北京市丰台区中考一模数学试卷含答案

北京市丰台区中考一模数学试卷含答案

北京市丰台区 2018 年中考一模数学试卷 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 1．如图所示，△ABC 中 AB 边上的高线是（ ） （A）线段 AG （B）线段 BD （C）线段 BE （D）线段 CF 2．如果代数式 4x  有意义，那么实数 x 的取值范围是（ ） （A）x≥0 （B）x≠4 （C）x≥4 （D）x＞4 3．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） （A）正三棱柱 （B）正三棱锥 （C）圆柱 （D）圆锥 4．实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果ab = c，那么实数c 在数轴上的对应点的位置可能是（ ） 5．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 A，点 B，AC⊥AB 于点 A，交直线 b 于点 C．如果 ∠1 = 34°，那么∠2 的度数为（ ） （A）34° （B）56° （C）66° （D）146° 6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2，1)，如果将线段 OA 绕点 O 逆时针方向旋转 90°， 那么点 A 的对应点的坐标为（ ） （A）(-1，2) （B）(-2，1) （C）(1，-2) （D）(2，-1) 7．太阳能是来自太阳的辐射能量．对于地球上的人类来说，太阳能是对环境无任何污染的可再生能源， 因此许多国家都在大力发展太阳能．下图是 2013-2017 年我国光伏发电装机容量统计图．根据统计图提供 的信息，判断下列说法不合理．．．的是（ ） （A）截至 2017 年底，我国光伏发电累计装机容量为 13 078 万千瓦 （B）2013-2017 年，我国光伏发电新增装机容量逐年增加 （C）2013-2017 年，我国光伏发电新增装机容量的平均值约为 2 500 万千瓦 （D）2017 年我国光伏发电新增装机容量大约占当年累计装机容量的 40% 8．如图 1，荧光屏上的甲、乙两个光斑（可看作点）分别从相距 8cm 的 A，B 两点同时开始沿线段 AB 运 动，运动过程中甲光斑与点 A 的距离 S1(cm)与时间 t (s)的函数关系图象如图 2，乙光斑与点 B 的距离 S2(cm) 与 时 间 t (s) 的 函 数 关 系 图 象 如 图 3 ， 已 知 甲 光 斑 全 程 的 平 均 速 度 为 1.5cm/s ， 且 两 图 象 中 △P1O1Q1≌△P2Q2O2．下列叙述正确的是（ ） （A）甲光斑从点 A 到点 B 的运动速度是从点 B 到点 A 的运动速度的 4 倍 （B）乙光斑从点 A 到 B 的运动速度小于 1.5cm/s （C）甲乙两光斑全程的平均速度一样 （D）甲乙两光斑在运动过程中共相遇 3 次 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．在某一时刻，测得身高为 1.8m 的小明的影长为 3m，同时测得一建筑物的影长为 10m，那么这个建筑 物的高度为 m． 10．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；②在第一象限内函数 y 随自变量 x 的增大 而减少，则这个函数的表达式为 ． 11．在数学家吴文俊主编的《“九章算术”与刘徽》一书中，小宇同学看到一道有趣的数学问题：古代数学 家刘徽使用“出入相补”原理，即割补法，把筝形转化为与之面积相等的矩形，从而得到“筝形的面积等于 其对角线乘积之半”． （说明：一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形） 请根据右图完成这个数学问题的证明过程． 证明：S 筝形 ABCD = S△AOB + S△AOD + S△COB + S△COD． 易知，S△AOD = S△BEA，S△COD = S△BFC． 由等量代换可得： S 筝形 ABCD = S△AOB + + S△COB + = S 矩形 EFCA = AE·AC = 1 2· ． 12．如果代数式 ，那么 的值为 ． 13．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E．如果∠A = 15°，弦 CD = 4，那么 AB 的长是 ． 14．营养学家在初中学生中做了一项实验研究：甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每 人还增加 600ml 牛奶．一年后营养学家统计发现：乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长 值多 2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均身高的增长值的 75%少 0.34cm．设甲、乙两组 同学平均身高的增长值分别为 x cm、y cm，依题意，可列方程组为 . 