中考16讲苏科版数学 一点的遐想

中考16讲苏科版数学 一点的遐想

第 1 页，共 11 页 中考 16 讲苏科版数学第 1 讲一点的遐想 一、填空题（本大题共 3 小题，共 9.0 分） 1. 判断点 P(a,a＋2)不在第几象限，并说明理由． 2. 已知平面上点 O(0,0)，A(3,2)，B(4,0)，直线 y＝mx－3m ＋2 将 △ OAB 分成面积相等的两部分，求 m 的值． 3. 在平面直角坐标系中，点 P 的坐标为(0,2)，点 M 的坐标为 െ 1ͳ െ 3 െ (其中 m 为实数)．当 PM 的长最小时，m 的值为________． 二、解答题（本大题共 7 小题，共 56.0 分） . 如图，直线 AB 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，点 A 的纵坐标、点 B 的横坐标 如图所示． (1)求直线 AB 的解析式； (2)过原点 O 的直线把 △ ABO 分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式． 5. 如图，在平面直角坐标系中，A(1,4)，B(3,2)，C(m,－4m ＋20)，若 OC 恰好平分四边形 OA CB 的面积，求点 C 的 坐标． 第 2 页，共 11 页 6. 如图，已知在平面直角坐标系中， ABCD 的顶点 A(0,0)，C(10,4)，直线 y＝ax－2a－1 将 ABCD 分 成面积相等的两部分，求 a 的值． 7. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是 O(0,0)，A(0,6)，B(4,6)，C(4,4)， D(6,4)，E(6,0)．若直线 l 经过点 M(2,3)，且将多边 形 OABCDE 分割成面积相等的两部分，求直线 l 的函数解析式． 8. 已知：平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点分别为 O（0，0）、A（5，0）、 B（m，2）、C（m-5，2）． （1）问：是否存在这样的 m，使得在边 BC 上总存在点 P，使 ∠ OPA=90°？若存在， 求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由． （2）当 ∠ AOC 与 ∠ OAB 的平分线的交点 Q 在边 BC 上时，求 m 的值． 第 3 页，共 11 页 . 已知点 D 与点 A(8,0)，B(0,6)，C(a,－a)是一平行四边形的四个顶点，求 CD 长的最 小值． 10. 先阅读下列材料，然后解决问题 在平面直角坐标系中，已知点 P(m－1,m＋3)，当 m 的值发生改变时，点 P 的位 置也会发生改变． 为了求点 P 运动所形成的图象的解析式，我们令点 P 的横坐标为 x，纵坐标为 y， 得到方程组 െ 1 ͳ ᦙ 3 砀.消去 m 得 y＝x＋4， 可以发现，点 P(m－1,m＋3)随 m 的变化而运动所形成的图象的解析式是 y＝x＋ 4． （1）求点 Q(m,1－2m)随 m 的变化而运动所形成的图象的解析式； （2）如图①，正方形 ABCO，A(0,2)，C(2,0)，点 P 在 OC 边上从 O 向 C 运动， 点 Q 在 CB 边上从 C 向 B 运动，且始终保持 OP＝CQ，连接 PQ，设 PQ 的中点为 M，求 M 运动的路径长度； （3）已知 A(－2,0)，B(4,0)，C(0,m)，以 BC 为斜边按如图②所示作 Rt △ PBC， 使 ∠ BPC＝90°，且 tan ∠ BCP＝2，连接 AP，问：当 m 为何值时 AP 最短？ 第 页，共 11 页 答案和解析 1.【答案】解：一定不在第四象限. ​ 若点在第四象限，则 a＞0，a+2＜0，此时 a 无解， ∴ 点一定不再第四象限. 【解析】 【分析】 本题考查了平面直角坐标系中由点到坐标的确定，由坐标到点的确定. 【解答】 解：一定不在第四象限. 若点在第四象限，则 a＞0，a+2＜0，此时 a 无解， ∴ 点一定不再第四象限. 2.【答案】解： ∵ 直线 y=mx-3m+2 将三角形 OAB 分成面积相等的两部分 ∴ 直线必经过 OA 中点 C ∵ OA 的重点坐标 C（ 3 2 ，1），将它代入 y=mx-3m+2 中得： 1 3 2 െ 3 ᦙ 2即 2 3 ． 【解析】 此题考查三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 3.