全国各地中考数学模拟题分类55动态综合型问题含答案
动态综合型问题
一、选择题
1．（淮安市启明外国语学校 2010－2011 学年度第二学期初三数学期中试卷）如图，已知 A、
B 两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为 1．若 D 是⊙C
上的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E，则△ABE 面积的最大值是（ ）
A．3 B．11
3
C．10
3 D．4
答案：B
2011 年黄冈中考调研六）(2011 年浙江省杭州市中考数学模拟 22)如
图，已知点 的坐标为（3，0），点 分别是某函数图象与 轴、
轴的交点，点 是此图象上的一动点．设点 的横坐标为 ， 的长
为 ，且 与 之间满足关系： （ ），则结论：① ；② ；
③ ；④ 中，正确结论的序号是（ ）A、①③④ B、 ①③
C、 ①②③ D、 ①②③④
答案：C
(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学 2011 年中考数学模拟试卷)
( ) 答案：B
）如图，C 为⊙O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙O 于 D、E 两点， 且
∠ACD=45°，DF⊥AB 于点 F,EG⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF= ，
DE= ，下列中图象中，能表示 与 的函数关系式的图象大致是（ ）
F A B， x y
P P x PF
d d x 35 5d x= − 0 5x≤ ≤ 2AF = 5BF =
5OA = 3OB =
2
4
x
y y x
第 1 题图
A
B
C·D
E
y
x
x
y
O AF
B P
（第 3 题）
第 6 题图
A D
F
E
C
M
B
答案：A
6.（2011 深圳市模四）如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全
相同的等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DFE＝90°，点 C 落在 DE 的中点处，且 AB 的中点 M、
C、F 三点共线，现在让△ABC 在直线 MF 上向右作匀速移动，
而△DEF 不动，设两个三角形重合部分的面积为 y，向右水平
移动的距离为 x，则 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
答案：C
二、填空题
1、（浙江省杭州市 2011 年中考数学模拟）如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中，E，F，O 分
别是 AB，CD，AD 的中点，以 O 为圆心，以 OE 为半径画弧 EF．P 是 上的一个动
点，连结 OP，并延长 OP 交线段 BC 于点 K，过点 P 作⊙O 的切线，分别交射线 AB 于
点 M，交直线 BC 于点 G． 若 ，则 BK﹦ ．
答案： ，
2 .(浙江省杭州市瓜沥镇初级中学 2011 年中考数学模拟试卷)如图，在平面直角坐标系中，矩形
3=
BM
BG
1
3
5
3
A O D
B
F
K
E
( 第 1 题 )
图)
G
M
C
K
C
P AO
B
Q
X
y
o x
y
B
o x
y
A
o x
y
D
o x
y
C
OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴上，OA=10cm，OC=6cm。P 是线段 OA 上的动点，从点
O 出发，以 1cm/s 的速度沿 OA 方向作匀速运动，点 Q 在线段 AB 上。已知 A、Q 两点间
的距离是 O、P 两点间距离的 a 倍。若用（a，t）表示经过时间 t(s)时，△OCP、△PAQ 、
△CBQ 中有两个三角形全等.请写出（a，t）的所有可能情况 .
答案：（0，10），（1，4），（ ，5）
3．(2011 年江苏省东台市联考试卷）线段 OA 绕原点 O 逆时针旋转 到 的位置，若 A
点坐标为 ，则点 的坐标为____________________.
答案：
4（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，已知⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线
上运动，当⊙P 与 轴相切时，圆心 P 的坐标为 .
答案： 或
三、解答题
1、（重庆一中初 2011 级 10—11 学年度下期 3 月月考）如图，以 Rt△ABO 的直角顶点 O 为
原点，OA 所在的直线为 x 轴，OB 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系．已知 OA=4，
OB=3，一动点 P 从 O 出发沿 OA 方向，以每秒 1 个单位长度的速度向 A 点匀速运动，到达
A 点后立即以原速沿 AO 返回；点 Q 从 A 点出发沿 AB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 B
匀速运动．当 Q 到达 B 时，P、Q 两点同时停止运动,设 P、Q 运动的时间为 t 秒(t＞0)．
(1) 试求出△APQ 的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系式；
(2) 在某一时刻将△APQ 沿着 PQ 翻折，使得点 A 恰好落在 AB 边的点 D 处，如图①．
求出此时△APQ 的面积．
(3) 在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，在 y 轴上是否存在着点 E 使得四边形 PQBE 为等腰
梯形？若存在，求 出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
(4) 伴随着 P、Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线 DF 交 PQ 于点 D，交折线 QB－BO
－OP 于点 F． 当 DF 经过原点 O 时，请直接写出 t 的值．
答案：解：(1)在 Rt△AOB 中，OA＝4，OB＝3
90° OA′
(1, 3) A′
( 3,1)−
6
5
21 12y x= − x
)2,6( )2,6(−
第 4 题
∴AB＝
①P 由 O 向 A 运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t
过 Q 作 QH⊥AP 于 H 点，由 QH//BO 得
∴
即 (0
1
∴美丽抛物线的顶点只有 B1B2.
①若 B1 为顶点，由 B1(1, )，则 d=1- =
②若 B2 为顶点，由 B2(2, )，则 d=1- =
综上所述，d 的值为 或 时，存在美丽抛物线。
22．（2011 天一实验学校 二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 是 x 轴上
的一个动点，连结 AB，取 AB 的中点 M，将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90o，得到
线段 BC.过点 B 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D.设点 B 坐标是（t，0）.
（1）当 t=4 时，求直线 AB 的解析式；
（2）当 t>0 时，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及△ABC 的面积；
（3）是否存在点 B,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请写出所有符合条件的点 B 的坐标，
并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由.
12
7
2)1(12
7
−d
2)1(12
7
−d
2)1(12
7
−d
2
12
7
3
1
4
1
12
7
3
1
4
1
12
11
3
1
4
1
4
1
12
7
12
7
12
5
12
11
−− 1)12
112( 12
11
12
5
12
11
·
y
O
A
x
备用图
M
y
O
C
A
B x
D
解：（1）当 t=4 时，B(4,0)
设直线 AB 的解析式为 y= kx+b .
把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： {b = 6
4k + b = 0 , 解得：{k = －
b = 6 ,
∴直线 AB 的解析式为：y=－3
2x+6.
(2) 过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.
∴ ，
∴BE= 1
2AO=3，CE= 1
2OB= t
2，
∴点 C 的坐标为(t+3，t
2).
∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S ABC= 1
2AB·BC= BC2.
在 Rt△ABC 中，BC2= CE2+ BE2 = 1
4t2+9，
即 S ABC= 1
4t2+9.
(3)存在，理由如下：
①当 t≥0 时.
Ⅰ.若 AD＝BD.
又∵BD∥y 轴
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD.
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴ ，
∴t
6= 1
2，
∴t=3，即 B(3，0).
Ⅱ.若 AB＝AD.
延长 AB 与 CE 交于点 G，
又∵BD∥CG
∴AG＝AC
过点 A 画 AH⊥CG 于 H．
∴CH＝HG＝1
2CG
由△AOB∽△GEB，
1
2
BE CE BC
AO BO AB
= = =
1
2
OB BC
AO AB
= =
y
O
C
A
B x
D
E
y
O
C
A
B
D
E
H
G x
得GE
BE＝AO
OB ，
∴GE= 18
t .
