湖北省鄂州市中考数学试卷解析

湖北省鄂州市中考数学试卷解析

‎2017年湖北省鄂州市中考数学试卷 满分：120分 版本：　　版 一、选择题（每小题3分，共10小题，合计30分）‎ ‎1．（2017湖北鄂州）下列实数是无理数的是（　　）‎ A． B． C．0 D．‎ 答案：B，解析：根据“无限不循环小数叫做无理数”可知，是无理数．‎ ‎2．（2017湖北鄂州）鄂州市凤凰大桥，坐落于鄂州城区洋澜湖上，是洋澜湖上在建的第5座桥梁．大桥长1100 m，宽27 m．鄂州有关部门公布了该桥新的设计方案，并计划投资人民币2.3亿元．2015年开工，预计2017年完工．请将2.3亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．2.3× B．0.23× C．23× D．2.3×‎ 答案：A，解析：1亿用科学记数法表示为，所以2.3亿＝2.3×．‎ ‎3．（2017湖北鄂州）下列运算正确的是（　　）‎ A．＝2 B．＝ C．＝ D．＝‎ 答案：D，解析：＝＝，选项A不正确；＝，选项B不正确；＝＝，选项C不正确；＝＝，选项D正确．‎ ‎4．（2017湖北鄂州）如图是由几个大小相同的小正方形搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（　　）‎ 第4题图 答案：D，解析：从左向右看，一共有3列，左侧一列有2层，中间一列有2层，右侧一列有1层，故选D．‎ ‎5．（2017湖北鄂州）对于不等式组，下列说法正确的是（　　）‎ A．此不等式组的正整数解为1，2，3 B．此不等式组的解集为－1＜≤‎ C．此不等式组有5个整数解 D．此不等式组无解 答案：A，解析：解不等式组得解集为＜≤，它的正整数解为1，2，3，故选项A正确．‎ ‎6．（2017湖北鄂州）如图，AB∥CD，E为CD上一点，射线EF经过点A，EC＝EA，若∠CAE＝30°，则∠BAF＝（　　）‎ A．30° B．40° C．50° D．60°‎ 第6题图 答案：D，解析：∵EC＝EA，∴∠C＝∠CAE＝30°．∵∠DEA是△ACE的外角，∴∠AED＝∠C＋∠CAE＝30°＋30°＝60°．∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED＝60°．‎ ‎7．（2017湖北鄂州）已知二次函数＝的图像如图所示，则一次函数＝与反比例函数＝的图像可能是（　　）‎ 第7题图 答案：A，解析：∵二次函数＝图像的顶点坐标为（，），且顶点在第二象限，∴＜0且＞0．∴＞0．∴＞0．∴一次函数＝的图像经过第一、二、三象限，反比例函数＝的图像经过第一、三、象限．‎ ‎8．（2017湖北鄂州）小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min到家，再过5 min小东到达学校．小东始终以100 m/min的速度步行，小东和妈妈的距离（单位：m）与小东打完电话后的步行时间（单位：min）之间的函数关系如图所示，下列四种说法：‎ ‎（1）打电话时，小东和妈妈距离是1400 m；‎ ‎（2）小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50 m/min；‎ ‎（3）小东打完电话后，经过27 min到达学校；‎ ‎（4）小东家离学校的距离是2900 m．‎ 其中正确的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第8题图 答案：D，解析：打电话时，在图像中的时间＝0，对应的＝1400，根据表示的意义可知，此时小东和妈妈的距离是1400 m，①正确；小东与妈妈相遇，此时＝0，是图像中的点（6，0），妈妈回到家，是图像中的点（22，2400），因此妈妈回家时间为22－6＝16（min）．设妈妈回家速度为 m/min，则16×100＋＝2400，解得＝50，即妈妈回家速度为50 m/min，②正确；图像中横坐标为0的点表示小东打电话，横坐标为27的点表示小东到校，所以小东打完电话后经过27 min到达学校，③正确；相遇后妈妈回家的路程为50×16＝800m，小明到达学校的路程为100×21＝2100 m，所以小东家离学校的距离是2900 m，④正确．‎ ‎9．（2017湖北鄂州）如图，抛物线＝的图像交轴于A（－2，0）和点B，交轴负半轴于点C，且OB＝OC．