历年中考真题分类汇编数学
第一篇 基础知识梳理
第一章 数与式
§1.1 实 数
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是 ( )
A．－5 B．5 C．－ D.
解析 ∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B.
答案 B
2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为 ( )
A．－1 B．－2 C．1 D．2
解析 2－3＝－1，故选A.
答案 A
3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是 ( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
解析 (－1)×3＝－3，故选A.
答案 A
4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是 ( )
A．±2 B．2 C．－2 D.
解析 ∵4的算术平方根是2，故选B.
答案 B
5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为 ( )
A．0.6×1013元 B．60×1011元
C．6×1012元 D．6×1013元
解析 6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.
答案 C
6．(2015·江苏南京，5，2分)估计介于 ( )
A．0.4与0.5之间 B．0.5与0.6之间
C．0.6与0.7之间 D．0.7与0.8之间
解析 ∵≈2.236，∴－1≈1.236，
∴≈0.618，∴介于0.6与0.7之间．
答案 C
7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是 ( )
A．23＋26＝29 B．23－26＝2－3
C．26×23＝29 D．26÷23＝22
解析 只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C.
答案 C
8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜＜k＋1(k是整数)，则k＝ ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 ∵＜＜，∴9＜＜100.∴k＝9.
答案 D
9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－的点最接近的是 ( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
解析 ∵－＝－1.732，∴表示－的点与表示－2的点最接近．
答案 B
二、填空题
10．(2015·浙江宁波，13，4分)实数8的立方根是________．
解析 ∵23＝8，∴8的立方根是2.
答案 2
11．(2015·浙江湖州，11，4分)计算：23×＝________．
答案 2
12．(2015·四川巴中，20，3分)定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝－1，－1的差倒数是＝.已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，……，以此类推，则a2 015＝________．
解析 根据“差倒数”的规定进行计算得：a1＝－，a2＝，a3＝3，a4＝
－，……，三个数一循环，又2 015÷3＝671……2，∴a2 015＝.
答案
三、解答题
13．(2015·浙江嘉兴，17(1)，4分)计算：|－5|＋×2－1.
解 原式＝5＋2×＝5＋1＝6.
14．(2015·浙江丽水，17，6分)计算：|－4|＋(－)0－.
解 原式＝4＋1－2＝3.
15．(2015·浙江温州，17(1)，5分)计算：2 0150＋＋2×.
解 原式＝1＋2－1＝2.
16．(2015·浙江衢州，17，6分)计算：－|－2|＋(1－)0－4sin 60°
解 原式＝2－2＋1－2＝－1.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江舟山，1，3分)－2的相反数是 ( )
A．2 B．－2 C. D．－
解析 －2的相反数是2，故选A.
答案 A
2．(2014·云南，1，3分)＝ ( )
A．－ B. C．－7 D．7
解析 由绝对值的意义可知：＝－＝.故选B.
答案 B
3．★(2013·安徽，1，4分)－2的倒数是 ( )
A．－ B. C．2 D．－2
解析 ∵－2×(－)＝1，∴－2的倒数是－.
答案 A
4．(2013·浙江温州，1，4分)计算：(－2)×3的结果是 ( )
A．－6 B．1 C．1 D．6
解析 根据有理数的乘法运算法则进行计算，(－2)×3＝－2×3＝－6.故选A.
答案 A
5．(2014·浙江绍兴，1，4分)比较－3，1，－2的大小，正确的是 ( )
A．－3＜－2＜1 B．－2＜－3＜1
C．1＜－2＜－3 D．1＜－3＜－2
解析 ∵>，∴－3＜－2.∴－3＜－2＜1.故选A.
答案 A
6．(2013·浙江丽水，1，3分)在数0，2，－3，－1.2中，属于负整数的是( )
A．0 B．2 C．－3 D．－1.2
解析 根据负整数的定义，属于负整数的是－3.
答案 C
7．(2014·浙江宁波，2，4分)宁波轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元．其中253.7亿用科学记数法表示为 ( )
A．253.7×108 B．25.37×109
C．2.537 ×1010 D．2.537 ×1011
解析 253.7亿＝253.7×108＝2.537 ×1010，故选C.
答案 C
8．(2014·浙江丽水，1，3分)在数，1，－3，0中，最大的数是 ( )
A. B．1 C．－3 D．0
解析 在数，1，－3，0中，按从大到小的顺序排列为1>>0>－3，故选B.
答案 B
9．★(2013·山东德州，1，3分)下列计算正确的是 ( )
A.＝9 B.＝－2
C．(－2)0＝－1 D．|－5－3|＝2
解析 A中，＝＝＝9；B中，＝＝2；C中，(－2)0＝1；D中，|－5－3|＝|－8|＝8.故选A.
答案 A
10．(2014·浙江台州，4，3分)下列整数中，与最接近的是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
解析 由25<30<36，可知<<，即5<<6.又∵＝5.5，30<30.25，可知更接近5.故选B.
答案 B
二、填空题
11．(2013·浙江宁波，13，3分)实数－8的立方根是________．
解析 ∵(－2)3＝－8，∴－8的立方根是－2.
答案 －2
12．(2013·湖南永州，9，3分)钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为________平方公里．
解析 在0.000 8中，8前面有4个0，则0.000 8＝8×10－4.
答案 8×10－4
13．(2014·河北，18，3分)若实数m，n满足＋(n－2 014)2＝0，则m－1＋n0＝________．
解析 ∵＋(n－2 014)2＝0，∴m－2＝0，n－2 014＝0，即m＝2，n＝2 014.∴m－1＋n0＝2－1＋2 0140＝＋1＝.故答案为.
答案
三、解答题
14．(2014·浙江金华，17，6分)计算：－4cos 45°＋()－1＋.
解 －4cos 45°＋()－1＋
＝2－4×＋2＋2＝2－2＋4＝4.
15．(2014·浙江丽水，17，6分)计算：(－)2＋×2－1－(－1)0.
解 原式＝3＋4×－1＝3＋2－1＝4.
16．★(2013·山东滨州，20，7分)(计算时不能使用计算器)
计算：－()2＋(π＋)0－＋|－2|.
解 原式＝－3＋1－3＋2－＝－3.
§1.2 整式及其运算
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江衢州，3，3分)下列运算正确的是 ( )
A．a3＋a3＝2a6 B．(x2)3＝x5
C．2a4÷a3＝2a2 D．x3·x2＝x5
解析 A．a3＋a3＝2a3；B.(x2)3＝x6；C.2a4÷a3＝2a，故选D.
答案 D
2．(2015·山东济宁，2，3分)化简－16(x－0.5)的结果是 ( )
A．－16x－0.5 B．16x＋0.5
C．16x－8 D．－16x＋8
解析 计算－16(x－0.5)＝－16x＋8.所以D项正确．
答案 D
3．(2015·四川巴中，4，3分)若单项式2x2ya＋b与－xa－by4是同类项，则a，b的值分别为 ( )
A．a＝3，b＝1 B．a＝－3，b＝1
C．a＝3，b＝－1 D．a＝－3，b＝－1
解析 由同类项的定义可得解得故选A.
答案 A
4．(2015·浙江丽水，2，3分)计算(a2)3结果正确的是 ( )
A．3a2 B．a6 C．a5 D．6a
解析 本题属于积的乘方，底数不变指数相乘，故B正确．
答案 B
5．(2015·贵州遵义，5，3分)计算3x3·2x2的结果为 ( )
A．5x5 B．6x5 C．6x6 D．6x9
解析 属于单项式乘单项式，结果为：6x5，故B项正确．
答案 B
6．(2015·福建福州，6，3分)计算a·a－1的结果为 ( )
A．－1 B．0 C．0 D．－a
解析 a·a－1＝1，故A正确．
答案 A
二、填空题
7．(2015·福建福州，12，4分)计算(x－1)(x＋2)的结果是________．
解析 由多项式乘以多项式的法则可知：(x－1)(x＋2)＝x2＋x－2.
答案 x2＋x－2
8．(2015·山东青岛，9，3分)计算：3a3·a2－2a7÷a2＝________．
解析 本题属于同底数幂的乘除，和合并同类项，3a3·a2－2a7÷a2＝3a5－2a5＝a5.
答案 a5
9．(2015·安徽安庆，10，3分)一组按规律排列的式子：，，，，…，则第n个式子是________(n为正整数)．
解析 a，a3，a5，a7，…，分子可表示为：a2n－1，2，4，6，8，…，分母可表示为2n，则第n个式子为：.
答案
三、解答题
10．(2015·浙江温州，17(2)，5分)化简：(2a＋1)(2a－1)－4a(a－1)．
解 原式＝4a2－1－4a2＋4a＝4a－1.
11．(2015·湖北随州，19，5分)先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－.
解 原式＝4－a2＋a2－5ab＋3ab＝4－2ab，
当ab＝－时，原式＝4＋1＝5.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2014·贵州毕节，13，3分)若－2amb4与5an＋2b2m＋n可以合并成一项，则mn的值是 ( )
A．2 B．0
C．－1 D．1
解析 由同类项的定义可得解得∴mn＝20＝1.故选D.
答案 D
2．(2014·浙江丽水，3，3分)下列式子运算正确的是 ( )
A．a8÷a2＝a6 B．a2＋a3＝a5
C．(a＋1)2＝a2＋1 D．3a2－2a2＝1
解析 选项A是同底数幂的除法，根据同底数幂除法运算的性质可知a8÷a2＝a6，所以选项A是正确的；选项B是整式的加法，因为a2，a3不是同类项，所以无法合并，所以选项B是错误的；选项C是整式的乘法，根据完全平方公式可知(a＋1)2＝a2＋2a＋1，所以选项C是错误的；选项D是整式的加法，根据合并同类项法则可知3a2－2a2＝a2，所以选项D是错误的．故选A.
答案 A
3．(2014·贵州遵义，8，3分)若a＋b＝2，ab＝2，则a2＋b2的值为 ( )
A．6 B．4
C．3 D．2
解析 ∵a＋b＝2，∴(a＋b)2＝(2)2，即a2＋b2＋2ab＝8.又∵ab＝2，∴a2＋b2＝8－2ab＝8－4＝4.故选B.
答案 B
4．(2013·浙江宁波，2，3分)下列计算正确的是 ( )
A．a2＋a2＝a4 B．2a－a＝2
C．(ab)2＝a2b2 D．(a2)3＝a5
解析 A．a2＋a2＝2a2，故本选项错误；B.2a－a＝a，故本选项错误；C.(ab)2＝a2b2，故本选项正确；D.(a2)3＝a6，故本选项错误．故选C.
答案 C
5．★(2013·湖南湘西，7，3分)下列运算正确的是 ( )
A．a2·a4＝a8 B．(x－2)(x＋3)＝x2－6
C．(x－2)2＝x2－4 D．2a＋3a＝5a
解析 A中，a2·a4＝a6，∴A错误；B中，(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，∴B错误；C中，(x－2)2＝x2－4x＋4，∴C错误；D中，2a＋3a＝(2＋3)a＝5a，∴D正确．故选D.
答案 D
二、填空题
6．(2013·浙江台州，11，5分)计算：x5÷x3＝________．
解析 根据同底数幂除法法则，∴x5÷x3＝x5－3＝x2.
答案 x2
7．(2013·浙江义乌，12，4分)计算：3a·a2＋a3＝________．
解析 3a·a2＋a3＝3a3＋a3＝4a3.
答案 4a3
8．(2013·福建福州，14，4分)已知实数a、b满足：a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是________．
解析 法一 ∵a＋b＝2，a－b＝5，∴原式＝23×53＝103＝1 000.
法二 原式＝[(a＋b)(a－b)]3＝103＝1 000.
答案 1 000
三、解答题
9．(2013·浙江衢州，18，6分)如图，在长和宽分别是a，b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用含a，b，x的代数式表示纸片剩余部分的面积；
(2)当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
解 (1)面积＝ab－4x2.
(2)根据题意可得：ab－4x2＝4x2(或4x2＝ab＝12)．
整理得：8x2＝24，
解得x＝±.
∵x＞0，∴正方形边长为.
10．(2014·浙江湖州，17，6分)计算：(3＋a)(3－a)＋a2.
解 原式＝9－a2＋a2＝9.
11．(2014·浙江绍兴，17，4分)先化简，再求值：a(a－3b)＋(a＋b)2－a(a－b)，
其中a＝1，b＝－.
解 a(a－3b)＋(a＋b)2－a(a－b)＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab＝a2＋b2.
当a＝1，b＝－时，
原式＝12＋＝.
12．(2014·浙江金华，18，6分)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.
解 (x＋5)(x－1)＋(x－2)2＝x2＋4x－5＋x2－4x＋4
＝2x2－1.当x＝－2时，
原式＝2×(－2)2－1＝8－1＝7.
§1.3 因式分解
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·四川宜宾，5，3分)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是 ( )
A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2
C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2
解析 先提公因式3x再用公式法分解：3x3－12x2＋12x＝3x(x2－4x＋4)＝3x(x－2)2，故D正确．
答案 D
2．(2015·山东临沂，5，3分)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( )
A．x－1 B．x＋1
C．x2－1 D．(x－1)2
解析 mx2－m＝m(x－1)(x＋1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是(x－1)．答案 A
3．(2015·华师一附中自主招生，7，3分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，则△ABC是 ( )
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析 ∵2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，
∴4a4－4a2c2＋c4＋4b4－4b2c2＋c4＝0，∴(2a2－c2)2＋(2b2－c2)2＝0，∴2a2－c2＝0，2b2－c2＝0，∴c＝a，c＝b，∴a＝b，且a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰直角三角形．
答案 B
二、填空题
4．(2015·浙江温州，11，5分)分解因式：a2－2a＋1＝________．
解析 利用完全平方公式进行分解．
答案 (a－1)2
5．(2015·浙江杭州，12，4分)分解因式：m3n－4mn＝________．
解析 m3n－4mn＝mn(m2－4)＝mn(m＋2)(m－2)．
答案 mn(m＋2)(m－2)
6．(2015·山东济宁，12，3分)分解因式：12x2－3y2＝________．
解析 12x2－3y2＝3(2x＋y)(2x－y)．
答案 3(2x＋y)(2x－y)
7．(2015·湖北孝感，12，3分)分解因式：(a－b)2－4b2＝________.
解析 (a－b)2－4b2＝(a－b＋2b)(a－b－2b)＝(a＋b)(a－3b)．
答案 (a＋b)(a－3b)
8．(2015·四川泸州，13，3分)分解因式：2m2－2＝________．
解析 2m2－2＝2(m2－1)＝2(m＋1)(m－1)．
答案 2(m＋1)(m－1)
三、解答题
9．(2015·江苏宿豫区，19，6分)因式分解：(1)x4－81；
(2)6a(1－b)2－2(b－1)2.
解 (1)x4－81＝(x2＋9)(x2－9)
＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)；
(2)6a(1－b)2－2(b－1)2＝2(1－b)2(3a－1)．
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2014·湖南岳阳，7，3分)下列因式分解正确的是 ( )
A．x2－y2＝(x－y)2 B．a2＋a＋1＝(a＋1)2
C．xy－x＝x(y－1) D．2x＋y＝2(x＋y)
解析 A中，由平方差公式可得x2－y2＝(x＋y)(x－y)，故A错误；B中，左边不符合完全平方公式，不能分解；C中，由提公因式法可知C正确；D中，左边两项没有公因式，分解错误．故选C.
答案 C
2．(2014·贵州毕节，4，3分)下列因式分解正确的是 ( )
A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)
B．x2＋2x－1＝(x－1)2
C．x2＋1＝(x＋1)2
D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
解析 A中，2x2－2＝2(x2－1)＝2(x＋1)(x－1)，故A正确；B中，左边多项式不符合完全平方公式，不能分解；C中，左边多项式为两项，不能用完全平方公式分解，故C错误；D中，右边不是乘积的形式，不是因式分解，故D错误．故选A.