又∵HE＝AO＝６，CE＝t
2
∴18
t ＋６＝1
2×（t
2＋18
t ）
∴t2-24t-36=0
解得：t=12±6 5. 因为 t≥0，
所以 t=12＋6 5，即 B(12＋6 5，0).
Ⅲ.由已知条件可知，当 0≤t<12 时，∠ADB 为钝角，故 BD ≠ AB.
当 t≥12 时，BD≤CE S∴ 17 3
2
（图 4）
y
A
C
O ( )D N B x
E G
P
( )M
I
答 案 ： ， ∴
·r（OA +OB+AB）= r (r+x+10-x+r+10)= r (20+2r)=
∴S= = )
37．（2011 年深圳二模）如图，已知抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 与ｘ轴相交于点 A
和点 B，与ｙ轴相交于点 D（0，8），直线 DC 平行于ｘ轴，交抛物线于另一点 C，动点 P
以每秒 2 个单位长度的速度从 C 点出发，沿 C→D 运动，同时，点 Q 以每秒 1 个单位长度
的速度从点 A 出发，沿 A→B 运动，连接 PQ、CB，设点 P 运动的时间为 t 秒．
（１）求ａ的值；
（２）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积；
（３）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值．
（４）当 t 为何值时，△PBQ 是等腰三角形？（直接写出答
案）
解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 经过
点（0，8）
∴ａ －4ａ－4＝8
解得：ａ ＝6，ａ ＝－2（不合题意，舍去）
∴ａ的值为 6
（２）由（１）可得抛物线的解析式为
ｙ＝ｘ －6ｘ＋8
当ｙ＝0 时，ｘ －6ｘ＋8＝0
解得：ｘ ＝2，ｘ ＝4
∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为（4，0）
当ｙ＝8 时，
ｘ＝0 或ｘ＝6
∴D 点的坐标为（0，8），C 点坐标为（6，8）
DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ
当四边形 OQPD 为矩形时，DP＝OQ
2 2 2100 40 4 2x x a b ab− + = + − 2 2( ) (10 ) 100x r x r+ + − + =
2 210 10r r x x+ = − + 1
2
1
2
1
2
2 10r r+
2 10r r+ 2 10x x− +
2 2
2 2
2
1 2
2
2
1 2
2＋t＝6－2t，t＝ ，OQ＝2＋ ＝
S＝8× ＝
即矩形 OQPD 的面积为
（３）四边形 PQBC 的面积为 ，当此四边形的面积为 14 时，
（2－t＋2t）×8＝14
解得 t＝ （秒）
当 t＝ 时，四边形 PQBC 的面积为 14
（４）t＝ 时，PBQ 是等腰三角形．
38.广东省澄海实验学校模拟）已知：如图，抛物线 与 轴交于点 、点 ，与
直 线 相 交 于 点 、 点 ， 直 线
与 轴交于点 。
（1）求直线 的解析式；
（2）求 的面积；
（3）若点 在线段 上以每秒 1 个单位长
度的速度从 向 运动（不与 重合），同
时，点 在射线 上以每秒 2 个单位长度的速
度从 向 运动．设运动时间为 秒，请写出
的面积 与 的函数关系式，并求出点
运动多少时间时， 的面积最大，最大
面积是多少？
解：（1）在 中，令 ，
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
又 点 在 上
…………………………………2 分
3
4
3
4
3
10
3
10
3
80
3
80
8)(2
1 ×+ PCBQ
2
1
2
3
2
3
5
6
23 34y x= − + x A B
3
4y x b= − + B C
3
4y x b= − + y E
BC
ABC△
M AB
A B A B，
N BC
B C t
MNB△ S t
M MNB△
23 34y x= − + 0y = 23 3 04 x∴− + = 1 2x∴ = 2 2x = −
( 2 0)A∴ − ， (2 0)B ，
B 3
4y x b= − +
30 2 b∴ = − + 3
2b =
第 38 题图
x
y
A B
C
E
MD P
N
O
的解析式为 ………………………3 分
（2）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
由 ，得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
， ， ………………………………………6 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（3）过点 作 于点
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由 直 线 可 得 ： 在 中 ， ， ， 则
， ∵BM=4－t ∴△MBN 的面积= ×BM×NP= (4－t)· t
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
此抛物线开口向下， 当 时，
当点 运动 2 秒时， 的面积达到最大，最大为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
39.（2011 湖北省崇阳县城关中学模拟）如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、
BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，
（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ 是直角三角形？
（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP
交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
BC∴ 3 3
4 2y x= − +
23 34
3 3
4 2
y x
y x
= − +
= − +
1
1
1
9
4
x
y
= − =
2
2
2
0
x
y
=
=
91 4C ∴ − ， (2 0)B ， 4AB∴ = 9
4CD =
1 9 942 4 2ABCS∴ = × × =△
N NP MB⊥ P EO MB⊥ NP EO∴ ∥ BNP BEO∴△ ∽△
BN NP
BE EO
∴ =
3 3
4 2y x= − + 30 2E
， ∴ BEO△ 2BO = 3
2EO =
5
2BE =
2
5 3
2 2
t NP∴ = 6
5NP t∴ = 1
2
1
2
6
5
23 12 (0 4)5 5S t t t= − + < <
23 12( 2)5 5S t= − − +
∴ 2t = 12
5S =最大
∴ M MNB△ 12
5
A
P
B Q C
M
第 39 题 图
1
A
P
B QC
M
第 39 题 图
2
第 38 题答案图
P
N
M
C B
AO
y
x
40.（2011 深圳市模四）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点 P 从 A 点开始沿 AB
边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.
（1）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于 4？
（2）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于 5？
解：（1）设经过 x 秒钟，△PBQ 的面积等于 4，
则由题意得 AP=x，BP=5－x，BQ=2x,
由 BP·BQ=4，得 （5－x）·2x=4， 解得，x 1=1，x2=4．
当 x=4 时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故 x=1
（2）由 BP +BQ =5 得（5－x） +（2x） =5 ,
解得 x1=0（不合题意），x2=2．
所以 2 秒后，PQ 的长度等于 5。
41.（2011 深圳市模四）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标
分别为（6，0），（6，8）。动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运
动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点 N 作 NP⊥BC，
交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。
（1）P 点的坐标为（ ， ）；（用含 x 的
代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。
（3）请你探索：当 x 为何值时，⊿MPA 是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。
解：（１）（6－x , x ）;
P
Q
B
C
A
2
1
2
1
2 2 2 2 2 2
3
4
(2) 设⊿MPA 的面积为 S ，在⊿MPA 中，MA=6﹣x ，MA 边上的高为 x ，其中，
0≤x≤6.∴S= （6—x）× x= (﹣x2+6x) = — (x﹣3)2+6。∴S 的最大值为 6, 此时 x =3.