15．“明天的降水概率为 80%”的含义有以下四种不同的解释： ① 明天 80%的地区会下雨； ② 80%的人认为明天会下雨； ③ 明天下雨的可能性比较大； ④ 在 100 次类似于明天的天气条件下，历史纪录告诉我们，大约有 80 天会下雨. 你认为其中合理的解释是 ．（写出序号即可） 16．下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 三、解答题（本题共 68 分，第 17-24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26，27 题，每小题 7 分，第 28 题 8 分） 17．计算： 08 2cos 45 (3 π) |1 2 |      ． 18．解不等式组： 3 4 1, 5 1 2.2 x x x x      19．如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F． 求证：DE = DF． 20．已知：关于 x 的一元二次方程 x2 - 4x + 2m = 0 有两个不相等的实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）如果 m 为非负整数．．．．，且该方程的根都是整数．．，求 m 的值． 21．已知：如图，菱形 ABCD，分别延长 AB，CB 到点 F，E，使得 BF = BA，BE = BC，连接 AE，EF， FC，CA． （1）求证：四边形 AEFC 为矩形； （2）连接 DE 交 AB 于点 O，如果 DE⊥AB， AB = 4，求 DE 的长． 22．在平面直角坐标系 xOy 中，反比例函数 2y x  的图象与一次函数 y kx b  的图象的交点分别为 P(m，2)，Q(-2，n). （1）求一次函数的表达式； （2）过点 Q 作平行于 y 轴的直线，点 M 为此直线上的一点，当 MQ = PQ 时，直接写出点 M 的坐标. 23．如图，A，B，C 三点在⊙O 上，直径 BD 平分∠ABC，过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E，过点 D 作 ⊙O 的切线交 BC 的延长线于点 F． （1）求证：EF  ED； （2）如果半径为 5，cos∠ABC = 3 5 ，求 DF 的长． 24．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日在北京举行，北京将成为历史上第 一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有 400 名学生参加活动，为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整． 【收集数据】 从甲、乙两校各随机抽取 20 名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据： （说明：优秀成绩为 80＜x≤100，良好成绩为 50＜x≤80，合格成绩为 30≤x≤50．） 【分析数据】两组样本数据的平均分、中位数、众数如下表所示： 其中 a =__________. 【得出结论】 （1）小明同学说：“这次竞赛我得了 70 分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 ________校的学生；（填“甲”或“乙”） （2）张老师从乙校随机抽取一名学生的竞赛成绩，试估计这名学生的竞赛成绩为优秀的概率为________； （3）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由． （至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 25．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D 为 AB 边上的动点（点 D 不与点 A，点 B 重合），过点 D 作 ED⊥CD 交直线 AC 于点 E．已知∠A = 30°，AB = 4cm，在点 D 由点 A 到点 B 运动的过程中，设 AD = xcm， AE = ycm. 小东根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： （说明：补全表格时相关数值保留一位小数） （2）在下面的平面直角坐标系 xOy 中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AE = 1 2 AD 时，AD 的长度约为 cm． 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 4 3y ax ax a   的最高点的纵坐标是 2． （1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式； （2）将抛物线在 1≤x≤4 之间的部分记为图象 G1，将图象 G1 沿直线 x = 1 翻折，翻折后的图象记为 G2， 图象 G1 和 G2 组成图象 G．