湖南省中考数学压轴题汇编

湖南省中考数学压轴题汇编

‎1．【2016•长沙市中考压轴题（第25题）】若抛物线L：（，，是常数，且）与直线都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线上，则称此直线与抛物线L具有“一带一路”关系，此时直线叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线的“路线” ．‎ ‎（1）若直线与抛物线具有“一带一路”关系，求，的值；‎ ‎（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数的图象上，它的“带线” 的解析式为，求此“路线”L的解析式；‎ ‎（3）当常数满足时，求抛物线的“带线” 与轴，轴所围成的三角形面积的取值范围．‎ ‎2．【2016•长沙市中考压轴题（第26题）】如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限，∠POQ=135°．‎ ‎（1）求△AOQ的周长；‎ ‎（2）设AQ，试用含的式子表示点P的坐标；‎ ‎（3）当动点PQ在直线上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记tan∠AOQ=m．若过点A的二次函数同时满足以下两个条件：‎ ‎①②当时，函数的最大值等于．求二次项系数的值．‎ ‎3．【2016•株洲市中考压轴题（第25题）】已知AB是半径为1的圆O的直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．‎ ‎（1）求证：△DFB是等腰三角形；‎ ‎（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．‎ ‎4．【2016•株洲市中考压轴题（第26题）】如图，已知二次函数．‎ ‎（1）当时，求这个二次函数的顶点坐标；‎ ‎（2）求证：关于的二次方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（3）如图，该二次函数图象与轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与轴交于C点，P是轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP交BC于点Q，求证：．‎ ‎5．【2016•湘潭市中考压轴题（第25题）】如图，菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，∠EGF=60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交BC，CD于点E，F．‎ ‎（1）如图甲，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC+CF=BC；‎ ‎（2）知识探究：‎ ‎①如图乙，当顶点G运动到AC中点，探究线段 EC，CF与BC的数量关系；‎ ‎②在顶点G运动的过程中，，请直接写 出线段EC，CF与BC的数量关系（不需要写出证明过程）；‎ ‎（3）问题解决：‎ 如图丙，已知菱形的边长为8，BG=7，CF=，当时，求EC的长度．‎ 图丙 图甲 图乙 ‎6．【2016•湘潭市中考压轴题（第26题）】如图，抛物线的图象经过点A(2，3)，对称轴为，一次函数的图象经过点A，交轴于点P，交抛物线于另一点B，点AB位于点P的同侧．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当时，抛物线的对称轴上是否存在点C使得☉C同时与轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎7．【2016•常德市中考压轴题（第25题）】已知四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥AD，连接AC，‎ 过点作AE⊥AC，且使AE=AC，连接BE，过A作AH⊥CD于H交BE于F．‎ ‎（1）如图（1），当E在CD的延长线上时，求证：①△ABC≌△ADE；②BE=EF；‎ ‎（2）如图（2），当E不在CD的延长线上时，BF=EF还成立吗？请证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎8．【2016•常德市中考压轴题（第26题）】如图，已知抛物线与轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与轴交于C(0，2) ．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）H是C关于轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；‎ ‎（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与轴交于点E，且∠BME=∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．‎ ‎9．【2016•益阳市中考压轴题（第21题）】如图，顶点为A（，1）的抛物线经过坐标原点，与轴交于点B．‎ ‎（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；‎ ‎（2）过B作OA的平行线交轴于点C，交抛物线于点C，求证：△OCD≌△OAB；‎ ‎（3）在轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．‎ ‎10．【2016•益阳市中考压轴题（第22题）】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（举行的四个顶点均在的边上）．‎ ‎（1）计算矩形EFGH的面积；‎ ‎（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动，在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为时，求矩形平移的距离；‎ ‎（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕点G1按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为E2F2G1H2，设旋转角为，求的值．‎ ‎ ‎ ‎11．【2016•娄底市中考压轴题（第25题）】如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中,∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．‎ ‎（1）求证：∠B=∠ACD；‎ ‎（2）已知点E在AB上，且BC2=AB﹒BE．‎ ‎①若tan∠ACD= ，BC=10，求CE的长；‎ ‎②试判定以A为圆心，AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．‎ ‎12．【2016•娄底市中考压轴题（第26题）】如图，抛物线经过点A(，)，B(，)，C(，)．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在直线AB的下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出使△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请你求出其中某一个点Q的坐标．‎ ‎13．【2016•岳阳市中考压轴题（第23题）】数学活动 旋转变换 ‎（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△，连接，求∠的大小；‎ ‎（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△，连接，以为圆心长为半径作圆．‎ ‎（Ⅰ）猜想：直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）连接，求线段的长度；‎ ‎（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=，AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转角度（）得△，连接和，以为圆心，长为半径作圆．问：角和角满足什么条件时直线与⊙相切，请说明理由，并求此条件下线段的长度（结果用角或角的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）‎ ‎14．【2016•岳阳市中考压轴题（第24题）】如图①，直线交轴于点A，交轴于点C，过A，C两点的抛物线F1交轴另一点B(1，0)．