2014中考数学分类汇编等边三角形

2014中考数学分类汇编等边三角形

‎2013中考全国100份试卷分类汇编 等边三角形 ‎1、（2013凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（　　）‎ ‎ ‎ ‎　 A．14 B．‎15 ‎C．16 D．17‎ 考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质；正方形的性质．‎ 分析：根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．‎ 解答：解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AC=AB=4，‎ ‎∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．　‎ ‎2、（2013•自贡）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎9‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 剪纸问题；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．3718684‎ 专题：‎ 操作型．‎ 分析：‎ 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为3，宽为3减去两个三角形的高，再用长方形的面积公式计算即可解答．‎ 解答：‎ 解：∵将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正三角形的棱柱，‎ ‎∴这个正三角形的底面边长为1，高为=，‎ ‎∴侧面积为长为3，宽为3﹣的长方形，面积为9﹣3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了剪纸问题的实际应用，动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解答本题的关键．‎ ‎3、（2013•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（　　）个．‎ ‎　‎ A．‎ ‎2‎ B．‎ ‎3‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ 分析：‎ 通过条件可以得出△ABE≌△ADF而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，设EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和2S△ABE再通过比较大小就可以得出结论 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．‎ ‎∵△AEF等边三角形，‎ ‎∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=30°．‎ 在Rt△ABE和Rt△ADF中，‎ ‎，‎ Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），‎ ‎∴BE=DF，①正确．‎ ‎∠BAE=∠DAF，‎ ‎∴∠DAF+∠DAF=30°，‎ 即∠DAF=15°②正确，‎ ‎∵BC=CD，‎ ‎∴BC﹣BE=CD﹣DF，‎ 及CE=CF，‎ ‎∵AE=AF，‎ ‎∴AC垂直平分EF．③正确．‎ 设EC=x，由勾股定理，得 EF=x，CG=x，AG=x，‎ ‎∴AC=，‎ ‎∴AB=，‎ ‎∴BE=﹣x=，‎ ‎∴BE+DF=x﹣x≠x，④错误，‎ ‎∵S△CEF=，‎ S△ABE==，‎ ‎∴2S△ABE==S△CEF，⑤正确．‎ 综上所述，正确的有4个，故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．‎ ‎4、（2013•十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，则下底BC的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎8‎ B．‎ ‎9‎ C．‎ ‎10‎ D．‎ ‎11‎ 考点：‎ 等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质．3718684‎ 分析：‎ 首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可．‎ 解答：‎ 解：过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DE⊥BC于点E，‎ ‎∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=3，AD=5，∠C=60°，‎ ‎∴∠B=60°，BF=EC，AD=EF=5，‎ ‎∴cos60°===，‎ 解得：BF=1.5，‎ 故EC=1.5，‎ ‎∴BC=1.5+1.5+5=8．‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出BF=EC的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5、（2013•牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．3718684‎ 分析：‎ 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；‎ 先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；‎ 先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；‎ 当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，由P为BC边的中点，得出BN=PB=PC，判断④正确．‎ 解答：‎ 解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，‎ ‎∴PM=BC，PN=BC，‎ ‎∴PM=PN，正确；‎ ‎②在△ABM与△ACN中，‎ ‎∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，‎ ‎∴△ABM∽△ACN，‎ ‎∴，正确；‎ ‎③∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，‎ ‎∴∠ABM=∠ACN=30°，‎ 在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，‎ ‎∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，‎ ‎∴PM=PN=PB=PC，‎ ‎∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，‎ ‎∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，‎ ‎∴∠MPN=60°，‎ ‎∴△PMN是等边三角形，正确；‎ ‎④当∠ABC=45°时，∵CN⊥AB于点N，‎ ‎∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，‎ ‎∴BN=CN，‎ ‎∵P为BC边的中点，‎ ‎∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形 ‎∴BN=PB=PC，正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．‎ ‎6、(2013•遵义）如图，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B从开始到结束，所经过路径的长度为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ cm B．‎ ‎（2+π）cm C．‎ cm D．‎ ‎3cm 考点：‎ 弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．3718684‎ 分析：‎ 通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB=60°，‎ ‎∴∠AC（A）=120°，‎ 点B两次翻动划过的弧长相等，‎ 则点B经过的路径长=2×=π．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点B运动的路径，注意熟练掌握弧长的计算公式．‎ ‎7、（2013台湾、23）附图为正三角形ABC与正方形DEFG的重迭情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为何？（　　）‎ ‎　 A．2 B．3 C．12﹣4 D．6﹣6‎ 考点：正方形的性质；等边三角形的性质．‎ 分析：过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．