中考复习三角形专题一含答案

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中考复习三角形专题一含答案

‎2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷 ‎ ‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.无法确定 ‎2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P(  )‎ A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的角平分线 D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)‎ ‎3.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于(  )‎ A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC ‎4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎5.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎6.如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是(  )‎ A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎7.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为D,E,F,则PD+PE+PF的值为(  )‎ A. B. C.2 D.2‎ ‎9.如图,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是(  )‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎ ‎ 二.填空题(共14小题)‎ ‎11.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE=   .‎ ‎12.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO=   .‎ ‎13.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC=   .‎ ‎14.如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为   .‎ ‎15.在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为   (用含a的式子表示).‎ ‎16.如图,Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为   .‎ ‎17.如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足为G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG=   cm.‎ ‎18.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=   .‎ ‎19.如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为   .‎ ‎20.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2017次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为   .‎ ‎21.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为   .‎ ‎22.如图,在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为   .‎ ‎23.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为   .‎ ‎24.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则四边形ABCD的面积为=   ,BD的长为   .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共4小题)‎ ‎25.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.‎ ‎(1)若AD=2,求AB;‎ ‎(2)若AB+CD=2+2,求AB.‎ ‎26.如图:在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=120cm,E、F为AB边的三等分点,以EF为边在矩形内作等边三角形MEF,N为AB边上一点,EN=10cm;‎ 请在矩形内找一点P,使△PMN为等边三角形(画出图形,并直接写出△PMF的面积).‎ ‎27.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.‎ ‎(1)求sinB的值;‎ ‎(2)如果CD=,求BE的值.‎ ‎28.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.‎ ‎(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°‎ ‎①求证:AD=BE;‎ ‎②求∠AEB的度数.‎ ‎(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN.