中考数学 四边形课标解读典例诠释复习1

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第十一单元 四边形 第一节 多边形与平行四边形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 多边形的 有关概念 了解多边形的定义，多边 形的顶点、边、内角、外 角、对角线等概念 掌握多边形内角和与 外角和公式 利用全等三 角形的有关 内容解决有 关问题 ★★★★ 平行四边 形 了解四边形的不稳定性； 理解平行四边形的概念 能利用平行四边形的 性质定理与判定定理 解决有关简单问题 运用平行四 边形的有关 内容解决有 关问题 ★★★★ ★ 平行线间 的距离 了解两条平行线之间距离 的意义 能度量两条平行线之 间的距离 ★ 知识要点 1.多边形的内角和与外角和 (1)n 边形内角和为 ；多边形外角和为 . (2)如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角 和 . 2.正多边形 定义：各个角 ，各条边 的多边形叫做正多边形. 对称性：正多边形都是 对称图形，边数为偶数的正多边形也是 对称图形. 3.平行四边形 (1)定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． (2)性质： ①平行四边形的对边 ； ②平行四边形的对角 ，邻角 ； ③平行四边形的对角线 ； (3)平行四边形的对称性： ， 是它的对称中心； (4)平行四边形的面积： ；同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积 ． (5)平行四边形的判定方法 ①两组对边分别 的四边形是平行四边形(定义)； ②两组对边分别 的四边形是平行四边形； ③一组对边 的四边形是平行四边形； ④对角线 的四边形是平行四边形. 典例诠释 考点一 多边形的内角和与外角和 例 1 正十边形的每个外角等于( ) A．18° B．36° C．45° D．60° 【答案】 B 【名师点评】 根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解． 例 2 (2016·丰台一模)如图 1-11-1，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的 一边重合，则∠1= °. 图 1-11-1 【答案】 48 【名师点评】 此题先要求出正五边形的每个内角度数(利用多边形的内角和或外角和来求， 外角和比较简单，学生应掌握)，从而问题得解. 例 3 (2016·燕山一模)如图 1-11-2，一个正 n 边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角 是 40°，那么 n＝ ． 图 1-11-2 【答案】 9 考点二 平行四边形性质与判定的综合应用，四边形的计算 例 4 (2016·平谷一模)如图 1-11-3， ABCD 中点 E 是 BC 边的一点，将边 AD 延长至点 F， 使∠AFC=∠DEC，连接 CF，DE． (1)求证：四边形 DECF 是平行四边形； (2)若 AB=13，DF=14，tan A=，求 CF 的长． 图 1-11-3 (1)【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，∴ ∠ADE=∠DEC． ∵ ∠AFC=∠DEC，∴ ∠AFC=∠ADE， ∴ DE∥FC．∴ 四边形 DECF 是平行四边形． (2)【解】 如图 1-11-4,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H， 图 1-11-4 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ ∠BCD=∠A，AB=CD=13. ∵ tan A=，AB=13，∴ DH=12，CH=5． ∵ DF=14，∴ CE=14，∴ EH=9． ∴ ED==15，∴ CF=DE=15． 【名师点评】 (1)考查平行四边形的性质和判定，易知 AF∥BC，结合条件∠AFC= ∠ DEC，可以推导出∠AFC+∠EDF=180°(也可以用内错角和同位角)，从而得到 DE∥FC，问题 得证，此问解答方法不唯一. (2)将分散的条件集中到一个三角形里，如△DCF 中(或△DEC 中)，出现了∠A的正切值，考 虑要构造直角三角形，故可以过 D点作 BC 的垂线，从而问题得解. 基础精练 1.(2016·大兴一模)若正多边形的一个内角是 120°，则这个正多边形的边数为( ) A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】 C 2.(2016·东城一模)已知一个正多边形的每个外角都等于 72°，则这个正多边形的边数 是 . 【答案】 5 3.(2016·延庆一模)如图 1-11-5，AB∥DC，要使四边形 ABCD 是平行四边形，还需补充一个．． 条件： . 图 1-11-5 【答案】 AD∥BC 或 AB=DC 或∠A+∠B=180°等 4.(2016·海淀一模)如图 1-11-6，在 ABCD 中，AB=3，BC=5，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E， 则 DE 的长为( ) 图 1-11-6 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 D 5.(2014·河南)如图 1-11-7， ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB⊥AC.