南京市中考数学试题及解析

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南京市中考数学试题及解析

‎2012年南京市中考数学试卷 ‎(本试卷满分120分,考试时间120分钟)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)‎ ‎1、(2012江苏南京2分)下列四个数中,负数是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】实数的运算,正数和负数,绝对值的性质,有理数的乘方的定义,算术平方根。‎ ‎【分析】根据绝对值的性质,有理数的乘方的定义,算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解:‎ A、|-2|=2,是正数,故本选项错误;B、=4,是正数,故本选项错误;‎ C、 <0,是负数,故本选项正确;D、=2,是正数,故本选项错误。‎ 故选C。‎ ‎2、(2012江苏南京2分)PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m的颗粒物,将0.0000025用科学记数法表示为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】科学记数法。‎ ‎【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。0.0000025第一个有效数字前有6个0,从而0.0000025=。故选C。‎ ‎3、(2012江苏南京2分)计算的结果是【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】整式的除法,幂的乘方,同底幂的除法。‎ ‎【分析】根据幂的乘方首先进行化简,再利用同底数幂的除法的运算法则计算后直接选取答案:‎ ‎ ,故选B。‎ ‎4、(2012江苏南京2分)12的负的平方根介于【 】‎ A. -5和-4之间 B. -4与-3之间 C. -3与-2之间 D. -2与-1之间 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】估算无理数的大小,不等式的性质。‎ ‎【分析】∵9 < 12 < 16,∴。∴,即。故选B。‎ ‎5、(2012江苏南京2分)若反比例函数与一次函数的图像没有交点,则的值可以是【 】‎ A. -2 B. -1 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,一元二次方程的判别式。‎ ‎【分析】把两函数的解析式组成方程组,再转化为求一元二次方程解答问题,求出k的取值范围,找出符合条件的k的值即可:‎ ‎∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点,‎ ‎∴无解,即无解,整理得x2+2x-k=0,‎ ‎∴△=4+4k<0,解得k<-1。‎ 四个选项中只有-2<-1,所以只有A符合条件。故选A。‎ ‎6、(2012江苏南京2分)如图,菱形纸片ABCD中,∠A=600,将纸片折叠,点A、D分别落在A’、D’处,且A’D’经过B,EF为折痕,当D’FCD时,的值为【 】‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题),菱形的性质,平行的性质,折叠的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)‎ ‎7、(2012江苏南京2分)使有意义的的取值范围是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】二次根式有意义的条件。‎ ‎【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件,要使在实数范围内有意义,必须,即。‎ ‎8、(2012江苏南京2分)计算的结果是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】分母有理化。‎ ‎【分析】分子分母同时乘以 即可进行分母有理化:。‎ ‎9、(2012江苏南京2分)方程的解是 ▲ ‎ ‎【答案】x=6。‎ ‎【考点】解分式方程。‎ ‎【分析】方程最简公分母为:。故方程两边乘以,化为整式方程后求解,并代入检验即可得出方程的根:‎ ‎ 去分母得:3(x-2)-2x=0,‎ 去括号得:3x-6-2x=0,‎ 整理得:x=6,‎ 经检验得x=6是方程的根。‎ ‎10、(2012江苏南京2分)如图,、、、是五边形ABCDE的4个外角,若,则 ▲ ‎ ‎【答案】300。‎ ‎【考点】多边形外角性质,补角定义。‎ ‎【分析】由题意得,∠A的外角=180°-∠A=60°,‎ 又∵多边形的外角和为360°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠A的外角=300°。‎ ‎11、(2012江苏南京2分)已知一次函数的图像经过点(2,3),则的值为 ▲ ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】根据点在直线上,点的坐标满足方程的关系,将(2,3)代入,得 ‎ ,解得,k=2。‎ ‎12、(2012江苏南京2分)已知下列函数 ① ② ③,其中,图象通过平移可以得到函数的图像的有 ▲ (填写所有正确选项的序号)‎ ‎【答案】①③。‎ ‎【考点】二次函数图象与平移变换。‎ ‎【分析】把原式化为顶点式的形式,根据函数图象平移的法则进行解答:‎ ‎ ∵‎ ‎∴由函数图象平移的法则可知,进行如下平移变换 ‎①,故①正确。‎ ‎②的图象开口向上, ‎ 的图象开口向下,不能通过平移得到,故②错误。‎ ‎③,,故③正确。‎ ‎∴图象通过平移可以得到函数的图像的有①,③。‎ ‎13、(2012江苏南京2分)某公司全体员工年薪的具体情况如下表:‎ 年薪/万元 ‎30‎ ‎14‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3.5‎ ‎3‎ 员工数/人 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎2‎ 则所有员工的年薪的平均数比中位数多 ▲ 万元。‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】中位数,加权平均数。