‎ ‎ ‎ ‎2018年02月28日刘笑天的初中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.如图,两个三角形的面积分别是9,6,对应阴影部分的面积分别是m,n,则m﹣n等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.无法确定 ‎【分析】设空白出的面积为x,根据题意列出关系式,相减即可求出m﹣n的值.‎ ‎【解答】解:设空白出图形的面积为x,‎ 根据题意得:m+x=9,n+x=6,‎ 则m﹣n=9﹣6=3.‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的面积;设出未知数,根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P(  )‎ A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的角平分线 D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)‎ ‎【分析】根据角平分线的性质分析,作∠E的平分线,点P到AB和CD的距离相等,即可得到S△PAB=S△PCD.‎ ‎【解答】解:作∠E的平分线,‎ 可得点P到AB和CD的距离相等,‎ 因为AB=CD,‎ 所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题考查角平分线的性质,关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.‎ ‎ ‎ ‎3.如图,AD是△ABC的角平分线,则AB:AC等于(  )‎ A.BD:CD B.AD:CD C.BC:AD D.BC:AC ‎【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,由于BE∥AC,利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质,可得∴△BDE∽△CDA,∠E=∠DAC,再利用相似三角形的性质可有=,而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD,于是BE=AB,等量代换即可证.‎ ‎【解答】解:如图 过点B作BE∥AC交AD延长线于点E,‎ ‎∵BE∥AC,‎ ‎∴∠DBE=∠C,∠E=∠CAD,‎ ‎∴△BDE∽△CDA,‎ ‎∴=,‎ 又∵AD是角平分线,‎ ‎∴∠E=∠DAC=∠BAD,‎ ‎∴BE=AB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AB:AC=BD:CD.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论.关键是作平行线.‎ ‎ ‎ ‎4.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数,再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形.‎ ‎【解答】解:∵AB=AC,‎ ‎∴△ABC是等腰三角形;‎ ‎∵AB=AC,∠A=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=72°,‎ ‎∵BD是△ABC的角平分线,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°,‎ ‎∴∠A=∠ABD=36°,‎ ‎∴BD=AD,‎ ‎∴△ABD是等腰三角形;‎ 在△BCD中,∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°,‎ ‎∴∠C=∠BDC=72°,‎ ‎∴BD=BC,‎ ‎∴△BCD是等腰三角形;‎ ‎∵BE=BC,‎ ‎∴BD=BE,‎ ‎∴△BDE是等腰三角形;‎ ‎∴∠BED=(180°﹣36°)÷2=72°,‎ ‎∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°,‎ ‎∴∠A=∠ADE,‎ ‎∴DE=AE,‎ ‎∴△ADE是等腰三角形;‎ ‎∴图中的等腰三角形有5个.‎ 故选D.‎ ‎【点评】此题考查了等腰三角形的判定,用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等,解题时要找出所有的等腰三角形,不要遗漏.‎ ‎ ‎ ‎5.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是(  )‎ A.5 B.6 C.7 D.8‎ ‎【分析】由点A、B的坐标可得到AB=2,然后分类讨论:若AC=AB;若BC=AB;若CA=CB,确定C点的个数.‎ ‎【解答】解:∵点A、B的坐标分别为(2,2)、B(4,0).‎ ‎∴AB=2,‎ ‎①若AC=AB,以A为圆心,AB为半径画弧与坐标轴有3个交点(含B点),即(0,0)、(4,0)、(0,4),‎ ‎∵点(0,4)与直线AB共线,‎ ‎∴满足△ABC是等腰三角形的C点有1个;‎ ‎②若BC=AB,以B为圆心,BA为半径画弧与坐标轴有2个交点(A点除外),即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个;‎ ‎③若CA=CB,作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点,即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个;‎ 综上所述:点C在坐标轴上,△ABC是等腰三角形,符合条件的点C共有5个.