【答案】​ െ 7 5 .【解析】 【分析】 本题考查了两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是找出关于 m 的二次函数关系式． 【解答】 解： ， ∴ 当 时，PM 长最小． 4.【答案】解：(1)根据题意得，A(0，2)，B(4，0)， 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0)， 则 ∴ ， ∴ 直线 AB 的解析式为 ； (2)设解析式为 y=kx，过(0，0)和(2，1)， 第 5 页，共 11 页 代入得， ． 【解析】 试题分析：(1)把点A(0，2)，B(4，0)代入一次函数y=kx+b即可求出k及b的值； (2)当过 0 点作一直线交 AB 于一点，设出此点的坐标为(x，y)，由题意建立 x， y 的关系式求出 x 和 y 的值，再设出 y=kx，代入求出 k，即可． 5.【答案】解： ∵ OC 恰好平分四边形 OACB 的面积， ∴ 对角线 OC 与 AB 的交点 E 是 AB 的中点， ∵ A(1，4), B(3，2)， ∴ E（2，3）， 设 OC 所在的直线关系式 y=kx， 得 3=2k，解得， 3 2 ， 所以 OC 所在的直线关系式为 砀 3 2 ； 由点 C 的坐标可知，点 C 在直线 y=-4x+20 上， 点 C 是直线 砀 3 2 上一动点， 所以 C 是这两条直线的交点， 砀 െ ᦙ 20 砀 3 2 解得 0 11 砀 60 11 . ​ 故点 C 的坐标为 0 11 ， 60 11 . 【解析】 本题考查了直线和四边形的关系，待定系数法求直线的解析式，两个一次函 数的交点一，确定点 C 的位置是解决本题的关键.OC 恰好平分四边形 OACB 的面积，则对角线 OC 与 AB 的交点 E 是 AB 的中点，可求得直线 OC 的解析 式，由点 C 的坐标可知，点 C 在直线 y=-4x+20 上，列方程组求出的解即为点 C 的坐标. 6.【答案】解： 连接 AC、BD，AC 与 BD 相交于点 M，过点 M 作 ME ⊥ x 轴于点 E，过点 C 作 CF ⊥ x 轴 于点 F ∵ C（10，4）， ∴ AF=10，CF=4， ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AM=CM，即 = 1 2 ， 第 6 页，共 11 页 ∵ ME ⊥ x 轴，CF ⊥ x 轴， ∴∠ MEA= ∠ CFA=90°， ∴ ME ∥ CF， ∴∠ AME= ∠ ACF， ∠ AEM= ∠ AFC， ∴△ AME ∽△ ACF， ∴ AMAC=AEAF=12，即 E 为 AF 的中点， ∴ ME 为 △ AFC 的中位线， ∴ AE=12AF=5，ME=12CF=2， ∴ M（5，2）， ∵ 直线 y=ax-2a-1 将平行四边形 ABCD 分成面积相等的两部分， ∴ 直线 y=ax-2a-1 经过点 M， 将 M（5，2）代入 y=ax-2a-1 得：a=1． 【解析】 本题主要考查了平行四边形的性质和用待定系数法求解一次函数. 连接 AC、BD，AC 与 BD 相交于点 M，过点 M 作 ME ⊥ x 轴于点 E，过点 C 作 CF ⊥ x 轴于点 F，由直线将平行四边形分成面积相等的两部分，得到此直线过 平行四边形对角线的交点 M，接下来求 M 的坐标，由平行四边形的对角线互 相平分，得到 M 为 AC 的中点，再由 ME 与 CF 都与 x 轴垂直，得到 ME 与 CF 平行，可得出两对同位角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得 三角形 AME 与三角形 ACF 相似，由 M 为 AC 的中点得到相似三角形的相似 比为 1：2，可得 E 为 AF 的中点，由 C 的坐标得到 AF 与 CF 的长，又 ME 为三 角形 ACF 的中位线，根据中位线定理得到 ME 为 CF 的一半，求出 ME 的长， 由 AE 为 AF 的一半，求出 AE 的长，确定出 M 的坐标，把 M 的坐标代入直线 方程中，得到关于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值． 7.