下列结论：①＝2；②＝；③＝；④＞0，其中正确的个数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个 第9题图 答案：C，解析：在＝中，当＝0时＝．∴C（0，）．∴OC＝．∵OB＝OC，∴B（，0）．∵A（－2，0），∴、－2是一元二次方程＝0的两个不相等的实数根，∴＝，∵≠0，∴＝，②正确；∵＝，∴、－2是一元二次方程＝0的两个不相等的实数根，∴＝，即＝2，①正确；把B（，0）代入＝，得0＝，即＝0．∵≠0，∴＝0，∴＝，③正确；∵抛物线开口向上，∴＞0．∵抛物线的对称轴在轴左侧，∴＜0，∴＞0．∴＞0．∵抛物线与负半轴于点C，∴＜0．∴＜0，④‎ 不正确．‎ ‎10．（2017湖北鄂州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则△ABE的面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第10题图 答案：D，解析：∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠D＝90°．又∵∠DAC＝45°，∴AD＝CD．‎ 如图，过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F，延长CF到点G，使FG＝DE，连接AG，则四边形ADCF是正方形．‎ 过点B作BH⊥AD，垂足为点H．设BC＝，则HD＝，AH＝，AB＝．‎ 在△ABH中，由勾股定理得AB2＝AH2＋BH2．‎ ‎∴＝，解得＝1．‎ ‎∴FB＝AH＝3．‎ ‎∵FG＝DE，∠GFD＝∠D＝90°，AF＝AD，‎ ‎∴△AGF≌△AED．‎ ‎∴∠GAF＝∠DAE，AG＝AD．‎ ‎∵∠BAE＝45°，‎ ‎∴∠DAE＋∠FAB＝45°．‎ ‎∴∠GAF＋∠FAB＝45°，即∠GAB＝45°．‎ ‎∴∠GAB＝∠BAE．‎ 又∵AG＝AD，AB＝AB，‎ ‎∴△AGB≌△AEB．‎ ‎∴S△AEB＝S△AGB，∴GB＝BE．‎ 设FG＝，则DE＝，CE＝，BE＝GB＝．‎ 在△BCE中，由勾股定理得BC2＋CE2＝BE2．‎ ‎∴＝．‎ 解得＝．‎ ‎∴FG＝，GB＝FG＋GB＝＝．‎ ‎∴S△AEB＝S△AGB＝GB·AF＝××4＝．‎ 二、填空题（每小题3分，共8小题，合计24分）‎ ‎11．（2017湖北鄂州）分解因式：＝________．‎ 答案：，解析：多项式的各项含有公因式，提取后另一因式还可运用平方差公式分解，所以＝＝．‎ ‎12．（2017湖北鄂州）若＝，则________．‎ 答案：－3，解析：由二次根式有意义的条件得解得＝，代入＝‎ ‎－6得＝－6，∴＝＝－3．‎ ‎13．（2017湖北鄂州）一个样本为1，3，2，2，，，．已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为________．‎ 答案：2，解析：∵众数为3，∴数、、中至少有2个数为3．①当数、、中有2个数为3时，不妨设＝＝3，则由平均数为2得＝2，∴＝0．此时数据为1，3，2，2，3，3，0，将它们按由小到大的顺序排列是：0，1，2，2，3，3，3，最中间的数是2，∴中位数为2．②当数、、中3个数都为3时，此时平均数为＝≠2，不符合题意，舍去．综合知，这组数据的中位数为2．‎ ‎14．（2017湖北鄂州）已知圆锥的高为6，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为________．‎ 答案：，解析：如图，∵OA＝6，OB＝4，∴由勾股定理得AB＝＝＝．∴圆锥的侧面积为＝．‎ ‎15．（2017湖北鄂州）如图，AC⊥轴轴于点A，点B在轴的正半轴上，∠ABC＝60°，AB＝4，BC ‎＝，点D为AC与反比例函数＝的图像的交点，若直线BD将△ABC的面积分成1∶2的两部分，则的值为________．‎ 第15题图 答案：－8或－4，解析：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E．‎ 在△BCE中，∵CB＝，∠ABC＝60°．‎ ‎∴CE＝CB·sin∠ABC＝·sin 60°＝×＝3．‎ ‎∴S△ABC＝AB·CE＝×4×3＝6．‎ 过点C作CF⊥轴，垂足为点F．‎ ‎∵S矩形OACF＝OA·AC，S△ABC＝AC·OA，‎ ‎∴S矩形OACF＝2S△ABC＝2×6＝12．‎ 过点D作DG⊥轴，垂足为点G．