‎ 故选A ‎【点评】本题考查了等腰三角形的判定,也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用.‎ ‎ ‎ ‎6.如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△‎ ADC的面积是(  )‎ A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎【分析】延长BD交AC于点E,则可知△ABE为等腰三角形,则S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,可得出S△ADC=S△ABC.‎ ‎【解答】解:如图,延长BD交AC于点E,‎ ‎∵AD平分∠BAE,AD⊥BD,‎ ‎∴∠BAD=∠EAD,∠ADB=∠ADE,‎ 在△ABD和△AED中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABD≌△AED(ASA),‎ ‎∴BD=DE,‎ ‎∴S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE,‎ ‎∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC,‎ ‎∴S△ADC═S△ABC=×12=6,‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用,由BD=DE得到S△ABD=S△ADE,S△BDC=S△CDE是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,在下列三角形中,若AB=AC,则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】A、D是黄金三角形,C、过A点作BC的垂线即可;只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.‎ ‎【解答】解:A、中作∠B的角平分线即可;‎ C、过A点作BC的垂线即可;‎ D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可;‎ 只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形.‎ 故选B.‎ ‎【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握,此题的4个选项中只有D选项有点难度,所以此题属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,P为边长为2的正三角形内任意一点,过P点分别作三边的垂线,垂足分别为D,E,F,则PD+PE+PF的值为(  )‎ A. B. C.2 D.2‎ ‎【分析】首先连接PA、PB、PC,再根据正三角形的面积的求法,求出边长为2的正三角形的面积是多少;然后判断出SABC=SAPB+SAPC+SBPC=PD+PE+PF,据此求出PD+PE+PF的值为多少即可.‎ ‎【解答】解:如图,连接PA、PB、PC,,‎ ‎∵△ABC是边长为2的正三角形,‎ ‎∴△ABC的面积为:‎ ‎;‎ ‎∵SABC=SAPB+SAPC+SBPC ‎=×2×PD+×2×PF+×2×PE ‎=PD+PE+PF ‎∴PD+PE+PF=,‎ 即PD+PE+PF的值为.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】(1)此题主要考查了等边三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°.②等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;③它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.‎ ‎(2)此题还考查了等边三角形的面积的求法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:边长是a的等边三角形的面积是a2.‎ ‎ ‎ ‎9.如图,△ABC的面积为20,点D是BC边上一点,且BD=BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四边形,则图中阴影部分的面积是(  )‎ A.5 B.10 C.15 D.20‎ ‎【分析】设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2,根据图形可知h=h1+h2.利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC,由此即可得出结论.‎ ‎【解答】解:设△ABC底边BC上的高为h,△AGH底边GH上的高为h1,△CGH底边GH上的高为h2,‎ 则有h=h1+h2,S△ABC=BC•h=2,‎ ‎∴S阴影=S△AGH+S△CGH=GH•h1+GH•h2=GH•(h1+h2)=GH•h.‎ ‎∵四边形BDHG是平行四边形,且BD=BC,‎ ‎∴GH=BD=BC,‎ ‎∴S阴影=×( BC•h)=S△ABC=5.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质,解题的关键是找出S阴影=S△ABC.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=BC=2,E、F分别是AD、CD的中点,连接BE、BF、EF.若四边形ABCD的面积为6,则△BEF的面积为(  )‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎【分析】连接AC,过B作EF的垂线,利用勾股定理可得AC,易得△ABC的面积,可得BG和△ADC的面积,三角形ABC与三角形ACD同底,利用面积比可得它们高的比,而GH又是△ACD以AC为底的高的一半,可得GH,易得BH,由中位线的性质可得EF的长,利用三角形的面积公式可得结果.