‎ 解答：解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A=∠ABC=60°，‎ ‎∵BD=BE，‎ ‎∴△BDE是等边三角形，‎ ‎∴∠BDE=60°，‎ ‎∴∠A=∠BDE，‎ ‎∴AC∥DE，‎ ‎∵四边形DEFG是正方形，GF=6，‎ ‎∴DE∥GF，‎ ‎∴AC∥DE∥GF，‎ ‎∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，‎ ‎∴F点到AC的距离为6﹣6．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形的高线等于边长的倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．　‎ ‎8、（2013菏泽）我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”（例如圆的直径就是它的“面径”）．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是　，（或介于和之间的任意两个实数）　（写出1个即可）．‎ 考点：等边三角形的性质．‎ 专题：新定义；开放型．‎ 分析：根据等边三角形的性质，‎ ‎（1）最长的面径是等边三角形的高线；‎ ‎（2）最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径．‎ 解答：解：如图，‎ ‎（1）等边三角形的高AD是最长的面径，‎ AD=×2=；‎ ‎（2）当EF∥BC时，EF为最短面径，‎ 此时，（）2=，‎ 即=，‎ 解得EF=．‎ 所以，它的面径长可以是，（或介于和之间的任意两个实数）．‎ 故答案为：，（或介于和之间的任意两个实数）．‎ 点评：本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．　‎ ‎9、（2013•铁岭）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3.6，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为　1.6　．‎ 考点：‎ 旋转的性质．3718684‎ 分析：‎ 由将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上，可得AD=AB，又由∠B=60°，可证得△ABD是等边三角形，继而可得BD=AB=2，则可求得答案．‎ 解答：‎ 解：由旋转的性质可得：AD=AB，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴BD=AB，‎ ‎∵AB=2，BC=3.6，‎ ‎∴CD=BC﹣BD=3.6﹣2=1.6．‎ 故答案为：1.6．‎ 点评：‎ 此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎10、（2013•宜昌）如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF．‎ ‎（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；‎ ‎（2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长．‎ 考点：‎ 菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．‎ 分析：‎ ‎（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形；‎ ‎（2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长．‎ 解答：‎ 解：（1）菱形．‎ 理由：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF，‎ ‎∴四边形AEDF是菱形；‎ ‎（2）连接EF，‎ ‎∵AE=AF，∠A=60°，‎ ‎∴△EAF是等边三角形，‎ ‎∴EF=AE=8厘米．‎ 点评：‎ 此题考查了菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎11、（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为　7　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．3718684‎ 分析：‎ 先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=60°，AB=BC；‎ ‎∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；‎ ‎∴∠BAD+∠ADB=120°‎ ‎∵∠ADE=60°，‎ ‎∴∠ADB+∠EDC=120°，‎ ‎∴∠DAB=∠EDC，‎ 又∵∠B=∠C=60°，‎ ‎∴△ABD∽△DCE，‎ 则=，‎ 即=，‎ 解得：CE=2，‎ 故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．‎ ‎12、（2013聊城）如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为 ．‎ 考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质．‎ 分析：首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD．‎ 解答：解：如图，∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°，‎ ‎∴AD=ABcos30°=6×=3．‎ 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE，‎ ‎∴∠DAE=∠EAC+∠BAD=60°，‎ ‎∴△ADE的等边三角形，‎ ‎∴DE=AD=3，即线段DE的长度为3．‎ 故答案是：3．‎ 点评：本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．　‎ ‎13、（2013• 德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：‎ ‎①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．‎ 其中正确的序号是　①②④　（把你认为正确的都填上）．‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． ‎ 分析：‎ 根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正确，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AE=AF，‎ ‎∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∵BC=DC，‎ ‎∴BC﹣BE=CD﹣DF，‎ ‎∴CE=CF，‎ ‎∴①说法正确；‎ ‎∵CE=CF，‎ ‎∴△ECF是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CEF=45°，‎ ‎∵∠AEF=60°，‎ ‎∴∠AEB=75°，‎ ‎∴②说法正确；‎ 如图，连接AC，交EF于G点，‎ ‎∴AC⊥EF，且AC平分EF，‎ ‎∵∠CAD≠∠DAF，‎ ‎∴DF≠FG，‎ ‎∴BE+DF≠EF，‎ ‎∴③说法错误；‎ ‎∵EF=2，‎ ‎∴CE=CF=，‎ 设正方形的边长为a，‎ 在Rt△ADF中，‎ a2+（a﹣）2=4，‎ 解得a=，‎ 则a2=2+，‎ S正方形ABCD=2+，‎ ‎④说法正确，‎ 故答案为①②④．‎ 点评：‎ 本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．‎ ‎14、（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=　　．‎ 考点：‎ 等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．3481324‎ 分析：‎ 根据等腰三角形和三角形外角性质求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，‎ ‎∵BD为中线，‎ ‎∴∠DBC=∠ABC=30°，‎ ‎∵CD=CE，‎ ‎∴∠E=∠CDE，‎ ‎∵∠E+∠CDE=∠ACB，‎ ‎∴∠E=30°=∠DBC，‎ ‎∴BD=DE，‎ ‎∵BD是AC中线，CD=1，‎ ‎∴AD=DC=1，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，‎ 在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD==，‎ 即DE=BD=，‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出DE=BD和求出BD的长．