‎ ‎（1）求抛物线F1所示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为和，记，求S最大时点M的坐标及S的最大值；‎ ‎（3）如图②，将抛物线F1沿轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为、、，过点作轴于点E，交直线于点D，在轴上是否存在点P，使得以，D，P为顶点的相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎15、【2016•衡阳市中考压轴题（第25题）】在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标为A（，0），B（，0），C（0，3）．‎ ‎（1）求△ABC内切圆⊙D的半径．‎ ‎（2）过点E(0，-1)的直线与⊙D相切于点F（点F在第一象限），求直线EF的解析式。‎ ‎（3）以（2）为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以为半径作⊙P．若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．‎ ‎16．【2016•衡阳市中考压轴题（第26题）】抛物线经过△ABC的三个顶点，与轴相交于（0，），点A的坐标为（–1，2），点B是点A关于轴的对称点，点C在轴的正半轴上． ‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥轴，FG⊥轴，垂足分别为E、G．当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标；‎ ‎（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG．当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N．连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎17．【2016•邵阳市中考压轴题（第25题）】尤秀同学遇到这样一个问题：如图（1）所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P．设BC=a，AC=b，AB=c，求证：a2+b2=c2．‎ 该同学仔细分析后，得到如下解题思路：‎ 线连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故．‎ 设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△APB，Rt△BPE中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证．‎ ‎（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程；‎ ‎（2）利用题中的结论，解答下列问题：‎ 在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，EF分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于G，H，如图（2）所示，求证：MG2+MH2的值 ‎ ‎ ‎18．【2016•邵阳市中考压轴题】已知抛物线与轴交于A，B两点，（点A在点B的左侧），点P是抛物线上一点，且PB=AB，∠PBA=120°，如图所示．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）设点M(m，n)为抛物线上一个动点，且在曲线PA上移动．‎ ‎①当点M在曲线PB之间（含端点）移动时，是否存在点M使△APM的面积为？若存在，求点M的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎②当点M在曲线BA之间（含端点）移动时，求的最大值及取得最大值时点M的坐标．‎ ‎19．【2016•郴州市中考压轴题（第25题）】如图1，抛物线经过点A（-1，0），B（4，0）两点，与轴相交于点C，连接BC，点P为抛物线上一动点，过点P作轴的垂线l，交直线BC于点G，交轴于点E．‎ ‎（1）求抛物线的表达式；‎ ‎（2）当点P在位于轴右侧的抛物线上运动时，过点C作CF⊥直线l，F为垂足．当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上运动时，连接PC，PB．请问：△PBC的面积能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎20．【2016•郴州市中考压轴题（第26题）】如图1，矩形ABCD中，AB=7，AD=4，点E为AD上一点，点F为AD延长线上一点，且DF=acm．点P从A点出发，沿AB向点B以的速度运动，连接PE，设点P运动的时间为，△PAE的面积为，当时，△PAE的面积关于时间的函数图象如图2所示．连接PF，交CD于点H．‎ ‎（1）t的取值范围为 ，AE= cm；‎ ‎（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连接AM，当为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；‎ ‎（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以的速度运动．如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动．连接PQ，QH．‎ 若，请问：△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎21．【2016•永州市中考压轴题（第26题）】已知抛物线经过（-1，0），（3，0）两点，与轴交于点C，直线与抛物线交于A，B两点．‎ ‎（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；‎ ‎（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；‎ ‎（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．【2016•郴州市中考压轴题（第27题）】问题探究：‎ ‎1．新知学习 ‎ 若把一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面经”）．‎ ‎2．问题解决 ‎ 已知等边三角形ABC的边长为2．‎ ‎（1）如图一，若AD⊥BC，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面经，并求AD的长；‎ ‎（2）如图二，若ME∥BC，且ME是△ABC的一条面经，求ME的长；‎ ‎（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上一点，E是DC上一点，连接ME，ME与AD交于点O，且S△MOA=S△DOE．‎ ‎①求证：ME是△ABC的面经；‎ ‎②连接AE，求证：MD∥AE；‎ ‎（4）请你猜测等边三角形ABC长l的取值范围 B C A M E 图二 B D C A 图一 ‎（直接写出结果）．‎ ‎23．【2016•湘西自治州中考压轴题（第26题）】长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE．求D点的坐标；‎ ‎（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；‎ ‎（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点p使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点坐标；若不存在，请说明理由．‎ 备用图 备用图 ‎ ‎ ‎24．【2016•张家界市中考压轴题（第24题）】已知抛物线的图象与轴交于点A（0，-2），顶点为B．‎ ‎（1）是确定a的值，并写出B点的坐标；‎ ‎（2）若一次函数的图象经过A，B两点，试求出其函数解析式；‎ ‎（3）试在轴上求一点P使得△PAB的周长取最小值；‎ ‎（4）将抛物线向左或向右平移个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O，C，D能否在同一条直线上？若能，请求出相应的的值；若不能，请说明理由．‎ 备用图 ‎ ‎ ‎25．【2016•怀化市中考压轴题（第22题）】已知抛物线经过A（-3，0），B（5，0），C（0，5）三点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）若把抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求的取值范围；‎ ‎（3）设点P在轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．‎