中考数学试题分类汇编矩形菱形正方形

中考数学试题分类汇编矩形菱形正方形

‎20. （2009山西省太原市）如图，是边上一点，．‎ ‎（1）在图中作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）‎ ‎（2）在（1）中，过点画的垂线，垂足为点，交于点，连接，将图形补充完整，并证明四边形是菱形．‎ A O E N M ‎21. （2009山西省太原市）‎ 问题解决 图（1）‎ A B C D E F M N 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 图（2）‎ N A B C D E F M ‎ 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ ‎22. （2009襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 ‎ ‎ （1）求证：四边形是菱形；‎ ‎ （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？‎ A D F C E G B ‎24. (2009年安顺)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。‎ （1） 求证：BD=CD；‎ （2） 如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。‎ ‎（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，求的值．‎ ‎25.（2009年北京市）阅读下列材料：‎ 小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如图1所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形.他的做法是：按图2所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG.请你参考小明的做法解决下列问题：‎ ‎（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形.要求：在图3中画出并 指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平 行四边形即可）；‎ ‎（2）如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）. ‎ ‎26. （2009年北京市）在中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF(如图1)（1）在图1中画图探究：‎ ‎①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；‎ ‎②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.‎ ‎（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP1=，S=，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.‎ ‎29．（2009年安徽）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长cm ‎，其一个内角为60°．‎ ‎60°‎ ‎……‎ d L 第19题图 ‎（1）若d＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L；‎ ‎（2）当d＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎30.（2009年安徽）．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 能拼成一个矩形（非正方形）．‎ ‎（1）画出拼成的矩形的简图；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎31.（2009年郴州市）如图9，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE．‎ D C E B A ‎ ‎ ‎32.(2009年陕西省)‎ 问题探究 ‎（1）请在图①的正方形ABCD内，画出使∠APB＝90°的一个点P，并说明理由．‎ ‎（2）请在图②的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB＝60°的所有的点P，并说明理由．‎ 问题解决 如图③，现有一块矩形钢板ABCD，AB＝4，BC＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP’D钢板，且∠APB＝∠CP’D＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P和P’，并求出△APB的面积（结果保留根号）．‎ ‎33.（2009重庆綦江）如图，在矩形ABCD中，是边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）如果，求的值．‎ D A B C E F ‎34.（2009威海）如图1，在正方形中，分别为边上的点，，连接交点为．‎ ‎（1）如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论；‎ ‎1）‎ D C B A O H G F E E B A D C G F H ‎）‎ ‎（2）将正方形沿线段剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形的边长为3cm，，则图3中阴影部分的面积为_________．‎ ‎35.（2009年贵州省黔东南州）如图，l1、l2、l3、l4是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。‎ ‎（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。‎ ‎（2）求h的值。‎ ‎36.（2009年江苏省）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．‎ A D C F E B ‎（1）与有何等量关系？请说明理由；‎ ‎（2）当时，求证：是矩形．‎ ‎37.（2009年浙江省绍兴市）若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形中，点在边上，连，，则点为直角点．‎ ‎（1）若矩形一边上的直角点为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？并说明理由；‎ ‎（2）若点分别为矩形边，上的直角点，且，求的长．‎ ‎ ‎ ‎38．（2009年广西南宁）如图13-1，在边长为5的正方形中，点、分别是、边上的点，且，.‎ ‎（1）求∶的值；‎ ‎（2）延长交正方形外角平分线（如图13-2），试判断的大小关系，并说明理由；‎ ‎（3）在图13-2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ 图13-1‎ A D C B E 图13-2‎ B C E D A F P F ‎39.（2009年清远）如图，已知正方形，点是上的一点，连结，以为一边，在的上方作正方形，连结．‎ 求证：‎ E B C G D F A ‎40.（2009年衢州）如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．‎ 求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．‎ A C B D P Q ‎42.（2009年广州市）如图12，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。‎ ‎（1）若AG=AE，证明：AF=AH；‎ ‎（2）若∠FAH=45°，证明：AG+AE=FH；‎ ‎（3）若RtΔGBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。‎ ‎44.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.‎ O A B C M N ‎（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；‎ ‎（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 ‎ 旋转的度数；‎ ‎（3）设的周长为，在旋转正方形 的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.‎ ‎45.（2009年衡阳市）如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC和∠BAC和外角的平分线，BE⊥AE．‎ ‎ （1）求证：DA⊥AE；‎ ‎ （2）试判断AB与DE是否相等？并证明你的结论．‎ A B C D E F ‎ ‎ ‎46．(2009年南充)如图5，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．‎ 求证：．‎ D C B A E F G ‎48．(2009年湖州)如图：已知在中，‎ ‎，为边的中点，过点作，‎ 垂足分别为.‎ （1） 求证：；‎ ‎（2）若，求证：四边形是正方形. ‎ D C B E A F ‎49．（2009临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．‎ 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以．‎ 在此基础上，同学们作了进一步的研究：‎ ‎（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；‎ ‎ （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．‎ A D F C G E B 图1‎ A D F C G E B 图2‎ A D F C G E B 图3‎ ‎．‎ ‎51.（2009年遂宁）如图，已知矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm，点P在边BC上移动，点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.‎ ‎⑴求证：EF+GH=5cm；‎ ‎⑵求当∠APD=90o时，的值．‎ ‎52.(2009年咸宁市)如图，将矩形沿对角线剪开，再把沿方向平移得到．‎ ‎（1）证明；‎ C B A D ‎（第19题）‎ ‎（2）若，试问当点在线段上的什么位置时，四边形是菱形，并请说明理由．‎ ‎53．（09湖北宜昌）已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．‎ ‎(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；‎ ‎(2)与 是否相等？请你说明理由；‎ ‎(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．‎ 设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考) ‎ 图1 图2 图3‎ ‎（第3题）‎ ‎54．（09湖南邵阳）如图（十二），直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）．