若 AB=4,AC=6, 则 BD 的长是( ) 图 1-11-7 A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】 C 6.(2014·昆明)如图 1-11-8，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能 判定四边形 ABCD 为平行四边形的是( ) 图 1-11-8 A.AB∥CD，AD∥BC B.OA=OC，OB=OD C.AD=BC，AB∥CD D.AB=CD，AD=BC 【答案】 C 7.(2014·十堰)如图 1-11-9，在平行四边形 ABCD 中，AB=4，BC=6，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，则△CDE 的周长是( ) A.7 B.10 C.11 D.12 图 1-11-9 【答案】 B 8.(2014·临沂)如图 1-11-10，在 ABCD 中，BC=10，sin B=，AC=BC，则 ABCD 的面积 是 . 图 1-11-10 【答案】 18 9.(2014·自贡)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是 . 【答案】 7 10.(2016·海淀二模)如图 1-11-11，边长相等的正方形、正六边形的一边重合， 则∠1的 度数为( ) 图 1-11-11 A.20° B.25° C.30° D.35° 已知：如图 1-11-13，线段 AB，BC，求作：平行四边形 ABCD. 图 1-11-13 如图 1-11-14：(1)以点 C 为圆心，AB 长为半径画弧； (2)以点 A 为圆心，BC 长为半径画弧； (3)两弧在 BC 上方交于点 D，连接 AD，CD，四边形 ABCD 为所求作平行四边形 . 图 1-11-14 【答案】 C 11.(2016·西城二模)有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图 1-11-12 方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形 ADEC 中，若∠1=165°，则∠2 的度数 为 ． 图 1-11-12 【答案】 105° 12.(2016·通州二模)在数学课上，老师提出如下问题： 小明的作法如下： 老师说：“小明的作法正确.” 请回答：小明的作图依据是 . 【答案】 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 13.(2016·房山一模)如图 1-11-15，在 ABCD 中，E 为 BC 中点，过点 E 作 EG⊥AB 于 G， 连接 DG，延长 DC，交 GE 的延长线于点 H.已知 BC＝10,∠GDH=45°，DG=8.求 CD 的长. 图 1-11-15 【解】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD. ∵ EG⊥AB 于点 G， ∴ ∠BGE=∠EHC=90°. 在△DHG 中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8， ∴ DH=GH=8． ∵ E 为 BC 中点，BC=10，∴ BE=EC=5． ∵ ∠BEG=∠CEH，∴ △BEG≌△CEH, ∴ GE=HE=GH=4． 在△EHC 中，∠H=90°，CE=5，EH=4， ∴ CH=3，∴ CD=5. 14.(2016·怀柔一模)如图 1-11-16，在△ABC 中，D 为 AB 边上一点，F 为 AC 的中点，过点 C作 CE∥AB 交 DF 的延长线于点 E，连接 AE． (1)求证：四边形 ADCE 为平行四边形; (2)若 EF=2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求 DC 的长． 图 1-11-16 (1)【证明】 ∵ CE∥AB，∴ ∠DAF=∠ECF. ∵ F 为 AC 的中点,∴ AF=CF. 在△DAF 和△ECF 中, ∴ △DAF≌△ECF，∴ AD=CE． ∵ CE∥AB，∴ 四边形 ADCE 为平行四边形． (2)【解】 如图 1-11-17,作 FH⊥DC 于点 H． 图 1-11-17 ∵ 四边形 ADCE 为平行四边形,∴ AE∥DC，DF=EF=2， ∴ ∠FDC=∠AED=45°． 在 Rt△DFH 中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°， ∴ sin∠FDC==，得 FH=2，tan∠FDC==1，得 DH=2． 在 Rt△CFH 中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴ FC=4． 由勾股定理，得 HC=2．∴ DC=DH+HC=2+2． 15.(2016·昌平二模)在△OAB 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以 OB 为边，在△OAB 外作等边△OBC，E 是 OC 上的一点． (1)如图 1-11-18，当点 E是 OC 的中点时，求证：四边形 ABCE 是平行四边形； (2)如图 1-11-19，点 F 是 BC 上的一点，将四边形 ABCO 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 EF，求 OE 的长． 图 1-11-18 图 1-11-19 (1)【证明】 如图 1-11-18，∵ △OBC 为等边三角形，∴ OC=OB，∠COB=60°. ∵ 点 E 是 OC 的中点,∴ EC=OC=OB. 