‎ ‎15、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=　15　度．‎ 考点：‎ 等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．‎ 分析：‎ 根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，‎ ‎∵CG=CD，‎ ‎∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，‎ ‎∵DF=DE，‎ ‎∴∠E=15°．‎ 故答案为：15．‎ 点评：‎ 本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．‎ ‎16、(2013年广东湛江)如图，所有正三角形的一边平行于轴，一顶点在轴上．从内到外，它们的边长依次为，顶点依次用表示，其中与轴、底边与、与、均相距一个单位，则顶点的坐标是 ，的坐标是 ．‎ 解析：考查正三角形的相关知识及找规律的能力。由图知，的纵坐标为：‎ ‎，，而的横坐标为：，由题意知，的纵坐标为，，容易发现、、、、、这些点在第四象限，横纵坐标互为相反数， 、、、、、的下标2、5、7、、92、有规律：，是第31个正三角形（从里往外）的右端点，‎ ‎17、（2013福省福州19）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．‎ ‎（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是 ；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是 度；‎ ‎（2）连结AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．‎ 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；平移的性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：（1）由点A的坐标为（﹣2，0），根据平移的性质得到△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD，则△AOC与△BOD关于y轴对称；根据等边三角形的性质得∠AOC=∠BOD=60°，则∠AOD=120°，根据旋转的定义得△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB；‎ ‎（2）根据旋转的性质得到OA=OD，而∠AOC=∠BOD=60°，得到∠DOC=60°，所以OE为等腰△AOD的顶角的平分线，根据等腰三角形的性质得到OE垂直平分AD，则∠AEO=90°．‎ 解答：解：（1）∵点A的坐标为（﹣2，0），‎ ‎∴△AOC沿x轴向右平移2个单位得到△OBD；‎ ‎∴△AOC与△BOD关于y轴对称；‎ ‎∵△AOC为等边三角形，‎ ‎∴∠AOC=∠BOD=60°，‎ ‎∴∠AOD=120°，‎ ‎∴△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB．‎ ‎（2）如图，∵等边△AOC绕原点O顺时针旋转120°得到△DOB，‎ ‎∴OA=OD，‎ ‎∵∠AOC=∠BOD=60°，‎ ‎∴∠DOC=60°，‎ 即OE为等腰△AOD的顶角的平分线，‎ ‎∴OE垂直平分AD，‎ ‎∴∠AEO=90°．‎ 故答案为2；y轴；120．‎ 点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质、轴对称的性质以及平移的性质．　‎ ‎18、（2013•湖州）如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=CP=2，弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求证：PB是⊙O的切线．‎ 考点：‎ 切线的判定；等边三角形的判定与性质；垂径定理．‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，易证得△OBC是等边三角形，则可求得BC的长；‎ ‎（2）由OC=CP=2，△OBC是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，则可证得OB⊥BP，继而证得PB是⊙O的切线．‎ 解答：‎ ‎（1）解：连接OB，‎ ‎∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，‎ ‎∴弧BC与弧AC的度数为：60°，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴BC=OC=2；‎ ‎（2）证明：∵OC=CP，BC=OC，‎ ‎∴BC=CP，‎ ‎∴∠CBP=∠CPB，‎ ‎∵△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=60°，‎ ‎∴∠CBP=30°，‎ ‎∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°，‎ ‎∴OB⊥BP，‎ ‎∵点B在⊙O上，‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎19、（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．‎ ‎（1）证明DE∥CB；‎ ‎（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．‎ 考点：‎ 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；‎ ‎（2）当AC=或AB=‎2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=或AB=‎2AC．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连结CE．‎ ‎∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，‎ ‎∴CE=AB=AE．‎ ‎∵△ACD是等边三角形，‎ ‎∴AD=CD．‎ 在△ADE与△CDE中，，‎ ‎∴△ADE≌△CDE（SSS），‎ ‎∴∠ADE=∠CDE=30°．‎ ‎∵∠DCB=150°，‎ ‎∴∠EDC+∠DCB=180°．‎ ‎∴DE∥CB．w W w .X k b ‎1 ‎c O m ‎（2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．‎ ‎∴∠B=30°．‎ 在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=‎2AC．‎ ‎∴当AC=或AB=‎2AC时，四边形DCBE是平行四边形．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．‎ ‎20、（2013•衢州）【提出问题】‎ ‎（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．‎ ‎【类比探究】‎ ‎（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ 分析：‎ ‎（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；‎ ‎（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．‎ ‎（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到=，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，‎ ‎∴∠BAM=∠CAN，‎ ‎∵在△BAM和△CAN中，‎ ‎∴△BAM≌△CAN（SAS），‎ ‎∴∠ABC=∠ACN．‎ ‎（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．‎ 理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，‎ ‎∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，‎ ‎∴∠BAM=∠CAN，‎ ‎∵在△BAM和△CAN中，‎ ‎∴△BAM≌△CAN（SAS），‎ ‎∴∠ABC=∠ACN．‎ ‎（3）解：∠ABC=∠ACN．‎ 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，‎ ‎∴底角∠BAC=∠MAN，‎ ‎∴△ABC∽△AMN，‎ ‎∴=，‎ 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，‎ ‎∴∠BAM=∠CAN，‎ ‎∴△BAM∽△CAN，‎ ‎∴∠ABC=∠ACN．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．‎