‎ ‎【分析】根据加权平均数的定义求出员工的工资平均数:‎ ‎(30+14+9+6×2+4×7+3.5×6+3×2)÷20 =120÷20 =6。‎ 中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数)。因此这20个员工的年薪的中位数是第10和11人的工资的平均数,工资均为4,∴中位数为:4。‎ ‎∴该公司全体员工年薪的平均数比中位数多6-4=2万元。‎ ‎14、(2012江苏南京2分)如图,将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上,顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm,若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 ▲ cm ‎(结果精确到0.1 cm,参考数据:,,)‎ ‎【答案】2.7。‎ ‎【考点】解直角三角形的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】过点B作BD⊥OA于D,过点C作CE⊥OA于E。‎ 在△BOD中,∠BDO=90°,∠DOB=45°,∴BD=OD=2cm。‎ ‎∴CE=BD=2cm。‎ 在△COE中,∠CEO=90°,∠COE=37°,‎ ‎∵,∴OE≈2.7cm。‎ ‎∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm。‎ ‎15、(2012江苏南京2分)如图,在平行四边形ABCD中,AD=10cm,CD=6cm,E为AD上一点,且BE=BC,CE=CD,则DE= ▲ cm ‎【答案】2.5。‎ ‎【考点】平行四边形的性质,平行的性质,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是平行四边形,AD=10cm,CD=5cm,‎ ‎∴BC=AD=10cm,AD∥BC,∴∠2=∠3。‎ ‎∵BE=BC,CE=CD,‎ ‎∴BE=BC=10cm,CE=CD=5cm,∠1=∠2,∠3=∠D。‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=∠D。∴△BCE∽△CDE。∴,即,解得DE=2.5cm。‎ ‎16、(2012江苏南京2分)在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿x轴翻折,再向右平移两个单位称为一次变换,如图,已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是,(-1,-1),(-3,-1),把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’,则点A的对应点A’的坐标是 ▲ ‎ ‎【答案】(16,)。‎ ‎【考点】分类归纳(图形的变化类),翻折变换(折叠问题),坐标与图形性质,等边三角形的性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】先由△ABC是等边三角形,点B、C的坐标分别是(-1,1)、(-3,-1),求得点A的坐标;再寻找规律,求出点A的对应点A′的坐标:‎ ‎ 如图,作BC的中垂线交BC于点D,则 ‎ ∵△ABC是等边三角形,点B、C的坐标分别是(-1,1)、(-3,-1),‎ ‎ ∴BD=1,。∴A(—2,)。‎ ‎ 根据题意,可得规律:第n次变换后的点A的对应点的坐标:当n为奇数时为(2n-2,),当n为偶数时为(2n-2, )。‎ ‎ ∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′,则点A的对应点A′的坐标是:(16,)。‎ 三、解答题(本大题共11题,共88分)‎ ‎17、(2012江苏南京6分)解方程组 ‎【答案】解: ,‎ ‎ 由①得x=-3y-1③,‎ 将③代入②,得3(-3y-1)-2y=8,解得:y=-1。‎ 将y=-1代入③,得x=2。‎ ‎∴原方程组的解是 。‎ ‎【考点】解二元一次方程组。‎ ‎【分析】解二元一次方程组的解题思想是用代入法或加减法消元,化为一元一次方程求解。本题易用代入法求解。先由①表示出x,然后将x的值代入②,可得出y的值,再代入①可得出x的值,继而得出了方程组的解。‎ ‎18、(2012江苏南京9分)化简代数式,并判断当x满足不等式组时该代数式的符号。‎ ‎19、(2012江苏南京8分)如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,点D在BC的延长线上,且BD=AB,过B作BEAC,与BD的垂线DE交于点E,‎ ‎(1)求证:△ABC≌△BDE ‎(2)三角形BDE可由三角形ABC旋转得到,利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法)‎ ‎20、(2012江苏南京8分)某中学七年级学生共450人,其中男生250人,女生200人。该校对七年级所有学生进行了一次体育测试,并随即抽取了50名男生和40名女生的测试成绩作为样本进行分析,绘制成如下的统计表:‎ 成绩 划记 频数 百分比 不及格 ‎9‎ ‎10%‎ 及格 ‎18‎ ‎20%‎ 良好 ‎36‎ ‎40%‎ 优秀 ‎27‎ ‎30%‎ 合计 ‎90‎ ‎90‎ ‎100%‎ ‎(1)请解释“随即抽取了50名男生和40名女生”的合理性;‎ ‎(2)从上表的“频数”、“百分比”两列数据中选择一列,用适当的统计图表示;‎ ‎(3)估计该校七年级学生体育测试成绩不合格的人数。‎ ‎【答案】解:(1)∵(人),(人),‎ ‎ ∴该校从七年级学生中随机抽取90名学生,应当抽取50名男生和40名女生。‎ ‎(2)选择扇形统计图,表示各种情况的百分比,图形如下:‎ ‎(3)450×10%=45(人)。‎ 答:估计该校七年级学生体育测试成绩不及格45人.‎ ‎【考点】频数(率)分布表,抽样调查的可靠性,频数、频率和总量的关系,用样本估计总体,扇形统计图或条形统计图。‎ ‎【分析】(1)所抽取男生和女生的数量应该按照比例进行,根据这一点进行说明即可。‎ ‎(2)可选择扇形统计图,表示出各种情况的百分比,也可选择条形统计图,答案不唯一。‎ ‎(3)根据用样本估计总体的方法即可得出答案。‎ ‎21、(2012江苏南京7分)甲、乙、丙、丁4名同学进行一次羽毛球单打比赛,要从中选2名同学打第一场比赛,求下列事件的概率。‎ ‎(1)已确定甲打第一场,再从其余3名同学中随机选取1名,恰好选中乙同学;‎ ‎(2)随机选取2名同学,其中有乙同学.