在△OAB 中，∠OAB=90°，∵ ∠AOB=30°，∴ AB=OB,∠COA=90°. ∴ CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，∴ CE∥AB,∴ 四边形 ABCE 是平行四边形. (2)【解】 如图 1-11-19，∵ 四边形 ABCO 折叠，点 C 与点 A重合，折痕为 EF， ∴ △CEF≌△AEF,∴ EC=EA. ∵ OB=4,∴ OC=BC=4. 在△OAB 中，∠OAB=90°， ∵ ∠AOB=30°，∴ OA=2. 在 Rt△OAE 中，由(1)知：∠EOA=90°， 设 OE=x，∵ ,∴ +,解得 x=,∴ OE=. 16.(2016·西城一模)有这样一个问题：如图 1-11-20，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD， 我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法． 小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究． 下面是小南的探究过程： 图 1-11-20 (1)由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性 质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充 完整. 已知：如图 1-11-20，在筝形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD 求证： ． 证明： 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等． (2)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对 角线．结合图形，写出筝形的其他性质(一条即可)： . (3)筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对 角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明；如果不成立， 请举出一个反例，画出图形，并加以说明． 【解】 (1)已知：如图 1-11-21，筝形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD. 求证：∠B=∠D. 图 1-11-21 【证明】 连接 AC.如图 1-11-21， 在△ABC 和△ADC 中，∴ △ABC≌△ADC,∴ ∠B=∠D. (2)筝形的其他性质： ①筝形的两条对角线互相垂直， ②筝形的一条对角线平分一组对角， ③筝形是轴对称图形， …… (写出一条即可) (3)不成立.反例如图 1-11-22 所示. 图 1-11-22 在平行四边形 ABCD 中，AB≠AD.对角线 AC，BD 相交于点 O，由平行四边形性质可知此图形 满足∠ABC=∠ADC.AC 平分 BD.但是该四边形不是筝形.(答案不唯一) 17.(2014·浙江嘉兴)我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等 对角四边形”． (1)已知：如图1-11-23，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求 ∠C，∠D 的度数． 图 1-11-23 (2)在探究“等对角四边形”性质时： ①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图 1-11-24)，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她 发现 CB=CD 成立．请你证明此结论； 图 1-11-24 ②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相 等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例． (3)已知：在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线 AC 的长． 【解】 (1)∵ 等对角四边形 ABCD 中，∠A≠∠C，∴ ∠D=∠B=80°， ∴ ∠C=360°－70°－80°－80°=130°. (2)①如图 1-11-25，连接 BD. 图 1-11-25 ∵ AB=AD，∴ ∠ABD=∠ADB. ∵ ∠ABC=∠ADC，∴ ∠ABC－∠ABD=∠ADC－∠ADB， ∴ ∠CBD=∠CDB，∴ CB=CD， ②不正确. 反例：如图 1-11-26，∠A=∠C=90°，AB=AD.但 CB≠CD. 图 1-11-26 图 1-11-27 (3)①如图 1-11-27，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长 AD，BC 相交于点 E. ∵ ∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5， ∴ AE=10，∴ DE=AE－AD=10－4=6. ∵ ∠EDC=90°，∠E=30°，∴ CD=2， ∴ AC===2， ②如图 1-11-28，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F， 图 1-11-28 ∵ DE⊥AB，∠DAB=60°,AD=4，∴ AE=2，DE=2， ∴ BE=AB－AE=5－2=3. ∵ 四边形 BFDE 是矩形，∴ DF=BE=3，BF=DE=2. ∵ ∠BCD=60°，∴ CF=， ∴ BC=CF+BF=+2=3，∴ AC===2. 