2012中考数学圆的综合复习

2012中考数学圆的综合复习

‎2012中考数学专题：圆的综合复习 ‎ 一、考点定位：‎ ‎1、圆的有关性质； 2、直线和圆的位置关系 3、与圆有关的比例线段 ‎4. 圆和圆的位置关系 5、和圆有关的计算 二．主干梳理：‎ ‎　　1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。‎ ‎　　b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。‎ ‎　　2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。‎ ‎　　3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。‎ ‎　　4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。‎ ‎　　5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。‎ ‎1题图 ‎　　6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作公切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。‎ ‎1.（2010年广西桂林 ）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=，则∠A的度数为（ ）．‎ A.30 B‎.45 ‎ C.60 D.75‎ 答案：C ‎2.(2010年厦门 )如图，正三角形ABC内接于⊙Ｏ，动点Ｐ在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于 ‎ 第2题 A． B． C． D． 答案：B ‎5题图 ‎4题图 ‎3题图 ‎3.（2010年铁岭 ）已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32º，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（ ）‎ A.25º B.29º C.30º D.32° 答案：B ‎4.（安徽）如图一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧)，点O是这段弧的圆心，C是 弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D， AB=‎300m，CD=‎50m，则这段弯路的半径是 m．‎ ‎5 . 如图，当半径为‎30cm的转动轮转过120°角时， 传送带上的物体A平移的距离为 cm。‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.（芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）‎ A．19 B．16 ‎ ‎ C．18 D．20‎ ‎7题图 ‎6题图 ‎7．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D= ．‎ ‎8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为 ．‎ ‎8题图 ‎9.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， ‎ 求图形阴影部分的面积．‎ ‎9题图 第10题 思路点拨：连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．‎ ‎10.（2010年湖南模拟）如图 ,以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E,连结BC,且满足AC2=CE·CF.求证:△ABC为等腰三角形.‎ 证明:连结AE.∵AC2=CE·CF,∴ ‎ ‎ 又∵∠ACE=∠FCA.∴△ACE∽△FCA.‎ ‎ ∴∠AEC=∠FAC. ∵.‎ ‎ ∴AC=BC,∴△ABC为等腰三角形.‎ ‎11.（2010年 湖里区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，‎ 第11题图 DA平分∠BDE。‎ ‎（1）求证：AE是⊙O的切线。‎ ‎（2）若∠DBC=30°，DE=‎1 cm，求BD的长。‎ ‎（1）证明：连结OA ∵AD平分∠BDE ‎∴∠ADE＝∠ADO ∵OA=OD ‎∴∠OAD＝∠ADO ∴∠ADE＝∠OAD ‎ ‎∴OA∥CE ∵AE⊥CD ∴AE⊥OA ∴AE是⊙O的切线 ‎ ‎（2）∵BD是⊙O的直径 ∴∠BCD＝90° ‎ ‎∵∠DBC=30° ∴∠BDE＝120° ∵AD平分∠BDE ∴∠ADE＝∠ADO=60°‎ ‎∵OA=OD ∴△OAD是等边三角形 ∴AD=OD=BD ‎ 在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60° ∴AD= = 2 ∴BD=4 ‎ A B O F ‎ E ‎ D C ‎12.（2010年杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，‎ CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．‎ ‎ （1）试说明：DE＝BF；‎ ‎ （2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积．‎ ‎（1）∵ 弧CB=弧CD ∴ CB=CD，∠CAE=∠CAB 又∵ CF⊥AB，CE⊥AD ∴ CE=CF ∴ △CED≌△CFB ‎12题图 ‎∴ DE=BF （2）易得：△CAE≌△CAF 易求： ‎ ‎∴ ‎ ‎13．（湖南长沙 ）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。‎ ‎（1）求∠B的大小：‎ ‎（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长。‎ ‎【答案】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，‎ ‎∴∠CDB=40°。‎ 又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°。‎ ‎∴在△BPD中，∴∠B=180°－∠PDB－∠BPD=25°。‎ ‎（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3。‎ ‎∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）。∴OE∥AD。‎ 又∵O是AB的中点，∴OE是三角形ABD的中位线。∴AD=2OE=6。‎ ‎14.如图,点C平分弧AB,CM⊥AO于点M,CN⊥OB于点N,则CM与CN有什么关系?为什么 ‎ ‎14题 ‎15.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O 于点C，且∠DAC＝∠BAC，(1)试说明：AD⊥CD；(2)若AD＝4，AB＝6，求AC.‎ ‎·‎ D B O A C B C A F D ‎16题 ‎16.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F.（1）若C F长为π，求圆心角∠CBF的度数；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）.‎ ‎17.⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．‎ 第17题 ‎（1）求证：四边形OCPE是矩形；‎ ‎（2）求证：HK＝HG； ‎ ‎（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．‎ 解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，∴OD⊥AB，∠PCO＝90° ‎ ‎∵PE∥OD,∴∠P＝90°，∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，(2分)∴四边形OCPE是矩形. ‎ ‎(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.∵PE∥OD,‎ ‎∴∠K＝∠ODG. ∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,‎ ‎∴HK＝HG. ‎ ‎(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.(6分)∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，‎ ‎∠K＝∠ODG. ∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,∴KE＝6.(8分)‎ ‎18.直线经过上的点，并且，，交直线于，连接．‎ ‎（1）求证：直线是的切线；‎ ‎（2）试猜想三者之间的等量关系，并加以证明；‎ ‎（3）若，的半径为3，求的长．‎ 解：（1）证明：如图3，连接． ，，．是的切线． ‎ ‎（2）． 是直径，．．‎ 又，，．‎ 又，．．．‎ ‎（3），．，．‎ 设，则．又，． ‎ 解之，得，．，．． ‎ D C O A B E ‎19.（北京）已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且．‎ ‎（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ 解：（1）直线与相切． ‎ 证明：如图1，连结．‎ D C O A B E 图1‎ ‎，．‎ ‎， ．又，‎ ‎．．直线与相切． ‎ ‎（2） 如图1，连结．是的直径， ．‎ ‎ ，， ， ‎ ‎（第20题）‎ B D C E A O ‎20.（08山东泰安24题）如图所示，是直角三角形，，以为直径的交于点，点是边的中点，连结．‎ ‎（1）求证：与相切；‎ ‎（2）若的半径为，，求．‎ ‎（1）证明：连结 是直径是的中点 又 即但是的切线 ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎21.（08年江苏连云港 ）B C P O A 第21题图 ‎ 如图，内接于，为的直径，，，过点作的切线与的延长线交于点，求的长．‎ 解：是的直径，．又，‎ ‎，． ‎ 又，所以是等边三角形，由，知． ‎ 是的切线，．‎ 在中，，，‎ 所以，． ‎