‎ ‎【答案】解:(1)已确定甲打第一场,再从其余3名同学中随机选取1名,恰好选中乙同学的概率是。‎ ‎(2)从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学,所有等可能出现的结果有:(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(乙、丙)、(乙、丁)、(丙、丁),共有6种,‎ 所有的结果中,满足“随机选取2名同学,其中有乙同学”(记为事件A)的结果有3种:(甲、乙)、(乙、丙)、(乙、丁)。‎ ‎∴P(A)=。‎ ‎【考点】列举法,概率。‎ ‎【分析】(1)由一共有3种等可能性的结果,其中恰好选中乙同学的有1种,即可求得答案。‎ ‎(2)先用列举法求出全部情况的总数,再求出符合条件的情况数目,二者的比值就是其发生的概率。‎ ‎22、(2012江苏南京8分)如图,梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,对角线AC、BD交于点O,ACBD,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 ‎(1)求证:四边形EFGH为正方形;‎ ‎(2)若AD=2,BC=4,求四边形EFGH的面积。‎ ‎【答案】(1)证明:在△ABC中,E、F分别是AB、BC的中点,EF=AC。‎ 同理FG=BD,GH=AC,HE=BD。‎ ‎∵在梯形ABCD中,AB=DC,∴AC=BD。‎ ‎∴EF=FG=GH=HE,∴四边形EFGH是菱形。‎ 设AC与EH交于点M,‎ 在△ABD中,E、H分别是AB、AD的中点,则EH∥BD,同理GH∥AC。‎ 又∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。‎ ‎∴四边形EFGH是正方形。‎ ‎(2)解:连接EG。‎ 在梯形ABCD中,∵E、F分别是AB、DC的中点,‎ ‎∴。‎ 在Rt△EHG中,∵EH2+GH2=EG2,EH=GH,‎ ‎∴,即四边形EFGH的面积为。‎ ‎【考点】三角形中位线定理,等腰梯形的性质,正方形的判定,梯形中位线定理,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)先由三角形的中位线定理求出四边相等,然后由AC⊥BD入手,进行正方形的判断。‎ ‎(2)连接EG,利用梯形的中位线定理求出EG的长,然后结合(1)的结论求出 ,也即得出了正方形EHGF的面积。‎ ‎23、(2012江苏南京7分)看图说故事。‎ 请你编一个故事,使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系式,要求:①指出x和y的含义;②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义,其中需设计“速度”这个量 ‎【答案】解: ①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位:km)与他所用的时间x(单位:min)的关系。‎ ‎②小明以400m/min的速度匀速骑了5min,在原地休息了6min,然后以500m/min的速度匀速骑车回出发地。(本题答案不唯一) ‎ ‎【考点】开放型问题,函数的图象。‎ ‎【分析】①结合实际意义得到变量x和y的含义;②由于函数须涉及“速度”这个量,只要叙述清楚时间及相应的路程,体现出函数的变化即可。‎ ‎24、(2012江苏南京8分)某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成,如图,在和扇形中,与、分别相切于A、B,,E、F事直线与、扇形的两个交点,EF=24cm,设的半径为x cm,‎ ‎① 用含x的代数式表示扇形的半径;‎ ‎② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元,当的半径为多少时,该玩具成本最小?‎ ‎【答案】解:(1)连接O1A。‎ ‎ ∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B,‎ ‎∴O1A⊥O2C,O2E平分∠CO2D。‎ ‎∵,∴∠AO2O1=∠CO2D=30°。‎ 在Rt△O1AO2中,,∴O1O2=A O1 sin∠AO2O1 =x sin30° =2x。‎ ‎∵EF=24cm,∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x,即扇形O2CD的半径为 ‎(24-3x)cm。‎ ‎(2)设该玩具的制作成本为y元,则 ‎。‎ ‎∴当x=4时,y的值最小。‎ 答:当⊙O1的半径为4cm时,该玩具的制作成本最小。 ‎ ‎【考点】切线的性质,锐角三角函数定义,扇形面积的计算,二次函数的最值。‎ ‎【分析】(1)连接O1A.由切线的性质知∠AO2O1=∠CO2D=30°;然后在Rt△O1AO2中利用锐角三角函数的定义求得O1O2=2x;最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2。‎ ‎(2)设该玩具的制作成本为y元,则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系,然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。‎ ‎25、(2012江苏南京8分)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售有如下关系,若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售一部,所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内,含10部,每部返利0.5万元,销售量在10部以上,每部返利1万元。‎ ‎① 若该公司当月卖出3部汽车,则每部汽车的进价为 万元;‎ ‎② 如果汽车的销售价位28万元/部,该公司计划当月盈利12万元,那么要卖出多少部汽车?(盈利=销售利润+返利)‎ ‎【答案】解:(1)26.8。 (2)设需要售出x部汽车,‎ 由题意可知,每部汽车的销售利润为:28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(万元),‎ 当0≤x≤10,根据题意,得x·(0.1x+0.9)+0.5x=12,整理,得x2+14x-120=0,‎ 解这个方程,得x1=-20(不合题意,舍去),x2=6。