18.(2016·东城一模)在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质. 定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形(如图 1-11-29①). 小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究. ① ② 图 1-11-29 下面是小聪的探究过程，请补充完整： (1)根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是 ； (2)通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜 想进行证明； (3)如图 1-11-29②，在筝形 ABCD 中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形 ABCD 的面积. 【解】 (1)菱形(正方形). (2)它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.(写 出其中的两条就行) 已知：筝形 ABCD. 求证：∠B=∠D. 证明:连接 AC,如图 1-11-30. 图 1-11-30 ∵ AB=AD,CB=CD,AC=AC， ∴ △ABC≌△ADC，∴ ∠B=∠D. (3)过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于 E. ∵ ∠ABC=120°，∴ ∠EBC=60°. 又∵ BC=2，∴ BE=1，CE=. ∴ =2××AB·CE=2××4×=4. 真题演练 1.(2016·北京)内角和为 540°的多边形是( ) A B C D 【答案】 C 2.如图 1-11-31，四边形 ABCD 是平行四边形，AE 平分∠BAD，交 DC 的延长线于点 E.求证： DA=DE. 图 1-11-31 【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥DC，∴ AB∥DE，∴ ∠AED=∠BAE. ∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE=∠EAD， ∴ ∠EAD=∠AED，∴ DA=DE. 3.(2015·北京)图 1-11-32 是由射线 AB，BC，CD，DE 组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5= ． 图 1-11-32 【答案】 360° 第二节 特殊的平行四边形 课标解读 考试内容 考 试 要 求 考查频度 A B C 特殊的平 行四边形 理解矩形、菱形、正 方形的概念，以及它 们之间的关系 能利用矩形、菱形、 正方形的性质定理 与判定定理解决有 关简单问题 运用矩形、菱形、正 方形的有关内容解 决有关问题 ★★★★ ★ 知识要点 1.矩形 (1)定义：有一个角是直角的 叫做矩形． (2)性质： ①具有平行四边形的所有性质; ②对角线 ;③四个角都是直角. (3)矩形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，它有 对称轴． (4)矩形的面积： . (5)矩形的判定方法 ① 的平行四边形；②对角线 的平行四边形；③有三个角是直角 的四边形． 图 1-11-33 2.菱形 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． (2)性质： ①具有平行四边形的一切性质;② 都相等; ③两条对角线 ，并且 . (3)菱形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线． (4)菱形的面积: 方法 1：= ; 方法 2：= . (5)菱形的判定方法： ①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边 形． 图 1-11-34 3.正方形 (1)定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 拓展: 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形． (2)性质： ①边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行; ②角——四个角都是直角; ③对角线——相等;互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角． (3)正方形的对称性：是轴对称图形，有___条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两 条对角线的交点． (4)正方形的面积: 方法 1：= ; 方法 2：= . (5)正方形的判定方法： ①根据定义； ②有一组邻边相等的矩形是正方形； ③有一个角是直角的菱形是正方形. 图 1-11-35 典例诠释 考点一 特殊平行四边形的对称性 例 1 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.梯形 D.矩形 【答案】 D 【点评】 本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，找轴对称图形的关键是寻找对 称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合． 