‎ ‎（1）求两点的坐标；‎ ‎（2）用含的代数式表示的面积；‎ ‎（3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，‎ O M A P N y l m x B O M A P N y l m x B E P F 图十二 ‎①当时，试探究与之间的函数关系式；‎ ‎②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的？‎ ‎55.(2009年肇庆市)如图 ，ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，． ‎ O D C B A ‎（1）求证：△ABD是正三角形； ‎ ‎（2）求 AC的长（结果可保留根号）． ‎ ‎56.(2009年肇庆市)如图 ，ABCD是正方形．G是 BC 上的一点，DE⊥AG于 E，BF⊥AG于 F． ‎ A D E F C G B ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：．‎ ‎57．（2009年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．‎ ‎（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ A D B E C F A D B E C F ‎（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的情况下，求的长．‎ ‎58．（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎ （1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎60．（2009年黄石市）如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．‎ ‎（1）探究：线段与的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；‎ ‎（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？‎ A F N D C B M E O ‎61．（2009年黄石市）正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；（3分）‎ ‎（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分）‎ ‎（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4分）‎ O y x B E A D C F ‎62．（2009年广东省）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点， 当点在上运动时，保持和垂直，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；‎ ‎（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．‎ D M A B C N ‎63．（2009年广东省）在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）点为线段上的点，连接并延长交于点．‎ 求证：．‎ A Q D E B P C O ‎．‎ ‎65.（2009年安徽）20．如图，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰 能拼成一个矩形（非正方形）．‎ ‎（1）画出拼成的矩形的简图；‎ ‎【解】‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【解】‎ ‎66.（2009湖北荆州年）把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成能相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图。‎ ‎67.（2009年湖北荆州）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2︰1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线经过AD的中点M．‎ ‎⑴填空：Ａ点坐标为 ，D点坐标为 ；‎ ‎⑵操作：如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角，并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．‎ 探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；‎ 探究2：设AP＝，四边形OPDQ的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围．‎ x y O Ｍ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图①‎ Ｈ Ｇ Ｆ Ｅ Ｄ Ｃ Ｂ A 图②‎ x y O Ｑ Ｐ ‎68．(2009年云南省)如图，在△ABC和△DCB中，AB = DC，AC = DB，AC与DB交于点M．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DCB ；‎ B C A D M N ‎（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎69．（2009年佳木斯中考卷第25题）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.‎ ‎（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明.‎ ‎（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由.‎ ‎70．（2009厦门）23.已知四边形ABCD，AD//BC，连接BD.‎ (1) 小明说：“若添加条件，则四边形ABCD是矩形”.你认为小明的说法是否正确，若正确请说明理由，若不正确，请举出一个反例.‎ (2) 若BD平分∠ABC，∠DBC=∠BDC，tan∠DBC=1，求证：四边形ABCD 是正方形．‎ ‎ ‎ ‎71.（2009四川绵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．‎ ‎（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；‎ ‎（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F ‎（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．‎ ‎72．（2009年广东省）在菱形中，对角线与相交于点，．过点作交的延长线于点．‎ ‎（1）求的周长；‎ ‎（2）点为线段上的点，连接并延长交于点．‎ 求证：．‎ A Q D E B P C O ‎73．（2009年山西省）在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点．‎ ‎（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ A D B E C F A D B E C F ‎（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在（2）的情况下，求的长．‎ ‎74．（2009年山西省）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎ （1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎8．（2009年黄石市）如图，中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点．‎ ‎（1）探究：线段与的数量关系并加以证明；‎ ‎（2）当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；‎ ‎（3）当点运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？‎ A F N D C B M E O ‎76．（2009年铁岭市）是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接．‎ ‎（1）如图（a）所示，当点在线段上时．‎ ‎ ①求证：；‎ ‎②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；‎ ‎（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？‎ ‎（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．‎ A G C D B F E 图（a）‎ A D C B F E G 图（b）‎ ‎77.（2009青海）请阅读，完成证明和填空．‎ A A A B B B C C C D D O O O M M M N N N E 图12-1‎ 图12-2‎ 图12-3‎ ‎…‎ 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：‎ ‎（1）如图12-1，正三角形中，在边上分别取点，使，连接，发现，且．‎ 请证明：．‎ ‎（2）如图12-2，正方形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度．‎ ‎（3）如图12-3，正五边形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且 度．‎ ‎（4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．‎ 请大胆猜测，用一句话概括你的发现： ‎ ‎ ．‎ ‎78.（2009呼和浩特）如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．‎ E F G D A B C ‎79.（2009龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N．‎ ‎（1）如图25－1，当点M在AB边上时，连接BN．‎ ‎①求证：；‎ ‎②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；‎ ‎（2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．‎ 试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．‎ C B M A N D ‎（图25-1）‎ C M B N A D ‎（图25-2）‎ ‎80.(2009年抚顺市)如图所示，已知：中，．‎ ‎（1）尺规作图：作的平分线交于点（只保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）所作图形中，将沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，连接，再展回到原图形，得到四边形．‎ 试判断四边形的形状，并证明；‎ B C A 若，求四边形的周长和的长．‎