天津市中考数学试卷word解析版

天津市中考数学试卷word解析版

‎2016年天津市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分 ‎1．计算（﹣2）﹣5的结果等于（　　）‎ A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7‎ ‎2．sin60°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.612×107 B．6.12×106 C．61.2×105 D．612×104‎ ‎5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．估计的值在（　　）‎ A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 ‎7．计算﹣的结果为（　　）‎ A．1 B．x C． D．‎ ‎8．方程x2+x﹣12=0的两个根为（　　）‎ A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3‎ ‎9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）‎ A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a ‎10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．∠DAB′=∠CAB′ B．∠ACD=∠B′CD C．AD=AE D．AE=CE ‎11．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3‎ ‎12．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）‎ A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎13．计算（2a）3的结果等于　　　　　　．‎ ‎14．计算（+）（﹣）的结果等于　　　　　　．‎ ‎15．不透明袋子中装有6个球，其中有1个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是　　　　　　．‎ ‎16．若一次函数y=﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是　　　　　　（写出一个即可）．‎ ‎17．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于　　　　　　．‎ ‎18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．‎ ‎（Ⅰ）AE的长等于　　　　　　；‎ ‎（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、综合题：本大题共7小题，共66分 ‎19．解不等式，请结合题意填空，完成本题的解答．‎ ‎（Ⅰ）解不等式①，得　　　　　　；‎ ‎（Ⅱ）解不等式②，得　　　　　　；‎ ‎（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；‎ ‎（Ⅳ）原不等式组的解集为　　　　　　．‎ ‎20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）图1中a的值为　　　　　　；‎ ‎（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．‎ ‎21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．‎ ‎（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．‎ ‎22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）‎ 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．‎ ‎23．公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元 ‎（Ⅰ）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格．‎ 表一：‎ 租用甲种货车的数量/辆 ‎3‎ ‎7‎ x 租用的甲种货车最多运送机器的数量/台 ‎135‎ ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　　‎ 租用的乙种货车最多运送机器的数量/台 ‎150‎ ‎　　　　　　‎ ‎　　　　　　‎ 表二：‎ 租用甲种货车的数量/辆 ‎3‎ ‎7‎ x 租用甲种货车的费用/元 ‎　　　　　　‎ ‎2800‎ ‎　　　　　　‎ 租用乙种货车的费用/元 ‎　　　　　　‎ ‎280‎ ‎　　　　　　‎ ‎（Ⅱ）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．‎ ‎24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．‎ ‎（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）‎ ‎25．已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．‎ ‎（Ⅰ）求点P，Q的坐标；‎ ‎（Ⅱ）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．‎ ‎①求抛物线C′的解析式；‎ ‎②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年天津市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分 ‎1．计算（﹣2）﹣5的结果等于（　　）‎ A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7‎ ‎【考点】有理数的减法．‎ ‎【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．‎ ‎【解答】解：（﹣2）﹣5=（﹣2）+（﹣5）=﹣（2+5）=﹣7，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．sin60°的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．‎ ‎【解答】解：sin60°=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】中心对称图形．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；‎ B、是中心对称图形，故此选项正确；‎ C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；‎ D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．2016年5月24日《天津日报》报道，2015年天津外环线内新栽植树木6120000株，将6120000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．0.612×107 B．6.12×106 C．61.2×105 D．612×104‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：6120000=6.12×106，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有一个正方形，第三层左边有一个正方形．