(3)延长ＮＰ交 x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ
①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2;
②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ= x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x
在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ ( x) 2∴x=
③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝ x，ＡＭ＝6—x ∴ x=6—x ∴x=
综上所述，x=2，或 x= ，或 x= 。
42.（2011 年北京四中 33 模）在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是 AB 上的动点（不
与 A、B 重合），过 M 作 MN//BC 交 AC 于点 N，以 MN 为直径作⊙O，设 AM=x
（1）用含 x 的代数式表示△AMN 的面积 S；
（2）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相切时（如图①），求 x 的值；
（3）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相交时（如图②），在⊙O 上取一点 P，使
PM//AC，连接 PN，PM 交 BC 于 E，PN 交 BC 于点 F，设梯形 MNFE 的面积为 y，求 y 关
于 x 的函数关系式。
答案：解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC…………………………………………
∴ ，即 ，∴
∵AM⊥AN，∴ ……………
（2）设 BC 与⊙O 相切于点 D，连接 AO、OD，
则 AO=OD= MN
在 Rt△ABC 中，
又∵△AMN∽△ABC，
3
4
2
1
3
4
3
2
3
2
3
4
3
4
43
108
3
5
3
5
4
9
43
108
4
9
AC
AN
AB
AM =
68
ANx = xAN 4
3=
2
8
3
4
3
2
1
2
1 xxxANAMS AMN =⋅⋅=⋅⋅=∆
2
1
1022 =+= BCABBC
O
A
M N
B C
图①
O
A
M N
B C
Ｐ
E
F
图②
O
A
M N
B C
Ｐ
E
F
∴ ，即 ，∴ ，∴
过 M 作 MQ⊥BC 于 Q，则
则△BMQ∽△ABC，
∴ ，∴
∵
∴ …………………………………………………………………………
（3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°
∴四边形 AMPN 是矩形…………………
∴PN=AM=x
又∵四边形 BFNM 是平行四边形，
∴FN=BM=8－x，PF=PN－FN=x－(8－x)=2x－8…（
又 Rt△PEF∽Rt△ABC，∴ ，
∴
∵
………
43、（2011 年北京四中 34 模）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 AOCB
是梯形，AB∥OC，点 A 的坐标为（0，8），点 C 的坐标为（10，0），OB＝OC．
（1）求点 B 的坐标；
（2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动，过点 P 作
PH⊥OB，垂足为 H，设△HBP 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的
函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PM∥CB 交线段 AB 于点 M，过点 M 作 MR⊥OC，
垂足为 R，线段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G，点 F 为线段 PM 的中点，连接 EF，
当 t 为何值时， ？
BC
MN
AB
AM =
108
MNx = xMN 4
5= xOD 8
5=
xODMQ 8
5==
AC
QM
BC
BM = x
x
BM 24
25
6
8
510
=
×
=
824
25 =+=+= xxBMAMAB
49
192=x
ABC
PEF
S
S
AB
PF
∆
∆=
2
2
2
)4(2
3682
1
8
82 −=××⋅
−=∆ xxS PEF
PMNAMN SS ∆∆ =
24128
9)4(2
3
8
3 222 −+−=−−=−= ∆∆ xxxxSSS PEFPMNMNFE梯形
2
5
EG
EF =
O
A
M N
B CＤQ
y
xo C
A B
y
xo C
A B
答案：（1）如图 1 过点 B 作 BN⊥OC 于点 N
∵OB=OC=10 BN=OA=8
∴ON=AB= ∴B（6,8）
（2）如图 2 ∵∠BON=∠POH ∠ONB=∠OHP=90°
∴⊿BON∽⊿POH
∴
∵PC=5t ∴OP=10-5t ，OH=6-3t ，PH=8-4t …
∴BH=OB-OH=10-（6-3t）=3t+4 …
∴
（0≤t＜2）
（3）如图 3 ，当点 G 在 E 上方时
过点 B 作 BN⊥OC 于点 N
BN=8 ，CN=4 ，CB= =4
∵BM∥PC，BC∥PM
∴BMPC 是平行四边形
图 2
∴PM=BC=4 BM=PC=5t
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
∵PM∥BC ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP
∵∠OPD+∠RMP=90°∠ODP+∠MPH=90°
∴∠RMP=∠MPH
∴EM=EP ……
∵点 F 为线段 PM 的中点
∴EF⊥PM
∴⊿MEF∽⊿MRP
∴
∵MF= , MR=8 ,RP=4
∴ME=5 ,EF=
∵ ∴EG=2 MG=5-2=3 ……
622 =− BNOB
PH
BN
OH
ON
PO
BO ==
1646)48)(43(2
1 2 ++−=−+= ttttS
22 CNBN + 5
5
RP
EF
MR
MF
MP
ME ==
522
1 =MP
5
2
5
EG
EF =
y
xo C
A B
x
y
F
D
G
E
R
M
H
No
A B
CP
x
y
F
E D
G
R
M
H
No
A B
CP
x
y
H
No
A B
CP
x
y
No
A B
C
∵∠MBO=∠BON ,∠BMG=∠BNO
∴⊿BMG∽⊿ONB ∴ ∴BM= =PC ……
∴5t= 得 t= ……
当点 G 在 E 的下方时
可得 MG=5+2=7
BM=5t= ∴t= ……
∴当 t= 或 t= 时，
44、（2011 年浙江杭州 27 模）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 BC 上的一点，且 CE
＝8，BC＝12，CD＝4 ，∠C＝30°，∠B＝60°.点 P 是线段 BC 边上一动点（包括 B、C 两
点），设 PB 的长是 x.
（1）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形.
（2）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形.
（3）P 在 BC 上运动时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形能否为菱形.
答案：
(1)分别过点 A、D 作 BC 的垂线，垂足分别为 F、G.
EB C
A D
P
GFB C
A D
EP
BN
MG
ON
BM =
4
9
4
9
20
9
4
21
20
21
20
21
20
9
2
5
EG
EF =
3
∵∠C=30°,且 CD＝
∴DG＝2 ，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4……………………………………………………………
显然，当 P 点与 F 或点 G 重合时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形.
所以 x=2 或 x=6………………………………………………………
(2) ∵AD=BE=4，且 AD∥BE
∴当点 P 与 B 重合时，
即 x=0 时。点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形…………………………
又∵当点 P 在 CE 中点时，EP＝AD＝4，且 EP∥AD，
∴x=8 时，点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形………………………………
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4
∴x=0 时，且 PA＝AD，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形。…………
∵AB＝BE，且∠B＝60°
∴△ABE 为正三角形。
∴AE＝AD＝4。
45、（2011 年浙江杭州 28 模）即当 x=8 时，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形.
如图，在直角梯形 OABC 中，OA∥BC，A、B 两点的坐标
分别为 A（13，0），B（11，12）.动点 P、Q 分别从 O、B
两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向终点 A 运
动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方向运动；当点 P 停
止运动时，点 Q 也同时停止运动.线段 PQ 和 OB 相交于
点 D，过点 D 作 DE∥x 轴，交 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴
于点 F.设动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒）.
（1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是平行四边形.
34
3
3
（2）△PQF 的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF 的面积 s 关于时间 t 的函数关系
式；若不变，请求出△PQF 的面积。
（3）随着 P、Q 两点的运动，△PQF 的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF?
答 案 ： （ 1 ） 设 要 四 边 形 PABQ 为 平 行 四 边 形 ， 则
∴ .
（2）不变. （1 分）
∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13
∴S△PQF （2 分）
（3）由(2)知， PF=OA=13
①QP=FQ，作 QG⊥ 轴于 G，则
②PQ=FP，
③FQ=FP，
综上，当 时，△PQF 是等腰三角形.
（2011 年杭州市上城区一模）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长
为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B
和 D .
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同
时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点
也随之停止运动. 设 S=PQ2(cm2)
①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
②当 S 取 时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平
行四边形? 如果存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点 M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标.
