中考专题复习方程

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中考专题复习 方程 知识网络图 ‎ 方程整式方程‎ 一元一次方程方程的解解方程应用→一元一次方程的解法二元一次方程(组）定义解法应用→消元法代入消元法加减消元法一元二次方程定义一般式应用ax‎2‎+bx+c=0 ‎a≠0‎解法①直接开平方法②因式分解法③配方法④公式法根的判别式根与系数的关系分式方程定义增根 ‎解法→整式方程应用验根 23‎ 一元一次方程 ‎【课前热身】‎ ‎1．在等式的两边同时 ，得到.‎ ‎2．方程的根是 .‎ ‎3．的5倍比的2倍大12可列方程为 .‎ ‎4．写一个以为解的方程 .‎ ‎5．如果是方程的根，则的值是 .‎ ‎6．如果方程是一元一次方程，则 .‎ ‎【考点链接】‎ ‎1．等式及其性质 ‎（1） 等式：用等号“=”来表示两个量或两个表达式相等关系的式子叫等式.‎ ‎（2） 性质：① 如果，那么 ；‎ ‎② 如果，那么 ；如果，那么 ‎★等式的性质 ‎（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.‎ ‎（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.‎ ‎2. 方程、一元一次方程的概念 ‎（1）方程：含有未知数的等式 叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程.（方程的解与解方程不同.）‎ ‎（2）一元一次方程：在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax + b = 0.‎ ‎★只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程，通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）‎.◆我国古代称未知数为元，只含有一个未知数的方程叫做一元方程，一元方程的解也叫做根.‎ ‎3. 解一元一次方程的步骤：‎ ‎①去；②去；③移；④合并；⑤系数化为1.‎ 一般解法：　‎ ①去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数（不含分母的项也要乘）；‎ ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；(记住如括号外有减号的话一定要变号）‎ ③移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号 ④合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)‎的形式；‎ ⑤系数为成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=‎ba.‎ ‎4．易错知识辨析：‎ ‎（1）判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像，等不是一元一次方程.‎ ‎（2）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.‎ 一元一次方程应用题的重要方法：‎ 23‎ ‎⒈认真审题（审题）　‎ ‎⒉分析已知和未知量　‎ ‎⒊找一个合适的等量关系　‎ 23‎ ‎⒋设一个恰当的未知数 ‎⒌列出合理的方程（列式）　‎ ‎⒍解出方程（解题）‎ ‎⒎检验　‎ ‎⒏写出答案（作答）‎ 23‎ 一元一次方程中考考点：‎ 考点1：一元一次方程的定义 例1．若是关于x的一元一次方程，则m的值是( ) 　　A.　　　　　B.-2　　　　　C.2　　　　　D.4‎ ‎★举一反三：‎ ‎【变式1】关于x的一元一次方程k‎2‎‎-1‎xk-1‎‎+k-1‎x-8=0‎的解为‎ ‎.‎ ‎ ‎ ‎【变式2】当m为何值时，方程m+‎‎3‎xm‎2‎‎-1‎‎+2m-1‎x-1=0‎是关于x的一元一次方程？‎ 考点2： 一元一次方程的解 例1. （ 2011重庆江津， 3，4分）已知3是关于x的方程‎2x-a=1‎的解,则a的值是( )‎ A.－5 B.5 C.7 D.2‎ 例2.方程的解是 考点3：一元一次方程的解法 例1（2011山东滨州，20，7分）依据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据.‎ 例2 解方程：‎ 例3若关于的方程:与方程的解相同，求的值.‎ 例4 解方程：；　　　　‎ 23‎ ‎★举一反三：‎ ‎【变式】解下列方程 (1)‎8-9x=9-8x；(2)‎ x-‎3-2x‎2‎=1-‎x+2‎‎6‎；　(3).‎‎4x-1.5‎‎0.5‎‎-‎5x-0.8‎‎0.2‎=‎‎1.2-x‎0.1‎ 23‎ 23‎ 考点四：列方程 例湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为元，根据题意，列出方程为 ‎ 考点五：一元一次方程的应用 ‎1.和、差、倍、分问题：通过题目中的一些关键词语找相等关系,如:“多”、“少”、“是几倍”、“增加几倍”、“增加到几倍”等等 例1有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊就是你的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们俩的羊就一样了。”两个牧童各有多少只羊？‎ 例2某工厂甲、乙、丙三个工人每天生产的零件数，甲和乙的比是3：4，乙和丙的比是2：3.若乙每天所生产的件数比甲和丙两人的和少945件，问每个工人各生产多少件？‎ ‎2.等积变形问题：‎ ‎ “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：‎ ‎ ①形状面积变了，周长没变；‎ ‎ ②原料体积＝成品体积。‎ 例1用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数π≈3.14‎）‎ 甲 乙 例2如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，求甲的容积为何？ （ ）‎ A．1280cm3 B．2560cm3 C．3200cm3 D．