‎ ‎【解答】解:连接AC,过B作EF的垂线交AC于点G,交EF于点H,‎ ‎∵∠ABC=90°,AB=BC=2,‎ ‎∴AC===4,‎ ‎∵△ABC为等腰三角形,BH⊥AC,‎ ‎∴△ABG,△BCG为等腰直角三角形,‎ ‎∴AG=BG=2‎ ‎∵S△ABC=•AB•BC=×2×2=4,‎ ‎∴S△ADC=2,‎ ‎∵=2,‎ ‎∵△DEF∽△DAC,‎ ‎∴GH=BG=,‎ ‎∴BH=,‎ 又∵EF=AC=2,‎ ‎∴S△BEF=•EF•BH=×2×=,‎ 故选C.‎ 方法二:S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED,‎ 易知S△ABE+S△BCF=S四边形ABCD=3,S△EDF=,‎ ‎∴S△BEF=S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED=6﹣3﹣=.‎ 故选C.‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形面积的运算,作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共14小题)‎ ‎11.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= 3 .‎ ‎【分析】由已知条件易证△ABE≌△ACD,再根据全等三角形的性质得出结论.‎ ‎【解答】解:△ABE和△ACD中,‎ ‎,‎ ‎∴△ABE≌△ACD(AAS),‎ ‎∴AD=AE=2,AC=AB=5,‎ ‎∴CE=BD=AB﹣AD=3,‎ 故答案为3.‎ ‎【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定,熟记定理是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎12.如图,△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,则S△ABO:S△BCO:S△CAO= 4:5:6 .‎ ‎【分析】首先过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,由OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,根据角平分线的性质,可得OD=OE=OF,又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,即可求得S△ABO:S△BCO:S△CAO的值.‎ ‎【解答】解:过点O作OD⊥AB于点D,作OE⊥AC于点E,作OF⊥BC于点F,‎ ‎∵OA,OB,OC是△ABC的三条角平分线,‎ ‎∴OD=OE=OF,‎ ‎∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60,‎ ‎∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=(AB•OD):(BC•OF):(AC•OE)=AB:BC:AC=40:50:60=4:5:6.‎ 故答案为:4:5:6.‎ ‎【点评】此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.‎ ‎ ‎ ‎13.如图,在△ABC中,∠B=40°,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,则∠AEC= 70° .‎ ‎【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=(∠B+∠B+∠1+∠2);最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数.‎ ‎【解答】解:∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E,‎ ‎∴∠EAC=∠DAC,∠ECA=∠ACF;‎ 又∵∠B=40°(已知),∠B+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理),‎ ‎∴∠DAC+∠ACF=(∠B+∠2)+(∠B+∠1)=(∠B+∠B+∠1+∠2)=110°(外角定理),‎ ‎∴∠AEC=180°﹣(∠DAC+∠ACF)=70°.‎ 故答案为:70°.‎ ‎【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质,熟练应用角平分线的性质是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎14.如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为  .‎ ‎【分析】设EH=3x,表示出EF,由AD﹣EF表示出三角形AEH的边EH上的高,根据三角形AEH与三角形ABC相似,利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值,即为EH的长.‎ ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎∵四边形EFGH是矩形,‎ ‎∴EH∥BC,‎ ‎∴△AEH∽△ABC,‎ ‎∵AM⊥EH,AD⊥BC,‎ ‎∴,‎ 设EH=3x,则有EF=2x,AM=AD﹣EF=2﹣2x,‎ ‎∴,‎ 解得:x=,‎ 则EH=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,以及矩形的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠B=30°,点D(不与B,C重合)是BC上任意一点,将此三角形纸片按下列方式折叠,若EF的长度为a,则△DEF的周长为 3a (用含a的式子表示).