2 , , 13 2 ,OP t QB t PA t= = = −
13 2t t− =
13
3t =
1
2
QB QD QD
OP DP DP
= ∴ =
1
2
QB QE BD QDOB DE PA AF EF DO DP
∴ = = = = ∥ ∥
1 13 12 782
= × × ＝
x 11 2 2 13 (11 )t t t t− − = + − − 3
2t∴ =
2 2(11 3 ) 12 13t∴ − + = 162 3t∴ = 或
( ) 2 213 2 11 12 13t t+ − − + = 1t∴ =
3 162 12 3t = 或 或 或
2(4, )3
−
5
4
答案：
47. （2011 年杭州市模拟）（本题 10 分）如图， 中，
厘米， 厘米，点 为 的中点．
（1）如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向
点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．
①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过秒后，
与 是否全等，请说明理由；
②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运
动速度为多少时，能够使 与 三点组成的三角形全等？
（2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，
都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在 的哪条边
上相遇？
答案：解：（1）①经过 秒后， 与 全等
∵ 秒， ∴ 厘米，
∵ 厘米，点 为 的中点， ∴ 厘米．
又∵ 厘米， ∴ 厘米， ∴ ．
又∵ ， ∴ ， ∴ ．
②∵ ， ∴ ，又∵ ，
，则 ，
∴点 ，点 运动的时间 秒，
∴ 厘米/秒．
（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，
由题意，得 ，
解得 秒．
∴点 共运动了 厘米．
1t = 3 1 3BP CQ= = × =
10AB = D AB 5BD =
8PC BC BP BC= − =， 8 3 5PC = − = PC BD=
AB AC= B C∠ = ∠ BPD CQP△ ≌△
P Qv v≠ BP CQ≠ BPD CQP△ ≌△
B C∠ = ∠ 4 5BP PC CQ BD= = = =，
P Q 4
3 3
BPt = =
5 15
4 4
3
Q
CQv t
= = =
x P Q
15 3 2 104 x x= + ×
80
3x =
P 80 3 803
× =
ABC△
10AB AC= = 8BC = D AB
P BC 3 B C
Q CA C A
Q P 1
BPD△ CQP△
Q P Q
BPD△ , ,C Q P
Q C P B
ABC△ P Q ABC△
1 BPD△ CQP△
（第 46 题）
第 47 题
第 47 题
∵ ，
∴点 、点 在 边上相遇，∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇．
48. （2011 年浙江省杭州市模 2）
如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点
A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，
（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ 是直角三角形？
（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP
交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
答案：（1） 不变。
又由条件得 AP=BQ，∴ ≌ (SAS)
∴
∴
（2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第 秒或第 2 秒时，∆PBQ 为直角三角形
（3） 不变。
80 2 28 24= × +
P Q AB 80
3 P Q AB
060=∠CMQ
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中，
ABQ∆ CAP∆
ACPBAQ ∠=∠
060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ
3
4,24,2,6090 00 ==−=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时，
2),4(22,2,6090 00 =−==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时，
3
4
0120=∠CMQ
A
P
B Q C
M
第 48 题 图
1
A
P
B QC
M
第 48 题 图
2
∴
又由条件得 BP=CQ，∴ ≌ (SAS)
∴ 又
∴
49. （2011 年浙江省杭州市模 2）
如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 矩 形 ABCD 的 边 AB 在 x 轴 上 ， 且 AB=3 ，
BC= ，直线 y= 经过点 C，交 y 轴于点 G。
（1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线 y= 上且经过点 C、D 的抛物
线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线 y= 平移，平移后
的抛物线交 y 轴于点 F，顶点为点 E（顶点在 y 轴右侧）。
平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG 为等腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说
明理由。
答案：（1）
（ 2 ） 由 二 次 函 数 对 称 性 得 顶 点 横 坐 标 为 ， 代 入 一 次 函 数
，得顶点坐标为（ ， ），
∴设抛物线解析式为 ，把点 代入得，
∴解析式为
（3）设顶点 E 在直线上运动的横坐标为 m，则
∴可设解析式为
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 0120=∠=∠ ACQPBC
PBC∆ ACQ∆
MQCBPC ∠=∠ MCQPCB ∠=∠
0120=∠=∠ PBCCMQ
32 323 −x
323 −x
323 −x
)324( ，C ），（ 321D
2
5
2
41 =+
2
3322
53 =−×=y 2
5
2
3
2
3)2
5( 2 +−= xay ），（ 321D 3
32=a
2
3)2
5(3
32 2 +−= xy
)0)(323( >− mmmE ，
323)(3
32 2 −+−= mmxy
O xA B
C
y
D
G
o
第 49
题
①当 FG=EG 时，FG=EG=2m， 代入解析式得：
，得 m=0(舍去)， ，
此时所求的解析式为： ；
②当 GE=EF 时，FG=4m， 代入解析式得：
，得 m=0(舍去)， ，
此时所求的解析式为： ；
③当 FG=FE 时，不存在；
B 组
一、选择题
1．（ 2011 年杭州三月月考）如图，C 为⊙O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙O 于
D、E 两点， 且∠ACD=45°，DF⊥AB 于点 F,EG⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，
)322,0( −mF
3223233
32 2 −=−+ mmm 2
33 −=m
2
373)2
33(3
32 2 −++−= xy
)324,0( −mF
3243233
32 2 −=−+ mmm 2
332 −=m
2
376)2
332(3
32 2 −++−= xy
第 2 题图
A D
F
E
C
M
B
设 AF= ，DE= ，下列中图象中，能表示 与 的函数关系式的图象大致是（ ）
答案：A
2、（2011 深圳市模四）如图，△ABC 和△DEF 是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，
∠ACB＝∠DFE＝90°，点 C 落在 DE 的中点处，且 AB 的中点 M、C、F 三点共线，现在
让△ABC 在直线 MF 上向右作匀速移动，而△DEF 不动，设两个三角形重合部分的面积
为 y，向右水平移动的距离为 x，则 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ）
答案：C
二、填空题
1．（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，已知⊙P 的半径为 2，圆心 P 在抛物线
上运动，当⊙P 与 轴相切时，圆心 P 的坐标为 .
答案： 或
三、解答题
1．（2011 天一实验学校 二模）如图，已知 中， 厘米， 厘米，
点 为 的中点．
（1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CA
上由 C 点向 A 点运动．
①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与 是否全
等，请说明理由；
②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使
与 全等？
x y y x
21 12y x= − x
)2,6( )2,6(−
ABC△ 10AB AC= = 8BC =
D AB
BPD△ CQP△
BPD△ CQP△
第 1 题
o x
y
B
o x
y
A
o x
y
D
o x
y
C
A
Q
C
D
B
P
y
O
M
xn
l
1 2 3
…1B
2B
3B
nB
1A 2A 3A 4A nA 1nA +
（2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，
都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相
遇？
答案：
⑴
①全等。
理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动 1 秒时 BP=3,CP=5,CQ=3
∵D 为 AB 中点，AB=10，∴BD=5.
∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△CQP
②若 Q 与 P 的运动速度不等，则 BP≠CQ,若△BPD 与△CQP 全等，则 BP=CP=4
CQ=5,Q 的运动速度为 5× cm/s
⑵设经过 t 秒两点第一次相遇则
（ -3）t=20
t=
3t=80,
80÷28=2
×28=24,所以在 AB 边上。
即经过 两点第一次相遇，相遇点在 AB 上。
2.（2011 天一实验学校 二模）已知：如图，直线 ： 经过点 M(0, )，一组抛
物线的顶点 （ 为正整数）依次是直线
上 的 点 ， 这 组 抛 物 线 与 轴 正 半 轴 的 交 点 依 次 是 ： A1 （ x1,0 ） , A2 （ x2,0 ） , A3
（x3,0）,……An+1（xn+1,0）（ 为正整数），设
（1）求 的值；
（2）求经过点 的抛物线的解析式（用含 的代数式表示）
（3）定义：若抛物线的顶点与 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线
就称为：“美丽抛物线”．
探究：当 的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请
你求出相应的 的值．
l 1
3y x b= + ，
1 1 2 2 3 3(1 ) (2 ) (3 ) ( )n nB y B y B y B n y， ， ， ， ， ， ， ， n
l x
n 1 0 1x d d= < <（ ）．
b
1 1 2A B A、 、 d
x
0 1d d< <（ ）
d
ABC△ ABC△
4
15
4
3 =
4
15
3
80
7
6
7
6
3
80
4
1
答案：
⑴∵M(0, 在直线 y= x+b 上，
∴b=
⑵由⑴得 y= x+ ,∵B1(1,y1)在直线 l 上，∴当 x=1 时，y1= ×1+ =
∴B1(1, )
又∵A1(d,0) A2(2-d,0)
设 y=a(x-d)(x-2+d),把 B1(1, )代入得：a=-
∴过 A1、B1、A2 三点的抛物线解析式为 y=- (x-d)(x-2+d)
(或写出顶点式为 y=- (x-1) + )
⑶存在美丽抛物线。
由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰
直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又∵01
∴美丽抛物线的顶点只有 B1B2.
①若 B1 为顶点，由 B1(1, )，则 d=1- =
②若 B2 为顶点，由 B2(2, )，则 d=1- =
综上所述，d 的值为 或 时，存在美丽抛物线。
)4
1
3
1
4
1
3
1
4
1
3
1
4
1
12
7
12
7
12
7
2)1(12
7
−d
2)1(12
7
−d
2)1(12
7
−d
2
12
7
3
1
4
1
12
7
3
1
4
1
12
11
3
1
4
1
4
1
12
7
12
7
12
5
12
11
−− 1)12
112( 12
11
12
5
12
11
3．（2011 天一实验学校 二模）如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 是 x 轴上
的一个动点，连结 AB，取 AB 的中点 M，将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90o，
得到线段 BC.过点 B 作 x 轴的垂线交直线 AC 于点 D.设点 B 坐标是（t，0）.
（1）当 t=4 时，求直线 AB 的解析式；
（2）当 t>0 时，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及△ABC 的面积；
（3）是否存在点 B,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请写出所有符合条件的点 B 的坐标，
并写出其中一个的求解过程；若不存在，请说明理由.
答案：
解：（1）当 t=4 时，B(4,0)
设直线 AB 的解析式为 y= kx+b .
把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： {b = 6
4k + b = 0 , 解得：{k = －
b = 6 ,
∴直线 AB 的解析式为：y=－3
2x+6.
(2) 过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E
由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.
∴ ，
∴BE= 1
2AO=3，CE= 1
2OB= t
2，
∴点 C 的坐标为(t+3，t
2).
∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= 1
2AB·BC= BC2.
在 Rt△ABC 中，BC2= CE2+ BE2 = 1
4t2+9，
即 S△ ABC= 1
4t2+9.
(3)存在，理由如下：
①当 t≥0 时.
Ⅰ.若 AD＝BD.
又∵BD∥y 轴
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD.
又∵∠AOB=∠ABC，
∴△ABO∽△ACB，
∴ ，
1
2
BE CE BC
AO BO AB
= = =
1
2
OB BC
AO AB
= =
·
y
O
A
x
备用图
M
y
O
C
A
B x
D
y
O
C
A
B x
D
E
∴t
6= 1
2，
∴t=3，即 B(3，0).
Ⅱ.若 AB＝AD.
延长 AB 与 CE 交于点 G，
又∵BD∥CG
∴AG＝AC[from:www.xk100.com]
过点 A 画 AH⊥CG 于 H．
∴CH＝HG＝1
2CG
由△AOB∽△GEB，
得GE
BE＝AO
OB ，
∴GE= 18
t .[from:www.xk100.com]
又∵HE＝AO＝６，CE＝t
2
∴18
t ＋６＝1
2×（t
2＋18
t ）
∴t2-24t-36=0
解得：t=12±6 5. 因为 t≥0，
所以 t=12＋6 5，即 B(12＋6 5，0).
Ⅲ.由已知条件可知，当 0≤t<12 时，∠ADB 为钝角，故 BD ≠ AB.
当 t≥12 时，BD≤CE S∴ 17 3
2
xoy
oy ox
x x
（图 4）
y
A
C
O ( )D N B x
E G
P
( )M
I
K
O x
y
A
B
E
F
P
第 25 题
∴PB=BF=6， ∴
=-12（不合） =2…………………………………………7 分
（3）设 AO=b，OB=a，⊙K 与 Rt△AOB 三边相切于 E、F、P，
∴
， ∴ ，
∴
∴ ……………………………………………………9 分
另一解法： ，∴
S= ·r（OA +OB+AB）= r (r+x+10-x+r+10)= r (20+2r)=
∴S= = )
又∵ = +25
∵当 x=5 时，S 最大，即 AE=BF=5，∴OA= .…………10
18．（2011 年深圳二模）如图，已知抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 与ｘ轴相交于点
A 和点 B，与ｙ轴相交于点 D（0，8），直线 DC 平行于ｘ轴，交抛物线于另一点 C，动
点 P 以每秒 2 个单位长度的速度从 C 点出发，沿 C→D 运动，同时，点 Q 以每秒 1 个单
位长度的速度从点 A 出发，沿 A→B 运动，连接 PQ、CB，
设点 P 运动的时间为 t 秒．
（１）求ａ的值；
（２）当四边形 ODPQ 为矩形时，求这个矩形的面积；
（３）当四边形 PQBC 的面积等于 14 时，求 t 的值．
（４）当 t 为何值时，△PBQ 是等腰三角形？（直接写出答
案）
解：（１）∵抛物线ｙ＝ｘ －ａｘ＋ａ －4ａ－4 经过点（0，8）
∴ａ －4ａ－4＝8
2 2(4 ) (6 ) 100r r+ + + =
r r
10 2( ) 10 10 22
a bOE r b x a b x a b
+ −= = ⇒ − + = + ⇒ − = −
2 2 2100 40 4 2x x a b ab− + = + −
1
2S ab= 2ab S= 2 2 210a b+ =
2100 40 4 100 4x x S− + = −
2 10S x x= − +
2 2( ) (10 ) 100x r x r+ + − + = 2 210 10r r x x+ = − +
1
2
1
2
1
2
2 10r r+
2 10r r+ 2 10x x− +
2 10S x x= − + 2( 5)x− −
10 5 2
2
=
2 2
2 2
2
解得：ａ ＝6，ａ ＝－2（不合题意，舍去）
∴ａ的值为 6…………………………………………4 分
（２）由（１）可得抛物线的解析式为
ｙ＝ｘ －6ｘ＋8
当ｙ＝0 时，ｘ －6ｘ＋8＝0
解得：ｘ ＝2，ｘ ＝4
∴A 点坐标为（2，0），B 点坐标为（4，0）
当ｙ＝8 时，
ｘ＝0 或ｘ＝6
∴D 点的坐标为（0，8），C 点坐标为（6，8）
DP＝6－2t，OQ＝2＋ｔ
当四边形 OQPD 为矩形时，DP＝OQ
2＋t＝6－2t，t＝ ，OQ＝2＋ ＝
S＝8× ＝
即矩形 OQPD 的面积为 …………………………………………8 分
（３）四边形 PQBC 的面积为 ，当此四边形的面积为 14 时，
（2－t＋2t）×8＝14
解得 t＝ （秒）
当 t＝ 时，四边形 PQBC 的面积为 14…………………………………………12 分
（ ４ ） t ＝ 时 ， PBQ 是 等 腰 三 角
形．…………………………………………14 分
19、（2011 年广东省澄海实验学校模拟）已知：如
图，抛物线 与 轴交于点 、点
1 2
2
2
1 2
3
4
3
4
3
10
3
10
3
80
3
80
8)(2
1 ×+ PCBQ
2
1
2
3
2
3
5
6
23 34y x= − + x A
，与直线 相交于点 、点 ，直线 与 轴交于点 。
（1）求直线 的解析式；
（2）求 的面积；
（3）若点 在线段 上以每秒 1 个单位长度的速度从 向 运动（不与 重
合），同时，点 在射线 上以每秒 2 个单位长度的速度从 向 运动．设运动时间为
秒，请写出 的面积 与 的函数关系式，并求出点 运动多少时间时，
的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）在 中，令 ，
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分
又 点 在 上
…………………………………2 分
的解析式为 ………………………3 分
（2）过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.