4000cm3‎ 23‎ ‎3.调配问题 例：机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？‎ 分析：列表法。‎ ‎ ‎ 每人每天 人数 数量 大齿轮 ‎16个 x人 ‎16x 小齿轮 ‎10个 ‎（85-x)‎人 ‎ ‎ ‎4.比例分配问题：‎ ‎ 这类问题的一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。‎ ‎ 常用等量关系：各部分之和＝总量。‎ 例：三个正整数的比为1：2：4，它们的和是84，那么这三个数中最大的数是几？‎ ‎5.数字问题 ‎(1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c.‎ ‎(2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示.‎ 例一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数 ‎6.行程问题 ‎（1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度×时间。 ‎ ‎（2）基本类型有：① 相遇问题；② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.‎ ‎（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解,并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题.‎ 例 汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km，就可以早到半小时。求A、B 两地的距离．‎ ‎7.工程问题： ‎ ‎ 　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量=工作效率×工作时间 ‎ 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。‎ 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ ‎ ‎8. 利润赢亏问题 ‎（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等 ‎（2）有关关系式： ①商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价 ②商品利润率=商品利润/商品进价 ‎ 23‎ ③商品售价=商品标价×折扣率 例1某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打( )‎ A．6折 B．7折 C．8折 D．9折 ‎ 例2一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）‎ A. x·40%×80%＝240 B. x（1＋40%）×80%＝240‎ C. 240×40%×80%＝x D. x·40%＝240×80%‎ 例3某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为元．‎ ‎9. 储蓄问题 ‎⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税 ‎⑵① 利息=本金×利率×期数②本息和=本金+利息③利息税=利息×税率（20%）‎ 例小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期后应交纳所获利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（D）‎ A. 20158.4元 B. 20198元 C. 20396元 D. 20316.8元 ‎10.电费水费出租车问题 类型一：多变量型 多变量型一元一次方程解应用题是指在题目往往有多个未知量，多个相等关系的应用题。这些未知量只要设其中一个为x，其他未知量就可以根据题目中的相等关系用含有x的代数式来表示，再根据另一个相等关系列出一个一元一次方程即可。‎ 例1：（2005年北京市人教）夏季，为了节约用电，常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施。某宾馆先把甲、乙两种空调的设定温度都调高1℃，结果甲种空调比乙种空调每天多节电27度；再对乙种空调清洗设备，使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高1℃后的节电量的1.1倍，而甲种空调节电量不变，这样两种空调每天共节电405度。求只将温度调高1℃后两种空调每天各节电多少度？‎ ‎ ‎ 类型二：分段型 分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题。解决这类问题的时候，我们先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段合理地解决。‎ 例2：（2005年东营市）某水果批发市场香蕉的价格如下表：‎ 购买香蕉数 ‎(千克)‎ 不超过 ‎20千克 ‎20千克以上 但不超过40千克 ‎40千克以上 每千克价格 ‎6元 ‎5元 ‎4元 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购 23‎ 买香蕉多少千克？‎ 类型三：方案型 方案型一元一次方程解应用题往往给出两个方案计算同一个未知量，然后用等号将表示两个方案的代数式连结起来组成一个一元一次方程。‎ 例3：（2005年泉州市）某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用30座客车若干辆，但还有15人无座位。‎ ‎（1）设原计划租用30座客车x辆，试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数；‎ ‎（2）现决定租用40座客车，则可比原计划租30座客车少一辆，且所租40座客车中有一辆没有坐满，只坐35人。请你求出该校初三年级学生的总人数。‎ 分析：本题表示初三年级总人数有两种方案，用30座客车的辆数表示总人数：30x+15‎ 用40座客车的辆数表示总人数：40（x－2）+35。