例 2 (2016·房山一模)有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下 列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆. 将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心 对称图形的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【名师点评】 准确理解轴对称图形和中心对称图形的概念和性质，注意②不是中心对称图 形，③不是轴对称图形. 考点二 运用特殊平行四边形性质进行简单计算 例 3 如图 1-11-36,菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AC＝8，BD＝6，过点 O 作 OH⊥AB，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH＝ . 图 1-11-36 【答案】 【名师点评】 此题考查菱形的性质、勾股定理、“双垂直”的基本图形，学生要熟练掌握， 求 OH 的长可利用“等面积法”求解.学生最好能记住“双垂直图形”中的四个常见等积式. 考点三 特殊平行四边形性质与判定的综合应用 例 4 (2016·东城一模)如图 1-11-37，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平 分线交 BC 于点 E(尺规作图的痕迹保留在图中了)， 连接 EF． 图 1-11-37 (1)求证：四边形 ABEF 为菱形； (2)AE，BF 相交于点 O，若 BF=6，AB=5，求 AE 的长． 【证明】 由尺规作∠BAD 的平分线的过程可知，AB=AF，且∠BAE=∠FAE. 又∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴ ∠FAE=∠AEB. ∴ ∠BAE=∠AEB.∴ AB=BE.∴ BE=FA. ∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.∴ 四边形 ABEF 为菱形. (2)【解】 ∵ 四边形 ABEF 为菱形，∴ AE⊥BF，OB=BF=3，AE=2AO. 在 Rt△AOB 中，AO==4.∴ AE=2AO=8. 【名师点评】 此题结合尺规作图，考查了菱形的判定和性质，准确记忆和应用菱形的判定 和性质是关键. 考点四 利用特殊平行四边形性质简拼图形 例 5 问题：现有 5 个边长为 1的正方形，排列形式如图 1-11-38，请把它们分割后拼接成 一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为 1)中 用实线画出拼接成的新正方形． 图 1-11-38 小东同学的做法是：设新正方形的边长为 x(x >0). 依题意，割补前后图形面积相等, 有=5, 解得 x=．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出 如图 1-11-39 所示的分割线，拼出如图 1-11-40 所示的新正方形． 图 1-11-39 图 1-11-40 请你参考小东同学的做法，解决如下问题： (1) 如图 1-11-41 是由边长为 1的 5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形 (在图 1-11-41 上画出分割线，并在图 1-11-41 的右侧画出拼成的正方形简图)； (2)如图 1-11-42，是由边长分别为 a 和 b 的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一 个正方形(在图 1-11-42 上画出分割线，并在图 1-11-42 的右侧画出拼成的正方形简图). 图 1-11-41 图 1-11-42 【答案】 如图 1-11-43 所示. 图 1-11-43 【名师点评】 分割图形和图形的重新组合问题由于解题策略多样，方法多样，剪裁线的不 定性，使得组合图形变得多姿多彩，对于图形面积的思考是解题关键. 基础精练 1.(2016·顺义二模)四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图 1-11-44 所示的四个图形， 在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率 为( ) 图 1-11-44 A. B. C. D.1 【答案】 A 2.(2016·平谷二模)如图 1-11-45，已知：矩形 ABCD 中对角线 AC，BD 交于点 O，E 是 AD 中 点，连接 OE.若 OE=3，AD=8，则对角线 AC 的长为( ) 图 1-11-45 A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】 D 3.(2016·昌平二模)为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具(如图 1-11-46 中左 图)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架 ABCD，并在 A与 C、 B 与 D 两点之间分别 用一根橡皮筋拉直固定. 课上，李老师右手拿住木条 BC，用左手向右推动框架至 AB⊥BC(如 图 1-11-46 中 右 图 ). 观 察 所 得 到 的 四 边 形 ， 下 列 判 断 正 确 的 是 ( ) 图 1-11-46 A．∠BCA＝45° B．BD 的长度变小 C．AC＝BD D．AC⊥BD 【答案】 C 4.(2016·石景山一模)如图 1-11-47，方格纸中有一四边形 ABCD(A，B，C，D 四点均为格点)， 若方格纸中每个小正方形的边长为 1，则该四边形的面积为 . 