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．估计的值在（　　）‎ A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 ‎【考点】估算无理数的大小．‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵＜＜，‎ ‎∴的值在4和5之间．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．计算﹣的结果为（　　）‎ A．1 B．x C． D．‎ ‎【考点】分式的加减法．‎ ‎【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减计算即可得解．‎ ‎【解答】解：﹣‎ ‎=‎ ‎=1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．方程x2+x﹣12=0的两个根为（　　）‎ A．x1=﹣2，x2=6 B．x1=﹣6，x2=2 C．x1=﹣3，x2=4 D．x1=﹣4，x2=3‎ ‎【考点】解一元二次方程-因式分解法．‎ ‎【分析】将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．‎ ‎【解答】解：x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，‎ 则x+4=0，或x﹣3=0，‎ 解得：x1=﹣4，x2=3．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　）‎ A．﹣a＜0＜﹣b B．0＜﹣a＜﹣b C．﹣b＜0＜﹣a D．0＜﹣b＜﹣a ‎【考点】实数大小比较；实数与数轴．‎ ‎【分析】根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵从数轴可知：a＜0＜b，‎ ‎∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，‎ ‎∴﹣b＜0＜﹣a，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．∠DAB′=∠CAB′ B．∠ACD=∠B′CD C．AD=AE D．AE=CE ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．‎ ‎【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，‎ ‎∴∠BAC=∠CAB′，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC=∠ACD，‎ ‎∴∠ACD=∠CAB′，‎ ‎∴AE=CE，‎ 所以，结论正确的是D选项．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3‎ ‎【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，‎ ‎∴y3一定最大，y1＞y2，‎ ‎∴y2＜y1＜y3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（　　）‎ A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3‎ ‎【考点】二次函数的最值．‎ ‎【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．‎ ‎【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，‎ ‎∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，‎ 可得：（1﹣h）2+1=5，‎ 解得：h=﹣1或h=3（舍）；‎ ‎②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，‎ 可得：（3﹣h）2+1=5，‎ 解得：h=5或h=1（舍）．‎ 综上，h的值为﹣1或5，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 ‎13．计算（2a）3的结果等于　8a3　．‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可．‎ ‎【解答】解：（2a）3=8a3．‎ 故答案为：8a3．‎ ‎　‎ ‎14．计算（+）（﹣）的结果等于　2　．‎ ‎【考点】二次根式的混合运算．‎ ‎【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．‎ ‎【解答】解：原式=（）2﹣（）2‎ ‎=5﹣3‎ ‎=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎15．不透明袋子中装有6个球，其中有1个红球、2个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是　　．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】由题意可得，共有6种等可能的结果，其中从口袋中任意摸出一个球是绿球的有2种情况，利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵在一个不透明的口袋中有6个除颜色外其余都相同的小球，其中1个红球、2个绿球和3个黑球，‎ ‎∴从口袋中任意摸出一个球是绿球的概率是=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．若一次函数y=﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是　﹣1　（写出一个即可）．‎ ‎【考点】一次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出k＜0，b＜0，随便写出一个小于0的b值即可．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+b（b为常数）的图象经过第二、三、四象限，‎ ‎∴k＜0，b＜0．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于　　．‎ ‎【考点】正方形的性质．‎ ‎【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD中，‎ ‎∵∠ABD=∠CBD=45°，‎ ‎∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，‎ ‎∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，‎ ‎∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，‎ ‎∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，‎ 同理DQ=MQ，‎ ‎∴MN=BD=AB，‎ ‎∴==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．‎ ‎（Ⅰ）AE的长等于　　；‎ ‎（Ⅱ）若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）　AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求　．