答案 A
3．(2014·山东威海，3，3分)将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是 ( )
A．x2－1 B．x(x－2)＋(2－x)
C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1
解析 A中，x2－1＝(x＋1)(x－1)，不符合题意；B中，x(x－2)＋(2－x)＝x(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x－1)，不符合题意；C中，x2－2x＋1＝(x－1)2，
不符合题意；D中，x2＋2x＋1＝(x＋1)2，符合题意，故选D.
答案 D
4．(2012·浙江温州，5，4分)把a2－4a多项式分解因式，结果正确的是( )
A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4
解析 a2－4a＝a(a－4)．
答案 A
5．(2011·浙江金华，3，3分)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A．x2＋1 B．x2＋2x－1
C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4
解析 根据完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2可得，选项A，B，C都不能用完全平方公式进行分解因式，D.x2＋4x＋4＝(x＋2)2.
答案 D
二、填空题
6．(2014·浙江台州，13，3分)因式分解a3－4a的结果是________．
解析 a3－4a＝a(a2－4)＝a(a＋2)(a－2)．故答案为a(a＋2)(a－2)．
答案 a(a＋2)(a－2)
7．(2013·浙江绍兴，11，5分)分解因式：x2－y2＝________．
解析 直接利用平方差公式进行因式分解．
答案 (x＋y)(x－y)
8．(2012·浙江绍兴，11，5分)分解因式：a3－a＝________．
解析 a3－a＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1)．
答案 a(a＋1)(a－1)
9．(2013·四川南充，12，3分)分解因式：x 2－4(x－1)＝________．
解析 原式＝x2－4x＋4＝(x－2)2.
答案 (x－2)2
10．★(2013·四川自贡，11，4分)多项式ax2－a与多项式x2－2x＋1的公因式是________．
解析 ∵ax2－a＝a(x2－1)＝a(x＋1)(x－1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，∴
它们的公因式是(x－1)．
答案 x－1
11．(2013·江苏泰州，11，3分)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．
解析 法一 ∵m＝2n＋1，∴m－2n＝1.∴m2－4mn＋4n2＝(m－2n)2＝12＝1.
法二 把m＝2n＋1代入m2－4mn＋4n2，得m2－4mn＋4n2＝(2n＋1)2－4n(2n＋1)＋4n2＝4n2＋4n＋1－8n2－4n＋4n2＝1.
答案 1
12．(2013·贵州黔西南州，18，3分)因式分解：2x4－2＝________．
解析 2x4－2＝2(x4－1)＝2(x2＋1)(x2－1)
＝2(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
答案 2(x2＋1)(x＋1)(x－1)
§1.4 分 式
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江丽水，4，3分)分式－可变形为 ( )
A．－ B. C．－ D.
解析 由分式的性质可得：－＝.
答案 D
2．(2015·山东济南，3，3分)化简－的结果是 ( )
A．m＋3 B．m－3 C. D.
解析 原式＝＝＝m＋3.
答案 A
3．(2015·山西，3，3分)化简－的结果是 ( )
A. B. C. D.
解析 原式＝ －＝－＝＝.
答案 A
4．(2015·浙江绍兴，5，3分)化简 ＋的结果是 ( )
A．x＋1 B. C．x－1 D.
解析 原式＝－＝＝＝
x＋1.
答案 A
二、填空题
5．(2015·贵州遵义，13，4分)计算：＋的结果是________．
解析 ＋＝＝－1.
答案 －1
6．(2015·四川泸州，19，6分)化简：÷＝________．
解析 原式＝÷＝·＝.
答案
7．(2015·山东青岛，16，4分)化简：÷＝________．
解析 ÷＝·＝·＝·＝.
答案
8．(2015·福建福州，18，7分)化简：－＝________．
解析 －＝＝＝1.
答案 1
三、解答题
9．(2015·山东烟台，19，5分)先化简：÷，再从－2＜x＜3的范围内选取一个你最喜欢的值代入求值．
解 原式＝÷＝·＝.当x＝2时，原式＝4.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2014·浙江温州，4，4分)要使分式有意义，则x的取值应满足 ( )
A．x≠2 B．x≠－1
C．x＝2 D．x＝－1
解析 由x－2≠0得x≠2，故选A.
答案 A
2．(2014·浙江杭州，7，3分)若(＋)·w＝1，则w＝ ( )
A．a＋2(a≠－2) B．－a＋2(a≠2)
C．a－2(a≠2) D．－a－2(a≠±2)
解析 原式可以化简如下：·w＝1，·w＝1，·w＝1，所以w＝－(a＋2)＝－a－2.故选D.
答案 D
3．(2013·江苏南京，2，2分)计算a3·的结果是 ( )
A．a B．a5 C．a6 D．a9
解析 a3·＝a3·＝a，故选A.
答案 A
4．(2013·山东临沂，6，3分)化简÷(1＋)的结果是 ( )
A. B.
C. D.
解析 原式＝÷＝× ＝，故选A.
答案 A
5．(2013·浙江杭州，6，3分)如图，设k＝(a＞b＞0)，则有( )
A．k＞2 B．1＜k＜2
C.＜k＜1 D．0＜k＜
解析 甲图中阴影部分面积是：a2－b2，乙图中阴影部分的面积是a2－ab，∴k＝＝＝＝1＋.∵a＞b＞0，∴0＜＜1.∴1＜1＋＜2.
答案 B
二、填空题
6．(2011·浙江嘉兴，11，4分)当x________时，分式有意义．
解析 要使分式有意义，必须3－x≠0，即x≠3.
答案 ≠3
7．(2012·浙江杭州，12，4分)化简得________；当m＝－1时，原式的值为________．
解析 ，
＝
＝，
当m＝－1时，原式＝＝1.
答案 1
8．(2014·贵州遵义，13，4分)计算：＋的结果是________．
解析 ＋＝－＝＝＝－1.
答案 －1
9．(2014·山东东营，15，4分)如果实数x，y满足方程组那么代数式÷的值为______．
解析 解方程组可得∴÷＝·(x＋y)＝xy＋2x＋2y＝3×(－1)＋2×3＋2×(－1)＝1.
答案 1
10．(2014·浙江台州，16，3分)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n次的运算结果＝____________(含字母x和n的代数式表示)．
解析 将第2、3、4次化简后列表如下：
次数
1
2
3
4
…
化简结果
…
故答案为.
答案
三、解答题
11．(2012·浙江宁波，19，6分)计算：＋a＋2.
解 法一：原式＝＋a＋2＝a－2＋a＋2＝2a.
法二：原式＝＋＝＋
＝＝＝2a.
12.(2013·四川宜宾，17，5分)化简：÷.
解 原式＝÷
＝·＝.
13．(2013·江西，17，6分)先化简，再求值：÷＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．
解 原式＝·＋1
＝＋1＝.
当x＝1时，原式＝.
14．(2014·湖南娄底，21，8分)先化简÷，再从不等式2x－3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．
解 原式＝÷＝·＝.
解不等式2x－3<7，得x<5.
取x＝0时，原式＝.
(本题最后答案不唯一，x≠±3，x≠4即可)
§1.5 二次根式
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·重庆，3，3分)化简的结果是 ( )
A．4 B．2 C．3 D．2
解析 化简得：2，故B正确．
答案 B
2．(2015·山东济宁，3，3分)要使二次根式有意义，x必须满足 ( )
A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2
解析 由x－2≥0得：x≥2.故B正确．
答案 B
3．(2015·江苏淮安，4，3分)下列式子为最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
解析 ＝2，＝2，＝，，，都不是最简二次根式，故选A.
答案 A
4．(2015·湖北孝感，9，3分)已知x＝2－，则代数式(7＋4)x2＋(2＋)x＋的值是 ( )
A．0 B. C．2＋ D．2－
解析 原式＝(7＋4)(2－)2＋(2＋)(2－)＋＝49－48＋4－3＋＝2＋.故选C.
答案 C
二、填空题
5．(2015·贵州遵义，11，4分)＋＝________．
解析 原式＝3＋＝4.
答案 4
6．(2015·江苏南京，12，3分)计算的结果是________．
解析 ＝×＝5.
答案 5
7．(2015·江苏泰州，12，3分)计算：－2等于________．
解析 原式＝3－＝2.
答案 2
三、解答题
8．(2015·四川凉山州，19，5分)计算：－32＋×＋|－3|.
解 －32＋×＋|－3|
＝－9＋×＋3－＝－5－.
9. (2015·山西，21，6分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多
意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用表示(其中，n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
解 第1个数，当n＝1时，
＝
＝×＝1.
第2个数，当n＝2时，
＝
＝
＝×1×＝1.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·上海，1，4分)下列式子中，属于最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
解析 ∵＝＝3，＝＝2，＝＝，∴，，都不是最简二次根式，是最简二次根式，故选B.
答案 B
2．(2013·广东佛山，5，3分)化简＋(－1)的结果是 ( )
A．2－1 B．2－
C．1－ D．2＋
解析 ＋(－1)＝＋－1＝2－1，故选A.
答案 A
3．★(2013·江苏泰州，2，3分)下列计算正确的是 ( )
A．4－3＝1 B.＋＝
C．2＝ D．3＋2＝5
解析 4－3＝，∴A错误；∵与被开方数不同，不能合并，∴B错误；2＝2×＝，∴C正确；3和2一个是有理数，一个是无理数，不能合并，∴D错误．综上所述，选C.
答案 C
4．(2013·山东临沂，5，3分)计算－9的结果是 ( )
A．－ B. C．－ D.
解析 －9＝4－3＝.
答案 B
5．(2014·山东济宁，7，3分)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：① ＝，② ·＝1，③÷＝－b，其中正确的是 ( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
解析 ∵ab＞0，a＋b＜0，∴a，b同号，且a＜0，b＜0，∴＞0，＞0.＝.等号右边被开方数小于零，无意义，∴①不正确； ·＝ ＝1，②正确；÷＝＝＝－b，∴③正确．故选B.
答案 B
二、填空题
6．(2013·浙江舟山，11，4分)二次根式中，x的取值范围为________．
解析 由二次根式有意义，得出x－3≥0，解得x≥3.
答案 x≥3
7．(2014·福建福州，13，4分)计算：(＋1)(－1)＝________.
解析 由平方差公式可得(＋1)(－1)＝()2－12＝2－1＝1.
答案 1
8．(2013·山东泰安，22，3分)化简：(－)－－︱－3︱＝
________．
解析 原式＝×－()2－2－3＋＝－3－
2－3＋＝－6.
答案 －6
9．(2012·浙江杭州，14，4分)已知(a－)＜0，若b＝2－a，则b的取值范围是________．
解析 由题意知，>0，∴a>0，∴a－<0，解得：0
0，解得 b<.
答案 b<
7．(2015·四川泸州，15，3分)设x1，x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两实数
根，则x＋x的值为________．
解析 ∵x1，x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两实数根，∴x1＋x2＝5，x1x2＝－1，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25＋2＝27.
答案 27
8．(2015·四川宜宾，11，3分)关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是________．
解析 由题意得(－1)2－4×1×m＜0解之即可．
答案 m＞
9．(2015·四川宜宾，13，3分)某楼盘2013年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________．
解析 先根据题意将每个量用代数式表示，然后利用等量关系建立等式即可．
答案 8 100(1－x)2＝7 600
三、解答题
10．(2015·山东青岛，16，8分)关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
解 ∵关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝32－4×2×(－m)＞0，∴m＞－，即m的取值范围是m＞－.
11．(2015·四川巴中，28，8分)如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1 140 m2，求小路的宽．
解 设小路的宽为x m．图中的小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的．
∴(40－x)(32－x)＝1 140.
解得x1＝2，x2＝70(不合题意，舍去)．∴小路的宽为2 m．答：小路的宽为2 m.
12．(2015·安徽，21，8分)(1)解下列方程：①x＋＝3根为________；②x＋＝5根为________；③x＋＝7根为________；
(2)根据这类方程特征，写出第n个方程为________，其根为________；
(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋＝2n＋4(n为正整数)的根．
解 (1)①去分母，得：x2＋2＝3x，即x2－3x＋2＝0，(x－1)(x－2)＝0，
则x－1＝0，x－2＝0，解得：x1＝1，x2＝2.
经检验：x1＝1，x2＝2都是方程的解；
②去分母，得：x2＋6＝5x，即x2－5x＋6＝0，(x－2)(x－3)＝0，则x－2＝0，x－3＝0，解得：x1＝2，x2＝3，经检验：x1＝2，x2＝3是方程的解；
③去分母，得：x2＋12＝7x，即x2－7x＋12＝0，(x－3)(x－4)＝0，则x1＝3，x2＝4，经检验x1＝3，x2＝4是方程的解；
(2)列出第n个方程为x＋＝2n＋1，解得：x1＝n，x2＝n＋1；
(3)x＋＝2n＋4，
即x－3＋＝2n＋1，
则x－3＝n或x－3＝n＋1，
解得：x1＝n＋3，x2＝n＋4.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江丽水，7，3分)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
解析 开方得x＋6＝±4，∴另一个一元一次方程是x＋6＝－4，故选D.
答案 D
2．(2014·陕西，8，3分)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2＝0
的一个根，则a的值为 ( )
A．1或4 B．－1或－4
C．－1或4 D．1或－4
解析 把x＝－2代入x2－ax＋a2＝0得(－2)2－a×(－2)＋a2＝0，解得a1＝－1，a2＝－4.故选B.
答案 B
3．(2011·浙江嘉兴，2，3分)方程x(x－1)＝0的解是 ( )
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1
解析 x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，x1＝0或x2＝1.
答案 C
4．(2013·山东滨州，10，3分)对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为 ( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
解析 ∵b2－4ac＝4(k＋1)2－4×(－k2＋2k－1)＝8k2＋8＞0，∴这个方程有两个不相等的实数根，故选C.
答案 C
5．(2013·广东湛江，10，4分)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列的方程中正确的是 ( )
A．12(1＋a%)2＝5 B．12(1－a%)2＝5
C．12(1－2a%)＝5 D．12(1－a2%)＝5
解析 第一次降价后的价格为12(1－a%)元，第二次降价后的价格为12(1－a%)2元，∴所列方程为12(1－a%)2＝5，故选B.
答案 B
6．(2013·湖北黄冈，6，3分)已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为 ( )
A．2 B．3 C．4 D．8
解析 把x＝2代入方程，得22－6×2＋c＝0，解得c＝8，把c＝8代入原方程得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.故选C.
答案 C
7．(2013·山东日照，8，3分)已知一元二次方程x2－x－3＝0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是 ( )
A．－＜x1＜－1 B．－3＜x1＜－2
C．2＜x1＜3 D．－1＜x1＜0
解析 在x2－x－3＝0中，b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－3)＝13＞0，∴x＝＝，∴x1＝.∵3＜＜4，∴－＜＜－1.故选A.
答案 A
二、填空题
8．(2013·甘肃兰州，17，4分)若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是________．
解析 ∵|b－1|≥0，≥0，|b－1|＋＝0，∴b－1＝0，a－4＝0，即b＝1，a＝4.∴原方程为kx2＋4x＋1＝0.∵一元二次方程kx2＋4x＋1＝0有实数根，∴42－4k≥0且k≠0，即k≤4且k≠0.
