFD＝∠BCO＝90°，‎ ‎∴△AFD≌△BCO（AAS），‎ ‎∴DF＝OC，‎ ‎∴b‎2‎‎4‎‎=‎c，‎ 即b2＝4c；‎ ‎（2）如图2，∵b＝﹣2．‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，‎ ‎∴顶点坐标D（﹣1，c+1），‎ 假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，‎ 设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），‎ 过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，‎ ‎∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，‎ ‎∵四边形AOBD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BO，AD∥OB，‎ ‎∴∠DAF＝∠OBC，‎ ‎∴△AFD≌△BCO（AAS），‎ ‎∴AF＝BC，DF＝OC，‎ 过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，‎ ‎∴DE∥CO，‎ 第25页（共25页）‎ ‎∴△ANF∽△AMC，‎ ‎∴ANAM‎=FNCM=AFAC=BCAC=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，‎ ‎∴‎-m-1‎‎-m‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴m=-‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴点A的纵坐标为﹣（‎-‎‎5‎‎2‎）2﹣2×（‎-‎‎5‎‎2‎）+c＝c‎-‎5‎‎4‎＜‎c，‎ ‎∵AM∥x轴，‎ ‎∴点M的坐标为（0，c‎-‎‎5‎‎4‎），N（﹣1，c‎-‎‎5‎‎4‎），‎ ‎∴CM＝c﹣（c‎-‎‎5‎‎4‎）‎=‎‎5‎‎4‎，‎ ‎∵点D的坐标为（﹣1，c+1），‎ ‎∴DN＝（c+1）﹣（c‎-‎‎5‎‎4‎）‎=‎‎9‎‎4‎，‎ ‎∵DF＝OC＝c，‎ ‎∴FN＝DN﹣DF‎=‎9‎‎4‎-‎c，‎ ‎∵FNCM‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴‎9‎‎4‎‎-c‎5‎‎4‎‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴c‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴c‎-‎5‎‎4‎=‎‎1‎‎4‎，‎ ‎∴点A纵坐标为‎1‎‎4‎，‎ ‎∴A（‎-‎‎5‎‎2‎，‎1‎‎4‎），‎ ‎∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．‎ 第25页（共25页）‎ 第25页（共25页）‎