过(0，b)作与 y 轴垂直的直线 l，当直线 l 和图象 G 只有两个公共 点时，将这两个公共点分别记为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求 b 的取值范围和 x1 + x2 的值． 27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点 C 在△ABC 外作射线 CE，且∠BCE =  ，点 B 关于 CE 的对称点为点 D，连接 AD，BD，CD，其中 AD，BD 分别交射线 CE 于点 M，N. （1）依题意补全图形； （2）当 = 30°时，直接写出∠CMA 的度数； （3）当 0°< < 45°时，用等式表示线段 AM，CN 之间的数量关系，并证明． 28．对于平面直角坐标系 xOy 中的点 M 和图形 1W ， 2W 给出如下定义：点 P 为图形 1W 上一点，点 Q 为图 形 2W 上一点，当点 M 是线段 PQ 的中点时，称点 M 是图形 1W ， 2W 的“中立点”．如果点 P(x1，y1)，Q(x2， y2)，那么“中立点”M 的坐标为       2,2 2121 yyxx ． 已知，点 A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)． （1）连接 BC，在点 D( 1 2 ，0)，E(0，1)，F(0，1 2 )中，可以成为点 A 和线段 BC 的“中立点”的是____________； （2）已知点 G(3，0)，⊙G 的半径为 2．如果直线 y = - x + 1 上存在点 K 可以成为点 A 和⊙G 的“中立点”， 求点 K 的坐标； （3）以点 C 为圆心，半径为 2 作圆．点 N 为直线 y = 2x + 4 上的一点，如果存在点 N，使得 y 轴上的一 点可以成为点 N 与⊙C 的“中立点”，直接写出点 N 的横坐标的取值范围． 北京市丰台区 2018 年中考一模数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B B A B C 二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分） 9．6； 10． 1y x  等，答案不唯一； 11．S△BEA，S△BFC，AC•BD； 12．1； 13．8； 14． 2.01, 75% 0.34; y x x y      15．③，④； 16．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都 分别相等．或：同圆半径相等，三条边对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等． 三、解答题（本题共68 分，第 17--24 题，每小题 5 分，第 25 题 6 分，第 26，27 题，每小题 7 分，第 28 题 8 分） 17．解： 08 2cos 45 (3 π) |1 2 |      ． = 22 2 2 1 2 12      ……………………4 分 = 2 2 . ……………………5 分 18．解：解不等式①，得 1x  ， ……………………2 分 解不等式②，得 1x   . ……………………4 分 ∴原不等式组的解集是 1 1x   ．………5 分 19．证明：连接 AD. ∵AB＝BC，D 是 BC 边上的中点， ∴∠BAD=∠CAD. ………………………3 分 ∵DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F， ∴DE＝DF． ………………………5 分 （其他证法相应给分） 20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0. ∴Δ= 24 4 2 16 8 0m m     （ ） ． ∴ 2m  . ………………………2 分 （2）∵ 2m  ，且 m 为非负整数， ∴ =0m 或1. ………………………3 分 当 m=0 时，方程为 2 4 0x x  ，解得方程的根为 01 x ， 2 4x  ，符合题意； 当 m=1 时，方程为 2 4 2 0x x   ，它的根不是整数，不合题意，舍去. 综上所述，m=0. ………………………5 分 21．（1）证明：∵BF=BA，BE=BC， ∴四边形 AEFC 为平行四边形. ………………………1 分 ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴BA=BC. ∴BE=BF. ∴BA + BF = BC + BE，即 AF=EC. ∴四边形 AEFC 为矩形. ………………………2 分 （2）解：连接 DB. 由（1）知，AD∥EB，且 AD=EB. ∴四边形 AEBD 为平行四边形 ∵DE⊥AB， ∴四边形 AEBD 为菱形. ∴AE  EB，AB  2AG，ED  2EG. ………………………4 分 ∵矩形 ABCD 中，EB  AB，AB=4， ∴AG  2，AE  4. ∴Rt△AEG 中，EG=2 3 . ∴ED=4 3 . ………………………5 分 （其他证法相应给分） 22．