兰州市2016年中考数学卷

兰州市2016年中考数学卷

兰州市 2016 年中考试题 数学（A） 注意事项： 1.本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 2.考生必须将姓名、准考证号、考场、座位号等个人信息填（涂）在答题卡上。 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上。 一、选择题：本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中仅有 一项是符合题意的。 1.如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）。 （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】主视图是从正面看到的图形。从正面看有两行，上面一行最左边有一个正方形，下面 一行有三个正方形，所以答案选 A。 【考点】简单组合体的三视图 2.反比例函数 的图像在（）。 （A）第一、二象限（B）第一、三象限 （C）第二、三象限（D）第二、四象限 【答案】B 【解析】反比例函数 的图象受到 的影响，当 k 大于 0 时，图象位于第一、三象限， 当 k 小于 0 时，图象位于第二、四象限，本题中 k ＝2 大于 0，图象位于第一、三象限， 所以答案选 B。 【考点】反比例函数的系数 k 与图象的关系 3.已知△ABC ∽△ DEF，若 △ABC 与△DEF 的相似比为 3／4，则△ ABC 与△DEF 对应 中线的比为（）。 （A）3／4（B）4／3（C）9／16（D）16／9 【答案】A 【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线 的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为 3／4，即对应中线的比为 3／4，所以答案 选 A。 【考点】相似三角形的性质 4.在 Rt △ ABC 中，∠C＝90° ，sinA＝3／5，BC＝6，则 AB＝（）。 （A）4 （B）6 （C）8 （D）10 【答案】D 【解析】在 Rt △ ABC 中，sinA＝BC／AB＝6／AB＝3／5，解得 AB＝10，所以答案选 D。 【考点】三角函数的运用 5.一元二次方程 的根的情况（）。 （A）有一个实数根（B）有两个相等的实数根 （C）有两个不相等的实数根（D）没有实数根 【答案】B 【解析】根据题目，∆＝ ＝0, 判断得方程有两个相等的实数根，所以答案选 B。 【考点】一元二次方程根的判别式 6.如图，在△ ABC 中，DE∥BC，若 AD／DB＝2／3，则 AE／EC＝（）。 （A）1／3（B）2／5（C）2／3（D）3／5 【答案】C 【解析】根据三角形一边的平行线行性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直 线，截得的对应线段成比例， AE／EC＝AD／DB＝2／3，所以答案选 C。 【考点】三角形一边的平行线性质定理 7.如图，在⊙O 中，点 C 是 的中点，∠A＝50º ，则∠BOC＝（）。 （A）40º （B）45º （C）50º （D）60º 【答案】A 【解析】在△OAB 中，OA＝OB，所以∠A＝∠B＝50º 。根据垂径定理的推论，OC 平分弦 AB 所对的弧，所以 OC 垂直平分弦 AB，即∠BOC＝90º− ∠B＝40º ，所以答案选 A。 【考点】垂径定理及其推论 8.二次函数 化为 的形式，下列正确的是（）。 （ 【答案】B 【 解 析 】 在 二 次 函 数 的 顶 点 式 y ＝ 【考点】二次函数一般式与顶点式的互化 9.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边 减少了 1m，另一边减少了 2m，剩余空地的面积为 18 ，求原正方形空地的边长。设原正 方形的空地的边长为 xm,则可列方程为（） 【答案】：C 【解析】：设原正方形边长为 xcm， 则剩余空地的长为( x－1)cm，宽为 (x－2 )cm。 面积为 (x－1)×(x－2)＝18 【考点】：正方形面积的计算公式 10. 如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙ O, 四边形 ABCO 是 平行四边形，则 ∠ ADC= （） （A）45º （B) 50º (C) 60º (D) 75º 【答案】：C 【解析】：连接 OB,则∠OAB＝∠OBA, ∠OCB＝∠OBC ∵四边形 ABCO 是平行四边形，则∠OAB＝∠OBC ∴∠ABC＝∠OAB＋∠OBC＝∠AOC ∴∠ABC＝∠AOC＝120º ∴∠OAB＝∠OCB＝60º 连接 OD，则∠OAD＝∠ODC，∠OCD＝∠ODC 由四边形的内角和等于 360º 可知， ∠ADC＝360º －∠OAB－∠ABC－∠OCB－∠OAD－∠OCD ∴∠ADC＝60º 【考点】：圆内接四边形 11.点 均在二次函数 的图像 上，则 的大小关系是（） 【答案】：D 【考点】：二次函数的性质及函数单调性的考察 12.如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P 旋转了 108º ，假设绳 索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（） （A）πcm (B) 2πcm (C) 3πcm (D) 5πcm 【答案】：C 【解析】：利用弧长公式即可求解 【考点】：有关圆的计算 13.二次函数 的图像如图所示，对称轴是直线 x=-1,有以下结论：①abc>0; ② ;③ 2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是（） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】：C 【解析】：(1)a＜0,b＜0,c＞0 故正确；(2)抛物线与 x 轴右两个交点，故正确； (3)对称轴 x ＝－1 化简得 2a－b＝0 故错误；(4)当 x＝－1 时所对的 y 值>2,故正确 【考点】：二次函数图像的性质 14.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝ , DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（） 【答案】:A 【解析】：∵CE∥BD, DE∥AC ∴四边形 OCED 是平行四边形 ∴OD＝EC, OC＝DE ∵矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O ∴OD＝OC 连接 OE, ∵DE＝2， ∴DC＝2，DE＝ ∴四边形 OCED 的面积为 【考点】：平行四边形的性质及菱形的面积计算 15.如图，A、B 两点在反比例函数 的图像上，C、D 两点在反比例函数 的图像上， AC 交 x 轴 于点 E,BD 交 x 轴 于点 F ， AC=2,BD=3,EF= 则 【答案】：A 【考点】：反比例函数的性质 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 16. 