图 1-11-47 【答案】 12 5.(2014·西城一模)如图 1-11-48，菱形 ABCD 中，∠DAB=60°，DF⊥AB 于点 E，且 DF=DC， 连接 FC，则∠ACF 的度数为 度. 图 1-11-48 【答案】 15 6.(2014·房山一模)如图 1-11-49,在边长为 9 的正方形 ABCD 中, F 为 AB 上一点,连接 CF. 过点 F作 FE⊥CF,交 AD 于点 E，若 AF＝3,则 AE 等于( ) 图 1-11-49 A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 【答案】 C 7.(2014·大兴一模)若菱形两条对角线的长分别为 10 cm 和 24 cm，则这个菱形的周长为 ( ) A.13 cm B.26 cm C.34 cm D.52 cm 【答案】 D 8.(2014·大兴一模)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E为 BC 边的延长线上一点，CE＝2，连接 AE 与 CD 交于点 F，连接 BF 并延长与线段 DE 交于点 G，则 BG 的长为 . 【答案】 9.(2014·海淀二模)已知一个菱形的周长是 20 cm，两条对角线的比是 4∶3，则这个菱形的 面积是( ) A.12 B.24 C.48 D.96 【答案】 B 10.(2014·珠海)边长为 3 cm 的菱形的周长是( ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.15 cm 【答案】 C 11.(2014·娄底)如图1-11-50，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件 是 (添加一个条件即可)． 图 1-11-50 【答案】 AC=BD 12.(2014·陕西)如图 1-11-51，在菱形 ABCD 中，AB=5，对角线 AC=6．若过点 A 作 AE⊥BC， 垂足为 E，则 AE 的长为( ) 图 1-11-51 A.4 B. C. D.5 【答案】 C 13.(2014·淄博)如图 1-11-52，矩形纸片 ABCD 中，点 E是 AD 的中点，且 AE=1，BE 的垂直 平分线 MN 恰好过点 C，则矩形的一边 AB 的长度为( ) 图 1-11-52 A.1 B. C. D.2 【答案】 C 14.(2014·兰州)下列命题中正确的是( ) A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】 B 15.(2014·吉林)如图 1-11-53，四边形 ABCD、AEFG 是正方形，点 E、G分别在 AB，AD 上， 连接 FC，过点 E作 EH∥FC，交 BC 于点 H.若 AB=4，AE=1，则 BH 的长为( ) 图 1-11-53 A.1 B.2 C.3 D.3 【答案】 C 16.(2014·青岛)如图 1-11-54，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C′ 上，若 AB＝6，BC＝9，则 BF 的长为( ) 图 1-11-54 A.4 B.3 C.4.5 D.5 【答案】 A 17.(2016·房山二模)已知，如图 1-11-55，四边形 ABCD 是平行四边形，延长边 AB 到点 E， 使 BE＝AB，连接 DE、BD 和 EC，设 DE 交 BC 于点 O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形 BECD 是矩 形． 图 1-11-55 【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB=DC，AB∥CD，∠A＝∠BCD. ∵ BE=AB，∴ BE∥CD，BE=DC. ∴ 四边形 BECD 为平行四边形．∴ OD=DE，OC=BC. 又∵ ∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC， ∴ ∠OCD＝∠ODC，∴ OC＝OD.∴ DE=BC. ∴ 平行四边形 BECD 为矩形． 18.(2016·丰台一模)如图 1-11-56，在 ABCD 中，∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，∠ABC 的 平分线交 AD 于点 F，AE 与 BF 相交于点 O，连接 EF． (1)求证：四边形 ABEF 是菱形； (2)若 AE=6，BF=8，CE=3，求 ABCD 的面积． 图 1-11-56 (1)【证明】 在 ABCD 中， ∵ AD∥BC，∴ ∠DAE=∠AEB. ∵ ∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，∴ ∠DAE=∠BAE. ∴ ∠BAE=∠BEA.∴ AB=BE. 同理可得 AB=AF.∴ AF=BE. ∴ 四边形 ABEF 是平行四边形. ∴ ABEF 是菱形. (2)【解】 如图 1-11-57，过 F作 FG⊥BC 于 G. 图 1-11-57 ∵ ABEF 是菱形，AE=6，BF=8， ∴ AE⊥BF，OE=AE=3，OB=BF=4.∴ BE==5. ∵ =AE·BF=BE·FG, ∴ FG=，∴ =BC·FG=. 19. (2016·海淀一模)如图 1-11-58，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 B 作 AC 的平行线交 DC 的延长线于点 E. (1)求证：BD=BE； (2)若 BE=10，CE=6，连接 OE，求 tan∠OED 的值. 