【答案】解：延长 BC 交 x 轴于点 F，连接 OB，AF，DF，CE，DF 和 CE 相交于点 N， ∵ O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）． ∴ 四边形 OABF 为矩形，四边形 CDEF 为矩形， ∴ 点 M（2，3）是矩形 OABF 对角线的交点，即点 M 为矩形 ABFO 的中心， ∴ 直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分 又 ∵ 点 N（5，2）是矩形 CDEF 的中心， ∴ 过点 N（5，2）的直线把矩形 CDEF 分成面积相等的两部分． ∴ 直线 MN 即为所求的直线 L， 设直线 l 的解析式为 y=kx+b，则 2k+b=3，5k+b=2， 解得 k=− 1 3 ​ ，b= 11 3 ， 因此所求直线 l 的函数表达式是：y=- 1 3 x+ 11 3 ， 第 7 页，共 11 页 故答案为 y=- 1 3 x+ 11 3 ​ . 【解析】 本题考查了矩形的性质：过矩形对角线交点的直线平分矩形的面积．也考查 了待定系数法求直线的解析式． 延长 BC 交 x 轴于点 F，连接 OB，AF，DF，CE，DF 和 CE 相交于点 N， 由 O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）， 得到四边形 OABC，四边形 CDEF 都为矩形，并且点 M（2，3）是矩形 OABF 对角线的交点，则直线 l 还必须过 N（5，2）点， 设直线 l 的解析式为 y=kx+b，利用待定系数法即可求出直线 l 的函数表达式 即可得出答案． 8.【答案】解：（1）存在． ∵ O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m-5， 2）． ∴ OA=BC=5，BC ∥ OA， 以 OA 为直径作 ⊙ D，与直线 BC 分别交于点 E、F， 则 ∠ OEA= ∠ OFA=90°，如图 1， 作 DG ⊥ EF 于 G，连 DE，则 DE=OD=2.5，DG=2， EG=GF， ∴ EG= 2 െ 2 =1.5， ∴ E（1，2），F（4，2）， ∴ 当 െ 5 1 ，即 1≤m≤9 时，边 BC 上总存在这样的点 P，使 ∠ OPA=90°； （2）如图 2， ∵ BC=OA=5，BC ∥ OA， ∴ 四边形 OABC 是平行四边形， ∴ OC ∥ AB， ∴∠ AOC+ ∠ OAB=180°， ∵ OQ 平分 ∠ AOC，AQ 平分 ∠ OAB， ∴∠ AOQ= 1 2∠ AOC， ∠ OAQ= 1 2∠ OAB， ∴∠ AOQ+ ∠ OAQ=90°， ∴∠ AQO=90°， 以 OA 为直径作 ⊙ D，与直线 BC 分别交于点 E、F，则 ∠ OEA= ∠ OFA=90°， ∴ 点 Q 只能是点 E 或点 F， 当 Q 在 F 点时， ∵ OF、AF 分别是 ∠ AOC 与 ∠ OAB 的平分线，BC ∥ OA， ∴∠ CFO= ∠ FOA= ∠ FOC， ∠ BFA= ∠ FAO= ∠ FAB， ∴ CF=OC，BF=AB， 而 OC=AB， ∴ CF=BF，即 F 是 BC 的中点． 而 F 点为（4，2）， ∴ 此时 m 的值为 6.5， 第 8 页，共 11 页 当 Q 在 E 点时，同理可求得此时 m 的值为 3.5， 综上所述，m 的值为 3.5 或 6.5． 【解析】 （1）由四边形四个点的坐标易得 OA=BC=5，BC ∥ OA，以 OA 为直径作 ⊙ D，与 直线 BC 分别交于点 E、F，根据圆周角定理得 ∠ OEA= ∠ OFA=90°，如图 1，作 DG ⊥ EF 于 G，连 DE，则 DE=OD=2.5，DG=2，根据垂径定理得 EG=GF，接着 利用勾股定理可计算出 EG=1.5，于是得到 E（1，2），F（4，2），即点 P 在 E 点和 F 点时，满足条件，此时，当 ，即 1≤m≤9 时，边 BC 上总存在这样的 点 P，使 ∠ OPA=90°； （2）如图 2，先判断四边形 OABC 是平行四边形，再利用平行线的性质和角平 分线定义可得到 ∠ AQO=90°，以 OA 为直径作 ⊙ D，与直线 BC 分别交于点 E、 F，则 ∠ OEA= ∠ OFA=90°，于是得到点 Q 只能是点 E 或点 F，当 Q 在 F 点时， 证明 F 是 BC 的中点．而 F 点为 （4，2），得到 m 的值为 6.5；当 Q 在 E 点时， 同理可求得 m 的值为 3.5． 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和平行四边形的判 定与性质；理解坐标与图形性质；会利用勾股定理计算线段的长． 9.