‎ ‎【考点】作图—应用与设计作图；勾股定理．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据勾股定理即可得到结论；‎ ‎（Ⅱ）取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）AE==；‎ 故答案为：；‎ ‎（Ⅱ）如图，AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．‎ 故答案为：AC与网格线相交，得到P，取格点M，连接AM，并延长与BC交予Q，连接PQ，则线段PQ即为所求．‎ ‎　‎ 三、综合题：本大题共7小题，共66分 ‎19．解不等式，请结合题意填空，完成本题的解答．‎ ‎（Ⅰ）解不等式①，得　x≤4　；‎ ‎（Ⅱ）解不等式②，得　x≥2　；‎ ‎（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；‎ ‎（Ⅳ）原不等式组的解集为　2≤x≤4　．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．‎ ‎【解答】解：（I）解不等式①，得x≤4．‎ 故答案为：x≤4；‎ ‎（II）解不等式②，得x≥2．‎ 故答案为：x≥2．‎ ‎（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示为：‎ ‎；‎ ‎（IV）原不等式组的解集为：．‎ 故答案为：2≤x≤4．‎ ‎　‎ ‎20．在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的运动员的成绩（单位：m），绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）图1中a的值为　25　；‎ ‎（Ⅱ）求统计的这组初赛成绩数据的平均数、众数和中位数；‎ ‎（Ⅲ）根据这组初赛成绩，由高到低确定9人进入复赛，请直接写出初赛成绩为1.65m的运动员能否进入复赛．‎ ‎【考点】众数；扇形统计图；条形统计图；加权平均数；中位数．‎ ‎【分析】（Ⅰ）用整体1减去其它所占的百分比，即可求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；‎ ‎（Ⅲ）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：‎ ‎1﹣20%﹣10%﹣15%﹣30%=25%；‎ 则a的值是25；‎ 故答案为：25；‎ ‎（Ⅱ）观察条形统计图得：‎ ‎==1.61；‎ ‎∵在这组数据中，1.65出现了6次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数是1.65；‎ 将这组数据从小到大排列为，其中处于中间的两个数都是1.60，‎ 则这组数据的中位数是1.60．‎ ‎（Ⅲ）能；‎ ‎∵共有20个人，中位数是第10、11个数的平均数，‎ ‎∴根据中位数可以判断出能否进入前9名；‎ ‎∵1.65m＞1.60m，‎ ‎∴能进入复赛．‎ ‎　‎ ‎21．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．‎ ‎（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；‎ ‎（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．‎ ‎【考点】切线的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC，‎ ‎∵⊙O与PC相切于点C，‎ ‎∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，‎ ‎∵∠CAB=27°，‎ ‎∴∠COB=2∠CAB=54°，‎ 在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，‎ ‎∴∠P=90°﹣∠COP=36°；‎ ‎（Ⅱ）∵E为AC的中点，‎ ‎∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，‎ 在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，‎ 得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，‎ ‎∴∠ACD=∠AOD=40°，‎ ‎∵∠ACD是△ACP的一个外角，‎ ‎∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．‎ ‎　‎ ‎22．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位）‎ 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414．‎ ‎【考点】解直角三角形的应用．‎ ‎【分析】根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC=CD，CB=，可得答案．‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB垂足为D，‎ 在Rt△ACD中，tanA=tan45°==1，CD=AD，‎ sinA=sin45°==，AC=CD．‎ 在Rt△BCD中，tanB=tan37°=≈0.75，BD=；‎ sinB=sin37°=≈0.60，CB=．‎ ‎∵AD+BD=AB=63，‎ ‎∴CD+=63，‎ 解得CD≈27，‎ AC=CD≈1.414×27=38.178≈38.2，‎ CB=≈=45.0，‎ 答：AC的长约为38.2cm，CB的长约等于45.0m．‎ ‎　‎ ‎23．公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元 ‎（Ⅰ）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格．‎ 表一：‎ 租用甲种货车的数量/辆 ‎3‎ ‎7‎ x 租用的甲种货车最多运送机器的数量/台 ‎135‎ ‎　315　‎ ‎　45x　‎ 租用的乙种货车最多运送机器的数量/台 ‎150‎ ‎　30　‎ ‎　﹣30x+240　‎ 表二：‎ 租用甲种货车的数量/辆 ‎3‎ ‎7‎ x 租用甲种货车的费用/元 ‎　1200　‎ ‎2800‎ ‎　400x　‎ 租用乙种货车的费用/元 ‎　1400　‎ ‎280‎ ‎　﹣280x+2240　‎ ‎（Ⅱ）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．‎ ‎【考点】一次函数的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元 ‎，可以分别把表一和表二补充完整；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）中的数据和公司有330台机器需要一次性运送到某地，可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，‎ 在表一中，当甲车7辆时，运送的机器数量为：45×7=315（台），则乙车8﹣7=1辆，运送的机器数量为：30×1=30（台），‎ 当甲车x辆时，运送的机器数量为：45×x=45x（台），则乙车（8﹣x）辆，运送的机器数量为：30×（8﹣x）=﹣30x+240（台），‎ 在表二中，当租用甲货车3辆时，租用甲种货车的费用为：400×3=1200（元），则租用乙种货车8﹣3=5辆，租用乙种货车的费用为：280×5=1400（元），‎ 当租用甲货车x辆时，租用甲种货车的费用为：400×x=400x（元），则租用乙种货车（8﹣x）辆，租用乙种货车的费用为：280×（8﹣x）=﹣280x+2240（元），‎ 故答案为：表一：315，45x，30，﹣30x+240；‎ 表二：1200，400x，1400，﹣280x+2240；‎ ‎（Ⅱ）能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车6辆，乙车2辆，‎ 理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，‎ 则两种货车的总费用为：y=400x+（﹣280x+2240）=120x+2240，‎ 又∵45x+（﹣30x+240）≥330，解得x≥6，‎ ‎∵120＞0，‎ ‎∴在函数y=120x+2240中，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当x=6时，y取得最小值，‎ 即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆．‎ ‎　‎ ‎24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．‎ ‎（Ⅰ）如图①，若α=90°，求AA′的长；‎ ‎（Ⅱ）如图②，若α=120°，求点O′的坐标；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）‎ ‎【考点】几何变换综合题．‎ ‎【分析】（1）如图①，先利用勾股定理计算出AB=5，再根据旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，则可判定△ABA′为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求AA′的长；‎ ‎（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，利用旋转的性质得BO=BO′=3，∠OBO′=120°，则∠HBO′=60°，再在Rt△BHO′中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出BH和O′H的长，然后利用坐标的表示方法写出O′点的坐标；‎ ‎（3）由旋转的性质得BP=BP′，则O′P+BP′=O′P+BP，作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，易得O′P+BP=O′C，利用两点之间线段最短可判断此时O′P+BP的值最小，接着利用待定系数法求出直线O′C的解析式为y=x﹣3，从而得到P（，0），则O′P′=OP=，作P′D⊥O′H于D，然后确定∠DP′O′=30°后利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出P′D和DO′的长，从而可得到P′点的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，‎ ‎∵点A（4，0），点B（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，‎ ‎∴AB==5，‎ ‎∵△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A′BO′，‎ ‎∴BA=BA′，∠ABA′=90°，‎ ‎∴△ABA′为等腰直角三角形，‎ ‎∴AA′=BA=5；‎ ‎（2）作O′H⊥y轴于H，如图②，‎ ‎∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，‎ ‎∴BO=BO′=3，∠OBO′=120°，‎ ‎∴∠HBO′=60°，‎ 在Rt△BHO′中，∵∠BO′H=90°﹣∠HBO′=30°，‎ ‎∴BH=BO′=，O′H=BH=，‎ ‎∴OH=OB+BH=3+=，‎ ‎∴O′点的坐标为（，）；‎ ‎（3）∵△ABO绕点B逆时针旋转120°，得△A′BO′，点P的对应点为P′，‎ ‎∴BP=BP′，‎ ‎∴O′P+BP′=O′P+BP，‎ 作B点关于x轴的对称点C，连结O′C交x轴于P点，如图②，‎ 则O′P+BP=O′P+PC=O′C，此时O′P+BP的值最小，‎ ‎∵点C与点B关于x轴对称，‎ ‎∴C（0，﹣3），‎ 设直线O′C的解析式为y=kx+b，‎ 把O′（，），C（0，﹣3）代入得，解得，‎ ‎∴直线O′C的解析式为y=x﹣3，‎ 当y=0时， x﹣3=0，解得x=，则P（，0），‎ ‎∴OP=，‎ ‎∴O′P′=OP=，‎ 作P′D⊥O′H于D，‎ ‎∵∠BO′A=∠BOA=90°，∠BO′H=30°，‎ ‎∴∠DP′O′=30°，‎ ‎∴O′D=O′P′=，P′D=O′D=，‎ ‎∴DH=O′H﹣O′D=﹣=，‎ ‎∴P′点的坐标为（，）．‎ ‎　‎ ‎25．已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．‎ ‎（Ⅰ）求点P，Q的坐标；‎ ‎（Ⅱ）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．‎ ‎①求抛物线C′的解析式；‎ ‎②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）令x=0，求出抛物线与y轴的交点，抛物线解析式化为顶点式，求出点P坐标；‎ ‎（2）①设出Q′（0，m），表示出Q′F，根据FQ′=OQ′，用勾股定理建立方程求出m，即可．‎ ‎②根据AF=AN，用勾股定理，（x﹣1）2+（y﹣）2=（x2﹣2x+）+y2﹣y=y2，求出AF=y，再求出直线Q′F的解析式，即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2‎ ‎∴顶点P（1，0），‎ ‎∵当x=0时，y=1，‎ ‎∴Q（0，1），‎ ‎（Ⅱ）①设抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+m，‎ ‎∴Q′（0，m）其中m＞1，‎ ‎∴OQ′=m，‎ ‎∵F（1，），‎ 过F作FH⊥OQ′，如图：‎ ‎∴FH=1，Q′H=m﹣，‎ 在Rt△FQ′H中，FQ′2=（m﹣）2+1=m2﹣m+，‎ ‎∵FQ′=OQ′，‎ ‎∴m2﹣m+=m2，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴抛物线C′的解析式为y=x2﹣2x+，‎ ‎②设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+，‎ 过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），‎ ‎∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，‎ 连接FP，‎ ‎∵F（1，），P（1，0），‎ ‎∴FP⊥x轴，‎ ‎∴FP∥AN，‎ ‎∴∠ANF=∠PFN，‎ 连接PK，则直线Q′F是线段PK的垂直平分线，‎ ‎∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，‎ ‎∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，‎ 根据勾股定理，得，AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣）2，‎ ‎∴（x0﹣1）2+（y0﹣）2=（x﹣2x0+）+y﹣y0=y，‎ ‎∴AF=y0，‎ ‎∴y0=y0﹣n，‎ ‎∴n=0，‎ ‎∴N（x0，0），‎ 设直线Q′F的解析式为y=kx+b，‎ 则，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣x+，‎ 由点N在直线Q′F上，得，0=﹣x0+，‎ ‎∴x0=，‎ 将x0=代入y0=x﹣2x0+，‎ ‎∴y0=，‎ ‎∴A（，）‎ ‎　‎ ‎2016年8月10日