‎ ‎【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a,DE=BE,则BF=2a,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a,即可得出△DEF的周长.‎ ‎【解答】解:由折叠的性质得:B点和D点是对称关系,DE=BE,‎ 则BE=EF=a,‎ ‎∴BF=2a,‎ ‎∵∠B=30°,‎ ‎∴DF=BF=a,‎ ‎∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a;‎ 故答案为:3a.‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算;熟练掌握翻折变换的性质,由含30°角的直角三角形的性质得出DF=a是解决问题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,Rt△ABC中,∠‎ B=90°,AB=4,BC=3,AC的垂直平分线DE分别交AB,AC于D,E两点,则CD的长为  .‎ ‎【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD,故AB=BD+AD=BD+CD,设CD=x,则BD=4﹣x,在Rt△BCD中根据勾股定理求出x的值即可.‎ ‎【解答】解:∵DE是AC的垂直平分线,‎ ‎∴CD=AD,‎ ‎∴AB=BD+AD=BD+CD,‎ 设CD=x,则BD=4﹣x,‎ 在Rt△BCD中,‎ CD2=BC2+BD2,即x2=32+(4﹣x)2,‎ 解得x=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,△ABC中,∠C=90°,CA=CB,点M在线段AB上,∠GMB=∠A,BG⊥MG,垂足为G,MG与BC相交于点H.若MH=8cm,则BG= 4 cm.‎ ‎【分析】如图,作MD⊥BC于D,延长DE交BG的延长线于E,构建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD,利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到:BE=MH,所以BG=MH=4.‎ ‎【解答】解:如图,作MD⊥BC于D,延长MD交BG的延长线于E,‎ ‎∵△ABC中,∠C=90°,CA=CB,‎ ‎∴∠ABC=∠A=45°,‎ ‎∵∠GMB=∠A,‎ ‎∴∠GMB=∠A=22.5°,‎ ‎∵BG⊥MG,‎ ‎∴∠BGM=90°,‎ ‎∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°,‎ ‎∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°.‎ ‎∵MD∥AC,‎ ‎∴∠BMD=∠A=45°,‎ ‎∴△BDM为等腰直角三角形 ‎∴BD=DM,‎ 而∠GBH=22.5°,‎ ‎∴GM平分∠BMD,‎ 而BG⊥MG,‎ ‎∴BG=EG,即BG=BE,‎ ‎∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°,‎ ‎∴∠MHD=∠E,‎ ‎∵∠GBD=90°﹣∠E,∠HMD=90°﹣∠E,‎ ‎∴∠GBD=∠HMD,‎ ‎∴在△BED和△MHD中,‎ ‎,‎ ‎∴△BED≌△MHD(AAS),‎ ‎∴BE=MH,‎ ‎∴BG=MH=4.‎ 故答案是:4.‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;全等三角形的对应边相等.也考查了等腰直角三角形的性质.‎ ‎ ‎ ‎18.如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10= π .‎ ‎【分析】(1)图1,作辅助线构建正方形OECF,设圆O的半径为r,根据切线长定理表示出AD和BD的长,利用AD+BD=5列方程求出半径r=(a、b是直角边,c为斜边),运用圆面积公式=πr2求出面积=π;‎ ‎(2)图2,先求斜边上的高CD的长,再由勾股定理求出AD和BD,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求两个圆的半径,从而求出两圆的面积和=π;‎ ‎(3)图3,继续求高DM和CM、BM,利用半径r=(a、b是直角边,c为斜边)求三个圆的半径,从而求出三个圆的面积和=π;‎ 综上所述:发现S1+S2+S3+…+S10=π.‎ ‎【解答】解:(1)图1,过点O做OE⊥AC,OF⊥BC,垂足为E、F,则∠OEC=∠OFC=90°‎ ‎∵∠C=90°‎ ‎∴四边形OECF为矩形 ‎∵OE=OF ‎∴矩形OECF为正方形 设圆O的半径为r,则OE=OF=r,AD=AE=3﹣r,BD=4﹣r ‎∴3﹣r+4﹣r=5,r==1‎ ‎∴S1=π×12=π ‎(2)图2,由S△ABC=×3×4=×5×CD ‎∴CD=‎ 由勾股定理得:AD==,BD=5﹣=‎ 由(1)得:⊙O的半径==,⊙E的半径==‎ ‎∴S1+S2=π×+π×=π ‎(3)图3,由S△CDB=××=×4×MD ‎∴MD=‎ 由勾股定理得:CM==,MB=4﹣=‎ 由(1)得:⊙O的半径=,:⊙E的半径==,:⊙F的半径==‎ ‎∴S1+S2+S3=π×+π×+π×=π ‎∴图4中的S1+S2+S3+S4=π 则S1+S2+S3+…+S10=π 故答案为:π.‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的内切圆,这是一个图形变化类的规律题,首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解;解决此题的思路为:①先找出计算直角三角形内切圆半径的规律:半径r=(a、b是直角边,c为斜边);②利用面积相等计算斜边上的高;③运用勾股定理计算直角三角形的边长.