由 ，得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分
， ， ………………………………………6 分
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分
（3）过点 作 于点
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
由 直 线 可 得 ： 在 中 ， ， ， 则
， ∵BM=4－t ∴△MBN 的面积= ×BM×NP= (4－t)· t
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
B 3
4y x b= − + B C 3
4y x b= − + y E
BC
ABC△
M AB A B A B，
N BC B C t
MNB△ S t M MNB△
23 34y x= − + 0y = 23 3 04 x∴− + = 1 2x∴ = 2 2x = −
( 2 0)A∴ − ， (2 0)B ，
B 3
4y x b= − +
30 2 b∴ = − + 3
2b =
BC∴ 3 3
4 2y x= − +
23 34
3 3
4 2
y x
y x
= − +
= − +
1
1
1
9
4
x
y
= − =
2
2
2
0
x
y
=
=
91 4C ∴ − ， (2 0)B ， 4AB∴ = 9
4CD =
1 9 942 4 2ABCS∴ = × × =△
N NP MB⊥ P EO MB⊥ NP EO∴ ∥ BNP BEO∴△ ∽△
BN NP
BE EO
∴ =
3 3
4 2y x= − + 30 2E
， ∴ BEO△ 2BO = 3
2EO =
5
2BE =
2
5 3
2 2
t NP∴ = 6
5NP t∴ = 1
2
1
2
6
5
23 12 (0 4)5 5S t t t= − + < <
x
y
A B
C
E
MD P
N
O
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分
此抛物线开口向下， 当 时，
当点 运动 2 秒时， 的面积达到最大，最大为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
20.（2011 湖北省崇阳县城关中学模拟）（本小题满分 10 分）
如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点
A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，
（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ 是直角三角形？
（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP
交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（1） 不变。
又由条件得 AP=BQ，∴ ≌ (SAS)
∴
∴
（2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
23 12( 2)5 5S t= − − +
∴ 2t = 12
5S =最大
∴ M MNB△ 12
5
060=∠CMQ
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中，
ABQ∆ CAP∆
ACPBAQ ∠=∠
060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ
3
4,24,2,6090 00 ==−=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时，
2),4(22,2,6090 00 =−==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时，
A
P
B Q C
M
第 3 题图 1
A
P
B QC
M
第 3 题图 2
…… 1′
…… 1′
…… 2′
…… 2′
P
N
M
C B
AO
y
x
∴当第 秒或第 2 秒时，∆PBQ 为直角三角形
（3） 不变。
∴
又由条件得 BP=CQ，∴ ≌ (SAS)
∴ 又
∴
21.（2011 深圳市模四）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=7，点 P 从 A 点开始沿 AB
边向点 B 点以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动.
（1）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ 的面积等于 4？
（2）如果点 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，经过几秒钟，PQ 的长度等于 5？
解：（1）设经过 x 秒钟，△PBQ 的面积等于 4，
则由题意得 AP=x，BP=5－x，BQ=2x,
由 BP·BQ=4，得 （5－x）·2x=4， 解得，x 1=1，x2=4．
当 x=4 时，BQ=2x=8＞7=BC，不符合题意。故 x=1
（2）由 BP +BQ =5 得（5－x） +（2x） =5 ,
解得 x1=0（不合题意），x2=2．
所以 2 秒后，PQ 的长度等于 5。
22.（2011 深圳市模四）（2011 深圳市模四）（9 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形
OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（6，0），（6，8）。动点 M、N 分别从 O、B 同时
出发，以每秒 1 个单位的速度运动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向
终点 C 运动。过点 N 作 NP⊥BC，交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。
（1）P 点的坐标为（ ， ）；（用含 x 的代数式表示）
（2）试求 ⊿MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。
（3）请你探索：当 x 为何值时，⊿MPA 是一个等腰三角形？
你发现了几种情况？写出你的研究成果。
3
4
0120=∠CMQ
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 0120=∠=∠ ACQPBC
PBC∆ ACQ∆
MQCBPC ∠=∠ MCQPCB ∠=∠
0120=∠=∠ PBCCMQ
P
Q
B
C
A
2
1
2
1
2 2 2 2 2 2
…… 1′
…… 1′
…… 1′
第 4 题图
解：（１）（6－x , x ）;
(2)设⊿MPA 的面积为 S，在⊿MPA 中，MA=6﹣x，MA 边上的高为 x，其中，
0≤x≤6.∴S= （6—x）× x= (﹣x2+6x) = — (x﹣3)2+6。∴S 的最大值为 6, 此时 x =3.