答案 k≤4且k≠0
9．★(2013·湖北荆门，16，3分)设x1，x2是方程x2－x－2 013＝0的两实数根，则x＋2 014x2－2 013＝________．
解析 ∵x1，x2是方程x2－x－2 013＝0的两实数根，∴x－x1－2 013＝0，
∴x－x1＝2 013，∴x－x－2 013x1＝0，x＝x＋2 013x1.又由根与系数的关系可得x1＋x2＝1，∴x＋2 014x2－2 013＝x＋2 013x1＋2 014x2－2 013＝x＋
2 014(x1＋x2)－x1－2 013＝x－x1＋1＝2 013＋1＝2 014.
答案 2 014
三、解答题
10．(2013·浙江杭州，18，8分)当x满足条件
时，求出方程x2－2x－4＝0的根．
解 由求得
则2＜x＜4，
解方程x2－2x－4＝0可得x1＝1＋，x2＝1－.
∵2＜＜3，而2＜x＜4，∴x＝1＋.
11．(2014·四川泸州，23，8分)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
解 (1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两实数根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，
解得：m＝－4或m＝6.
当m＝－4时原方程无解，
∴m＝6.
(2)当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，
解得：m＝2，∴方程变为x2－6x＋9＝0，
解得：x1＝x2＝3.
∵3＋3＜7，
∴不能构成三角形．
当7为腰时，设x1＝7，
代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，
解得：m＝10或4，
当m＝10时，方程变为x2－22x＋105＝0，
解得：x＝7或15
∵7＋7＜15，不能组成三角形；
当m＝4时，方程变为x2－10x＋21＝0，
解得：x＝3或7，
此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
§2.3 二元一次方程组
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·山东泰安，7，3分)小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为 ( )
A. B.
C. D.
解析 由题意可列方程组为：故A项正确．
答案 A
2．(2015· 四川绵阳，3，3分)若＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2 015＝( )
A．－1 B．1 C．52 015 D．－52 015
解析 ∵＋|2a－b＋1|＝0，∴解得： 则(b－a)2 015＝(－3＋2)2 015＝－1.
答案 A
3．(2015·河北，6，3分)利用加减消元法解方程组下列做法正确的是 ( )
A．要消去y，可以将①×5＋②×2
B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5)
C．要消去y，可以将①×5＋②×3
D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2
解析 利用加减消元法解方程组要消去x，可以将①×
(－5)＋②×2.
答案 D
4．(2015·台湾，4，3分)如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重迭，其余部分只与丙重迭，甲没有与乙重迭的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重迭的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？ ( )
A．x＋y＋3 B．x＋y＋1
C．x＋y－1 D．x＋y－3
解析 设乙的长度为a公尺，
∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，
∴甲的长度为：(a－x)公尺；丙的长度为：(a－y)公尺，
∴甲与乙重叠的部分长度为：(a－x－1)公尺；乙与丙重叠的部分长度为：
(a－y－2)公尺，由图可知：甲与乙重叠的部分长度＋乙与丙重叠的部分长度＝乙的长度，
∴(a－x－1)＋(a－y－2)＝a，a－x－1＋a－y－2＝a，a＋a－a＝x＋y＋1＋2，a＝x＋y＋3，∴乙的长度为：(x＋y＋3)公尺．
答案 A
5．(2015·广东广州，5，3分)已知a，b满足方程组则a＋b的值为 ( )
A．－4 B．4
C．－2 D．2
解析
①＋②×5得：16a＝32，即a＝2，
把a＝2代入①得：b＝2，则a＋b＝4.
答案 B
二、填空题
6．(2015·重庆，19，7分)解方程组：________．
解析 可用代入消元法，解得
答案
7．(2015·湖北武汉，12，3分)定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝________．
解析 根据题中的新定义化简已知等式得：解得：a＝1，b＝2，
则2*3＝4a＋3b＝4＋6＝10.
答案 10
8．(2015·四川南充，13，4分)已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是________．
解析 解方程组得：
因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，可得：2k＋3－2－k＝0，解得：k＝－1.
答案 －1
9．(2015·山东滨州，18，4分)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个或衣身15个或衣领12个，那么应该安排________名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．
解析 设应该安排x名工人缝制衣袖，y名工人缝制衣身，z名工人缝制衣领，
才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套，依题意有
解得故应该安排120名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套．
答案 120
三、解答题
10．(2015·四川宜宾，20，8分)列方程或方程组解应用题：
近年来，我国逐步完善养老金保险制度，甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元，求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？
解 设乙每年缴纳养老保险金x万元，两人缴纳的年数为y年，则甲每年缴纳的养老保险金为(x＋0.2)万元．
由题意得：解得：
x＋0.2＝0.4＋0.2＝0.6(万元)．
答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元和0.4万元．
11．(2015·福建福州，21，9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
解 法一 设有x支篮球队和y支排球队参赛，由题意得解得
答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．
法二 设有x支篮球队，则有(48－x)支排球队参赛，由题意得10x＋12(48－x)＝520，解得x＝28.∴48－x＝48－28＝20.
答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江杭州，4，3分)若a＋b＝3，a－b＝7，则ab＝ ( )
A．－10 B．－40
C．10 D．40
解析 联立组成方程组得：两式相加得，a＝5；两式相减得b＝
－2，故ab＝－10.
答案 A
2．(2013·四川凉山州，7，4分)已知方程组则x＋y的值为 ( )
A．－1 B．0 C．2 D．3
解析
法一 由①，得y＝4－2x③，将③代入②，得x＋2(4－2x)＝5，去括号，得x＋8－4x＝5，化简，得x＝1，将x＝1代入③中，得y＝2.故x＋y＝3，故选D.
法二 ①＋②，得3x＋3y＝9，∴x＋y＝3.故选D.
答案 D
3．(2014·湖北襄阳，8，3分)若方程mx＋ny＝6的两个解是则m，n的值为 ( )
A．4，2 B．2，4
C．－4，－2 D．－2，－4
解析 根据题意，得①＋②，得3m＝12，
∴m＝4.把m＝4代入①，得n＝2.∴故选A.
答案 A
4．(2012·浙江温州，9，4分)楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1 225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是 ( )
A. B.
C. D.
解析 设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意得，
答案 B
5．(2013·四川广安，6，3分)如果a3xby与－a2ybx＋1是同类项，则 ( )
A. B. C. D.
解析 根据题意，得解得
答案 D
二、填空题
6．(2014·浙江杭州，13，4分)设实数x，y满足方程组则x＋y＝________．
解析 求得方程组的解为把代入x＋y，得x＋y＝9＋(－1)＝8.
答案 8
7．(2013·浙江绍兴，13，5分)我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各几何？此题的答案是鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问鸡兔各几何？则此时的答案是鸡有________只，兔有________只．
解析 设鸡有x只，兔有y只，根据题意可得
解得：即鸡有22只，兔有11只．
答案 22 11
8．(2014·辽宁本溪，16，3分)关于x，y的方程组的解是则|m＋n|的值是________．
解析 将x＝1，y＝3代入方程组得：解得：m＝－1，n＝－2，则|m＋n|＝|－1－2|＝|－3|＝3.
答案 3
三、解答题
9．(2014·山东威海，19，7分)解方程组：
解
②×6，得3x－2y＝6， ③
③－①，得3y＝3.∴y＝1.
把y＝1代入①，得3x－5＝3.
∴x＝.
∴方程组的解为
10．★(2013·山东临沂，21，7分)为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金购买A、B两种型号的学习用品共1 000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．
(1)若购买这批学习用品共用了26 000元，则购买A、B两种学习用品各多少件？
(2)若购买这批学习用品的钱不超过28 000元，则最多购买B型学习用品多少件？
解 (1)法一 设购买A型学习用品x件，购买B型学习用品(1 000－x)件，根据题意得20x＋30(1 000－x)＝26 000，解得x＝400，1 000－400＝600(件)．
法二 设购买A型学习用品x件，购买B型学习用品y件，根据题意得解得
答：购买A型学习用品400件，购买B型学习用品600件．
(2)设购买B型学习用品m件，则购买A型的学习用品为(1 000－m)件，则
20(1 000－m)＋30m≤28 000，解得m≤800，所以最多购买B型学习用品800件.
§2.4 不等式与不等式组
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·福建福州，3，3分)不等式组的解集在数轴上表示正确的是 ( )
解析 根据不等式的解集在数轴上表示出来，如A所示，所以A项正确．
答案 A
2．(2015·浙江丽水，6，3分)如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集是( )
A．x≥2 B．x＞2 C．x＞－1 D．－1＜x≤2
解析 由数轴可知，解集为：x≥2，故A正确．
答案 A
3．(2015·浙江温州，7，4分)不等式组的解集是 ( )
A．x＜1 B．x≥3 C．1≤x＜3 D．1＜x≤3
解析 解①得：x＜1，解②得：x≤3.
公共解集为：1bc B．ab>cb
C．a＋c>b＋c D．a＋b>c＋b
解析 由数轴可知，a＜b＜0＜c，A中，在不等式a＜b两边都乘正数c，由不等式基本性质2，不等号方向不变，故A不成立；B中，在不等式a＜c
两边都乘负数b，由不等式性质3，不等号方向改变，故B成立；C中，在不等式a＜b两边都加c，由不等式性质1，不等号方向不变，故C不成立；D中，在不等式a＜c的两边都加b，由不等式性质1，不等号方向不变，故D不成立．综上所述，选B.
答案 B
2．(2011·浙江义乌，7，3分)不等式组的解集在数轴上表示为 ( )
解析 由不等式3x＋2>5，解得x>1，由不等式5－2x≥1，解得x≤2，∴不等式组的解集为1－1的解集是 ( )
A．x>－ B．x<－
C．x>－1 D．x<－1
解析 移项，得3x＞－1－2.合并同类项，得3x＞－3.系数化为1，得x＞－1.故选C.
答案 C
4．(2013·山东济宁，4，3分)已知ab＝4，若－2≤b≤－1，则a的取值范围是( )
A．a≥－4 B．a≥－2
C．－4≤a≤－1 D．－4≤a≤－2
解析 ∵ab＝4，－2≤b≤－1，∴a＜0，b＝，∴－2≤≤－1，不等式两边同乘a，得－a≤4≤－2a，解得－4≤a≤－2.
答案 D
5．(2014·山东威海，7，3分)已知点P(3－m，m－1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
解析 根据题意，得解得在数轴上表示如A所示，故选A.
答案 A
二、填空题
6．(2013·贵州安顺，16，4分)若关于x的不等式(1－a)x＞2可化为x＜，则a的取值范围是________．
解析 由不等式的性质可得1－a＜0，∴a＞1.
答案 a＞1
7．(2013·浙江衢州，11，4分)不等式组的解集是________．
解析 解不等式x－2≥0得x≥2，解不等式3x＋1＞x得
x>－，所以不等式组的解集为x≥2.故填x≥2.
答案 x≥2
8．(2013·湖北荆州，16，3分)在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：a△b＝2a－b.已知不等式x△k≥1的解集在数轴上如图表示，则k的值是________．
解析 根据题意，得2x－k≥1，解得x≥.由数轴可知不等式的解集是x≥－1，∴＝－1，解得k＝－3.
答案 －3
9．(2013·山东烟台，14，3分)不等式组的最小整数解是________．
解析 解不等式x－1≥0，得x≥1.解不等式4－2x＜0，得x＞2.∴不等式组的解集为x＞2.大于2的最小整数是3，∴不等式组的最小整数解为x＝3.
答案 x＝3
三、解答题
10．(2014·浙江丽水，18，6分)解一元一次不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
解
解不等式①，得x>－1.
解不等式②，得x≤4.
∴不等式组的解集为－12
C．x<2 D．x≠2
解析 由x－2≠0得：x≠2.故D正确．
答案 D
二、填空题
6．(2015·山东青岛，11，3分)把一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、1 cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm2)与高h(cm)之间的函数关系式为________．
解析 由题意得：S＝.
答案 S＝
7．(2015·山东青岛，10，3分)如图，将平面直角坐标系中的“鱼”的每个“顶点”的纵坐标不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是________．
解析 根据坐标系内图形对应点的变化规律可知A′的坐标为：.
答案 (2，3)
8．(2015·浙江湖州，12，4分)放学后，小明骑车回家，他经过的路程s(千米)与所用时间t(分钟)的函数关系如图所示，则小明的骑车速度是________千米/分钟．
解析 由题意得：2÷10＝0.2.
答案 0.2
三、解答题
9．(2015·浙江金华，22，10分)小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为30 km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00 回到宾馆．小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20 km/h，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆．图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s(km)与 时间t(h)的函数关系．试结合图中信息回答：
(1)小聪上午几点钟从飞瀑出发？
(2)试求线段AB，GH的交点B的坐标，并说明它的实际意义．
(3)如果小聪到达宾馆后，立即以30 km/h的速度按原路 返回，那么返回途中他几点钟遇见小慧？
解 (1)7：30.
(2)B(1.5，30)，它的实际意义：小聪和小慧在上午8：30相遇，此时他们距离宾馆30千米．
(3)11：00相遇．
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·广东湛江，6，4分)在平面直角坐标系中，点A(2，－3)在________象限． ( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析 根据坐标系中点的坐标的特点，横坐标为正，纵坐标为负，这个点在第四象限．
答案 D
2．(2013·湖南常德，10，3分)函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≥－3 B．x≥3
C．x≥0，且x≠1 D．x≥－3且x≠1
解析 由二次根式有意义的条件可得x＋3≥0，即x≥－3.由分式有意义的条件可得x－1≠0，即x≠1.∴x≥－3且x≠1.
答案 D
3．(2013·浙江绍兴，8，4分)如图是我国古代计时器“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶底的小孔漏出，壶壁内画有刻度，人们根据壶中水面的位置计时．用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，则y与x的函数关系的图象是 ( )
解析 ∵水从壶底的小孔漏出时，壶内剩水量随着时间的增加而匀速减少，∴壶底到水面的高度，也随着时间的增加而匀速减少，所以壶底到水面的高度与时间的函数关系的大致图象是C.故选C.
答案 C
二、填空题
4．(2013·浙江台州，12，5分)设点M(1，2)关于原点的对称点为M′，则M′的坐标为________．
解析 关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数，故M(1，2)关于原点的对称点M′的坐标为(－1，－2)．
答案 (－1，－2)
5．(2012·浙江丽水，14，4分)甲、乙两人以相同路线前往离学校12千米的地方参加植树活动．图中l甲、l乙
分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶的路程s(千米)随时间t(分)变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶________千米．
解析 ∵据函数图象知：甲用30分钟行驶了12千米，乙用(18－6)分钟行驶了12千米，∴甲每分钟行驶12÷30＝千米，乙每分钟行驶12÷12＝1千米，∴每分钟乙比甲多行驶1－＝千米．
答案
6．(2014·江苏宿迁，13，3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(－3，0)，(2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
解析 由题意知：OA＝3，OB＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝5，由勾股定理可得OD＝4，则点C的坐标是(5，4)．
答案 (5，4)
7．(2014·浙江金华，13，3分)小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y(米)与时间t(分)的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行____米．
解析 小明家距学校800米，小明从学校步行回家的时间是15－5＝10(分)，所以小明回家的速度是每分钟步行800÷10＝80(米)．
答案 80
8．(2013·四川雅安，17，3分)在平面直角坐标系中，已知点 A(－，0)，B(，0)，点C在坐标轴上，且AC＋BC＝6，写出满足条件的所有点C的坐标________．
解析 如图，①当点C位于y轴上时，设C(0，b)，
则＋＝6，解得b＝2或b＝－2，此时C(0，2)或C(0，－2)．
②当点C位于x轴上时，设C(a，0)．
则|－－a|＋|a－|＝6，即2a＝6或－2a＝6，
解得a＝3或a＝－3，此时C(－3，0)或C(3，0)．
综上所述，点C的坐标是：(0，2)，(0，－2)，(－3，0)，(3，0)．
答案 (0，2)，(0，－2)，(－3，0)，(3，0)
§3.2 一次函数
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·四川泸州，10，3分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是 ( )
解析 ∵x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4－4(kb＋1)＞0，解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k<0，b＝0，即kb＝0，故D不正确．
答案 B
2．(2015·山东潍坊，5，3分)若式子＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象可能是 ( )
解析 ∵式子＋(k－1)0有意义，∴
解得k>1，∴k－1>0，1－k<0，∴一次函数y＝(k－1)x＋1－k的图象可能是A.