‎ 当S△ABD＝2S△CBD时，AD＝AC．‎ ‎∴S矩形OADG＝S矩形OACF＝×12＝8．‎ ‎∴＝8．‎ 解得＝±8．‎ ‎∵反比例函数＝的图像经过点D，点D在第二象限，‎ ‎∴＜0．‎ ‎∴＝－8．‎ 当S△CBD＝2S△ABD时，AD＝AC．同理可求＝－4．‎ 综合知，的值为－8或－4．‎ ‎16．（2017湖北鄂州）已知正方形ABCD中，A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线＝向下平移个单位（＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则的取值范围是________．‎ 答案：2≤≤8，解析：抛物线＝向下平移个单位后的抛物线为＝．把点（1，2）代入得2＝，解得＝2．把点（2，1）代入得1＝，解得＝8．所以的取值范围是2≤≤8．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分60分）‎ ‎17．（2017湖北鄂州）（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中的值从不等式组的整数解中选取．‎ 思路分析：先进行分式分式的混合运算，求出最简结果；再解不等式组，从解集中确定出整数解，最后在整数解中选取一个使计算式中各个分式有意义及除数不为0的的值代入求值．‎ 解：原式＝＝＝．‎ 解不等式≤3，得≥－1．‎ 解不等式＜1，得＜．‎ ‎∴不等式组的解集为－1≤＜，它的整数数解为－1，0，1，2．‎ ‎∵≠－1，0，1，‎ ‎∴＝2．‎ 当＝2时，原式＝＝0．‎ ‎18．（2017湖北鄂州）（本小题满分8分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．‎ ‎（1）求证：△AFE≌△CDE；‎ ‎（2）若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．‎ 第18题图 思路分析：（1）由折叠得AF＝AB，∠B＝∠F．由矩形ABCD得AB＝CD，∠B＝∠D，所以AF ‎＝CD，∠F＝∠D，又∠AEF＝∠CED，根据“AAS”可证明△AFE≌△CDE；（2）先证明AE＝CE，然后在△AEF中利用勾股定理列方程求AE长，最后根据S阴影＝AE·AB求解．‎ 解：（1）由折叠，得AB＝AF．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°．‎ 由折叠，得AB＝AF，∠B＝∠F．‎ ‎∴AF＝CD，∠F＝∠D．‎ 又∵∠AEF＝∠DEC，‎ ‎∴△AFE≌△CDE．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎∴∠CAE＝∠ACB．‎ 由折叠，得∠ACB＝∠ACE，AF＝AB＝4，CF＝BC＝8．‎ ‎∴∠CAE＝∠ACB．‎ ‎∴AE＝CE．‎ 设AE＝，则CE＝，EF＝．‎ 在△AEF中，由勾股定理得AB2＝AF2＋EF2．‎ ‎∴＝．‎ 解得＝5，即AE＝5．‎ ‎∴S阴影＝AE·AB＝×5×4＝10．‎ ‎19．（2017湖北鄂州）（本小题满分8分）某兴趣小组为了了解本校学生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校40名学生进行问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图：‎ 从不参加 经常参加 偶尔参加 课外体育锻炼情况扇形统计图 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 其他 项目 人数 经常参加课外体育锻炼的学生 最喜欢的一种项目条形统计图 根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）课外体育锻炼统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为________；“‎ 经常参加课外体育锻炼的学生最喜欢的一种项目”中，喜欢足球的人数有________人，并补全条形统计图；‎ ‎（2）该校共有1200名学生，请估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的人数有多少人？