图 1-11-58 (1)【证明】 ∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴ AC＝BD,AB∥DC. ∵ AC∥BE，∴ 四边形 ABEC 为平行四边形. ∴ AC=BE，∴ BD=BE. (2)【解】 如图 1-11-59，过点 O作 OF⊥CD 于点 F. 图 1-11-59 ∵ 四边形 ABCD 为矩形，∴ ∠BCD=90°. ∵ BE=BD=10，∴ CD=CE=6. 同理，可得 CF=DF=CD=3，∴ EF=9. 在 Rt△BCE 中，由勾股定理可得 BC=8. ∵ OB=OD，∴ OF 为△BCD 的中位线.∴ OF=BC=4. ∴ 在 Rt△OEF 中，tan∠OED==. 20.(2016·海淀二模)如图 1-11-60，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为 AB 边上的中线，过点 D作 DE⊥BC 于 E，过点 C作 AB 的平行线与 DE 的延长线交于点 F，连接 BF，AE． (1)求证：四边形 BDCF 为菱形； (2)若四边形 BDCF 的面积为 24，tan∠EAC=，求 CF 的长. 图 1-11-60 (1)【证明】∵ ∠ACB=90°， ∴ AC⊥BC． ∵ DE⊥BC， ∴ AC∥DE． 又∵ CF∥AD， ∴ 四边形 ACFD 为平行四边形，∴ AD=CF. ∵ CD 为 AB 边上的中线， ∴ AD=BD，∴ BD=CF. ∴ 四边形 BDCF 为平行四边形. ∵ DE⊥BC，∴ 四边形 BDCF 为菱形. (2)【解】 在 Rt△ACE 中， ∵ tan∠EAC==， ∴ 设 CE=2x,AC=DF=3x. ∵ 菱形 BDCF 的面积为 24， ∴ DF·BC=24,∴ DF·EC=24, ∴ 3x·2x=24,∴ =2,=－2(舍去). ∴ CE＝4，EF＝DF＝3，∴ CF=5. 21.(2016·门头沟一模)如图 1-11-61，在矩形 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于 E，过 E 作 EF⊥AD 于 F，连接 BF 交 AE 于 P，连接 PD． 图 1-11-61 (1)求证：四边形 ABEF 是正方形； (2)如果 AB=4，AD=7，求 tan∠ADP 的值． (1)【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE． 又∵ EF⊥AD， ∴ ∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°, ∴ 四边形 ABEF 是矩形． 又∵ AE 平分∠BAD，AF∥BE， ∴ ∠FAE=∠BAE=∠AEB，∴ AB=BE． ∴ 四边形 ABEF 是正方形． (2)【解】 如图 1-11-62，过点 P 作 PH⊥AD 于 H． 图 1-11-62 ∵ 四边形 ABEF 是正方形， ∴ BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°． ∴ AB∥PH． ∵ AB=4，∴ AH=PH=2． ∵ AD=7，∴ DH=AD－AH=7－2=5． 在 Rt△PHD 中，∠PHD=90°, ∴ tan∠ADP==． 22.(2016·石景山一模)如图 1-11-63，在△ABC 中，∠ABC=90°，过点 B 作 AC 的平行线交 ∠CAB 的平分线于点 D，过点 D 作 AB 的平行线交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，连接 BE，交 AD 于点 G． (1)求证：四边形 ABDE 是菱形； (2)若 BD=14，cos∠GBH=，求 GH 的长． 图 1-11-63 (1)【证明】 ∵ AC∥BD，AB∥ED， ∴ 四边形 ABDE 是平行四边形． ∵ AD 平分∠CAB，∴ ∠CAD=∠BAD． ∵ AC∥BD，∴ ∠CAD=∠ADB． ∴ ∠BAD=∠ADB，∴ AB=BD． ∴ 四边形 ABDE 是菱形． (2)【解】 ∵ ∠ABC=90°， ∴ ∠GBH+∠ABG=90°． ∵ AD⊥BE， ∴ ∠GAB+∠ABG=90°, ∴ ∠GAB=∠GBH, ∵ cos∠GBH=， ∴ cos∠GAB=． ∴ ==． ∵ 四边形 ABDE 是菱形，BD=14, ∴ AB=BD=14, ∴ AH=16，AG=, ∴ GH=AH－AG=. 23.(2016·石景山二模)如图 1-11-64，CD 垂直平分 AB 于点 D，连接 CA，CB，将 BC 沿 BA 的方向平移，得到线段 DE，交 AC 于点 O，连接 EA，EC． 图 1-11-64 (1)求证：四边形 ADCE 是矩形； (2)若 CD=1，AD=2，求 sin∠COD 的值． (1)【证明】 由已知得 BD∥CE，BD=CE． ∵ CD 垂直平分 AB， ∴ AD=BD，∠CDA=90°． ∴ AD∥CE，AD=CE． ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形． ∴ 平行四边形 ADCE 是矩形． (2)【解】 如图 1-11-65，过 D 作 DF⊥AC 于 F， 图 1-11-65 在 Rt△ADC 中，∠CDA=90°， ∵ CD=1，AD=2， 由勾股定理可得 AC=． ∵ O 为 AC 中点，∴ OD=． ∵ AC·DF=AD·DC，∴ DF=． 在 Rt△ODF 中，∠OFD=90°， ∴ sin∠COD==. 24.(2016·东城二模)如图 1-11-66，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，请画出以 A 为一个顶点， 另外两个顶点在正方形 ABCD 的边上，且含边长为 3的等腰三角形．