(3)延长ＮＰ交 x 轴于Ｑ，则有ＰＱ⊥ＯＡ
①若ＭＰ＝ＰＡ ∵ＰＱ⊥ＭＡ ∴ＭＱ＝ＱＡ＝x. ∴3x=6, ∴x=2;
②若ＭＰ＝ＭＡ，则ＭＱ＝6—2x，ＰＱ= x，ＰＭ＝ＭＡ＝6—x
在Ｒt⊿ＰＭＱ 中，∵ＰＭ2＝ＭＱ2＋ＰＱ2 ∴(6—x) 2=(6—2x) 2+ ( x) 2∴x=
③若ＰＡ＝ＡＭ，∵ＰＡ＝ x，ＡＭ＝6—x ∴ x=6—x ∴x=
综上所述，x=2，或 x= ，或 x= 。
23、（2011 年北京四中 33 模）在△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，M 是 AB 上的动点
（不与 A、B 重合），过 M 作 MN//BC 交 AC 于点 N，以 MN 为直径作⊙O，设 AM=x
（1）用含 x 的代数式表示△AMN 的面积 S；
（2）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相切时（如图①），求 x 的值；
（3）M 在 AB 上运动，当⊙O 与 BC 相交时（如图②），在⊙O 上取一点 P，使 PM//AC，
连接 PN，PM 交 BC 于 E，PN 交 BC 于点 F，设梯形 MNFE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数
关系式。
3
4
3
4
2
1
3
4
3
2
3
2
3
4
3
4
43
108
3
5
3
5
4
9
43
108
4
9
第 5 题图
O
A
M N
B C
图①
O
A
M N
B C
Ｐ
E
F
图②
O
A
M N
B C
Ｐ
E
F
答案：解：（1）∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C
∴△AMN∽△ABC…………………（1 分）
∴ ，即 ，∴
∵AM⊥AN，∴ …………………
（2）设 BC 与⊙O 相切于点 D，连接 AO、OD，
则 AO=OD= MN
在 Rt△ABC 中，
又∵△AMN∽△ABC，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ………………………
过 M 作 MQ⊥BC 于 Q，则
则△BMQ∽△ABC，
∴ ，∴
∵
∴ …………………………………………………………………………
（3）∵∠A=90°，PM//AC，∠MPN=90°
∴四边形 AMPN 是矩形…………………
∴PN=AM=x
又∵四边形 BFNM 是平行四边形，
∴FN=BM=8－x，PF=PN－FN=x－(8－x)=2x－8…（
又 Rt△PEF∽Rt△ABC，∴ ，
∴
∵
………
AC
AN
AB
AM =
68
ANx = xAN 4
3=
2
8
3
4
3
2
1
2
1 xxxANAMS AMN =⋅⋅=⋅⋅=∆
2
1
1022 =+= BCABBC
BC
MN
AB
AM =
108
MNx = xMN 4
5= xOD 8
5=
xODMQ 8
5==
AC
QM
BC
BM = x
x
BM 24
25
6
8
510
=
×
=
824
25 =+=+= xxBMAMAB
49
192=x
ABC
PEF
S
S
AB
PF
∆
∆=
2
2
2
)4(2
3682
1
8
82 −=××⋅
−=∆ xxS PEF
PMNAMN SS ∆∆ =
24128
9)4(2
3
8
3 222 −+−=−−=−= ∆∆ xxxxSSS PEFPMNMNFE梯形
O
A
M N
B CＤQ
24、（2011 年北京四中 34 模）如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 AOCB
是梯形，AB∥OC，点 A 的坐标为（0，8），点 C 的坐标为（10，0），OB＝OC．
（1）求点 B 的坐标；
（2）点 P 从 C 点出发，沿线段 CO 以 5 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动，过点 P 作
PH⊥OB，垂足为 H，设△HBP 的面积为 S（S≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的
函数关系式（直接写出自变量 t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点 P 作 PM∥CB 交线段 AB 于点 M，过点 M 作 MR⊥OC，
垂足为 R，线段 MR 分别交直线 PH、OB 于点 E、G，点 F 为线段 PM 的中点，连接 EF，
当 t 为何值时， ？
答案：（1）如图 1 过点 B 作 BN⊥OC 于点 N
∵OB=OC=10 BN=OA=8
∴ON=AB=
∴B（6,8）
（2）如图 2 ∵∠BON=∠POH ∠ONB=∠OHP=90°
∴⊿BON∽⊿POH
∴
∵PC=5t ∴OP=10-5t ，OH=6-3t ， PH=8-4t …
∴BH=OB-OH=10- （ 6-3t ） =3t+4 …
∴
…（0≤t＜2）…
（3）如图 3 ，当点 G 在 E 上方时
过点 B 作 BN⊥OC 于点 N
BN=8 ，CN=4 ，CB= =4
∵BM∥PC，BC∥PM
∴BMPC 是平行四边形
图 2
∴PM=BC=4 BM=PC=5t
∵OC=OB
∴∠OCB=∠OBC
2
5
EG
EF =
622 =− BNOB
PH
BN
OH
ON
PO
BO ==
1646)48)(43(2
1 2 ++−=−+= ttttS
22 CNBN + 5
5
y
xo C
A B
y
xo C
A B
y
xo C
A B
x
y
F
D
G
E
R
M
H
No
A B
CP
x
y
H
No
A B
CP
x
y
No
A B
C
∵PM∥BC ∴∠OPD=∠OCB ∠ODP=∠OBC
∴∠OPD=∠ODP
∵∠OPD+∠RMP=90°∠ODP+∠MPH=90°
∴∠RMP=∠MPH
∴EM=EP ……
∵点 F 为线段 PM 的中点
∴EF⊥PM
∴⊿MEF∽⊿MRP
∴
∵MF= , MR=8 ,RP=4 ∴ME=5 ,EF=
∵ ∴EG=2 MG=5-2=3 ……
∵∠MBO=∠BON ,∠BMG=∠BNO
∴⊿BMG∽⊿ONB ∴ ∴BM= =PC ……
∴5t= 得 t= ……
当点 G 在 E 的下方时
可得 MG=5+2=7
BM=5t= ∴t= ……
∴当 t= 或 t= 时，
25、（2011 年浙江杭州 27 模）如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 BC 上的一点，
且 CE＝8，BC＝12，CD＝4 ，∠C＝30°，∠B＝60°。点 P 是线段 BC 边上一动点（包括
B、C 两点），设 PB 的长是 x。
（1）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形。
（2）当 x 为何值时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形。
（3）P 在 BC 上运动时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形能否为菱形。
RP
EF
MR
MF
MP
ME ==
522
1 =MP 5
2
5
EG
EF =
BN
MG
ON
BM =
4
9
4
9
20
9
4
21
20
21
20
21
20
9
2
5
EG
EF =
3
x
y
F
E D
G
R
M
H
No
A B
CP
答案：
(1)分别过点 A、D 作 BC 的垂线，垂足分别为 F、G。
∵∠C=30°,且 CD＝
∴DG＝2 ，CG＝6
∴DG＝AF＝2
∵∠B＝60°
∴BF＝2。
∵BC＝12
∴FG＝AD＝4……………………………………………………………
显然，当 P 点与 F 或点 G 重合时，以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为直角梯形。
所以 x=2 或 x=6………………………………………………………
(2) ∵AD=BE=4，且 AD∥BE
∴当点 P 与 B 重合时，
即 x=0 时。点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形…………………………
又∵当点 P 在 CE 中点时，EP＝AD＝4，且 EP∥AD，
∴x=8 时，点 P、A、D、E 为顶点的四边形为平行四边形………………………………
（3）由（1）（2）知，∵∠BAF＝30°
∴AB＝2BF＝4
_E_B _C
_A _D
_P
_G_F_B _C
_A _D
_E_P
34
3
3
∴x=0 时，且 PA＝AD，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形。…………
∵AB＝BE，且∠B＝60°
∴△ABE 为正三角形。
∴AE＝AD＝4。
26、（2011 年浙江杭州 28 模）即当 x=8 时，即以点 P、A、D、E 为顶点的四边形为菱形。
如图，在直角梯形 OABC 中，OA∥BC，A、B 两点的坐标
分别为 A（13，0），B（11，12）.动点 P、Q 分别从 O、B
两点出发，点 P 以每秒 2 个单位的速度沿 x 轴向终点 A 运
动，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 BC 方向运动；当点 P 停
止运动时，点 Q 也同时停止运动.线段 PQ 和 OB 相交于
点 D，过点 D 作 DE∥x 轴，交 AB 于点 E，射线 QE 交 x 轴
于点 F.设动点 P、Q 运动时间为 t（单位：秒）.
（1）当 t 为何值时，四边形 PABQ 是平行四边形.
（2）△PQF 的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF 的面积 s 关于时间 t 的函数关系
式；若不变，请求出△PQF 的面积。
（3）随着 P、Q 两点的运动，△PQF 的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等腰△PQF?
答案：（1）设 要四边形 PABQ 为平行四边形，则
∴ .