答案 A
3．(2015·山东济南，6，3分)如图，一次函数y1＝x＋b与一次函数y2＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是 ( )
A．x>－2 B．x>0
C．x>1 D．x<1
解析 当x>1时，x＋b>kx＋4，即不等式x＋b>kx＋4的解集为x>1.
答案 C
4．(2015·四川广安，9，3分)某油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程为x km，油箱中剩油量为y L，则y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围分别是 ( )
A．y＝0.12x，x＞0
B．y＝60－0.12x，x＞0
C．y＝0.12x，0≤x≤500
D．y＝60－0.12x，0≤x≤500
解析 因为油箱容量为60 L的汽车，加满汽油后行驶了100 km时，油箱中的汽油大约消耗了，可得：×60÷100＝0.12(L/km)，60÷0.12＝500(km)，所以y与x之间的函数解析式和自变量x的取值范围是：y＝60－0.12x(0≤x≤500)．
答案 D
5．(2015·湖北黄冈中学自主招生，10，3分)如图所示，已知直线y＝－x＋1与x，y轴交于B，C两点，A(0，0)，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…，则第n个等边三角形的边长等于 ( )
A. B. C. D.
解析 ∵OB＝，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°.而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°.在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，同理得：B1A2＝A1B1＝.
答案 A
二、填空题
6．(2015·四川凉山州，5，3分)已知函数y＝2x2a＋b＋a＋2b是正比例函数，则a＝________，b＝________．
解析 根据题意可得：2a＋b＝1，a＋2b＝0，解得：a＝，b＝－.
答案 －
7．(2015·湖北武汉，7，3分)如图所示，
购买一种苹果，所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．
解析 由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y＝10x，1千克苹果的价钱为：y＝10.
设射线AB的解析式为y＝kx＋b(x≥2)，把(2，20)，(4，36)代入得：解得：∴y＝8x＋4，当x＝3时，y＝8×3＋4＝28.当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3＝30(元)．故可节省30－28＝2(元)．
答案 2
8．(2015·四川内江，10，3分)在平面直角坐标系xOy中，过点P(0，2)作直线l：y＝x＋b(b为常数且b＜2)的垂线，垂足为点Q，则tan∠OPQ＝________．
解析 如图，设直线l与坐标轴的交点分别为A，B，
∵∠AOB＝∠PQB＝90°，∠ABO＝∠PBQ，∴∠OAB＝∠OPQ.又由直线解析式知tan∠OAB＝，
∴tan∠OPQ＝.
答案
9．(2015·湖南衡阳，10，3分)如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…，△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y＝x上，已知OA2＝1，则OA2 015的长为________．
解析 因为OA2＝1，所以可得：OA1＝，进而得出OA3＝2，OA4＝4，OA5＝8，由此得出OAn＝2n－2，所以OA2 015＝22 013.
答案 22 013
三、解答题
10．(2015·浙江绍兴，18，8分)小敏上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中，小敏离家的路程y(米)和所经过的时间x(分)之间的函数图象如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)小敏去超市途中的速度是多少？在超市逗留了多少时间？
(2)小敏几点几分返回到家？
解 (1)速度为＝300(米/分)，
逗留时间为30分钟．
(2)设返回家时，y与x的函数解析式为y＝kx＋b，
把(40，3 000)，(45，2 000)代入得
解得
∴函数解析式为y＝－200x＋11 000，
当y＝0时，x＝55，∴返回到家的时间为8：55.
11．(2015·浙江温州，22，10分)某农业观光园计划将一块面积为900 m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株，已知B区域面积是A的2倍，设A区域面积为x(m2)．
(1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式．
(2)若三种花卉共栽种6 600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？
(3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84 000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．
解 (1)y＝3x＋12x＋12(900－3x)，
即y＝－21x＋10 800.
(2)当y＝6 600时，－21x＋10 800＝6 600，
解得x＝200.
∴2x＝400，900－3x＝300.
答：A区域的面积是200 m2，B区域的面积是400 m2，C区域的面积是300 m2.
(3)种植面积最大的花卉总价为36 000元．
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江湖州，3，3分)若正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，则k的值为 ( )
A．－ B．－2 C. D．2
解析 ∵正比例函数y＝kx的图象经过点(1，2)，∴k＝2.故选D.
答案 D
2．(2014·浙江温州，7，4分)一次函数y＝2x＋4的图象与y轴交点的坐标是( )
A．(0，－4) B．(0，4)
C．(2，0) D．(－2，0)
解析 把x＝0代入函数y＝2x＋4，得y＝4，所以一次函数y＝2x＋4的图象与y轴交点的坐标是(0，4)，故选B.
答案 B
3．(2013·福建福州，10，4分)A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是 ( )
A.a＞0 B．a＜0，b＜0
C．b＝0 D．ab＜0
解析 由图象可知x＋a＜x，y＋b＜y，所以a＜0，b＜0，故选B.
答案 B
4．(2013·湖南娄底，4，3分)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是( )
A．x＜0 B．x＞0
C．x＜2 D．x＞2
解析 由图象看出，当x＜2时，一次函数y＝kx＋b的图象在x轴上方，此时y＞0.
答案 C
5．(2013·浙江舟山，10，3分)对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义一种运算：A⊕B＝(x1＋y1)＋(x2＋y2)．例如A(－5，4)，B(2，－3)，A⊕B＝(－5＋4)＋(2－3)＝－2.若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点 ( )
A．在同一条直线上
B．在同一条抛物线上
C．在同一反比例函数图象上
D．是同一个正方形的四个顶点
解析 设C，D，E，F四个点的坐标分别为(a，b)，(c，d)，(e，f)，(g，h)，按照定义规则，有：a＋b＝c＋d＝e＋f＝g＋h，设它们的和为某个常数k，这些数值特点符合某个二元一次方程解的特征，联想到二元一次方程与一次函数的关系，其形式不一，实质相同，适当转换变形，根据一次函数图象特征，选A.
答案 A
二、填空题
6．(2013·浙江温州，15，5分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x轴．将△ABC以y轴为对称轴对称变换，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)．直线y＝x＋b经过点A，C′，则点C′的坐标是________．
解析 因为点A(－2，0)在直线y＝x＋b上，则b＝2，直线的解析式为y＝x＋2；由B和B′关于y轴对称，则B′的坐标为(1，0)，当x＝1时，y＝1＋2＝3，则点C′的坐标为(1，3)．
答案 (1，3)
7．(2014·浙江嘉兴，15，5分)点A(－1，y1)，B(3，y2)是直线y＝kx＋b(k<0)
的两点，则y1－y2________0(填“>”或“<”)．
解析 对于直线y＝kx＋b，∵k＜0，∴y随x的增大而减小．∵－1＜3，∴y1＞y2.故答案为＞.
答案 ＞
三、解答题
8．(2014·浙江绍兴，18，8分)已知甲、乙两地相距90 km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车．图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．
(1)A比B后出发几小时？B的速度是多少？
(2)在B出发后几小时，两人相遇？
解 (1)A比B后出发1小时．
∵60÷3＝20(km/h)，
∴B的速度是20 km/h.
(2)设OC的解析式为y＝k1x，DE的解析式为y＝k2x＋b，由题意得解得
即OC的解析式为y＝20x，DE的解析式为y＝45x－45.
由解得
∴在B出发小时后，两人相遇．
9．(2013·浙江绍兴，18，8分)某市出租车计费方法如图所示，x(km)表示行驶里程，y(元)表示车费，请根据图象回答下列问题：
(1)出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数解析式；
(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．
解 (1)由图象可知，出租车的起步价是8元；当x＞3时，设函数的解析式为：y＝kx＋b，∵图象经过点(3，8)，(5，12)，∴解得∴y＝2x＋2；
(2)当y＝32时，2x＋2＝32，解得x＝15.
答：这位乘客乘车的里程是15 km.
10．(2013·浙江衢州，23，10分)“五·一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y(人)与检票时间x(分钟)的关系如图所示．
(1)求a的值；
(2)求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数；
(3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？
解 (1)由图象知，640＋16a－2×14a＝520，
所以a＝10；
(2)法一 设过(10，520)和(30，0)的直线解析式为y＝kx＋b，
得解得
因此y＝－26x＋780，当x＝20时，y＝260，
即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260(人)．
法二 由图象可知，从检票开始后第10分钟到第30分钟，候车室排队检票人数每分钟减少26人，
所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520－26×10＝260(人)．
法三 设10分钟后开放m个检票口，由题意得，520＋16×20－14m×20＝0，
解得m＝3，
所以检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有520＋16×10－3×10×14＝260(人)．
(3)设需同时开放n个检票口，则由题意知
14n×15≥640＋16×15，解得n≥4.
∵n为整数，∴n＝5.
答：至少需要同时开放5个检票口.
§3.3 二次函数
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·山东泰安，19，3分)某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c图象时，列出了下面的表格：
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
－11
－2
1
－2
－5
…
由于粗心，他算错了一个y值，则这个错误的数值是 ( )
A．－11 B．－2 C．1 D．－5
解析 由表格知二次函数的对称轴为x＝0，且过点(0，1)，(1，－2)，∴
解得∴二次函数解析式为y＝－3x2＋1.当x＝2时，y＝－3×22＋1＝－11，故选D.
答案 D
2．(2015·四川巴中，10，3分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结论：①abc<0 ②2a＋b＝0 ③a－b＋c>0 ④4a－2b＋c<0其中正确的是 ( )
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
解析 由图象可知：a>0，b>0，c<0所以abc<0；故①正确；对称轴－＝－1，可得b＝2a，故②错误；当x＝－1时，a－b＋c<0，故③错误；当x＝－2时，4a－2b＋c<0，故④正确．
答案 D
3．(2015·四川泸州，9，3分)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是( )
A．x<－4或x>2 B．－4≤x≤2
C．x≤－4或x≥2 D．－40，而一次函数a<0，b<0；故错误；D项正确．
答案 D
二、填空题
7．(2015·浙江温州，15，5分)某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，
并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.
解析 设垂直于墙的一边为x m，则另一边为(30－3x)m2，面积为y，则y＝x(30－3x)＝－3x2＋30x，算出最大值为75 m2.
答案 75
8．(2015·浙江舟山，12，4分)把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式：________．
解析 用配方法可得y＝(x－6)2－36.
答案 y＝(x－6)2－36
9．(2015·山东日照，15，3分)如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当16，∴这辆货车能安全通过．
(3)当y＝8时，－x2＋2x＋4＝8，
即x2－12x＋24＝0，∴x1＋x2＝12，x1x2＝24，
∴两排灯的水平距离的最小值是：
|x1－x2|＝＝
＝＝＝4(m)．
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江义乌，10，3分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＞0；③－1≤a≤－；④3≤n≤4中，正确的是( )
A．①② B．③④ C．①④ D．①③
解析 ∵A(－1，0)在抛物线上，∴a－b＋c＝0.∵顶点坐标为(1，n)，∴b＝－2a，抛物线与x轴的另外一个交点坐标为(3，0)．∵开口方向向下，∴a＜0.∴x＞3时，y＜0，故①正确；∵b＝－2a，∴b＋2a＝0，∴b＋3a＝a＜0，②错误；∵a－b＋c＝0，b＝－2a，∴c＝－3a.∵抛物线与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，∴2≤c≤3，∴2≤－3a≤3，∴－1≤a≤－，③正确；∵a＋b
＋c＝n，b＝－2a，∴a－c＝－n，∵c＝－3a，∴n＝－4a，∴－1≤－≤－，∴≤n≤4，④错误，故选D.
答案 D
2．(2013·浙江杭州，10，3分)给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象
①如果＞a＞a2，那么0＜a＜1；
②如果a2＞a＞，那么a＞1；
③如果＞a2＞a，那么－1＜a＜0；
④如果a2＞＞a时，那么a＜－1.则 ( )
A．正确的命题是①④ B．错误的命题是②③④
C．正确的命题是①② D．错误的命题只有③
解析 如图分析：联立组成方程组可得：解得x＝1或x＝－1，所以交点坐标为(1，1)和(－1，－1)，由图得①描述正确．②如果a2＞a＞，则根据图象可得a＞1或－1＜a＜0，所以②描述错误．③如果＞a2＞a，则根据图象没有这样的a存在，所以③描述错误．④描述正确．
答案 A
3．(2014·浙江金华，9，3分)如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是 ( )
A．－1≤x≤3 B．x≤－1
C．x≥1 D．x≤－1或x≥3
解析 当y＝1时，－x2＋2x＋4＝1，解得x1＝－1，x＝3，结合二次函数的图象知y≤1成立的x的取值范围是x≤－1或x≥3，故选D.
答案 D
4．(2014·浙江嘉兴，10，4分)当－2≤x≤1时，二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1有最大值4，则实数m的值为 ( )
A．－ B.或－
C．2或－ D．2或－或－
解析 对于y＝－(x－m)2＋m2＋1，∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，对称轴为x＝m，顶点坐标(m，m2＋1)．当－2≤m≤1时，最大值m2＋1＝4，解得m1＝(不合题意，舍去)，m2＝－.当m＜－2时，可知x＝－2时有最大值，即－(－2－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝－(不合题意，舍去)．当m＞1时，可知x＝1时有最大值，即－(1－m)2＋m2＋1＝4，解得m＝2.综上可知，m的值为2或－.故选C.
答案 C
二、填空题
5．(2013·浙江衢州，15，4分)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子．根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子．设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种________棵橘子树，橘子总个数最多．
解析 根据题意得，y＝(600－5x)(100＋x)，化为一般形式为y＝－5x2＋100x＋60 000，－＝－＝10，当多种10棵树时，橘子总个数最多．故填10.
答案 10
6．★(2013·山西，18，3分)如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________ m.
解析 以C为原点，过点C平行于AB的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，以1 m为一个单位长度，可得A，B的坐标分别为(－18，－9)，(18，－9)，C的坐标为(0，0)，点D，E的纵坐标为－16.设抛物线的解析式为y＝ax2，把(18，－9)代入y＝ax2，得－9＝324a，解得a＝
－，∴抛物线的解析式为y＝－x2.把y＝－16代入y＝－x2，得－16＝－x2，解得x＝±24，即D(－24，－16)，E(24，－16)，∴DE＝48(m)．
答案 48
7．(2014·浙江绍兴，13，5分)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________．
解析 由y＝－(x－6)2＋4可知顶点坐标为(6，4)，又因为AB为12 m，则以点
B为坐标原点时，抛物线的形状、大小不变，但顶点坐标变为(－6，4)，所以抛物线的解析式为y＝－(x＋6)2＋4.
答案 y＝－(x＋6)2＋4
三、解答题
8．(2014·浙江宁波，23，10分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线y＝x＋1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
解 (1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，∴
∴a＝，b＝－，c＝－1，
∴二次函数的解析式为y＝x2－x－1.