‎ 类型四、数据处理型 数据处理型一元一次方程解应用题往往不直接告诉我们一些条件，需要我们对所给的数据进行分析，获取我们所需的数据。‎ 例4：(2004年北京海淀区)解应用题：2004年4月我国铁路第5次大提速．假设K120次空调快速列车的平均速度提速后比提速前提高了44千米／时，提速前的列车时刻表如下表所示：‎ 行驶区间 车次 起始时刻 到站时刻 历时 全程里程 A地—B地 K120‎ ‎2：00‎ ‎6：00‎ ‎4小时 ‎264千米 请你根据题目提供的信息填写提速后的列车时刻表，并写出计算过程．‎ 行驶区间 车次 起始时刻 到站时刻 历时 全程里程 A地—B地 K120‎ ‎2：00‎ ‎264千米 类型五、设而不求（设中间参数）的问题 一些应用题中，所给出的已知条件不够满足基本量关系式的需要，而且其中某些量不需要求解。这时，我们可以通过设出这个量，并将其看成已知条件，然后在计算中消去。这将有利于我们对问题本质的理解。‎ ‎ ‎ 例5.一艘轮船从重庆到上海要5昼夜，从上海驶向重庆要7昼夜，问从重庆放竹排到上海要几昼夜？（竹排的速度为水的流速）‎ ‎ ‎ 23‎ 二元一次方程（组）‎ ‎【课前热身】‎ ‎1.在方程＝5中，用含的代数式表示为＝ ；当＝3时，＝ .‎ ‎2．如果x＝3， y＝2是方程‎6x+by=32‎的解，则＝ .‎ ‎3.请写出一个适合方程的一组解：‎ ‎.‎ ‎4.如果是同类项，则、的值是（ ）‎ A.＝－3，＝2 B.＝2，＝－3 ‎ C.＝－2，＝3 D.＝3，＝－2‎ ‎【考点链接】‎ ‎1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 的方程.‎ ‎2.二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.‎ ‎3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.‎ ‎4．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解.‎ ‎5. 解二元一次方程的方法步骤：‎ 消元 转化 二元一次方程组 一元一次方程.‎ 消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有代入消元和加减消元法两种.‎ ‎★代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数,得到一个解。代入消元法简称代入法.‎ ‎★利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解.‎ ‎6．易错知识辨析：‎ ‎（1）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；‎ ‎（2）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值；‎ ‎（3）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.‎ 二元一次方程（组）中考考点 考点1：二元一次方程（组）的概念 例1. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例2．已知方程是一个二元一次方程，求m和n的值.‎ 23‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？‎ ‎(1)　(2)　(3)　(4)　(5)‎ 考点2：二元一次方程（组）的解 ‎1.（2011河北）已知是关于，的二元一次方程的解，求a+1‎a－1‎‎+7‎的值 ‎2. （2011湖南益阳）二元一次方程有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（2011广东肇庆，4，3分）方程组的解是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4. （2011山东枣庄，6，3分）已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）‎ A．－1 B．1 C．2 D．3‎ ‎5．方程组的解为(　　). 　　(A)　　　　(B)　　　　(C)　　　　(D)以上答案均不对 ‎★举一反三： 【变式1】已知是方程‎3x-ay-2a=3‎的一个解，求a的值.　‎ ‎【变式2】(烟台)写出一个解为的二元一次方程组________________‎ 考点3：二元一次方程组的解法 二元一次方程的几种解法 23‎ （一） 代入消元法 ‎ 代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数,得到一个解。代入消元法简称代入法。‎ 考点1：直接代入 ‎1.方程组若用代入法解最好将方程___ ___代入__ ____.‎ 考点2：变形后代入 ‎2.方程组的解是（ ）‎ A. B. C. D.‎ （二） 加减消元法 利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。‎ 巧克力 果冻 ‎50g砝码 考点1：直接加减消元 ‎3.（2008·河北）如图8.2-1所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是____ ______g.‎ 图8.2-1‎ 考点2.变形后加减消元 ‎4. 已知，都是方程ax+by=8的解，则a=___ __,b=__ ___.‎ 判断选择方法 ‎5. 解方程组：①②③④.比较适宜的方法是（ ）‎ A.①②用代入法，③④用加减法 B.①③用代入法，②④用加减法 C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法 例1. （2011安徽芜湖，13，5分）方程组的解是. ‎ 例2. （2011湖南永州，18，6分）解方程组：‎ 例3．解方程组. 　　(1) ‎ 23‎ ‎　　　(2) 　　‎ ‎　‎ ‎★举一反三： 　　【变式1】解方程组. 　　(1) (2) 　　‎ 考点4：列二元一次方程组 ‎1.某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，则方程组正确的是（ ）‎ A. B. C. D. 