‎ ‎ ‎ ‎19.如图,在△ABC中,CD是高,CE是中线,CE=CB,点A、D关于点F对称,过点F作FG∥CD,交AC边于点G,连接GE.若AC=18,BC=12,则△CEG的周长为 27 .‎ ‎【分析】先根据点A、D关于点F对称可知点F是AD的中点,再由CD⊥AB,FG∥CD可知FG是△ACD的中位线,故可得出CG的长,再根据点E是AB的中点可知GE是△ABC的中位线,故可得出GE的长,由此可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵点A、D关于点F对称,‎ ‎∴点F是AD的中点.‎ ‎∵CD⊥AB,FG∥CD,‎ ‎∴FG是△ACD的中位线,AC=18,BC=12,‎ ‎∴CG=AC=9.‎ ‎∵点E是AB的中点,‎ ‎∴GE是△ABC的中位线,‎ ‎∵CE=CB=12,‎ ‎∴GE=BC=6,‎ ‎∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27.‎ 故答案为:27.‎ ‎【点评】本题考查的是三角形中位线定理,熟知三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如果这样连续经过2017次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 (﹣2015,﹣﹣1) .‎ ‎【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴下方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.‎ ‎【解答】解:∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2,‎ ‎∴点C到x轴的距离为1+2×=+1,‎ 横坐标为2,‎ ‎∴C(2,+1),‎ 第2017次变换后的三角形在x轴下方,‎ 点C的纵坐标为﹣﹣1,‎ 横坐标为2﹣2017×1=﹣2015,‎ 所以,点C的对应点C′的坐标是(﹣2015,﹣﹣1),‎ 故答案为:(﹣2015,﹣﹣1).‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移,等边三角形的性质,读懂题目信息,确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 2或2或2 .‎ ‎【分析】利用分类讨论,当∠ABP=90°时,如图2,由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°,易得∠BPO=30°,易得BP的长,利用勾股定理可得AP的长;当∠APB=90°时,分两种情况讨论,情况一:如图1,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO,易得△BOP为等边三角形,利用锐角三角函数可得AP的长;易得BP,利用勾股定理可得AP的长;情况二:如图3,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论.‎ ‎【解答】解:当∠APB=90°时(如图1),‎ ‎∵AO=BO,‎ ‎∴PO=BO,‎ ‎∵∠AOC=60°,‎ ‎∴∠BOP=60°,‎ ‎∴△BOP为等边三角形,‎ ‎∵AB=BC=4,‎ ‎∴AP=AB•sin60°=4×=2;‎ 当∠ABP=90°时(如图2),‎ ‎∵∠AOC=∠BOP=60°,‎ ‎∴∠BPO=30°,‎ ‎∴BP===2,‎ 在直角三角形ABP中,‎ AP==2,‎ 情况二:如图3,∵AO=BO,∠APB=90°,‎ ‎∴PO=AO,‎ ‎∵∠AOC=60°,‎ ‎∴△AOP为等边三角形,‎ ‎∴AP=AO=2,‎ 故答案为:2或2或2.‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理,含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线,分类讨论,数形结合是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.如图,在一张长为7cm,宽为5cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或2cm2或2cm2 .‎ ‎【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确,所以分三种情况进行讨论:‎ ‎(1)△AEF为等腰直角三角形,直接利用面积公式求解即可;‎ ‎(2)先利用勾股定理求出AE边上的高BF,再代入面积公式求解;‎ ‎(3)先求出AE边上的高DF,再代入面积公式求解.‎ ‎【解答】解:分三种情况计算:‎ ‎(1)当AE=AF=4时,如图:‎ ‎∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8(cm2);‎ ‎(2)当AE=EF=4时,如图:‎ 则BE=5﹣4=1,‎ BF===,‎ ‎∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2(cm2);‎ ‎(3)当AE=EF=4时,如图:‎ 则DE=7﹣4=3,‎ DF===,‎ ‎∴S△AEF=AE•DF=×4×=2(cm2);‎ 故答案为:8或2或2.‎ ‎【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用,要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论,有一定的难度.‎ ‎ ‎ ‎23.