‎ 当x>10时,根据题意,得x·(0.1x+0.9)+x=12,整理,得x2+19x-120=0,‎ 解这个方程,得x1=-24(不合题意,舍去),x2=5。‎ ‎∵5<10,∴x2=5舍去。‎ 答:要卖出6部汽车。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用。‎ ‎【分析】(1)根据若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,得出该公司当月售出3部汽车时,则每部汽车的进价为:27-0.1×2=26.8。,‎ ‎(2)利用设需要售出x部汽车,由题意可知,每部汽车的销售利润,根据当0≤x≤10,以及当x>10时,分别讨论得出即可。‎ ‎26、((2012江苏南京9分)“?”的思考 下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。‎ 题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?‎ 解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,‎ 根据题意,得x•2x=288.‎ 解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12‎ 所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)‎ 答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2.‎ ‎?‎ 我的结果也正确 小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中划了一条横线,并打开了一个“?”‎ 结果为何正确呢?‎ ‎(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:‎ 变化一下会怎样…… ‎ ‎(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:AB=2:1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由。‎ 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm.”前补充以下过程:‎ 设温室的宽为ym,则长为2ym。‎ 则矩形蔬菜种植区域的宽为(y-1-1)m,长为(2y-3-1)m。‎ ‎∵,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1。‎ ‎(2)a+c b+d =2。理由如下:‎ 要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要,即,‎ 即 ,即a+c b+d =2。‎ ‎【考点】一元二次方程的应用(几何问题),相似多边形的性质,比例的性质。‎ ‎【分析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。‎ ‎(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得 ,然后利用比例的性质。‎ ‎27、(2012江苏南京10分)如图,A、B为⊙O上的两个定点,P是⊙O上的动点(P不与A、B重合),我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角。‎ ‎(1)已知∠APB是上关于点A、B的滑动角。‎ ‎① 若AB为⊙O的直径,则∠APB= ‎ ‎② 若⊙O半径为1,AB=,求∠APB的度数 ‎(2)已知为外一点,以为圆心作一个圆与相交于A、B两点,∠APB为上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交于点M、N(点M与点A、点N与点B均不重合),连接AN,试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。‎ ‎【答案】解:(1)①900。‎ ‎②如图,连接AB、OA、OB.‎ 在△AOB中,∵OA=OB=1.AB=,∴OA2+OB2=AB2。‎ ‎∴∠AOB=90°。‎ 当点P在优弧 AB 上时(如图1),∠APB=∠AOB=45°;‎ 当点P在劣弧 AB 上时(如图2),‎ ‎∠APB=(360°-∠AOB)=135°。‎ ‎(2)根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况.‎ 第一种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图3,‎ ‎∵∠MAN=∠APB+∠ANB,‎ ‎∴∠APB=∠MAN-∠ANB。‎ 第二种情况:点P在⊙O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图4,‎ ‎∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+(180°-∠ANB),‎ ‎∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°。‎ 第三种情况:点P在⊙O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图5,‎ ‎∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°,‎ ‎∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB。‎ 第四种情况:点P在⊙O2内,如图6,‎ ‎∠APB=∠MAN+∠ANB。‎ ‎【考点】圆周角定理,勾股定理逆定理,三角形内角和定理和外角性质。‎ ‎【分析】(1)①根据直径所对的圆周角等于90°即可得∠APB=900。‎ ‎②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°,再分点P在优弧上;点P在劣弧上两种情况讨论即可。‎ ‎(2)根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系。‎
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