考点5：二元一次方程（组）的实际应用 一、数字问题 例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．‎ 二、营销问题 ‎（一）利润问题一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？‎ 三、配套问题 例3　某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？‎ 23‎ 四、行程问题 例4　在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？‎ 五、货运问题 例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？‎ ‎、‎ 六、工程问题 例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？‎ 23‎ 一元二次方程 ‎【课前热身】‎ ‎1．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .‎ ‎2．关于x的一元二次方程中，则一次项系数是 .‎ ‎3．一元二次方程的根是 .‎ ‎4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .‎ ‎5. 关于的一元二次方程的一个根为1，则实数=（ ）‎ A． B．或 C． D．‎ ‎【考点链接】‎ ‎1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2（次）的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax‎2‎+bx+c=0 ‎a,b,c为常数,a≠0‎.其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.‎ ‎★注：①求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式；‎ ②二次项系数、一次项系数及常数项都包含它前面的符号.‎ ‎2.一元二次方程的常用解法：(1)看是否可以直接开方解；(2)看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）；(3)使用公式法求解 ‎★解方程的几种方法：①开平方法②因式分解法③公式法④配方法 ‎（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.‎ ‎（2）配方法：用配方法解一元二次方程ax‎2‎+bx+c=0 ‎a≠0‎的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n<0‎，则原方程无解.‎ ‎★配方法：二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当 ‎（3）公式法：一元二次方程的求根公式是 ‎.‎ ‎（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.‎ ‎★因式分解法：‎ ‎(1)提取公因式 ‎(2)公式法:①平方差公式: a+ba-b‎=a‎2‎-‎b‎2‎反过来为a‎2‎‎-b‎2‎=‎a+ba-b ②完全平方公式：‎(a+b)‎‎2‎‎=a‎2‎+2ab+‎b‎2‎反过来为a‎2‎‎+2ab+‎b‎2‎‎=(a+b)‎‎2‎ 23‎ ‎(a-b)‎‎2‎‎=a‎2‎-2ab+‎b‎2‎反过来为a‎2‎‎-2ab+‎b‎2‎‎=(a-b)‎‎2‎ ③立方和公式：a‎3‎‎+b‎3‎=(a+b)(a‎2‎-ab+b‎2‎)‎；‎ 立方差公式：‎a‎3‎‎-b‎3‎=(a-b)(a‎2‎+ab+b‎2‎)‎ ‎(3)十字相乘法ax‎2‎+bx+c型的式子的因式分解：‎ax‎2‎+bx+c=（a‎1‎x+c‎1‎)（a‎2‎x+c‎2‎)‎ ‎(4)分组分解法 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。‎ ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y‎)‎ ‎(5)拆项、添项法 这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：‎ bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)‎ ‎=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)‎ ‎=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)‎ ‎=(c+b)(c-a)(a+b)‎‎．‎ ‎(6)换元法 有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意：换元后勿忘还元。‎ 例如在分解‎(x‎2‎‎+x+1)(x‎2‎+x+2)-12‎时，可以令y=x‎2‎+x，则 原式=‎‎(y+1)(y+2)-12=y‎2‎+3y+2-12‎ ‎=‎y‎2‎‎+3y-10‎ ‎=(y+5)(y-2)‎ ‎=‎‎(x‎2‎+x+5)(x‎2‎+x-2)‎ ‎=‎(x‎2‎+x+5)(x+2)(x-1)‎．‎ ‎(7)待定系数法 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.‎ 例如在分解x‎4‎‎-x‎3‎-5x‎2‎-6x-4‎时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式.‎ x‎4‎‎-x‎3‎-5x‎2‎-6x-4‎‎ = ‎x‎2‎‎+ax+bx‎2‎‎+cx+d ‎ =‎x‎4‎‎+a+cx‎3‎+ac+b+dx‎2‎+ad+bcx+bd ‎∴‎a+c=-1 ‎ac+b+d=-5‎ad+bc=-6 ‎bd=-4 ‎解得a=1 ‎b=1 ‎c=-2‎d=-4‎‎∴x‎4‎-x‎3‎-5x‎2‎-6x-4=‎x‎2‎‎+x+1‎x‎2‎‎-2x-4‎ ‎3．易错知识辨析：‎ ‎（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.