（1）解： ∵反比例函数 2y x  的图象经过点 ( ,2)P m ，Q(-2，n)， ∴ 1m  ， 1n   ． ∴点 P，Q 的坐标分别为(1，2)，(-2，-1). …….…….…….……2 分 ∵一次函数 y kx b  的图象经过点 P(1，2)，Q(-2，-1)， ∴ 2, 2 1. k b k b       解得 1, 1. k b    ∴一次函数的表达式为 1y x  ． .…….…….…….……3 分 （2）点 M 的坐标为（-2，-1+3 2 ）或（-2，-1-3 2 ）……………5 分 23．（1）证明：∵BD 平分∠ABC，∴∠1＝∠2. ∵DE∥AB，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵BC 是⊙O 的切线，∴∠BDF＝90°. ∴∠1+∠F＝90°，∠3+∠EDF＝90°. ∴∠F＝∠EDF.∴EF  DE. …….…….……………2 分 （2）解：连接 CD. ∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°. ∵DE∥AB，∴∠DEF＝∠ABC. ∵cos∠ABC= 3 5 ，∴在 Rt△ECD 中，cos∠DEC= CE DE = 3 5 . 设 CE=3x，则 DE=5x . 由（1）可知，BE= EF=5x.∴BF=10x ，CF=2x. E F D C B A G 在 Rt△CFD 中，由勾股定理得 DF= 2 5x ． ∵半径为 5，∴BD  10. ∵BF×DC= FD×BD， ∴10 4 10 2 5x x x  ，解得 5 2x  . ∴DF = 2 5x =5. …….…….……………5 分 （其他证法或解法相应给分.） 24．解：a=80； ………………………1 分 （1）甲； ………………………2 分 （2） 1 10 ； ………………………3 分 （3）答案不唯一，理由需支持推断结论. 如：乙校竞赛成绩较好，因为乙校的平均分高于甲校的平均分说明平均水平高，乙校的中位数 75 高于甲校的中位数 65，说明乙校分数不低于 70 分的学生比甲校多. ………………………5 分 25．解： （1）1.2； ………………………2 分 （2）如右图； ………………………4 分 （3）2.4 或 3.3 ………………………6 分 26．解：（1）∵抛物线  22 4 3 2y ax ax a a x a      ， ∴对称轴为 x= 2．………………………………………1 分 ∵抛物线最高点的纵坐标是 2， ∴a= -2． ………………………………………2 分 ∴抛物线的表达式为 22 8 6y x x    . ……………3 分 （2）由图象可知， 2b  或-6≤b<0. ………………6 分 由图象的对称性可得：x1+x2=2． ……………… 7 分 27．解：（1）如图； …………………1 分 （2）45°； …………………2 分 （3）结论：AM= 2 CN． …………………3 分 证明：作 AG⊥EC 的延长线于点 G． ∵点 B 与点 D 关于 CE 对称， ∴CE 是 BD 的垂直平分线． x y x y= 1 2 x O y ∴CB=CD． ∴∠1=∠2= ． ∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD． ∵∠4=90°， ∴∠3= 1 2 （180°  ∠ACD）= 1 2 （180°  90°     ）=45°   ． ∴∠5=∠2+∠3= +45°- =45°．…………………5 分 ∵∠4=90°，CE 是 BD 的垂直平分线， ∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°． ∴∠6=∠7． ∵AG⊥EC， ∴∠G=90°=∠8． ∴在△BCN 和△CAG 中， ∠8=∠G， ∠7=∠6， BC=CA， ∴△BCN≌△CAG． ∴CN=AG． ∵Rt△AMG 中，∠G=90°，∠5=45°， ∴AM= 2 AG． ∴AM= 2 CN． …………………7 分 （其他证法相应给分.） 28．解：（1）点 A 和线段 BC 的“中立点”的是点 D，点 F； ………2 分 （2）点 A 和⊙G 的“中立点”在以点 O 为圆心、 半径为 1 的圆上运动. 因为点 K 在直线 y=- x+1 上， 设点 K 的坐标为（x，- x+1）， 则 x2+（- x+1）2=12，解得 x1=0，x2=1. 所以点 K 的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5 分 （3）（说明：点 N 与⊙C 的“中立点”在以线段 NC 的中点 P 为圆心、 半径为 1 的圆上运动.圆 P 与 y 轴相切时，符合题意.） 所以点 N 的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8 分 x y x y