（2）不变. （1 分）
∴AF=2QB=2t，∴PF=OA=13
∴S△PQF （2 分）
（3）由(2)知， PF=OA=13
①QP=FQ，作 QG⊥ 轴于 G，则
2 , , 13 2 ,OP t QB t PA t= = = − 13 2t t− =
13
3t =
1
2
QB QD QD
OP DP DP
= ∴ =
1
2
QB QE BD QDOB DE PA AF EF DO DP
∴ = = = = ∥ ∥
1 13 12 782
= × × ＝
x 11 2 2 13 (11 )t t t t− − = + − − 3
2t∴ =
②PQ=FP，
③FQ=FP，
综上，当 时，△PQF 是等腰三角形.
27．（2011 年杭州市上城区一模）（本小题满分 12 分）
如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 y
轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D .
（1）求抛物线的解析式.
（2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同
时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点
也随之停止运动. 设 S=PQ2(cm2)
①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；
②当 S 取 时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平
行四边形? 如果存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点 M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标.
答案：解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，D（4，— ）,
则 解得
∴抛物线的解析式为:
(2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ2=PB2+BQ2=(2－2t)2
+ t2 ,
即 S=5t2－8t+4 (0≤t≤1) …… 2 分（解析式和 t 取值范围各 1 分）
②假设存在点 R, 可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形.
∵S=5t2－8t+4 (0≤t≤1), ∴当 S= 时, 5t2－8t+4= ,得 20t2－32t+11=0,
解得 t = ，t = （不合题意，舍去） …… 2 分
此时点 P 的坐标为（1，-2），Q 点的坐标为（2，— ）
若 R 点存在，分情况讨论:
【A】假设 R 在 BQ 的右边, 这时 QR PB, 则，R 的横坐标为 3, R 的纵坐标为—
2 2(11 3 ) 12 13t∴ − + = 162 3t∴ = 或
( ) 2 213 2 11 12 13t t+ − − + = 1t∴ =
3 162 12 3t = 或 或 或
2(4, )3
−
5
4
3
2
23
1
6
1 2 −−= xxy
4
5
4
5
2
1
10
11
2
3
2
3
（第 24 题）
即 R (3, － )，代入 , 左右两边相等，
∴这时存在 R(3, － )满足题意. …… 1 分
【B】假设 R 在 BQ 的左边, 这时 PR QB, 则：R 的横坐标为 1, 纵坐标为－ 即(1, －
) 代入 , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. …… 1 分
【C】假设 R 在 PB 的下方, 这时 PR QB, 则：R(1，— )代入,
左右不相等, ∴R 不在抛物线上. …… 1 分
综上所述, 存点一点 R(3, － )满足题意.
（3）∵A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B,过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所
求 M，M 的坐标为（1，— ）…… 2 分
28. （2011 年杭州市模拟）（本题 10 分）如图， 中， 厘米，
厘米，点 为 的中点．
（1）如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点
运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．
①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 秒后，
与 是否全等，请说明理由；
②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运
动速度为多少时，能够使 与 三点组成的三角形全等？
（2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，
都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在 的哪条边
上相遇？
答案：解：（1）①经过 秒后， 与 全等
∵ 秒， ∴ 厘米，
∵ 厘米，点 为 的中点， ∴ 厘米．
又∵ 厘米， ∴ 厘米， ∴ ．
又∵ ， ∴ ， ∴ ．
②∵ ， ∴ ，又∵ ，
1t = 3 1 3BP CQ= = × =
10AB = D AB 5BD =
8PC BC BP BC= − =， 8 3 5PC = − = PC BD=
AB AC= B C∠ = ∠ BPD CQP△ ≌△
P Qv v≠ BP CQ≠ BPD CQP△ ≌△
2
3
23
1
6
1 2 −−= xxy
2
3
2
3
2
3
23
1
6
1 2 −−= xxy
2
5
23
1
6
1 2 −−= xxy
2
3
3
8
ABC△ 10AB AC= = 8BC =
D AB
P BC 3 B C
Q CA C A
Q P 1
BPD△ CQP△
Q P Q
BPD△ , ,C Q P
Q C P B
ABC△ P Q ABC△
1 BPD△ CQP△
第 22 题
，则 ，
∴点 ，点 运动的时间 秒，
∴ 厘米/秒．
（2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，
由题意，得 ，
解得 秒．
∴点 共运动了 厘米．
∵ ，
∴点 、点 在 边上相遇，∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇．
29. （2011 年浙江省杭州市模 2）（本小题满分 10 分）
如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点
A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，
（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则
说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）何时∆PBQ 是直角三角形？
（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP
交点为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
答案：（1） 不变。
B C∠ = ∠ 4 5BP PC CQ BD= = = =，
P Q 4
3 3
BPt = =
5 15
4 4
3
Q
CQv t
= = =
x P Q
15 3 2 104 x x= + ×
80
3x =
P 80 3 803
× =
80 2 28 24= × +
P Q AB 80
3 P Q AB
060=∠CMQ
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中，
第 22 题
A
P
B Q C
M
第 22 题 图
1
A
P
B QC
M
第 22 题 图
2
又由条件得 AP=BQ，∴ ≌ (SAS)
∴
∴
（2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t
当
当
∴当第 秒或第 2 秒时，∆PBQ 为直角三角形
（3） 不变。
∴
又由条件得 BP=CQ，∴ ≌ (SAS)
∴ 又
∴
30. （2011 年浙江省杭州市模 2）(本小题满分 12 分)
如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 矩 形 ABCD 的 边 AB 在 x 轴 上 ， 且 AB=3 ，
BC= ，直线 y= 经过点 C，交 y 轴于点 G。
（1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ），D（ ）；
（2）求顶点在直线 y= 上且经过点 C、D 的抛物
线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿直线 y= 平移，平移后
的抛物线交 y 轴于点 F，顶点为点 E（顶点在 y 轴右侧）。
平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG 为等腰三角形？
若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说
明理由。
ABQ∆ CAP∆
ACPBAQ ∠=∠
060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ
3
4,24,2,6090 00 ==−=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时，
2),4(22,2,6090 00 =−==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时，
3
4
0120=∠CMQ
060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 0120=∠=∠ ACQPBC
PBC∆ ACQ∆
MQCBPC ∠=∠ MCQPCB ∠=∠
0120=∠=∠ PBCCMQ
32 323 −x
323 −x
323 −x O xA B
C
y
D
G
o
第 24
题
答案：（1）
（ 2 ） 由 二 次 函 数 对 称 性 得 顶 点 横 坐 标 为 ， 代 入 一 次 函 数
，得顶点坐标为（ ， ），
∴设抛物线解析式为 ，把点 代入得，
∴解析式为
（3）设顶点 E 在直线上运动的横坐标为 m，则
∴可设解析式为
①当 FG=EG 时，FG=EG=2m， 代入解析式得：
，得 m=0(舍去)， ，
此时所求的解析式为： ；
②当 GE=EF 时，FG=4m， 代入解析式得：
，得 m=0(舍去)， ，
此时所求的解析式为： ；
③当 FG=FE 时，不存在；http://www.czsx.com.cn
)324( ，C ），（ 321D
2
5
2
41 =+
2
3322
53 =−×=y 2
5
2
3
2
3)2
5( 2 +−= xay ），（ 321D 3
32=a
2
3)2
5(3
32 2 +−= xy
)0)(323( >− mmmE ，
323)(3
32 2 −+−= mmxy
)322,0( −mF
3223233
32 2 −=−+ mmm 2
33 −=m
2
373)2
33(3
32 2 −++−= xy
)324,0( −mF
3243233
32 2 −=−+ mmm 2
332 −=m
2
376)2
332(3
32 2 −++−= xy