(要求：画出三个．．大小不 同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为 3 的边上标注数字 3) 图 1-11-66 【解】 满足条件的所有图形如图 1-11-67 所示： ① ② ③ ④ ⑤ 图 1-11-67 25.(2016·石景山二模)阅读下面材料： 小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形 ABCD 面积相等的正方形． 小骏发现：如图 1-11-68，延长 AD 到 E，使得 DE=CD，以 AE 为直径作半圆，过点 D 作 AE 的 垂线，交半圆于点 F，以 DF 为边作正方形 DFGH，则正方形 DFGH 即为所求． 请回答：AD，CD 和 DF 的数量关系为 . 图 1-11-68 参考小骏思考问题的方法，解决问题： 画一个和已知 ABCD 面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤． 【解】 =AD·CD. 解决问题： 方法一：过点 A作 AM⊥BC 于点 M，延长 AD 到 E， 使得 DE=AM，以 AE 为直径作半圆，过点 D 作 AE 的垂线，交半圆于点 F，以 DF 为边作正方形 DFGH，正方形 DFGH 即为所求．如图 1-11-69. 图 1-11-69 方法二：如图 1-11-70，过点 A作 AM⊥BC 于点 M，过点 D 作 DN⊥BC 交 BC 延长线于点 N，将 平行四边形转化为等面积矩形后同小骏的画法． 图 1-11-70 真题演练 1.(2015·北京)如图 1-11-71，在 ABCD中，过点 D作 DE⊥AB于点 E，点 F在边 CD上，DF=BE， 连接 AF，BF. (1)求证：四边形 BFDE 是矩形； (2)若 CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF 平分∠DAB. 图 1-11-71 【证明】 (1)∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ DC∥AB,即 DF∥BE. 又∵ DF=BE,∴ 四边形 DEBF 为平行四边形. 又∵ DE⊥AB,即∠DEB=90°, ∴ 四边形 BFDE 为矩形. (2)∵ 四边形 BFDE 为矩形，∴ ∠BFD=90°. ∵ ∠BFC+∠BFD=180°,∴ ∠BFC=90°. 在 Rt△BFC 中，∵ CF=3,BF=4, ∴ BC===5. ∴ AD=BC=5. ∵ DF=5,∴ AD=DF=5,∴ ∠DAF=∠DFA. ∵ ∠DFA=∠FAB,∴ ∠DAF=∠FAB, 即 AF 平分∠DAB. 2.(2014·北京)如图 1-11-72，在 ABCD 中，AE 平分∠BAD，交 BC 于点 E，BF 平分∠ABC， 交 AD 于点 F，AE 与 BF 交于点 P，连接 EF，PD. (1)求证：四边形 ABEF 是菱形； (2)若 AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求 tan∠ADP 的值. 图 1-11-72 (1)【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC,∴ ∠FAE=∠AEB. ∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠FAE=∠BAE, ∴ ∠BAE=∠AEB,∴ AB=BE. 同理可得 AF=AB.∴ AF=BE. ∵ AD∥BC,∴ 四边形 ABEF 是平行四边形. 又∵ AB=BE，∴ 平行四边形 ABEF 是菱形. (2)【解】 如图 1-11-73，作 PH⊥AD 于 H. 图 1-11-73 ∵ 四边形 ABEF 是菱形，∠ABC=60°， ∴ △ABE 是等边三角形. ∴ ∠PAH=60°， ∴ PA=AE=AB=2. 在 Rt△PAH 中，PH=2sin 60°=，AH=2cos 60°=1, ∴ DH=AD－AH=6－1=5. ∴ tan∠ADP==. 3.(2013·北京)如图 1-11-74，在 ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长 BC 到点 E，使 CE=BC， 连接 DE，CF. (1)求证：四边形 CEDF 是平行四边形； (2)若 AB=4，AD=6，∠B=60°，求 DE 的长. 图 1-11-74 (1)【证明】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC,AD=BC. ∵ F 是 AD 的中点，∴ FD=AD. ∵ CE=BC,∴ FD=CE. ∵ FD∥CE,∴ 四边形 CEDF 是平行四边形. (2)【解】 如图 1-11-75，过点 D 作 DG⊥CE 于点 G. 图 1-11-75 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB∥CD,CD=AB=4, BC=AD=6.∴ ∠1=∠B=60°. 在 Rt△DGC 中，∠DGC=90°, ∴ CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2. ∵ CE=BC=3,∴ GE=1. 在 Rt△DGE 中，∠DGE=90°, ∴ DE==. 4.(2013·北京)如图 1-11-76，O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 的中点，M 是 AD 的中点，若 AB=5， AD=12，则四边形 ABOM 的周长为 . 图 1-11-76 【答案】 20