‎ ‎（3）若在“乒乓球”、“篮球”、“足球”、“羽毛球”项目中任选两个项目成立兴趣小组，用列举或画树状图的方法求恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的概率．‎ 思路分析：（1）由扇形统计图可知，“经常参加”所对应的扇形的百分比为1－15％－45％＝40％，对应圆心角的度数为40％×360°＝144°．“经常参加”的学生总数为40×40％＝16（人），所以最喜欢足球的人数为16－6－4－3－2＝1．（2）先求出样本中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的百分比，即40％×＝15％，然后利用“样本估计总体思想”求解，即用全校学生总人数×15%计算即可．（3）用表格或画树状图的方法列出所有可能出现的结果数，再从中确定出恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目的结果数，最后利用等可能条件下的概率求解．‎ 解：（1）144°，1，补全条形统计图如下：‎ 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 其他 项目 人数 经常参加课外体育锻炼的学生 最喜欢的一种项目条形统计图 ‎（2）1200×40％×＝180（人）．‎ 答：估计全校学生中经常参加课外体育锻炼并喜欢的项目是乒乓球的有180人．‎ ‎（3）用表格列出所有可能出现的结果如下：‎ 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 乒乓球 ‎（篮球，乒乓球）‎ ‎（足球，乒乓球）‎ ‎（羽毛球，乒乓球）‎ 篮球 ‎（乒乓球，篮球）‎ ‎（足球，篮球）‎ ‎（羽毛球，篮球）‎ 足球 ‎（乒乓球，足球）‎ ‎（篮球，足球）‎ ‎（羽毛球，足球）‎ 羽毛球 ‎（乒乓球，羽毛球）‎ ‎（篮球，羽毛球）‎ ‎（足球，羽毛球）‎ 由表格可知，一共有12种可能出现的结果，它们是等可能的，其中恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目有2种．‎ ‎∴P（恰好选中“乒乓球”、“篮球”这两个项目）＝＝．‎ ‎20．（2017湖北鄂州）（本小题满分8分）关于的方程＝0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）设方程的两个实数根分别为，，存不存在这样的实数，使得＝？若存在，求出这样的值；若不存在，说明理由．‎ 思路分析：（1）根据已知一元二次方程有两个不相等的实数根，得＞0，转化关于的不等式求解；（2）先由＝判定出、的符号相同，再由＝及（1）中的取值范围得到＞0，＞0，从而将＝中的绝对值符号化去，得到＝，两边平方转化成关于、的等式求解．‎ 解：（1）根据题意，得＞0．‎ ‎∴＞0．‎ 解得＞，即实数的取值范围是＞．‎ ‎（2）由根与系数关系，得＝，＝．‎ ‎∵＝＞0，即＞0，‎ ‎∴、同号．‎ ‎∵＝，＞，‎ ‎∴＞0．‎ ‎∴＞0，＞0．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴＝．‎ ‎∴＝5，即＝5．‎ ‎∴＝5．‎ 解得＝4．‎ ‎∵4＞，‎ ‎∴的值为4．‎ ‎21．（2017湖北鄂州）（本小题满分9分）小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．‎ ‎（1）求树DE的高度；‎ ‎（2）求食堂MN的高度．‎ 台阶 食 堂 第21题图 思路分析：（1）先在△ABC中求AC长，再求出∠ACE＝90°，在△ACE中求CE长，最后在△CDE中求DE长．（2）延长NM交BC于点G．先求GB、BC、CD的长，得到GD的长，再在△DNG中求NG长，最后求MN长．‎ 解：（1）由题意，得AF∥BC． ‎ ‎∴∠FAC＝∠BCA＝30°．‎ ‎∴∠EAC＝∠EAF＋∠CAF＝30°＋30°＝60°．‎ ‎∵∠ACE＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－30°－60°＝90°．‎ ‎∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠ACE＝180°－60°－90°＝30°．‎ 在△ABC中，∵∠BCA＝30°，AB＝2，‎ ‎∴AC＝2AB＝4．‎ 在△ACE中，∵∠AEC＝30°，AC＝4，‎ ‎∴EC＝AC＝．