在△ABC中,AB=13,AC=20,BC边上的高为12,则△ABC的面积为 126或66 .‎ ‎【分析】分两种情况:①∠B为锐角;②∠B为钝角;利用勾股定理求出BD、CD,即可求出BC的长.‎ ‎【解答】解:分两种情况:①当∠B为锐角时,如图1所示,‎ 在Rt△ABD中,‎ BD===5,‎ 在Rt△ADC中,‎ CD===16,‎ ‎∴BC=BD+CD=21,‎ ‎∴△ABC的面积为×21×12=126;‎ ‎②当∠B为钝角时,如图2所示,‎ 在Rt△ABD中,‎ BC=CD﹣BD=16﹣5=11,‎ 所以△ABC的面积为×11×12=66;‎ 故答案为:126或66.‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理,画出图形,分类讨论是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5,则四边形ABCD的面积为= 31 ,BD的长为 2 .‎ ‎【分析】连接AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理求出AC的长,利用勾股定理的逆定理,说明△ACD是直角三角形.利用Rt△ABC和Rt△ACD的面积和求出四边形ABCD的面积.过点D作DE⊥BC,交BC的延长线与点E.易证明△ABC∽△CED,求出DE、CE的长,再利用勾股定理求出BD的长,‎ ‎【解答】解:连接AC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线与点E.‎ 因为∠ABC=90°,AB=3,BC=4,‎ ‎∴AC==5,‎ 由于AC2+CD2=25+100=125,AD2=(5)2=125,‎ ‎∴AC2+CD2=AD2.‎ 所以∠ACD=90°.‎ 所以S四边形ABCD=S△ABD+S△ACD ‎=‎ ‎=×3×4+×5×10‎ ‎=6+25=31.‎ ‎∵∠DEC=90°,∴∠DCE+∠CDE=90°,‎ 所以∠DCE+∠ACB=90°,‎ ‎∴∠CDE=∠ACB,又∵∠ABC=90°,‎ ‎∴△ABC∽△CED ‎∴CE=6,DE=8.‎ ‎∴BE=BC+CE=10,‎ 在Rt△DEB中,‎ DB=‎ ‎==2‎ 故答案为:31,2‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定.解决本题的关键是连接AC利用直角三角形的面积求出四边形的面积.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共4小题)‎ ‎25.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°.‎ ‎(1)若AD=2,求AB;‎ ‎(2)若AB+CD=2+2,求AB.‎ ‎【分析】(1)在四边形ABCD中,由∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,△ADE与△BCF为等腰直角三角形,求得AE,利用锐角三角函数得BE,得AB;‎ ‎(2)设DE=x,利用(1)的某些结论,特殊角的三角函数和勾股定理,表示AB,CD,得结果.‎ ‎【解答】解:(1)过D点作DE⊥AB,过点B作BF⊥CD,‎ ‎∵∠A=∠C=45°,∠ADB=∠ABC=105°,‎ ‎∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°,‎ ‎∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°,‎ ‎△ADE与△BCF为等腰直角三角形,‎ ‎∵AD=2,‎ ‎∴AE=DE==,‎ ‎∵∠ABC=105°,‎ ‎∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°,‎ ‎∴BE===,‎ ‎∴AB=;‎ ‎(2)设DE=x,则AE=x,BE===,‎ ‎∴BD==2x,‎ ‎∵∠BDF=60°,‎ ‎∴∠DBF=30°,‎ ‎∴DF==x,‎ ‎∴BF===,‎ ‎∴CF=,‎ ‎∵AB=AE+BE=,‎ CD=DF+CF=x,‎ AB+CD=2+2,‎ ‎∴AB=+1‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质,解题的关键是作辅助线DE、BF,构造直角三角形,求出相应角的度数.‎ ‎ ‎ ‎26.如图:在矩形ABCD中,AD=60cm,CD=120cm,E、F为AB边的三等分点,以EF为边在矩形内作等边三角形MEF,N为AB边上一点,EN=10cm;‎ 请在矩形内找一点P,使△PMN为等边三角形(画出图形,并直接写出△PMF的面积).‎ ‎【分析】如图,以MN为边容易作出等边三角形,结合等边三角形的性质,连接PE,可证明△MPE≌△MNF,可证明PE∥MF,容易求得S△PMF=S△MEF,可求得答案.‎ ‎【解答】解:如图,以MN为边,可作等边三角形PMN;‎ ‎△PMF的面积为400.(求解过程如下).‎ 连接PE,‎ ‎∵△MEF和△PMN为等边三角形,‎ ‎∴∠PMN=∠EMF=∠MFE=60°,MN=MP,ME=MF,‎ ‎∴∠PME=∠NMF,‎ 在△MPE和△MNF中,‎ ‎,‎ ‎∴△MPE≌△MNF(SAS),‎ ‎∴∠MEP=∠MFE=60°,‎ ‎∴∠PEN=60°,‎ ‎∴PE∥MF,‎ ‎∴S△PMF=S△MEF=EF2=400.‎ ‎【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定,利用全等证得PE∥MF,得到S△PMF=S△MEF是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎27.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD、CB相交于点H、E,AH=2CH.‎ ‎(1)求sinB的值;‎ ‎(2)如果CD=,求BE的值.