中考专题复习——最短路径问题

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中考专题复习——最短路径问题

中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括:‎ 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题;‎ A B 线段(之和)最短问题;‎ 二、原理:‎ 两点之间,线段最短;垂线段最短。(构建“对称模型”实现转化)‎ 三、例题:‎ 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块,一只蚂蚁要从木块的点A沿木块侧面爬到点B处,则它爬行的最短路径是 。‎ A B C D ‎②如右图是一个长方体木块,已知AB=3,BC=4,CD=2,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。‎ 张村 李庄 A B L 例2、①如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄送水,水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。‎ ‎②如图,直线L同侧有两点A、B,已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3,两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置,并计算PA+PB的最小值。‎ 张村 李庄 ‎③要在河边修建一个水泵站,向张村、李庄铺设管道送水,若张村、李庄到河边的垂直距离分别为‎1Km和‎3Km,张村与李庄的水平距离为‎3Km,则所用水管最短长度为 。‎ 四、练习题(巩固提高)‎ ‎(一)1、如图是一个长方体木块,已知AB=5,BC=3,CD=4,假设一只蚂蚁在点A处,它要沿着木块侧面爬到点D处,则蚂蚁爬行的最短路径是 。‎ A B A B A B C D A 第3题 第2题 第1题 ‎2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带(金丝带的宽度忽略不计),圆柱体高为‎6cm,底面圆周长为‎16cm,则所缠金丝带长度的最小值为 。‎ ‎3、如图是一个圆柱体木块,一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物,知圆柱体的高为‎5 cm,底面圆的周长为‎24cm,则蚂蚁爬行的最短路径为 。‎ ‎4、正方形ABCD的边长为8,M在DC上,且DM=2,N是AC上的一动点,DN+MN的最小值为 。‎ ‎ ‎ 第4题 第5题 第6题 第7题 ‎5、在菱形ABCD中,AB=2, ∠BAD=60°,点E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值为 。‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎6、如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值为____ ___。‎ ‎7、AB是⊙O的直径,AB=2,OC是⊙O的半径,OC⊥AB,点D在AC上,AD = 2CD,点P是半径OC上的一个动点,则AP+PD的最小值为____ ___。‎ ‎(二)8、如图,点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,连接CD,交OA于M,交OB于N,若CD=‎18cm,则△PMN的周长为________。‎ ‎9、已知,如图DE是△ABC的边AB的垂直平分线,D为垂足,DE交BC于E,且AC=5,BC=8,则△AEC的周长为__________。‎ ‎10、已知,如图,在△ABC中,AB<AC,BC边上的垂直平分线DE交BC于点D,交AC于点E,AC=8,△ABE的周长为14,则AB的长 。‎ ‎11、如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是____.‎ ‎12、在平面直角坐标系中,有A(3,-2),B(4,2)两点,现另取一点C(1,n),当n = 时,AC + BC的值最小.‎ ‎ ‎ 第11题 第14题 第15题 ‎13、△ABC中,∠C = 90°,AB = 10,AC=6,BC=8,过AB边上一点P作PE⊥AC于E,PF⊥BC于 F,E、F是垂足,则EF的最小值等于 .‎ ‎14、如图,菱形ABCD中,AB=2, ∠BAD=60°,点E、F、P分别是AB、BC、AC上的动点,则PE+PF的最小值为___________.‎ ‎15、如图,村庄A、B位于一条小河的两侧,若河岸a、b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近?‎ ‎16、一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).‎ ‎(1)求该函数的解析式;‎ ‎(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.‎ ‎(三)16、如图,已知∠AOB内有一点P,试分别在边OA和OB上各找一点E、F,使得△PEF的周长最小。试画出图形,并说明理由。‎ ‎17、如图,直线l是第一、三象限的角平分线.‎ 实验与探究:‎ ‎(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出他们的坐标:B′ 、C′ ;‎ 归纳与发现:‎ ‎(2)结合以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 ;‎ 运用与拓广:‎ ‎(3)已知两点D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.‎ ‎18、几何模型:‎ 条件:如图,A、B是直线L同旁的两个定点.问题:在直线L上确定一点P,使PA+PB的值最小.