二次函数 的最小值是. 【答案】 -7 【解析】本题考查二次函数最值问题，可将其化为顶点式 【考点】二次函数 17. 一个不透明的口袋里装有若干除颜色外完全相同的小球，其中有 6 个黄球，将口袋中的 球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的 频率稳定在 30%，由此估计口袋中共有小球个数. 【答案】 20 【解析】本题为概率问题，考查了概率中的相关概念 【考点】概率 18. 双曲线 在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是. 【答案】 m ＜ 1 【解析】根据题意 m-1<0,则 m<1 【考点】反比例函数的性质 19. □ ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得□ ABCD 为正方形. 【答案】AB＝BD 或∠BAD＝90° 或∠ABC＝90° 或∠BCD＝90° 或∠CDA＝90° 【解析】由题知四边形 ABCD 为菱形，所以只需一个角为 90 度，或对角线相等. 【考点】特殊四边形菱形、矩形的性质，正方形的判定 20. 对于一个矩形 ABCD 及⊙M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD 的四个 顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”。如图，在平 面直角坐标系 xOy 中，直线 l : 交 x 轴于点 M，⊙M 的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线 l 运动（BD 在直线 l 上），BD=2，AB ∥y，当矩形 ABCD 是⊙M 的“伴 侣矩形”时，点 C 的坐标为. 【解析】四边形 ABCD 的四个顶点到其对角线交点的距离相等，只有当该交点在圆上时满足 题意 【考点】一次函数，矩形，圆 三、解答题：本大题共 8 小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤。 21. （本小题满分 10 分，每题 5 分） 22.（本小题满分 5 分）如图，已知 ⊙O，用尺规作 ⊙O 的内接正四边形 ABCD。（写出结 论，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑。） 【答案】如图，四边形 ABCD 即为所求。 【解析】过圆心 O 做直线 BD，交 O 于 B 、 D 两点，做线段 BD 的垂直平分线，交 ⊙O 于 A、C 两点，连接 AD、DC、CB、AB ，四边形 ABCD 即为所求的正四边形。 【考点】尺规作图-垂直平分线 23.（本小题满分 6 分）小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从 1，2，……，8 中任意选择一个数字，然后两人各转动一次，如图所示的转盘（转盘被分为面积相等的四个扇 形），两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他 们各自选择的数，就再做一次上述游戏，直至决出胜负。若小军事先选择的数是 5，用列表法 或画树状图的方法求它获胜的概率。 【答案】1／4 【解析】 解法一：列表法 小军获胜的概率为：1／4 解法二：画树状图法： 小军获胜的概率为：1／4 【考点】列表法和树状图法 24. （本小题满分 7 分）如图，一垂直于地面的灯柱， AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面 成 45°夹角（∠CDB=45° ），在 C 点上方 2 米处加固另一条钢缆 ED，ED 与地面成 53° 夹角（∠EDB=53° ），那么钢缆 ED 的长度约为多少米？ （结果精确到 1 米。参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 2 5.（本小题满分 10 分）阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图 1 ，我们把一个四边形 ABCD 的四边中点 E,F,G,H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题是，有如下思路：连接 AC. 结合小敏的思路作答： （1）若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状（如图 2），则四边形 EFGH 还是平行四边形吗？ 说明理由；参考小敏思考问题的方法，解决一下问题： （2）如图 2，在（1）的条件下，若连接 AC，BD. ①当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形，写出结论并证明； ②当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是矩形，直接写出结论。 26. （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中， OA OB ，AB x 轴于点 C ， 点 在反比例函数 的图像上。 （1）求反比例函数的 的表达式； （2）在 x 轴的负半轴上存在一点 P ，使得 ，求点 P 的坐标； （3）若将 △BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60º 得到 △BDE ，直接写出点 E 的坐标， 并判断点 E 是否在该反比例函数的图像上，说明理由。 像上。 27．（本小题满分 10 分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD AB 于点 O，分别交 AC、CF 于点 E 、D，且 DE ＝DC 。 （1）求证： CF 是⊙ O 的切线 ；（2）若⊙O 的半径为 5， ，求 DE 的长。 【答案】（1）CF 是⊙O 的切线；（2）DE＝ 28.（本小题满分 10 分）如图 1，二次函数 的图像过点 A （3，0）， B （0， 4）两点，动点 P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 个单位长 度的速度运动，过点 P 作 PD y 于点 D ，交抛物线于点 C . 设运动时间为 t （秒）. （1）求二次函数 的表达式； （2）连接 BC ，当 t＝5／6 时，求△BCP 的面积； （3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O→A 的方 向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时，P 、Q 两点同时停止运动，连接 DQ 、 PQ ，将△DPQ 沿直线 PC 折叠到 △DPE . 在运动过程中，设 △DPE 和 △OAB 重合部 分的面积为 S ，直接写出 S 与 t 的函数关系式及 t 的取值范围. 【考点】本题主要考察二次函数的综合应用，涉及待定系数法，求解三角形的面积及动点问题。 （1）中需要注意待定系数法的应用步骤；（2）中求解 C 的坐标是关键；（3）中可结合 （2）得出答案。本题知识点较多，综合性强，难度较大。