‎ ‎【分析】(1)根据∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,可得出CD=BD,则∠B=‎ ‎∠BCD,再由AE⊥CD,可证明∠B=∠CAH,由AH=2CH,可得出CH:AC=1:,即可得出sinB的值;‎ ‎(2)根据sinB的值,可得出AC:AB=1:,再由AB=2,得AC=2,则CE=1,从而得出BE.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,‎ ‎∴CD=BD,‎ ‎∴∠B=∠BCD,‎ ‎∵AE⊥CD,‎ ‎∴∠CAH+∠ACH=90°,‎ 又∠ACB=90°‎ ‎∴∠BCD+∠ACH=90°‎ ‎∴∠B=∠BCD=∠CAH,即∠B=∠CAH,‎ ‎∵AH=2CH,‎ ‎∴由勾股定理得AC=CH,‎ ‎∴CH:AC=1:,‎ ‎∴sinB=;‎ ‎(2)∵sinB=,‎ ‎∴AC:AB=1:,‎ ‎∴AC=2.‎ ‎∵∠CAH=∠B,‎ ‎∴sin∠CAH=sinB==,‎ 设CE=x(x>0),则AE=x,则x2+22=(x)2,‎ ‎∴CE=x=1,AC=2,‎ 在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,‎ ‎∵AB=2CD=2,‎ ‎∴BC=4,‎ ‎∴BE=BC﹣CE=3.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形,以及直角三角形斜边上的中线,注意性质的应用,难度不大.‎ ‎ ‎ ‎28.如图,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.‎ ‎(1)如图1,若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°‎ ‎①求证:AD=BE;‎ ‎②求∠AEB的度数.‎ ‎(2)如图2,若∠ACB=∠DCE=120°,CM为△DCE中DE边上的高,BN为△ABE中AE边上的高,试证明:AE=2CM+BN.‎ ‎【分析】(1)①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE,再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC,DC=EC”,利用全等三角形的判定(SAS)即可证出△ACD≌△BCE,由此即可得出结论AD=BE;‎ ‎②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC,再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;‎ ‎(2)根据等腰三角形的性质结合顶角的度数,即可得出底角的度数,利用(1)的结论,通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度,二者相加即可证出结论.‎ ‎【解答】(1)①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°,‎ ‎∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.‎ ‎∵∠ACB=∠ACD+∠DCB,∠DCE=∠DCB+∠BCE,‎ ‎∴∠ACD=∠BCE.‎ ‎∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,‎ ‎∴AC=BC,DC=EC.‎ 在△ACD和△BCE中,有,‎ ‎∴△ACD≌△BCE(SAS),‎ ‎∴AD=BE.‎ ‎②解:∵△ACD≌△BCE,‎ ‎∴∠ADC=∠BEC.‎ ‎∵点A,D,E在同一直线上,且∠CDE=50°,‎ ‎∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°,‎ ‎∴∠BEC=130°.‎ ‎∵∠BEC=∠CED+∠AEB,且∠CED=50°,‎ ‎∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.‎ ‎(2)证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形,且∠ACB=∠DCE=120°,‎ ‎∴∠CDM=∠CEM=×(180°﹣120°)=30°.‎ ‎∵CM⊥DE,‎ ‎∴∠CMD=90°,DM=EM.‎ 在Rt△CMD中,∠CMD=90°,∠CDM=30°,‎ ‎∴DE=2DM=2×=2CM.‎ ‎∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°,∠BEC=∠CEM+∠AEB,‎ ‎∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°,‎ ‎∴∠BEN=180°﹣120°=60°.‎ 在Rt△BNE中,∠BNE=90°,∠BEN=60°,‎ ‎∴BE==BN.‎ ‎∵AD=BE,AE=AD+DE,‎ ‎∴AE=BE+DE=BN+2CM.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算,解题的关键是:(1)通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE;(2)找出线段AD、DE的长.本题属于中档题,难度不大,但稍显繁琐,解决该题型题目时,利用角的计算找出相等的角,再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角,最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.‎ ‎ ‎
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