(2)当y＝0时，得x2－x－1＝0，
∴x1＝2，x2＝－1，∴点D的坐标为(－1，0)．
(3)经过D(－1，0)，C(4，5)两点的直线即为直线y＝x＋1的图象．
由图象得，当－1＜x＜4时一次函数的值大于二次函数的值．
9．(2014·浙江义乌，21，8分)受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1(元)与月份x(1≤x≤7，且x为整数)之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本(元/件)
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2(元)与月份x的函数关系式为y2＝x＋62(8≤x≤12，且x为整数)．
(1)请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
(2)若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤7，且x为整数)；8至12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2＝－0.1x＋3(8≤x≤12，且x为整数)，该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．
解 (1)由表格中数据可猜测，y1是x的一次函数．
设y1＝kx＋b，则
解得：
∴y1＝2x＋54，
经检验其它各点都符合该解析式，
∴y1＝2x＋54(1≤x≤7，且x为整数)．
(2)设去年第x月的利润为w万元．
当1≤x≤7，且x为整数时，
w＝p1(100－8－y1)＝(0.1x＋1.1)(92－2x－54)＝－0.2x2＋1.6x＋41.8＝－0.2(x－4)2＋45，
∴当x＝4时，w最大＝45万元；
当8≤x≤12，且x为整数时，
w＝p2(100－8－y2)＝(－0.1x＋3)(92－x－62)＝0.1x2－6x＋90＝0.1(x－30)2，
∴当x＝8时，w最大＝48.4万元．
∴该厂去年8月利润最大，最大利润为48.4万元.
§3.4 反比例函数
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·重庆，12，3分)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1.反比例函数y＝的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为( )
A．2 B．4
C．2 D．4
解析 由题意可得：A，B的坐标分别为(1，3)，(3，1)，并能求出AB＝2，菱形的高为2，所以面积为4.
答案 D
2．(2015·山东青岛，8，3分)如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1>y2时，x的取值范围是 ( )
A．x<－2或x>2
B．x<－2或02
解析 由图象可以观察，在－22时，y1>y2.
答案 D
3．(2015·浙江湖州，10，3分)如图，在平面直角坐标系系中，直线y＝k1x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝在第一象限内的图象交于点B，连结BO.若S△OBC＝1，tan∠BOC＝，则k2的值是( )
A．－3 B．1
C．2 D．3
解析 过点B作BD⊥y轴于点D.∵直线y＝k1x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点C的坐标为(0，2)，∴OC＝2.∵S△OBC＝1，∴BD＝1.∵tan∠BOC＝，∴＝，∴OD＝3，∴点B的坐标为(1，3)．∴k2＝1×3＝3.
答案 D
4．(2015·四川凉山州，10，3分)以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y＝经过点D，则正方形ABCD的面积是 ( )
A．10 B．11 C．12 D．13
解析 ∵双曲线y＝经过点D，∴第一象限的小正方形的面积是3，∴正方形ABCD的面积是3×4＝12.
答案 C
二、填空题
5．(2015·浙江绍兴，15，5分)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD
的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)，如图，若曲线y＝(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是________．
解析 由A点的坐标(a，a)可知C的坐标为(a＋1，a＋1)，把A点的坐标代入y＝中，得a＝±，把C点的坐标代入y＝中，得a＝－1±，又因为与正方形有交点，所以a的取值范围为：－1≤a≤.
答案 －1≤a≤
6．(2015·浙江杭州，15，4分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P(1，t)在反比例函数y＝的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP＝OP.若反比例函数y＝的图象经过点Q，则k＝________．
解析 分两种情况，因为QP＝OP＝，当Q在点P左侧时，Q的坐标为(1－，2)，在右侧时，Q的坐标为(1＋，2)分别代入，得k＝2±2.
答案 2＋2或2－2
7．(2015·浙江宁波，18，4分)如图，已知点A，C在反比例函数y＝(a>0)的图象上，点B，D在反比例函数y＝(b<0)的图象上，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝3，CD＝2，AB与CD的距离为5，则a－b的值是____________．
解析 设A，B两点的纵坐标为m，C，D两点的纵坐标为n，则点A，B，C，D的坐标分别为A，B，C，D.因为AB＝3，CD＝2，所以－＝3，－＝2.解得b－a＝3m，a－b＝2n，所以3m＝－2n，又因为AB与CD的距离为5，所以n－m＝5，解得n＝3，m＝－2.所以a－b＝6.
答案 6
8．(2015·浙江金华，15，4分)如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝(x>0)的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F.若点D的坐标为(6，8)，则点F
的坐标是________．
解析 由点D的坐标可求得菱形的边长为10，点C的坐标为(16，8)，点A的坐标为(8，4)，所以k＝32；直线BC的解析式为：y＝x－，解方程组得：x1＝－2(舍去)；x2＝12，因此F的坐标为.
答案
9．(2015·浙江丽水，16，4分)如图，反比例函数y＝的图象经过点(－1，－2)，点A是该图象第一象限分支上的动点，连结AO并延长交另一支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点P，连结BP.
(1)k的值为________；
(2)在点A运动过程中，当BP平分∠ABC时，点C的坐标是________．
解析 (1)把点(－1，－2)代入y＝得，k＝2.
(2)连结OC，作CD⊥y轴于点D，AE⊥y轴于点E，AM⊥x轴于点M，CN⊥x轴于点N.
设A点坐标为，由反比例函数性质得：OA＝OB，
由等腰直角三角形性质得：OC＝OA，OC⊥OA，
∴△AOE≌△OCD，∴OD＝AE＝a，CD＝OE＝，
∴点C.∴BP平分∠ABC，∴＝＝.
由△APM∽△CPN得：＝＝即＝，
∴a＝.∴点C(2，－)．
答案 (1)k＝2 (2)(2，－)
三、解答题
10．(2015·浙江衢州，19，6分)如图，已知点A(a，3)是一次函数y1＝x＋b图象与反比例函数y2＝图象的一个交点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)在y轴的右侧，当y1>y2时，直接写出x的取值范围．
解 (1)将A(a，3)代入y2＝得，a＝2，
∴A(2，3)，将A(2，3)代入y1＝x＋b得b＝1，
∴y1＝x＋1.
(2)x>2.
11．(2015·四川泸州，23，8分)如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若反比例函数y＝的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A，B两点，且AC＝2BC，求m的值．
解 (1)∵一次函数y＝kx＋b(k<0)的图象经过点C(3，0)，
∴3k＋b＝0①，点C到y轴的距离是3.
∵k<0，∴b>0.
∵一次函数y＝kx＋b的图象与y轴的交点是(0，b)，
∴×3×b＝3，
解得：b＝2.
把b＝2代入①，解得：k＝－，
故这个函数的解析式为y＝－x＋2；
(2)如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE.
∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝2，∴AD＝2BE.
设B点纵坐标为－n，则A点纵坐标为2n.
∵直线AB的解析式为y＝－x＋2，
∴A(3－3n，2n)，B.
∵反比例函数y＝的图象经过A，B两点，
∴(3－3n)·2n＝·(－n)，
解得n1＝2，n2＝0(不合题意舍去)，
∴m＝(3－3n)·2n＝－3×4＝－12.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江温州，6，4分)已知点P(1，－3)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，则k的值是 ( )
A．3 B．－3 C. D．－
解析 把(1，－3)代入y＝，得－3＝，则k＝－3.
答案 B
2．(2013·甘肃兰州，5，4分)当x＞0时，函数y＝－的图象在 ( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
解析 ∵k＝－5＜0，∴当x＞0时，图象在第四象限．
答案 A
3．(2013·浙江台州，5，4分)在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(单位：kg/m3)与体积V(单位：m3)满足函数关系式ρ＝(k为常数，k≠0)，其图象如图所示，则k的值为( )
A．9 B．－9
C．4 D．－4
解析 由图知：ρ＝1.5，V＝6，则k＝ρ·V＝9，故选A.
答案 A
4．(2014·山东潍坊，11，3分)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于A，B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是 ( )
A．x＜－1或0＜x＜3 B．－1＜x＜0或0＜x＜3
C．－1＜x＜0或x＞3 D．0＜x＜3
解析 简要画出一次函数与反比例函数的图象如图，一次函数图象在反比例函数上方即一次函数大于反比例函数，∴x＜－1或0＜x＜3，故选A.
答案 A
5．(2014·四川自贡，9，4分)关于x的函数y＝k(x＋1)和y＝(k≠0)在同一坐标系中的图象大致是 ( )
解析 可分情况讨论，当k＞0时，直线y＝k(x＋1)经过第一、二、三象限，双曲线y＝在第一、三象限，没有符合要求的选项；当k＜0时，直线y＝k(x＋1)经过第二、三、四象限，双曲线y＝在第二、四象限，选项D符合要求．故选D.
答案 D
二、填空题
6．(2013·浙江绍兴，14，5分)在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上一点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y＝上的点B重合．若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是________．
解析 ∵点B在双曲线y＝上，∴当y＝1时，x＝，故点B坐标为(，1)，∴OB＝＝2；又OB是由OA旋转得到，故OA＝2；因为射线OA绕点O旋转，没有说明是顺时针还是逆时针旋转，故有两种情况，所以点A的横坐标是2或－2.
答案 2或－2
7．(2013·湖南娄底，13，4分)如图，已知A点是反比例函数y＝(k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为________．
解析 由反比例函数y＝系数k的几何意义可知，S△ABO＝＝3.又∵y＝的图象在第一象限，∴k＝6.
答案 6
8．(2013·湖北黄冈，12，3分)已知反比例函数y＝在第一象限的图象如图所示，点A在其图象上，点B为x轴正半轴上一点，连结AO，AB，且AO＝AB，则
S△AOB＝________．
解析 过A作AC⊥OB于点C，∵AO＝AB，∴OC＝BC，∴△ABC≌△AOC，∴S△AOB＝2S△OAC.∵A点在反比例函数图象上，∴S△OAC＝×6＝3，∴S△AOB＝2S△OAC＝6.
答案 6
三、解答题
9．(2014·浙江湖州，20，8分)如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数y＝的图象上，过点A的直线y＝x＋b交x轴于点B.
(1)求k和b的值；
(2)求△OAB的面积．
解 (1)把A(2，5)分别代入y＝和y＝x＋b，得解得k＝10，b＝3；
(2)作AC⊥x轴与点C，
由(1)得直线AB的解析式为y＝x＋3，∴点B的坐标为(－3，0)，OB＝3，
点A的坐标是(2，5)，∴AC＝5，
∴S△AOB＝OB·AC＝×3×5＝.
10．(2014·浙江嘉兴，22，12分)实验数据显示，一般成年人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可以近似的用二次函数y＝－200x2＋400x刻画，1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似的用反比例函数y＝(k>0)刻画(如图所示)．
(1)根据上述数学模型计算；
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45，求k的值．
(2)按照国家规定，车辆驾驶人员血液中酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早晨7：00能否驾车去上班？请说明理由．
解 (1)①y＝－200x2＋400x＝－200(x－1)2＋200，
∴顶点坐标为(1，200)．
∵－200＜0，∴当x＝1时，y有最大值，
即喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200(毫克/百毫升)．
②将x＝5，y＝45代入y＝，得45＝.
∴k＝45×5＝225.
(2)不能驾车上班；
理由：晚上20：00到第二天早上7：00，一共有11小时．
将x＝11代入y＝，
得y＝＞20，
∴第二天早上7：00不能驾车去上班．
第四章 图形的认识
§4.1 图形的初步认识
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·重庆，6，3分)如图，直线AB∥CD，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，若∠1＝135°，则∠2的度数为 ( )
A．65° B．55°
C．45° D．35°
解析 利用两直线平行，同旁内角互补．
答案 C
2．(2015·福建福州，2，3分)下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是( )
解析 只有B中可以利用内错角相等，两直线平行．
答案 B
3．(2015·四川泸州，5，3分)如图，AB∥CD，CB平分∠ABD.若∠C＝40°，则∠D的度数为 ( )
A．90° B．100°
C．110° D．120°
解析 ∵AB∥CD，∠C＝40°，∴∠ABC＝40°.∵CB平分∠ABD，∴∠ABD＝80°，∴∠D＝100°.
答案 B
4．(2015·山东泰安，5，3分)如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于( )
A．122° B．151°
C．116° D．97°
解析 由AB∥CD得到∠EFD＝∠1＝58°，再由FG平分∠EFD，得到∠GFD＝29°，又∵AB∥CD，∴∠FGB＝180°－29°＝151°.
答案 B
5．(2015·浙江金华，9，3分)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是 ( )
A．如图1，展开后，测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后，测得∠1＝∠2，且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA＝OB，OC＝OD
解析 A中内错角相等，两直线平行；B中可得∠1＝∠2＝90°，且∠3＝∠4＝90°，从而可得两直线平行；D中有条件可知两三角形全等，可得∠CAO＝∠DBO，所以a，b互相平行．
答案 C
6．(2015·浙江绍兴，10，4分)挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…….则第6次应拿走 ( )
A．②号棒 B．⑦号棒
C．⑧号棒 D．⑩号棒
解析 注意题目要求：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走．
答案 D
二、填空题
7．(2015·浙江杭州，14，4分)如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD.若∠ECA为α，则∠GFB为________(用关于α的代数式表示)．
解析 ∵∠ECA＝α，∴∠ECB＝180°－α，由角的平分线可得∠DCB＝90°－，再由FG∥CD，可得∠GFB＝∠DCB＝90°－.
答案 90°－
8．(2015·四川宜宾，10，3分)如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，若∠B＝35°，∠D＝45°，则∠AEC＝________．
解析 ∵AB∥CD，∠B＝35°，∴∠C＝∠B＝35°.∵∠AEC可以看作是△CED的一个外角，∴∠AEC＝∠C＋∠D＝35°＋45°＝80°.
答案 80°
9．(2015·浙江嘉兴，12，5分)右图是百度地图的一部分(比例尺1∶4 000 000)，按图可估测杭州在嘉兴的南偏西________度方向上，到嘉兴的实际距离为________．
解析 以嘉兴为方位中心，画出方向标，可估计杭州在嘉兴南偏西45度；再测量出两地的图上距离，利用比例尺1∶4 000 000＝图上距离∶实际距离，可得两地的实际距离．
答案 南偏西45 4 380 km
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江湖州，4，3分)如图，已知直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析 法一 ∵a∥b，∴∠3＝∠1＝60°.∵∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝120°，故选C；
法二 ∵a∥b，∴∠6＝∠1＝60°.∵∠2＋∠6＝180°，∴∠2＝180°－∠6＝120°，故选C；
法三 ∵a∥b，∴∠1＋∠5＝180°.∵∠1＝60°，∴∠5＝120°，∴∠2＝∠5＝120°，故选C；
法四 ∵∠1＋∠4＝180°，∠1＝60°，∴∠4＝180°－∠1＝120°.∵a∥b，∴∠2＝∠4＝120°，故选C.
答案 C
2．(2014·浙江金华，2，3分)如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线．能解释这一实际应用的数学知识是( )
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
解析 经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线，故选A.
答案 A
3．(2014·浙江杭州，5，3分)下列命题中，正确的是 ( )
A．梯形的对角线相等
B．菱形的对角线不相等
C．矩形的对角线不能互相垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
解析 选项A，只有特殊的梯形——等腰梯形的对角线相等，而一般梯形的对角线不相等，错误；选项B，特殊的菱形——正方形的对角线相等，错误；选项C，特殊的矩形——正方形的对角线互相垂直，错误；选项D，特殊的平行四边形——菱形的对角线互相垂直，正确．故选D.
答案 D
4．(2014·浙江宁波，9，4分)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )
A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0
解析 命题的条件是b<0，结论是一元二次方程x2＋bx＋1＝0有实数解，B，D不符合．
当b＝－2时，关于x的一元二次方程为x2－2x＋1＝0，方程有实数解，舍去；当b＝－1时，关于x的一元二次方程为x2－x＋1＝0，(－1)2－4×1×1<0，方程没有实数解，符合题意，故选A.