‎ 方法:作点关于直线的对称点,连结交于点,则的值最小(不必证明).‎ 模型应用:‎ ‎(1)如图1,正方形的边长为2,为的中点,是上一动点.连结,由正方形对称性可知,与关于直线对称.连结交于,则的最小值是___________;‎ ‎(2)如图2,的半径为2,点在上,,,是上一动点,求的最小值;‎ O A B P R Q 图3‎ ‎(3)如图3,∠AOB=45°,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.‎ O A B C 图2‎ P A B E C B D 图1‎ A B ‎′‎ P l ‎19、问题探究 ‎(1)如图①,四边形是正方形, ,为边的中点,为上的一个动点,求的最小值;‎ ‎(2)如图②,若四边形是菱形, ,,为边上的一个动点,为上的一个动点,求的最小值;‎ A D B C A D B C E P A C D B 问题解决(3)如图③,若四边形ABCD是矩形, ,,为边上的一个动点,为上的一个动点,求的最小值;‎ ‎20.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结‎0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转120。,得到线段OB.‎ ‎(1)求点B的坐标;‎ ‎(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;‎ ‎(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(注意:本题中的结果均保留根号)‎ 解:(1)过点B作BD⊥轴于点D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60。.在Rt△OBD中,∠ODB=90。,∠OBD=30。.‎ ‎∴OD=1,DB=‎ ‎∴点B的坐标是(1,).‎ ‎(2)设所求抛物线的解析式为,由已知可得:‎ 解得:‎ ‎∴所求抛物线解析式为 ‎(3)存在.‎ 由配方后得:‎ ‎∴抛物线的对称轴为=-1.‎ ‎(也写用顶点坐标公式求出)‎ ‎∵OB=2,要使△BOC的周长最小,必须BC+CO最小.‎ ‎∵点O与点A关于直线=-1对称,有CO=CA.‎ △ BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA.‎ ‎∴当A、C、B三点共线,即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时,BC+CA最小,此时△BOC的周长最小.‎ 设直线AB的解析式为 解得: ∴直线AB的解析式为 当=-1时, ∴所求点C的坐标为(-1,).‎ ‎21、D O x y B E P A C 如图,抛物线的顶点P的坐标为,交x轴于A、B两点,交y轴于点.‎ ‎(1)求抛物线的表达式.‎ ‎(2)把△ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.‎ 判断四边形ADBC的形状,并说明理由.‎ ‎(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△FBD的周长最小,‎ 若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意知 解得, -------------3分 ‎(列出方程组给1分,解出给2分)‎ ‎∴抛物线的解析式为 -----------4分 ‎(2)设点A(,0),B(,0),则,‎ 解得 -------------5分 ‎ ‎∴∣OA∣=1,∣OB∣=3.又∵tan∠OCB=‎ ‎∴∠OCB=60°,同理可求∠OCA=30°.∴∠ACB=90° ----------6分 由旋转性质可知AC=BD,BC=AD ‎ ‎∴四边形ADBC是平行四边形 ----------------------------7分 又∵∠ACB=90°.∴四边形ADBC是矩形 --------------------------8分 ‎(3)延长BC至N,使.假设存在一点F,使△FBD的周长最小.‎ 即最小.‎ ‎∵DB固定长.∴只要FD+FB最小.又∵CA⊥BN ‎∴FD+FB=FD+FN.‎ ‎∴当N、F、D在一条直线上时,FD+FB最小 .---------------------10分 又∵C为BN的中点, ∴(即F为AC的中点).‎ 又∵A(-1,0),C(0,-) ∴ 点F的坐标为F(,)‎ ‎∴ 存在这样的点F(,),使得△FBD的周长最小.---12分 ‎22. 已知:直线与轴交于A,与轴交于D,抛物线与直线交于A、E两点,与轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,0).‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)动点P在轴上移动,当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时,求点P的坐标.‎ ‎(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使的值最大,求出点M的坐标.‎ y x O D E A B C 答案:‎ ‎(1)将A(0,1)、B(1,0)坐标代入得 ‎ 解得 ‎ ‎∴抛物线的解折式为. 3分 ‎(2)设点E的横坐标为m,则它的纵坐标为,‎ 则E(,).‎ 又∵点E在直线上,E y A F C B ∴. ‎ 解得(舍去),.‎ ‎∴E的坐标为(4,3). 4分 过E作轴于,设P(b,0).‎ 由,得.‎ ‎.‎ 由得.‎ 解得,.‎ ‎∴此时的点P的坐标为(1,0)或(3,0). 6分 ‎(3)抛物线的对称轴为. ∵B、C关于对称,∴.‎ 要使最大,即是使最大. 8分 由三角形两边之差小于第三边得,当A、B、M在同一直线上时的值最大.‎ 易知直线AB的解折式为.‎ ‎∴由 得 ∴M(,-). 10分
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