【答案】解：有两种情况： ①CD 是平行四边形的一条边，如图 1： ​ ​ 那么有 AB=CD= 6 2 ᦙ 8 2 =10； ②CD 是平行四边形的一条对角线，如图 2， 过 C 作 CM ⊥ AO 于 M，过 D 作 DF ⊥ AO 于 F，交 AC 于 Q，过 B 作 BN ⊥ DF 于 N， 则 ∠ BND= ∠ DFA═ ∠ CMA= ∠ QFA=90°， ∠ CAM+ ∠ FQA=90°， ∠ BDN+ ∠ DBN=90°， ∵ 四边形 ACBD 是平行四边形， ∴ BD=AC， ∠ C= ∠ D，BD ∥ AC， ∴∠ BDF= ∠ FQA， ∴∠ DBN= ∠ CAM， 在 △ DBN 和 △ CAM 中， 第 页，共 11 页 ∠ᦙ ∠ ∠ᦙ ＝ ∠ ＝ ， ∴△ DBN ≌△ CAM（AAS）， ∴ DN=CM=a，BN=AM=8-a， ∴ D（8-a，6+a）， 由勾股定理得：CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8a2-8a+100=8（a- 1 2 ）2+98， 当 1 2 时，CD 有最小值，是 8 ， ∵ 8 10 ， ∴ CD 的最小值是 8 7 2 ． 【解析】 本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定，二次函数的最值的 应用，关键是能得出关于 a 的二次函数解析式，题目比较好，难度偏大．分两 种情况讨论： ① CD 是平行四边形的一条边，那么有 AB=CD； ② CD 是平行四 边形的一条对角线，过 C 作 CM ⊥ AO 于 M，过 D 作 DF ⊥ AO 于 F，交 AC 于 Q， 过 B 作 BN ⊥ DF 于 N，证 △ DBN ≌△ CAM，推出 DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出 D（8-a，6+a），由勾股定理得：CD2=（8-a-a）2+（6+a+a）2=8a2-8a+100=8（a- ） 2+98，求出即可． 10.【答案】【答案】 解：（1） ∵ 点 Q（m，1 െ 2m）， ∴ 令 m=x，1-2m=y， ∴ y=1-2x； （2） ∵ C（2，0）， ∴ OC=2， 设 P（t，0）（0≤t≤2）， ∴ OP=t， ∵ CQ=OP， ∴ CQ=t， ∵ 四边形 OABC 是正方形， ∴ BC ⊥ x 轴， ∴ Q（2，t）， ∵ M 是 PQ 的中点， ∴ M（ ＋ 2 2 ， 2 ）， 令 ᦙ2 2 =x， 2 =y， ∴ y=x-1（1≤x≤2）， 当 x=1 时，y=0， 第 10 页，共 11 页 ∴ M（1，0）， ​ 当 x=2 时，y=1， ∴ M'（2，1）， ∴ MM'= 1 ᦙ 1 = 2 ； （3）如图 2，在 Rt △ BPC 中，tan ∠ PCB= =2， ∴ PB=2PC， 设 P（a，b）（由题意知，ab≤0） 过点 P 作 PE ⊥ x 轴于 E，PF ⊥ y 轴于 F， ∴ E（a，0），F（0，b）， ∠ PEB= ∠ PFC=90°， ∴ 四边形 OEPF 是矩形， ∴∠ EPF=90°， ∵∠ BPC=90°， ∴∠ BPE= ∠ CPF， ∵∠ PEB= ∠ PFC=90°， ∴△ PEB ∽△ PFC， ∴ =2， ∴ BE=2CF，PE=2PF， ∴ |b|=2|a|， ∴ b2=4a2， ∵ A（-2，0），P（a，b）， ∴ AP2=（a+2）2+b2=a2+4a+4+b2=a2+4a+4+a2=5a2+4a+4=5（a+ 2 5 ）2+ 16 5 ， ∴ a=- 2 5 时，AP 最短，最短值为 5 5 ， ∴ b=-2a= 5 ， ∴ P（- 2 5 ， 5 ）， ∴ 点 P 在第二象限，如图 1 所示 ∵ B（4，0），C（0，m）， 第 11 页，共 11 页 ∴ BE=4-a= 22 5 ，CF=m- 5 ， ∵ BE=2CF， ∴ 2（m- 5 ）= 22 5 ， ∴ m=3． 【解析】 此题是一次函数综合题，主要考查了材料提供的信息的理解和应用，正方形 的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出点 P 的横坐标是解本题的关 键． （1）直接利用材料提供的信息即可得出结论； （2）先确定出点 P，Q 坐标，进而求出 M 的运动轨迹，即可得出结论； （3）先确定出 PE=2PF，进而求出 AP，利用 AP 最短，求出 a 的值，进而求出 b， 即可求出 m 的值．