答案 A
二、填空题
5．(2013·浙江湖州，12，4分)把15°30′化成度的形式，则15°30′＝________度．
解析 30′÷60＝0.5°，∴15°30′＝15.5°.
答案 15.5
6．(2013·浙江温州，13，5分)如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3＝________度．
解析 如图，∵a∥b，∴∠4＝∠1＝40°，∴∠3＝∠2＋∠4＝110°.
答案 110
7．(2013·广东佛山，15，3分)命题“对顶角相等”的条件是________．
解析 对顶角是指两条直线相交形成的四个角中，两个没有公共边的角，所以这个命题的条件是两个角是对顶角．
答案 两个角是对顶角
8．(2014·浙江杭州，12，4分)已知直线a∥b，若∠1＝40°50′，则∠2＝______________．
解析 如图，
∵a∥b，∴∠3＝∠1＝40°50′.∵∠2＋∠3＝180°，∴∠2＝180°－∠3＝180°－40°50′＝139°10′.故答案为139°10′.
答案 139°10′
三、解答题
9．(2013·广东，19，5分)如图，已知▱ABCD.
(1)作图：延长BC，并在BC的延长线上截取线段CE，使得CE＝BC(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，连结AE，交CD于点F.求证：△AFD≌△EFC.
(1)解 如图所示，CE即为所求．
(2)证明 在▱ABCD中，
AD∥BC，AD＝BC.
由(1)中作图可知AD∥BE，AD＝CE，
∴∠DAF＝∠CEF.
在△AFD和△EFC中，
∴△AFD≌△EFC(AAS)．
10．(2013·甘肃兰州，22，5分)如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离相等，用尺规作出货站P的位置(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)．
解 如图，作∠AOB的平分线OH，CD的垂直平分线EF，OH与EF的交点P就是货站的位置．
所以点P就是所要求作的点．
11．(2013·江苏宿迁，23，10分)如图，在平行四边形
ABCD中，AD＞AB.
(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E，AF⊥BE，垂足为点O，交BC于点F，连结EF.求证：四边形ABFE为菱形．
(1)解 如右图：
(2)证明 ∵BE平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠FBO.
∵AF⊥BE于点O，
∴∠AOB＝∠FOB＝∠AOE＝90°.
又∵BO＝BO，∴△AOB≌△FOB.
∴AO＝FO，AB＝FB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠FBO.
∴△AOE≌△FOB.
∴AE＝BF.又∵AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形．
又∵AB＝FB，
∴平行四边形ABFE是菱形.
§4.2 三角形
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·湖南长沙，10，3分)如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是 ( )
解析 根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，为△ABC中BC边上的高的是A选项．
答案 A
2．(2015·四川绵阳，5，3分)如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝ ( )
A．118° B．119°
C．120° D．121°
解析 ∵∠A＝60°，
∴∠ABC＋∠ACB＝120°.
∵BE，CD是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠CBE＝∠ABC，∠BCD＝∠BCA，
∴∠CBE＋∠BCD＝(∠ABC＋∠BCA)＝60°，
∴∠BFC＝180°－60°＝120°.
答案 C
3．(2015·山东滨州，7，3分)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于 ( )
A．45° B．60°
C．75° D．90°
解析 180°×＝180°×＝75°即∠C等于75°.
答案 C
4．(2015·山东济宁，5，3分)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2－13x＋36＝0的根，则三角形的周长为 ( )
A．13 B．15
C．18 D．13或18
解析 先求出x2－13x＋36＝0的解，可得x1＝4，x2＝9；由于三角形两边之和大于第三边，x＝4，所以三角形的周长为3＋6＋4＝13.
答案 A
二、填空题
5．(2015·广东东莞，16，4分)如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是________．
解析 ∵△ABC的三条中线AD，BE，CF交于点G，
∴S△CGE＝S△AGE＝S△ACF，S△BGF＝S△BGD＝S△BCF.
∵S△ACF＝S△BCF＝S△ABC＝×12＝6，
∴S△CGE＝S△ACF＝×6＝2，S△BGF＝S△BCF＝×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE＋S△BGF＝4.
答案 4
6．(2015·四川巴中，13，3分)若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足＋(b－2)2＝0，则第三边c的取值范围是________．
解析 由题意得，a2－9＝0，b－2＝0，解得a＝3，b＝2.∵3－2＝1，3＋2＝5，∴18时，r＝a2＋4
8. (2013·浙江杭州，16，4分)射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM＝MB＝2 cm，QM＝4 cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1 cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心， cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请写出t可取的一切值________(单位：秒)．
图1
解析 因为该圆的半径为，圆心P从Q点开始运动时会与圆3次相切，而AM＝MB，AC∥QN，所以MN为正三角形ABC的中位线，MN＝2.
(1)当圆与正三角形AB边相切时，如图1，则
PD＝，易得DM＝1，PM＝2，则QP＝2，则t＝2；
图2
(2)当圆与正三角形AC边相切时，如图2，事实上圆的半径刚好等于AC与射线QN之间的距离，所以AP＝，则PM＝1，QP＝3，同理NP＝1，QP＝7，而在此之间圆始终与AC边相切，所以3≤t≤7.
图3
(3)当圆与正三角形BC边相切时，如图3，则PD＝，易得DN＝1，PN＝2，则QP＝8，则t＝8，
综上所述，t＝2或3≤t≤7或t＝8.
答案 t＝2或3≤t≤7或t＝8
三、解答题
9. (2013·浙江湖州，20，8分)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连结PB.
(1)求BC的长；
(2)求证：PB是⊙O的切线．
(1)解 连结OB，∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，
∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB.
∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.
(2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB.
∵△OBC是正三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°.
∴∠CBP＝30°，
∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，
∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，
∴PB是⊙O的切线．
10. (2014·浙江丽水，22，10分)如图，已知等边△ABC，
AB＝12.以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)求FG的长；
(3)求tan∠FGD的值．
(1)证明 连结OD.
∵以等边三角形△ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B＝∠C＝∠ODB＝60°，
∴OD∥AC，
∴∠CFD＝∠ODF.
∵DF⊥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，
即OD⊥DF.
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解 ∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BD＝CD＝6.
在Rt△CDF中，∠C＝60°，
∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，
∴AF＝AC－CF＝12－3＝9.
在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，
∴FG＝AF×sin A＝9×＝.
(3)解 作DE⊥FG于E，垂足为E.
在Rt△CDF中，DF＝CDsin 60°＝6×＝3，
在Rt△DEF中，∠DFE＝60°，
DE＝DFsin 60°＝3×＝，
EF＝DFcos 60°＝3×＝，
∴EG＝FG－EF＝－＝3，
∴tan∠FGD＝＝.
第六章 图形变换
§6.1 视图与投影
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江台州，2，3分)下列四个几何体中，左视图为圆的是( )
解析 四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，圆台是等腰梯形，由此可确定答案．
答案 D
2．(2015·浙江绍兴，3，4分)有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是 ( )
解析 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
答案 C
3．(2015·山东德州，2，3分)某几何体的三视图如图所示，则此几何体是( )
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．四棱柱
解析 ∵主视图和左视图都是长方形，∴此几何体为柱体．又∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆柱．
答案 B
4．(2015·浙江衢州，2，3分)一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是( )
解析 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
答案 C
5．(2015·江西南昌，4，3分)如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为 ( )
解析 找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．从左面看所得到的图形是正方形，切去部分的棱能看到，用实线表示．
答案 C
6．(2015·四川达州，2，3分)一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是 ( )
解析 根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3.
答案 D
7．(2015·湖南永州，5，3分)一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子，现从三个方向看，其三种视图如图所示，则这张桌子上碟子的总数为 ( )
A．11 B．12
C．13 D．14
解析 由俯视图可得：碟子共有3摞，由几何体的主视图和左视图，可得每摞碟子的个数，如下图所示：
故这张桌子上碟子的个数为3＋4＋5＝12个．
答案 B
8．(2015·内蒙古呼和浩特，9，3分)如图是某几何体的三视图，根据图中所标的数据求得该几何体的体积为 ( )
A．236π B．136π
C．132π D．120π
解析 由三视图可知，几何体是由大小两个圆柱组成，故该几何体的体积为：π×22×2＋π×42×8＝8π＋128π＝136π.
答案 B
9．(2015·广东广州，6，3分)如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是 ( )
解析 ∵主视图和左视图是长方形，∴该几何体是柱体，∵俯视图是圆，∴该几何体是圆柱，∴该几何体的展开图可以是.
答案 A
10．(2015·湖南怀化，9，4分)如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是 ( )
甲 乙 丙
A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同
C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同
解析 根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，2；则主视图相同的是甲和丙．
答案 B
二、填空题
11．(2015·山东青岛，14，3分)如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体(不改变张明所搭几何体的形状)，那么王亮至少还需要______个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为______．
解析 ∵王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，∴该长方体需要小立方体4×32＝36个，∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，∴王亮至少还需36－17＝19个小立方体，表面积为：2×(9＋7＋8)＝48.
答案 19 48
12．(2015·湖北随州，13，3分)如图是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是________cm3.
解析 该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该几何体的体积为3×2×4＝24 cm3.
答案 24
13．(2015·江苏连云港，14，3分)如图是一个几何体的三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为________．
解析 这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为4，底面圆的直径为4，所以这个几何体的侧面展开图的面积＝×4π×4＝8π.
答案 8π
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江嘉兴，2，4分)如图，由三个小立方块搭成的俯视图是 ( )
解析 从上面观察这个几何体，得到的平面图形是左一个正方形，右一个正方形，且大小相同．因此，符合题意的俯视图是A.
答案 A
2．(2013·浙江台州，2，4分)有一篮球如图放置，其主视图为( )
解析 从篮球的前方“正对着”观察得到的形状是圆，故选B.
答案 B
3．(2013·浙江衢州，4，3分)右面简单几何体的左视图是
( )
解析 左视图是从左向右看，能看见如题图所示的几何体中三块正方体，且上面一块，下面两块，故左视图为A.
答案 A
4．(2012·浙江宁波，10，3分)如图是老年活动中心门口放着的一个招牌，这个招牌是由三个特大号的骰子摞在一起而成的．每个骰子的六个面的点数分别是1到6，其中可以看见7个面，其余11个面是看不见的，则看不见的面上的点数总和是( )
A．41 B．40 C．39 D．38
解析 三个骰子18个面上的数字的总和为：3(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3×21＝63，看得见的7个面上的数字的和为：1＋2＋3＋5＋4＋6＋3＝24，所以，
看不见的面上的点数总和是63－24＝39.
答案 C
5．(2011·浙江湖州，7，3分)下列图形中，经过折叠不能围成一个立方体的是( )
解析 由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．选项A，B，C经过折叠均能围成正方体；D.有“田”字格，不能折成正方体．
答案 D
6．(2011·浙江金华，2，3分)如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是 ( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．从上面看易得第一层有2个正方形，第二层有3个正方形，共5个正方形，面积为5.
答案 B
7．(2012·浙江衢州，8，3分)长方体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图面积为 ( )
A．3 B．4 C．12 D．16
解析 由主视图可知，这个长方体的长和高分别是4和1，从俯视图可知，这个长方体的长和宽分别是4和3，左视图看到的长方形的边长分别是长方体的宽和高，∴左视图的面积是3×1＝3.故选A.
答案 A
8．(2012·浙江温州，2，4分)我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)
找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是 ( )
解析 根据主视图的定义，圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体：主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，故选B.
答案 B
9．(2011·浙江杭州，8，3分)如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝ ( )
A．2 B. C．2 D．1
解析 由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的最长的对角线长是4，则边长为2，作AD⊥BC，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴在直角△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝1，∴BD＝＝＝，即a＝.
答案 B
二、填空题
10．(2013·湖南岳阳，15，4分)同一时刻，物体的高与影子长成比例．某一时刻，高1.6 m的人影长是1.2 m，一电线杆影长为9 m，则电线杆的高为________m.
解析 设电线杆的高为x m，根据同一时刻，物体的高与影子长成比例，得＝，解得x＝12.
答案 12
11．(2014·江苏扬州，11，3分)如图，这是一个长方体的主视图与俯视图，由图示数据(单位：cm)可以得出该长方体的体积是________ cm3.
解析 由长方体的主视图可知：长方体的长为3 cm，高为3 cm；由长方体的俯视图可知：长方体的宽为2 cm.所以长方体的体积为：3×3×2＝18(cm3)．
答案 18
12．(2013·山东济宁，14，3分)三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF＝8 cm，EG＝12 cm，∠EGF＝30°，则AB的长为________ cm.
解析 左视图中的AB应为俯视图△EFG的边FG上的高，作EM⊥FG于M，∵EG＝12 cm，∠EGF＝30°，∴EM＝EG＝6(cm)，即AB＝6 cm.
答案 6
13．(2013·江苏无锡，17，2分)如图是一个几何体的三视图，
若这个几何体的体积是36，则它的表面积是________．
解析 由几何体的三视图可判断，此几何体为长方体，主视图看到的是长方体的长和高，所以长方体的长为6，左视图看到的是高和宽，所以长方体的宽为2.又因为几何体的体积为36，所以长方体的高为3，S表面积＝2(长×宽＋长×高＋宽×高)＝2(6×2＋6×3＋2×3)＝72.
答案 72
§6.2 轴对称、平移、旋转
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江嘉兴，2，4分)下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有 ( )
解析 第一个和第三个属于中心对称图形，第二个和第四个属于轴对称图形．
答案 B
2．(2015·浙江温州，4，4分)下列选项中的图形，不属于中心对称图形的是( )
A．等边三角形 B．正方形
C．正六边形 D．圆
解析 等边三角形是轴对称图形，
正方形、正六边形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形．
答案 A
3．(2015·福建福州，7，3分)如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是 ( )
A．A点 B．B点
C．C点 D．D点
解析 当以点B为原点时，A(－1，－1)，C(1，－1)，则点A和点C关于y轴对称，符合条件．
答案 B
4．(2015·河北，3，3分)一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是 ( )
解析 严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论．
答案 C
5．(2015·山东泰安，15，3分)如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为(2，0)，点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 ( )
A．(4，2) B．(3，3)
C．(4，3) D．(3，2)
解析 作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得出OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，在直角△OAM中利用含30°角的直角三角形的性质求出OM＝OA＝1，AM＝OM＝，则A(1，)，直线OA的解析式为y＝x，将x＝3代入，求出y＝3，那么A′(3，3)，由一对对应点A与A′的坐标求出平移规律，再根据此平移规律即可求出点B′的坐标．
答案 A
6．(2015·湖南邵阳，10，3分)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2 015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是 ( )
A．2 015π B．3 019.5π
C．3 018π D．3 024π
解析 转动一次A的路线长是：＝2π，
转动第二次的路线长是：＝，
转动第三次的路线长是：＝π，
转动第四次的路线长是：0，
转动五次A的路线长是：＝2π，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：＋＋2π＝6π，
2 015÷4＝503余3.
顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504＝3 024π.
答案 D
二、填空题
7．(2015·四川攀枝花，15，4分)如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．
解析 作B关于AC的对称点B′，连结BB′，B′D交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值．∵B，B′关于AC对称，∴AC，BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形．∵△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC，
∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2.作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD＝.在Rt△B′BG中，BG＝＝＝3，∴DG＝BG－BD＝3－1＝2.在Rt△B′DG中，B′D＝＝＝.故BE＋ED的最小值为.
答案
8．(2015·四川宜宾，15，3分)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C，则该一次函数的解析式为________．
解析 连结OC，过点C作CD⊥x轴于点D，∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C，∴AO＝AC，OD＝，DC＝，BO＝BC，
则tan∠COD＝＝，故∠COD＝30°，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°，则
sin 60°＝，即AC＝＝1，∴OA＝1，故A(1，0)，sin 30°＝＝＝，则CO＝，故BO＝，B点坐标为：(0，)，设直线AB的解析式为：y＝kx＋b，则解得：即直线AB的解析式为：y＝－x＋.