‎ ‎（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.‎ ‎（3）用配方法时二次项系数要化1.‎ ‎（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.‎ ‎★一元二次方程有四个特点：‎ 23‎ ‎ (1)含有一个未知数；‎ ‎ (2)且未知数次数最高次数是2；‎ ‎ (3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为‎ ax‎2‎+bx+c=0(a≠0)‎的形式，则这个方程就为一元二次方程．‎ ‎ (4)将方程化为一般形式：ax‎2‎+bx+c=0‎时，应满足（a、b、c为常数，a≠0）‎ ‎▲方程的两根与方程中各数有如下关系：x‎1‎‎+x‎2‎=-‎ba，x‎1‎‎∙x‎2‎=‎ca（也称韦达定理）‎ ‎▲方程两根为x1，x2时，方程为：x‎2‎‎-x‎1‎‎+‎x‎2‎x+x‎1‎x‎2‎=0‎ (根据韦达定理逆推而得)‎ ‎▲①b‎2‎‎-4ac>0‎有2个不相等的实数根，②b‎2‎‎-4ac=0‎有两个相等的实数根，③b‎2‎‎-4ac<0‎无实数根.‎ 一元二次方程中考考点 考点1、一元二次方程的概念 例1：（2005，甘肃）关于x的一元二次方程（k＋4）x2＋3x＋k2＋3k－4＝0有一个根为0，求k的值．‎ 例2：已知：3是关于x的方程的一个解，则2a的值是( ) 　　A.11 　　　B.12 　　　C.13　　　 D.14 　‎ ‎★举一反三： 【变式1】已知x=-1是关于x的方程的一个根，则a=________. 　　‎ ‎【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-(k＋1)x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值. 　‎ 考点2.一元二次方程的解法 ‎（一）直接开平方法 例：x‎2‎‎+4x+4=1‎(直接开平方法) 　　‎ ‎　‎ ‎（二）配方法 例：（2007，内江）用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）．‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎(2)‎6x‎2‎-7x+1=0‎(配方法) 　　‎ 23‎ ‎（三）公式法 例1：（2006，武汉）解一元二次方程：x2－x－1＝0．‎ ‎ ‎ 例2：‎5x+2=3x2(公式法) 　　‎ ‎（四）因式分解法 例1：（2007，扬州）解方程 例2：‎(x-2)‎‎2‎‎=2x-4‎(因式分解法) 　‎ ‎（五）换元法 例1：（2006，福州）解方程：．‎ ‎ ‎ 例2：解方程：x‎2‎‎+x-1=‎‎2‎x‎2‎‎+x（换元法）‎ 考点3. b‎2‎‎－4ac的应用 例1：（2007，怀化）已知方程有两个相等的实数根，则k＝ ．‎ 例2：（2006，广安）关于x的一元二次方程kx2＋2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）．‎ ‎（A）k>－1（B）k>1（C）k≠0（D）k>－1且k≠0‎ 例3：（2007，巴中）一元二次方程的根的情况为（ ）．‎ ‎（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根 ‎（C）只有一个实数根（D）没有实数根 考点4、根与系数的关系 例1：（2007，徐州）已知x1，x2是方程的两个根，则代数式的值是（ ）．‎ ‎（A）37 （B）26 （C）13 （D）10‎ 例2：（2007，广州）关于x的方程的两根同为负数，则（ ）．‎ ‎（A）且（B）且 ‎（C）且（D）且 23‎ 例3：（2006，南通）已知关于x的一元二次方程x2－（m－1）x＋m＋2＝0．(1)若方程有两个相等的实数根，求m的值；(2)若方程的两实数根之积等于m2－9m＋2，求的值．‎ 例4：关于x的方程x‎2‎‎-kx+k-2=0‎的根的情况是( ) 　　A.有两个不相等的实数根　　　　 B.有两个相等的实数根 　　C.无实数根　　　　　　　　　　 D.不能确定 　★举一反三： 【变式】若关于x的一元二次方程‎(a-2)x‎2‎-2ax+a+1=0‎没有实数解，求ax+3＞0‎的解集(用含a的式子表示)． 　　‎ 考点5、开放创新题 例：（2006，常德）已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是____________（填上你认为正确的一个方程即可）．‎ 考点6. 列方程 例：某品牌服装原价173元，连续两次降价后售价价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 考点7.实际应用 ⑴增长率问题 例　恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.‎ ⑵商品定价 例　益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a元，则可卖出（350－10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？‎ ⑶古诗问题 例　读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）.‎ 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；‎ 十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？‎ ‎.‎ 23‎ ⑷象棋比赛 例　象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.‎ ⑸等积变形 例　将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1m）（1）设计方案1（如图1）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2（如图2）花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由.‎ ‎.‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ ⑹动态几何问题 例　如图3所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.‎ ‎（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？‎ ‎（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.‎ 23‎ ⑺利用图形探索规律 例　在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：‎ 图8‎ ‎（1）观察图形，请填写下列表格：‎ 正方形边长 ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎…‎ n（奇数）‎ 黑色小正方形个数 ‎…‎ 正方形边长 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎…‎ n（偶数）‎ 黑色小正方形个数 ‎…‎ ‎（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.‎ 23‎ 分式方程 ‎【课前热身】‎ ‎1．（08泰州）方程的解是x= ．‎ ‎2.已知与的和等于，则 ， . ‎ ‎3．解方程会出现的增根是（ ）‎ A． B. C.或 D.‎ ‎4 ．（06临沂）如果，则下列各式不成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（08宜宾）若分式的值为0，则x的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎-1 ‎‎ ‎C. ±1 D.2‎ ‎【考点链接】‎ ‎1．分式方程:分母中含有 　　 的方程叫分式方程.‎ ‎2．解分式方程的一般步骤：‎ ‎①去分母 ‎　　方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。‎ ‎②按解整式方程的步骤 ‎③验根 求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。在列分式方程解应用题时，不仅要检验所的解是否满足方程式，还要检验是否符合题意。一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.‎ ‎3.用换元法解分式方程的一般步骤：‎ ‎① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.‎ ‎4．分式方程的应用：‎ 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：‎ ‎（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 　 .‎ ‎5．易错知识辨析：‎ ‎（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.‎ ‎（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母,使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.‎ 23‎ ‎（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.‎ 分式方程中考考点 考点1：分式方程的有关概念【把握分式方程的概念】‎ 例下列方程中哪个是关于x的分式方程？（ ）‎ A.　　B.　 C.　　　D. 　　思路点拨：根据分式方程的定义.‎ 解：A为整式方程；B中虽含有分母，但分母中不含未知数x；C中含有分式，但分母中不含未知数x；根据定义，只有D是关于x的分式方程．‎ 考点2：分式方程的解 题型一：选择题 ‎1.（2011安徽芜湖，5，4分）分式方程的解是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎2. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为（ ）‎ A．　　B．　　　C．　　　D．　　‎ 题型二：填空题 ‎1.（2011四川成都，13,4分）已知是分式方程的根，则实数=_ ____.‎ 题型三解答题 ‎1.（2011山东威海，19，7分）解方程：．‎ ‎2. 解分式方程. 　　(1)‎ ‎ 　　(2) 　‎ 考点3：分式方程的增根问题 ‎1.（2011湖北襄阳，16，3分）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ？‎ ‎2．已知方程无解，求m的值． ‎ 23‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】关于x的方程的解是非负数，求a与b的关系．‎ ‎ 　　‎ ‎【变式2】如果，试求A、B的值． 　　‎ 考点4：分式方程的实际应用题 一、【营销类应用性问题】‎ 例1．1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？‎ 二、【工程类应用性问题】‎ 例2．1 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？‎ 例2．2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．‎ ‎⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？‎ ‎⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．‎ ‎ 三、【行程中的应用性问题】‎ 例3.1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？‎ 四、【轮船顺逆水应用问题】‎ 例4．1 轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。‎ 五、【浓度应用性问题】‎ 例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．‎ 23‎ 23‎