‎ 在△CDE中，∵sin∠ECD＝，∠ECD＝60°，EC＝，‎ ‎∴sin60°＝．‎ ‎∴ED＝sin60°＝×＝6（米）．‎ 答：树DE的高度6米．‎ ‎（2）延长NM交BC于点G，则GB＝MA＝3．‎ 在△ABC中，∵AB＝2，AC＝4，‎ ‎∴BC＝＝＝．‎ 在△CDE中，∵CE＝，DE＝6，‎ ‎∴CD＝＝＝．‎ ‎∴GD＝GB＋BC＋CD＝3＋＋＝．‎ 在△GDN中，∵∠NDG＝45°，‎ ‎∴NG＝GD＝．‎ ‎∴MN＝NG－MG＝NG－AB＝＝（米）．‎ 答：食堂MN的高度为米．‎ 台阶 食 堂 ‎22．（2017湖北鄂州）（本小题满分9分）如图，已知BF是⊙O的直径，A为⊙O上（异于B，F）一点，⊙O的切线MA与FB的延长线交于点M，P为AM上一点，PB的延长线交⊙O于点C，D为BC上一点且PA＝PD，AD的延长线交⊙O于点E．‎ ‎（1）求证：＝；‎ ‎（2）若ED、EA的长是一元二次方程＝0的两根，求BE的长；‎ ‎（3）若MA＝，sin∠AMF＝，求AB的长．‎ 第22题图 思路分析：（1）证明∠BEE＝∠EBC；（2）证明△EBD∽△EAB得到EB2＝ED·EA，根据一元二次方程的根与系数关系得到ED·EA＝5，从而求出BE长；（3）过点B作BG⊥AM，垂足为点M，转化为求AG、BG长．‎ 解：（1）如图，连接OA、AF．‎ ‎∵BF是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ABF＋∠F＝90°．‎ ‎∵MA切⊙O于点A，‎ ‎∴OA⊥MA．‎ ‎∴∠MAO＝90°，即∠PAB＋∠BAO＝90°．‎ ‎∴∠ABF＋∠F＝∠PAB＋∠BAO．‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴∠ABF＝∠BAO．‎ ‎∴∠F＝∠PAB．‎ ‎∵∠F＝∠E，‎ ‎∴∠PAB＝∠E．‎ ‎∵PA＝PD，‎ ‎∴∠PAD＝∠PDA，即∠PAB＋∠BAE＝∠EBC＋∠E．‎ ‎∴∠BAE＝∠EBC．‎ ‎∴＝．‎ ‎（2）∵∠BAE＝∠EBC，∠E＝∠E，‎ ‎∴△EBD∽△EAB．‎ ‎∴＝，即EB2＝ED·EA．‎ ‎∵ED、EA的长是一元二次方程＝0的两根，‎ ‎∴ED·EA＝5．‎ ‎∴EB2＝5．‎ ‎∴EB＝（舍去负值）．‎ ‎（2）在△AOM中，∵sin∠AMF＝，∴＝．‎ 设OA＝，则OM＝．‎ 在△OAM中，由勾股定理得OA2＋AM2＝OM2．‎ ‎∴＝．‎ 解得＝3（舍去负值），即OA＝3．‎ ‎∴OM＝9，BM＝OM－OB＝9－3＝6．‎ 过点B作BG⊥MA，垂足为点G，则BG∥OA．‎ ‎∴＝＝，即＝＝．‎ ‎∴MG＝，BG＝2．‎ ‎∴AG＝MA－MG＝＝．‎ 在△ABG中，由勾股定理得AB＝＝＝．‎ ‎23．（2017湖北鄂州）（本小题满分10分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个．若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低元（为偶数），每周销售量为个．‎ ‎（1）直接写出销售量（个）与降价（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？‎ ‎（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？‎ 思路分析：（1）根据“若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个”列销售量（个）与降价（元）之间的函数关系式；（2）根据“总利润＝单个产品利润×销售量”列二次函数，然后利用配方法求最大利润；（3）转化为求总利润＝5200时的销售量所对的总进价．‎ 解：（1）＝，即＝．‎ ‎（2）＝＝．‎ ‎∵为偶数，‎ ‎∴当＝6或8时，取最大值5280．‎ 当＝6时，销售单价为80－6＝74元/个；当＝8时，销售单价为80－8＝72元/个．‎ ‎∴当销售单价定为74元或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元．‎ ‎（3）∵＝，‎ ‎∴当＝5200元时，＝5200．‎ 解得＝10，＝4．‎ ‎∵销售量＝随的增大而增大，‎ ‎∴当＝4时，进货成本最小．‎ 当＝4时，销售量＝＝200，此时进货成本为200×50＝10000元．