答案 y＝－x＋
三、解答题
9．(2015·江苏连云港，22，10分)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.
(1)求证：∠EDB＝∠EBD；
(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．
证明 (1)由折叠可知：∠CDB＝∠EDB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∴∠CDB＝∠EBD，
∴∠EDB＝∠EBD；
(2)AF∥DB；
∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.
由折叠可知：DC＝DF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，∴DF＝AB，∴AE＝EF，
∴∠EAF＝∠EFA.
在△BED中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°，
∴2∠EDB＋∠DEB＝180°.
同理，在△AEF中，2∠EFA＋∠AEF＝180°，
∵∠DEB＝∠AEF，∴∠EDB＝∠EFA，
∴AF∥DB.
10．(2015·浙江金华，19，6分)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B对应点分别是E，F.
(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的坐标；
(2)当点F落在x轴上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
解 (1)∵△AOB绕点A逆时针旋转90°后得到△AEF，
则AO⊥AE，AO＝AE，
∴点E的坐标是(3，3)．
∵EF＝OB＝4，
∴点F的坐标是(3，－1)，
(2)∵点F落在x轴的上方，
∴EF0)．
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE＝PF；
(2)在点F运动过程中，设OE＝a，OF＝b，试用含a的代数式表示b.
(3)作点F关于点M的对称点F′.经过M，E，F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
(1)证明 连结PM，PN.
∵⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM＝PN，
∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°.
∵PE⊥PF，∴∠1＝∠2＝90°－∠3.
在△PMF和△PNE中，
图1
∴△PMF≌△PNE，∴PE＝PF.
(2)解 分两种情况：
①当t>1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
由(1)得△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝t，PN＝PM＝1，
∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝NE－ON＝t－1.
∴b－a＝1＋t－(t－1)＝2，
图2
∴b＝2＋a.
②当01时，b＝2＋a；
当01(舍去)．
所以当t＝，t＝，t＝2±时，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似．
§6.4 锐角三角函数
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江丽水，8，3分)如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos α的值，错误的是 ( )
A. B. C. D.
解析 ∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠α＋∠BCD＝∠ACD＋∠BCD，
∴∠α＝∠ACD，
∴cos α＝cos∠ACD＝＝＝，
只有选项C错误，符合题意．
答案 C
2．(2015·浙江衢州，9，3分)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )
A．144 cm B．180 cm
C．240 cm D．360 cm
解析 由题意得＝，∴BC＝144，∴CD＝72.
又∵tan α＝＝，所以AD＝180 cm.
答案 B
3．(2015·山东威海，7，3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是( )
A. B.
C. D.
解析 由tan B＝，得AC＝BC·tan B＝5×tan 26 °.
答案 D
4．(2015·山东日照，9，4分)如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连结AC，若tan B＝，则tan∠CAD的值 ( )
A. B. C. D.
解析 延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tan B＝，即＝，设AD＝5x，则AB＝3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后利用相似三角形的对应边成比例可得：＝＝＝，进而可得CE＝x，DE＝x，从而可求tan∠CAD＝＝.
答案 D
5．(2015·四川绵阳，10，3分)如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( )
A．(11－2)米 B．(11－2)米
C．(11－2)米 D．(11－4)米
解析 如图，延长OD，BC交于点P.
∵∠ODC＝∠B＝90°，∠P＝30°，OB＝11米，CD＝2米，∴在直角△CPD中，DP＝DC÷tan 30°＝2m，PC＝CD÷(sin 30°)＝4米，∵∠P＝∠P，∠PDC＝∠B＝90°，∴△PDC∽△PBO，
∴＝，∴PB＝＝＝11米，∴BC＝PB－PC＝(11－4)米．
答案 D
6．(2015·湖南衡阳，12，3分)如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：米)为 ( )
A．50 B．51 C．50＋1 D．101
解析 设AG＝x，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x.在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x，∴x－x＝100，
解得：x＝50.则AB＝50＋1(米)．
答案 C
二、填空题
7．(2015·浙江绍兴，12，5分)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于________度．
解析 由题意可知cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.
答案 60
8．(2015·甘肃武威，15，3分)已知α，β均为锐角，且满足|sin α－|＋＝0，则α＋β＝________．
解析 ∵|sin α－|＋＝0，∴sin α＝，tan β＝1，∴α＝30°，β＝45°，则α＋β＝30°＋45°＝75°.
答案 75°
9．(2015·上海，18，3分)已知在△ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处，延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于______．
解析 作CH⊥AE于H，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ACB＝(180°－∠BAC)＝75°，再根据旋转的性质得AD＝AB＝8，∠CAD＝∠BAC＝30°，则利用三角形外角性质可计算出∠E＝45°，接着在Rt△ACH中利用含30度的直角三角形三边的关系得CH＝AC＝4，AH＝CH＝4，所以DH＝AD－AH＝8－4，然后在Rt△CEH中利用∠E＝45°得到EH＝CH＝4，于是可得DE＝EH－DH＝4
－4.
答案 4－4
10．(2015·黔东南州，14，4分)如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM＝100海里．那么该船继续航行________海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
解析 如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N.易知：∠MAN＝90°－60°＝30°.在Rt△AMN中，∵∠ANM＝90°，∠MAN＝30°，AM＝100海里，∴AN＝AM·cos∠MAN＝100×＝50海里．故该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
答案 50
11．(2015·浙江宁波，16，4分)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为
9 m，则旗杆AB的高度是________m(结果保留根号)．
解析 根据在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，求出AD的值，再根据在
Rt△BCD中，tan∠BCD＝，求出BD的值，最后根据AB＝AD＋BD，即可求出答案．
答案 9＋3
三、解答题
12．(2015·浙江金华，16，4分)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A，B，C在同一直线上，且∠ACD＝90°.图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC′D′，最后折叠形成一条线段BD″.
(1)小床这样设计应用的数学原理是________．
(2)若AB∶ BC＝1∶4，则tan∠CAD的值是________．
解 (1)小床这样设计应用的数学原理是：三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
(2)∵AB∶BC＝1∶4，
∴设AB＝x，DC＝y，
则BC＝4x，C″D″＝y，由图形可得：BC″＝4x，
则AC″＝3x，AD＝AD″＝3x＋y，
故AC2＋DC2＝AD2，
即(5x)2＋y2＝(3x＋y)2，
解得：y＝x，
则tan∠CAD的值是：＝＝.
故答案为：.
13．(2015·浙江嘉兴，22，12分)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°，感觉最舒适(如图1)，侧面示意图为图2.使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图3)，侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24 cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12 cm.
(1)求∠CAO′的度数．
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
(3)如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
解 (1)∵O′C⊥OA于C，OA＝OB＝24 cm，
∴sin∠CAO′＝＝＝＝，
∴∠CAO′＝30°.
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D.
∵sin∠BOD＝，
∴BD＝OB·sin∠BOD.
∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°，
∴BD＝OB·sin∠BOD＝24×＝12.
∵O′C⊥OA，∠CAO′＝30°，
∴∠AO′C＝60°.∵∠AO′B′＝120°，
∴∠AO′B′＋∠AO′C＝180°，
∴O′B′＋O′C－BD＝24＋12－12＝36－12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12)cm.
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F＝120°，∴∠FO′A＝∠CAO′＝30°.
∵∠AO′B′＝120°，∴∠EO′B′＝∠FO′A＝30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江温州，8，4分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A的值是 ( )
A. B.
C. D.
解析 ∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴sin A＝＝＝.故选C.
答案 C
2．(2012·浙江宁波，8，3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cos B＝，则BC的长为 ( )
A．4 B．2
C. D.
解析 ∵cos B＝，
∴＝.∵AB＝6，∴CB＝×6＝4，
答案 A
3．(2014·浙江湖州，6，3分)如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝，则BC的长是( )
A．2 B．8
C．2 D．4
解析 ∵tan A＝＝，AC＝4，∴BC＝2，故选A.
答案 A
4．(2013·浙江杭州，9，3分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝，则斜边上的高等于 ( )
A. B.
C. D.
解析 根据题意画出图形，如图所示，
在Rt△ABC中，AB＝4，sin A＝，
∴BC＝ABsin A＝2.4，
根据勾股定理得：AC＝＝3.2.
∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴CD＝＝.
答案 B
5．(2013·浙江衢州，8，3分)如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度为(结果精确到0.1 m，≈1.73) ( )
A．3.5 m B．3.6 m
C．4.3 m D．5.1 m
解析 如图，设CD＝x m，在Rt△ACD中，∵∠DAC＝30°，∴AC＝＝x.在Rt△ECD中，∵∠DEC＝60°，∴EC＝＝x.∵AE＝4 m，∴x－x＝4，解得x＝2≈3.5.∴DF＝DC＋CF≈3.5＋1.6＝5.1(m)．故选D.
答案 D
6．(2012·浙江衢州，6，3分)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则sin∠AOB的值是 ( )
A. B.
C. D.
解析 ∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∴sin∠AOB＝sin 60°＝.
答案 C
二、填空题
7．(2014·黔西南州，18，3分)如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________．
解析 ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝15，AC＝9，∴BC＝＝＝12.∵∠ADC和∠ABC都是所对的圆周角，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝＝.
答案
8．(2013·浙江杭州，13，4分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sin A＝；②cos B＝；③tan A＝；④tan B＝，其中正确的结论是________．(只需填上正确结论的序号)
解析 ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴AC＝＝＝BC.∴sin A＝＝，∴①错误；cos B＝＝，∴②正确；tan A
＝＝＝，∴③正确；tan B＝＝＝，∴④正确．故正确的是：②③④.
答案 ②③④
9．(2014·江苏苏州，15，3分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝________.
解析 作AD⊥BC于D，∵AB＝AC＝5，BC＝8，∴BD＝CD＝BC＝4，∠BAD＝∠BAC.在Rt△ABD中，AD＝＝＝3.
∵∠BPC＝∠BAC，∴tan∠BPC＝tan∠BAD＝＝.
答案
10．(2014·江苏宿迁，15，3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AB的长是________．
解析 作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，∴DE＝CD＝2.在Rt△BDE中，BE＝＝＝2.∵CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AE＝AC.设AB＝x，则AC＝AE＝x－2.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(x－2)2＋62＝x2，解得x＝4.
答案 4
三、解答题
(参考数据：sin 15°＝0.26，
cos 15°＝0.97，tan 15°＝0.27)
11．(2012·浙江台州，20，8分)如图，为测量江两岸码头B，D之间的距离，从山坡上高度为50米的A处测得码头B的俯角∠EAB为15°，码头D的俯角∠EAD为45°，点C在线段BD的延长线上，AC⊥BC，垂足为C，求码头B，D的距离(结果保留整数)．
解 ∵AE∥BC，∴∠ADC＝∠EAD＝45°.
又∵AC⊥CD，
∴CD＝AC＝50.
∵AE∥BC，∴∠ABC＝∠EAB＝15°.
又∵tan ∠ABC＝，
∴BC＝＝≈≈185.2，
∴BD≈185.2－50≈135(米)．
答：码头B，D的距离约为135米．
12．(2014·浙江台州，21，10分)如图，某翼装飞行运动员从离水平地面高AC＝500 m的A处出发，沿着俯角为15°的方向，直线滑行1 600米到达D点，然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面上的B点．求他飞行的水平距离(结果精确到1 m)．
解 过点D作DE⊥AC，作DF⊥BC，垂足分别为E，F.
∵AC⊥BC，∴四边形ECFD是矩形，
∴EC＝DF.
在Rt△ADE中，∠ADE＝15°，AD＝1 600，
∴AE＝AD·sin ∠ADE＝1 600sin 15°，
DE＝AD·cos ∠ADE＝1 600cos 15°.
∵EC＝AC－AE，
∴DF＝500－1 600sin 15°.
在Rt△DBF中，BF＝DF·tan∠FDB＝ECtan 15°.
∴BC＝CF＋BF＝1 600·cos 15°＋(500－1 600·sin 15°)tan 15°≈1 575.
答：运动员水平飞行的距离为1 575米.
第七章 统计与概率
§7.1 统 计
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015· 浙江嘉兴，3，4分)质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10 000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是 ( )
A．5 B．100 C．500 D．10 000
解析 用样本估计整体，10 000÷100×5＝500.
答案 C
2．(2015·浙江绍兴，3，4分)某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示．若参加人数最少的小组有25人，则参加人数最多的小组有( )
A．25人 B．35人
C．40人 D．100人
解析 25÷25%×(1－35%－25%)＝40人．
答案 C
3．(2015·浙江台州，3，3分)在下列调查中，适宜采用全面调查的是( )
A．了解我省中学生视力情况
B．了解九(1)班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查台州《600全民新闻》栏目的收视率
解析 A，C，D适合抽样调查，B适宜全面调查．
答案 B
4．(2015·山东聊城，3，3分)电视剧《铁血将军》在我市拍摄，
该剧展示了抗日英雄范筑先的光辉形象．某校为了了解学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，从全校2 400名学生中随机抽取了100名学生进行调查．在这次调查中，样本是 ( )
A．2 400名学生
B．100名学生
C．所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况
D．每一名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况
解析 首先判断出这次调查的总体是什么，然后根据样本的含义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，可得在这次调查中，样本是所抽取的100名学生对“民族英雄范筑先”的知晓情况，据此解答即可．
答案 C
5．(2015·浙江丽水，7，3分)某小组7位同学的中考体育测试成绩(满分30分)依次为27，30，29，27，30，28，30，则这组数据的众数与中位数分别是( )
A．30，27 B．30，29
C．29，30 D．30，28
解析 众数是出现次数最多的数，中位数要先排序，再分奇数个或偶数个．
答案 B
二、填空题
6．(2015·浙江湖州，13，4分)在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表所示：
评分(分)
80
85
90
95
评委人数
1
2
5
2
则这10位评委评分的平均数是________分．
解析 平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．这10位评委评分的平均数是：(80＋85×2＋90×5＋95×2)÷10＝89(分)．
答案 89
7．(2015·四川资阳，13，3分)某学校为了解本校学生课外阅读的情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成统计表．已知该校全体学生人数为1 200人，由此可以估计每周课外阅读时间在1～2(不含1)
小时的学生有________人.
每周课外阅读时间(小时)
0～1
1～2(不含1)
2～3(不含2)
超过3
人 数
7
10
14
19
解析 根据题意得：1 200×＝240(人)．
答案 240
8．(2015·四川成都，13，4分)为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是________小时．
解析 由统计图可知共有：8＋19＋10＋3＝40人，中位数应为第20个与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1(小时)，则中位数是1小时．
答案 1
三、解答题
9．(2015·浙江杭州，17，6分)杭州市推行垃圾分类已经多年，但在厨余垃圾中除了厨余类垃圾还混杂着非厨余类垃圾，如图是杭州市某一天收到的厨余垃圾的统计图．
(1)试求出m的值；
(2)杭州市那天共收到厨余垃圾约200吨，请计算其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数．
解 (1)m＝100－(22.39＋0.9＋7.55＋0.15)＝69.01；
(2)其中混杂着的玻璃类垃圾的吨数约等于200×0.9%＝1.8(吨)．
10．(2015·浙江温州，19，8分)某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考核，甲、乙、丙各项得分如下表：
笔试
面试
体能
甲
83
79
90
乙
85
80
75
丙
80
90
73
(1)根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序；
(2)该公司规定：笔试、面试、体能得分分别不得低于80分、80分、70分，并按60%，30%，10%的比例计入总分，根据规定，请你说明谁将被录用．
解 (1)∵甲＝＝84，乙＝＝80，丙＝＝81，∴甲＞丙＞乙，
∴排名顺序为甲、丙、乙．
(2)由题意可知，只有甲不符合规定．
∵乙′＝85×60%＋80×30%＋75×10%＝82.5，
丙′＝80×60%＋90×30%＋73×10%＝82.3，
∴录用乙．
11．(2015·浙江嘉兴，21，10分)嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额及增速统计图如下：
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)求嘉兴市2010～2014年社会消费品零售总额增速这组数据的中位数；
(2)求嘉兴市近三年(2012～2014年)的社会消费品零售总额这组数据的平均数；
(3)用适当的方法预测嘉兴市2015年社会消费品零售总额(只要求列出算式，不必计算出结果)．
解 (1)增速这组数据的中位数是14.2%，
(2)近三年零售总额这组数据的平均数＝
＝1 209.2(亿元)．
(3)从增速这组数据的中位数分析：
嘉兴市2015年社会消费品零售总额为1 347.0×(1＋
14．2%)亿元．
从增速这组数据的平均数分析：
五年增速这组数据的平均数为
＝14.18%.