‎ 答：他至少要准备10000元进货成本．‎ ‎24．（2017湖北鄂州）（本小题满分12分）已知抛物线＝（＜0）与轴交于A ‎（3，0）、B两点，与轴交于点C．抛物线的对称轴是直线＝1，D为抛物线的顶点，点E在轴C点的上方，且CE＝．‎ ‎（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；‎ ‎（2）求证：直线DE是△ACD外接圆的切线；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上找一点P，使S△PAC＝S△ACD，求点P的坐标；‎ ‎（4）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与△ACD相似，直接写出点M的坐标．‎ 第24题图 思路分析：（1）利用点A（3，0）及对称轴是直线＝1即可求解；（2）先证明△ACD是直角三角形，再证明∠ADE＝90°；（3）设P（，）先求出△ACD的面积，再用含的式子表示△PAC的面积，最后解方程求得的值，从而得到点P的坐标；（4）因为△ACD是直角三角形，所以△BCM也为直角三角形，分B为直角顶点、C为直角顶点、M为直角顶点三种情形求解．‎ 解：（1）把A（3，0）代入＝，得 ‎0＝．①‎ ‎∵抛物线的对称轴为＝1．‎ ‎∴＝1．②‎ 解①②组成的方程组，得＝－1，＝2．‎ ‎∴抛物线的表达式为＝．‎ ‎∵＝＝，‎ ‎∴D（1，4）．‎ ‎（2）在＝中，当＝0时，＝3．‎ ‎∴C（0，3），OC＝3．‎ ‎∵A（3，0），‎ ‎∴OA＝3．‎ 在△OAC中，由勾股定理得AC2＝18．‎ 过点D作DF⊥轴，垂足为点F，则DF＝4，AF＝2．‎ 在△ADF中，同理可求AD2＝20．‎ 过点D作DG⊥轴，垂足为点G，则DG＝1，CG＝1．‎ 在△CDG中，同理可求CD2＝2．‎ ‎∵AC2＋CD2＝18＋2＝20，‎ ‎∴AC2＋CD2＝AD2．‎ ‎∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．‎ ‎∴AD是△ACD外接圆的直径．‎ ‎∵CG＝DG＝1，DG⊥轴，‎ ‎∴∠GCD＝45°．‎ 过点E作EH⊥CD，垂足为点H．‎ 则EH＝CH＝＝＝．‎ ‎∵CD2＝2，AC2＝18，‎ ‎∴CD＝，AC＝．‎ ‎∴DH＝＝．‎ 在△DEH中，tan∠EDH＝＝＝．‎ 在△ACD中，tan∠DAC＝＝＝．‎ ‎∴∠EDH＝∠DAC．‎ ‎∵∠ACD＝90°，‎ ‎∴∠DAC＋∠ADC＝90°．‎ ‎∴∠EDH＋∠ADC＝90°，即∠ADE＝90°．‎ ‎∴AD⊥DE．‎ ‎∴DE是△ACD外接圆的切线．‎ ‎（3）∵∴CD＝，AC＝．‎ ‎∴S△ACD＝AC·CD＝××＝3．‎ 设直线AC的函数表达式为＝．‎ 把A（3，0），C（0，3）代入，得 解得＝－1，＝3．‎ ‎∴直线AC的函数表达式为＝．‎ 设P（，），过点P作PK∥轴交AC于点K，交轴于点Q．‎ 当＝时，＝．‎ ‎∴K（，）．‎ ‎∴PK＝＝．‎ ‎∵S△PAC＝S△PCK＋S△PAK＝PK·OQ＋PK·AQ＝PK(OQ＋AO)＝PK·OA＝×3＝．‎ ‎∵S△PAC＝S△ACD，‎ ‎∴＝3．‎ 解得＝1，＝2．‎ 当＝1时，＝4；当＝2时，＝3．‎ ‎∴P（1，4）或（2，3）．‎ ‎（4）（0，），（9，0），（0，0）．‎ 提示：∵△ACD是直角三角形，△ACD与△BCM相似，‎ ‎∴△BCM是直角三角形．‎ ‎∵抛物线的对称轴是直线＝1，A（3，0），‎ ‎∴B（－1，0），OB＝1．‎ 连接BC．∵＝，＝，‎ 又∵∠ACD＝∠BOC，‎ ‎∴△ACD∽△COB．‎ ‎∴△BCM与△COB相似．‎ 当点B为直角顶点时，过点B作BM⊥BC交轴于点M1．‎ ‎∴∠CBO＋∠OBM1＝90°．‎ ‎∵∠BOC＝90°，‎ ‎∴∠CBO＋∠OCB＝90°．‎ ‎∴∠OBM1＝∠OCB．‎ 又∵∠COB＝∠BOM1＝90°，‎ ‎∴△OBC∽△OM1B．‎ ‎∴＝，即＝．‎ ‎∴OM1＝．‎ ‎∴M1（0，）．‎ 当点C为直角顶点时，如图，过点C作CM2⊥BC交轴于点M2．‎ 同理可求OM2＝9．‎ ‎∴M2（9，0）．‎ 当点M为直角顶点时，如图，以BC为直径作⊙N．‎ ‎∵∠BOC＝90°，‎ ‎∴点O在⊙N上，此时点M在点O处．‎ ‎∴M（0，0）．‎ 综合知，点M的坐标为（0，），（9，0），（0，0）．‎