∴嘉兴市2015年社会消费品零售总额为1 347.0×(1＋14.18%)亿元(从零售总额趋势或增速趋势等其他角度分析，言之有理均可)．
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江舟山，7，3分)下列说法正确的是 ( )
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．甲，乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差s＝0.1，s＝0.2，则甲组数据比乙组数据稳定
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然
解析 A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，说法错误；B.若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖，说法错误；C.甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差s＝0.1，s＝0.2，则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确；D.“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件，说法错误，是随机事件．故选C.
答案 C
2．(2014·浙江温州，2，4分)如图是某班45名同学爱心捐款额的频数分布直方图(每组含前一个边界值，
不含后一个边界值)，则捐款人数最多的一组是( )
A．5～10元 B．10～15元
C．15～20元 D．20～25元
解析 根据纵坐标确定频数最高的小组的频数为20，根据横坐标确定频数最高的小组所在的捐款范围是15～20元，故选C.
答案 C
3．(2014·浙江温州，6，4分)小明记录了一星期每天的最高气温如下表，则这个星期每天的最高气温的中位数是 ( )
星期
一
二
三
四
五
六
日
最高气温(℃)
22
24
23
25
24
22
21
A.22 ℃ B．23 ℃
C．24 ℃ D．25 ℃
解析 将上述数据从小到大排列位为：21，22，22，23，24，24，25，位于最中间的一个数为23 ℃，故选B.
答案 B
4. (2014·浙江嘉兴，5，4分)小红同学将自己五月份的各项消费情况制作成扇形统计图(如图)，从图中可看出 ( )
A．各项消费金额占消费总金额的百分比
B．各项消费的金额
C．消费的总金额
D．各项消费金额的增减变化情况
解析 根据扇形统计图可知：学习用品消费金额占消费总金额的25%，车费消费金额占消费总金额的15%，午餐消费金额占消费总金额的40%，其它消费金额占消费总金额的20%，即由扇形统计图只能看出各消费金额占消费总金额的百分比．故选A.
答案 A
5．(2013·浙江衢州，7，3分)一次数学测试，某小组五名同学的成绩如下表所示(有两个数据被遮盖).
组员
甲
乙
丙
丁
戊
方差
平均成绩
得分
81
79
■
80
82
■
80
那么被遮盖的两个数据依次是 ( )
A．80，2 B．80， C．78，2 D．78，
解析 设丙的得分为x，则＝80，解得x＝78.s2＝[(81－80)2＋(79－80)2＋(78－80)2＋(80－80)2＋(82－80)2]＝2，故选C.
答案 C
6．(2013·浙江杭州，5，3分)根据2008～2012年杭州市实现地区生产总值(简称GDP，单位：亿元)统计图所提供的信息，下列判断正确的是 ( )
A．2010～2012年杭州市每年GDP增长率相同
B．2012年杭州市的GDP比2008年翻一番
C．2010年杭州市的GDP未达到5 500亿元
D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长
解析 由图得，A.2010年到2011年的GDP增长略大于1 000亿元左右，但2011年到2012年的GDP增长小于1 000亿元，故两次增长率不相同．B.2012年的GDP小于8 000亿元，而2008年的GDP大于4 000亿元，所以没有翻一番．C.2010年GDP接近6 000亿元，图中很显然超过5 500亿元．
答案 D
二、填空题
7．(2013·浙江温州，12，5分)在演唱比赛中，5位评委给一位歌手打分如下：8.2分，8.3分，7.8分，7.7分，8.0分，则这位歌手的平均分是________分．
解析 法一 由＝＝8.0，则这位歌手的平均分为8.0分；
法二 由＝8.0＋＝8.0，则这位歌手的平均分为8.0分．
答案 8.0
8．(2014·浙江杭州，14，4分)已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是______℃.
解析 在折线统计图中，六个温度分别是4.5，10.5，15.3，19.6，20.1，15.9，从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，其中处于最中间的两个数是15.3，15.9，这两个数的平均数是15.6，所以中位数就是15.6.
答案 15.6
9．(2013·浙江杭州，14，4分)杭州市某4所高中近两年的最低录取分数线如下表(单位：分)，设4所高中2011年和2012年的平均最低录取分数线分别为1，2，则2－1＝______分．
杭州市某4所高中最低录取分数线统计表
学校
2011年
2012年
杭州A中
438
442
杭州B中
435
442
杭州C中
435
439
杭州D中
435
439
解析 2－1＝440.5－435.75＝4.75.
答案 4.75
10．(2013·浙江宁波，16，3分)数据－2，－1，0，3，5的方差是________．
解析 这组数据－2，－1，0，3，5的平均数是(－2－1＋0＋3＋5)÷5＝1，
则这组数据的方差是：[(－2－1)2＋(－1－1)2＋(0－1)2＋(3－1)2＋(5－1)2]＝.
答案
三、解答题
11．(2014·浙江温州，24，12分)八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：
参赛同学
答对题数
答错题数
未答题数
A
19
0
1
B
17
2
1
C
15
2
3
D
17
1
2
E
/
/
7
(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；
(2)最后获知A，B，C，D，E五位同学的成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．
①求E同学的答对题数和答错题数；
②经计算A，B，C，D，E五位同学实际成绩的平均分是76.2分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．
解 (1)法一
＝＝82.5(分)．
答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分为82.5分．
法二 A同学的成绩为：5×19－2×0＋0×1＝95，B同学的成绩为：5×17－2×2＋0×1＝81，C同学的成绩为：5×15－2×2＋0×3＝71，D同学的成绩为：5×17－2×1＋0×2＝83.
A，B，C，D四位同学成绩的平均分＝＝82.5.
答：A，B，C，D四位同学成绩的平均分为82.5分．
(2)①法一 设E同学答对x题，答错y题．
由题意，得解得
答：E同学答对12题，答错1题．
法二 设E同学答对x道题，则答错题数为
20－7－x＝13－x.
由题意可得5x－2(13－x)＋0×7＝58，解得x＝12.
答：E同学答对题数为12，答错题数为1.
②C同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．
12．★(2013·四川遂宁，22，10分)我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩(满分为100分)如图所示．
(1)根据图示填写下表；
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
初中部
85
高中部
85
100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
(3)计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
解 (1)填表：初中平均数85(分)，众数85(分)；高中部中位数80(分)．
(2)初中部成绩好些．因为两个队的平均数都相同，初中部的中位数高，所以在平均数相同的情况下中位数高的成绩好些．
(3)∵s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(100－85)2]＝70，s＝
[(70－85)2＋(100－85)2＋(100－85)2＋(75－85)2＋(80－85)2]＝160，
∴s＜s，因此，初中代表队选手成绩较为稳定.
§7.2 概 率
A组 2015年全国中考题组
一、选择题
1．(2015·浙江绍兴，5，4分)在一个不透明的袋子中装有除颜色外其它均相同的3个红球和2个白球，从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 共有5个球，白球有2个，∴摸到白球的概率为.
答案 B
2．(2015·浙江金华，7，3分)如图的四个转盘中，C，D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是( )
解析 根据阴影区域的面积进行比较，面积越大概率越大．
答案 A
3．(2015·浙江杭州，9，3分)如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连结任意两点均可得到一条线段，在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为( )
A. B. C. D.
解析 总共能连6×5÷2＝15条线段，长度为的有6条，∴该事件概率为＝
eq f(2,5).
答案 B
4．(2015·浙江湖州，7，3分)一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 该事件为两步试验，总共有9种可能，其中两次都摸出黑球的可能有1种．
答案 D
5．(2015·山东泰安，6，3分)如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A. B. C. D.
解析 ∵在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，
∴使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是：3÷5＝.
答案 C
6．(2015·山东泰安，10，3分)若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是( )
A. B. C. D.
解析 列表得：
9
379
479
579
679
879
－
8
378
478
578
678
－
978
6
376
476
576
－
876
976
5
375
475
－
675
875
975
4
374
－
574
674
874
974
3
－
473
573
673
873
973
3
4
5
6
8
9
∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，∴与7组成“中高数”的概率是：＝.
答案 C
二、填空题
7．(2015·浙江丽水，12，4分)有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是_______．
解析 ∵共有6种可能，3的倍数有2种可能，∴卡片上的数是3的倍数的概率是＝.
答案
8．(2015·山东烟台，15，3分)如图，有四张不透明的卡片除正面的函数关系式不同外，其余相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张卡片，则抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为________．
解析 ∵4张卡片中只有第2个经过第四象限，∴取一张卡片，抽到函数图象不经过第四象限的卡片的概率为.
答案
9．(2015·重庆，17，4分)从－2，－1，0，1，2这5个数中，随机抽取一个数记为a，则使关于x的不等式组有解，且使关于x的一元一次方程＋1＝的解为负数的概率为________．
解析 分别求得使关于x的不等式组有解，且使关于x
的一元一次方程＋1＝的解为负数的a的值满足的条件，然后利用概率公式求解即可．
答案
10．(2015·内蒙古呼和浩特，13，3分)如图，四边形ABCD是菱形，E，F，G，H分别是各边的中点，随机地向菱形ABCD内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是________．
解析 ∵四边形ABCD是菱形，E，F，G，H分别是各边的中点，∴四边形HGFE的面积是菱形ABCD面积的，∴米粒落到阴影区域内的概率是.
答案
三、解答题
11．(2015·浙江宁波，20，8分)一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为.
(1)布袋里红球有多少个？
(2)先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
解 (1)由题意得，2÷＝4，
∴布袋里共有4个球．
∵4－2－1＝1，
∴布袋里有1个红球．
(2)
∴任意摸出2个球刚好都是白球的概率是.
12．(2015·四川凉山州，23，8分)在甲、乙两个不透明的布袋中，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为(x，y)．
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
(2)求点M(x，y)在函数y＝－x＋1的图象上的概率；
(3)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M(x，y)能作⊙O的切线的概率．
解 (1)画树状图：
共有9种等可能的结果数，它们是：(0，－1)，(0，－2)，(0，0)，(1，－1)，(1，－2)，(1，0)，(2，－1)，(2，－2)，(2，0)；
(2)在直线y＝－x＋1的图象上的点有：(1，0)，(2，－1)，所以点M(x，y)在函数y＝－x＋1的图象上的概率＝；
(3)在⊙O上的点有(0，－2)，(2，0)，在⊙O外的点有(1，－2)，(2，－1)，(2，－2)，
所以过点M(x，y)能作⊙O的切线的点有5个，
所以过点M(x，y)能作⊙O的切线的概率＝.
B组 2014～2011年全国中考题组
一、选择题
1．(2013·浙江宁波，4，3分)在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共8个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是＝.故选D.
答案 D
2．(2013·浙江绍兴，5，4分)一个不透明的袋子中有3个白球、2个黄球和1个红球，这些球除颜色不同外其它完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是黄球的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 总共有6种情况，摸到黄球有2种可能，所以概率是.
答案 B
3．(2014·浙江金华，4，3分)一个布袋里装有5个球，其中3个红球、2个白球，每个球除颜色外其他完全相同，从中任意摸出一个球，是红球的概率是( )
A. B. C. D.
解析 一袋中装有3个红球、2个白球，共5个，每个球除颜色外均相同，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率，故选D.
答案 D
4．(2013·浙江义乌，9，3分)为支援雅安灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，他只记得号码的前5位，后三位由5，1，2这三个数字组成，但具体顺序忘记了．他第一次就拨通电话的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 列举法得：(1，2，5)，(1，5，2)，(2，1，5)，(2，5，1)，(5，1，2)，(5，2，1)∴P(拨通电话)＝.故选C.
答案 C
5．(2011·浙江衢州，7，3分)5月19日为中国旅游日，衢州推出“读万卷书，行万里路，游衢州景”的主题系列旅游惠民活动，
市民王先生准备在优惠日当天上午从孔氏南宗家庙、烂柯山、龙游石窟中随机选择一个地点；下午从江郎山、三衢石林、开化根博园中随机选择一个地点游玩，则王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地方的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 画树状图得：
∴一共有9种等可能的结果．
王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地方只有一种情况，
∴王先生恰好上午选中孔氏南宗家庙，下午选中江郎山这两个地方的概率是.
答案 A
6．(2012·浙江义乌，9，3分)义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析 将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，∴该组能够翻译上述两种语言的概率为：＝.
答案 B
二、填空题
7．(2012·浙江衢州，13，4分)如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏．游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P＝________．
解析 双方出手势的结果用树状图表示如下：
所有的结果共有9种，手势相同的结果有3种，∴双方出现相同手势的概率P＝＝.
答案
8.(2012·浙江丽水，13，4分)合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是________．
解析 如题图，共有6种等可能，其中B坐2号位的有2种，故P(B坐2号)＝＝.
答案
9．(2013·浙江台州，15，5分)在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别为2，3，4，从袋中随机地摸取一个小球后然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是________．
解析 摸取一个小球后然后放回，可以列举出两次摸球的可能结果为：2＋2＝4，2＋3＝5，2＋4＝6，3＋2＝5，3＋3＝6，3＋4＝7，4＋2＝6，4＋3＝7，4
＋4＝8，有9种可能的结果，和为5的可能性有2种，则P(和为5)＝.
答案
10．(2012·浙江绍兴，13，5分)箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是________．
解析 画树状图得：∵共有24种等可能的结果，第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的有8种情况，∴第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是：＝.
答案
三、解答题
11．(2013·浙江杭州，21，10分)某班有50位学生，每位学生都有一个序号，将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片．
(1)在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，5，10(为了不重复计数，20只计一次)，求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率；
(2)若规定：取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数)，则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动，这一规定是否公平？请说明理由；
(3)请你设计一个规定，能公平地选出10位学生参加某项活动，并说明你的规定是符合要求的．
解 (1)∵在序号中，是20的倍数的有：20，40，能整除20的有：1，2，4，
5，10(为了不重复计数，20只计一次)，
∴是20倍数或者能整除20的数有7个，
则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为：.
(2)不公平；
∵无论k取何值，都能被1整除，则序号为1的学生被抽中的概率为1，即100%，而很明显抽到其它序号学生概率不为100%.∴不公平．
(3)先抽出一张，记下数字，然后每个数字加5，得到序号，若数字加5超过50，则减掉50，差为序号，直到得到10人为止．(每个人都有机会)
12．★(2013·浙江温州，21，10分)一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于.问至少取出了多少黑球？
解 (1)摸出一个球是黄球的概率P＝＝.
(2)设取出x个黑球．由题意，
得≥.解得x≥.
∴x的最小正整数解是x＝9.
答：至少取出9个黑球．
