中考数学菱形综合复习试题及答案

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中考数学菱形综合复习试题及答案

‎2017年中考数学 一轮复习专题 菱形 综合复习 一 选择题:‎ ‎1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(  )‎ ‎ A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分   D.对角线互相垂直 ‎2.如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形,其中D在BE上.若AB=17,BD=16,AE=25,则DE的长度为何?(  )‎ ‎ A.8     B.9     C.11    D.12‎ ‎3.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作EF⊥AC交BC于点E,交AD于点F,连接AE,CF.则四边形AECF是(   )‎ ‎  A.梯形        B.长方形   C.菱形      D.正方形 ‎4.如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为(   )‎ ‎ A.52cm B.40cm C.39cm D.26cm ‎5.如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为(  )‎ ‎ A.10cm2       B.20cm2      C.40cm2       D.80cm2‎ ‎6.如图,菱形ABCD的周长为24cm,对角线AC、BD相交于O点,E是AD的中点,连接OE,则线段OE的长等于(  )‎ ‎ A.3cm  B.4cm  C.2.5cm     D.2cm ‎7.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB=2,∠ABC=60°,则BD的长为(  )‎ ‎ A.2     B.3     C.  D.2‎ ‎8.如图所示,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E ,F 为垂足,AE=ED,则∠EBF 等于( ) ‎ ‎ A.75°     B.60°     C.50°  D.45° ‎ ‎9.如图,四边形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于H,则DH等于(   )‎ ‎ A.  B.  C.5     D.4‎ ‎10.如图,菱形OABC的顶点O是原点,顶点B在y轴上,菱形的两条对角线的长分别是6和4,反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k的值为(  )‎ ‎ A.﹣12 B.﹣6    C.6        D.12‎ ‎ ‎ ‎11.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,连接DF,且∠CDF=24°,则∠DAB等于( )‎ ‎   A.100°     =   B.104°         C.105°           D.110°‎ ‎12.某校的校园内有一个由两个相同的正六边形(边长为2.5m)围成的花坛,如图中的阴影部分所示,校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示,并在新扩充的部分种上草坪,则扩建后菱形区域的周长为(  )‎ ‎ A.20m  B.25m   C.30m  D.35m ‎13.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2cm,E、F分别是BC、CD的中点,连接AE、EF、AF,则△AEF的周长为(  )‎ ‎ A.2cm   B.3cm   C.4cm   D.3cm ‎14.如图,菱形ABCD的对角线相交于坐标原点,点A的坐标为(a,2),点B的坐标为(﹣1,﹣),点C的坐标为(2,c),那么a,c的值分别是(  )‎ ‎ A.a=﹣1,c=﹣   B.a=﹣2,c=﹣2  C.a=1,c=   D.a=2,c=2‎ ‎15.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH等于(  )‎ ‎ A.2     B.1.8 C.3 D.‎ ‎16.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=(  )‎ ‎ ‎ ‎ A.30°    B.45°     C.22.5° D.135°‎ ‎17.如图,已知四边形OABC是菱形,CD⊥x轴,垂足为D,函数的图象经过点C,且与AB交于点E.若OD=2,则△OCE的面积为(   )‎ A.2    B.4    C.;D.; ‎ ‎18.已知:如图在直角坐标系中,有菱形OABC,A点的坐标为(10,0),对角线OB、AC相交于D点,双曲线y=(x>0)经过D点,交BC的延长线于E点,且OB•AC=160,则点E的坐标为(  )‎ ‎ A.(5,8) B.(5,10) C.(4,8) D.(3,10)‎ ‎19.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在边AB上,点F在边CD上,点G、H在对角线AC上.若四边形EGFH是菱形,则AE的长是(  )‎ ‎ A.2  B.3  C.5        D.6‎ ‎20.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E、F分别是AB,AD的中点,DE、BF相交于点G,连接BD,CG.有下列结论:①∠BGD=120°;②BG+DG=CG;③△BDF≌△CGB;④S△ABD=AB2其中正确的结论有(  )‎ ‎ A.1个  B.2个    C.3个 D.4个 二 填空题:‎ ‎21.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件   使其成为菱形(只填一个即可).‎ ‎22.如图,在菱形ABCD中,AB=4,线段AD的垂直平分线交AC于点N,△CND的周长是10,则AC的长为  .‎ ‎23.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是   .‎ ‎24.如图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点,以CD、CB为边作平行四边形CDEB,当AD=      时,平行四边形CDEB为菱形。  ‎ ‎25.在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是AC上的一个动点,过点P作EF垂直于AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF沿EF折叠,使点A落在点A'处,当△A'CD是直角三角形时,AP的长为        .‎ ‎26、如图,菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,E,F分别是BC,DC上的点,∠EAF=60°,连接EF,则△AEF的面积最小值是   .‎ ‎27.如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′,其中点C的运动路径为,则图中阴影部分的面积为   .‎ ‎28.如图,在菱形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(8,2),点D的坐标为(0,2),则点C坐标为    .‎ ‎29.如图,将两张长为9,宽为3的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个菱形,容易知道当两张纸条垂直时,菱形的面积有最小值9,那么菱形面积的最大值是   .‎ ‎30.如图,在菱形ABCD中,边长为1,∠A=60°,顺次连结菱形ABCD各边中点,可得四边形A1B1C1D1;顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点,可得四边形A2B2C2D2;顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点,可得四边形A3B3C3D3;按此规律继续下去…,则四边形A2016B2016C2016D2016的面积是      .‎ 三 简答题:‎ ‎31.如图,AE∥BF,AC平分∠BAE,且交BF于点C,BD平分∠ABF,且交AE于点D,AC与BD相交于点O,连接CD.‎ ‎(1)求∠AOD的度数;‎ ‎(2)求证:四边形ABCD是菱形.‎ ‎32.如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=3,在BC边上取一点E,使BE=4,连结AE,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCF的位置,拼成四边形AEFD.‎ ‎(1)求证:四边形AEFD是菱形;‎ ‎(2)求四边形AEFD的两条对角线的长.‎ ‎                 ‎ ‎33.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别为AC,AB的中点,BF∥CE交DE的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:四边形ECBF是平行四边形;‎ ‎(2)当∠A=30°时,求证:四边形ECBF是菱形.‎ ‎34.如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN.‎ ‎(1)求证:四边形BMDN是菱形;‎ ‎(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.‎ ‎35.如图,在矩形ABCD中,点E为CD上一点,将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处,将线段EF绕点F旋转,使点E落在BE上的点G处,连接CG.‎ ‎(1)证明:四边形CEFG是菱形;‎ ‎(2)若AB=8,BC=10,求四边形CEFG的面积;‎ ‎(3)试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时,BG=CG,请写出你的探究过程.‎ ‎36.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD、AC的中点.‎ ‎(1)求证:四边形EGFH是菱形; ‎ ‎(2)若AB=1,则当∠ABC+∠DCB=90°时,求四边形EGFH的面积.‎ ‎37.如图,已知▱ABCD的对角线AC、BD交于O,且∠1=∠2.‎ ‎(1)求证:▱ABCD是菱形;‎ ‎(2)F为AD上一点,连结BF交AC于E,且AE=AF,求证:AO=(AF+AB).‎ ‎38.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.‎ ‎(1)求证:OE=OF;‎ ‎(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;‎ ‎(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.‎ ‎39.如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.‎ ‎(1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明;‎ ‎(2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明;若不是,则说明理由;‎ ‎(3)当点O运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?‎ ‎40.如图,菱形ABCD中,∠A=60°,连接BD,∠PBQ=60°,将∠PBQ绕点B任意旋转,交边AD,CD分别于点E、F(不与菱形的顶点重合),设菱形ABCD的边长为a(a为常数)‎ ‎(1)△ABD和△CBD都是   三角形;‎ ‎(2)判断△BEF的形状,并说明理由;‎ ‎(3)在运动过程中,四边形BEDF的面积是否变化,若不变,求出其面积的值(用a表示);若变化,请说明理由.‎ ‎(4)若a=3,设△DEF的周长为m,直接写出m的取值范围.‎ 参考答案 ‎1、D.2、D 3、C  4、A.5、A.6、A.7、D.8、B 9、A.10、B.11、B  12、C.13、B.14、B.‎ ‎15、D.16、C.17、C;18、C 19、C. 20、C.‎ ‎21、 AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC  22、6 .23、 cm .24、 25、2或26、 3 .‎ ‎27、 28、 (4,4) . 29、 15 . 30、  .‎ ‎31、【解答】解:(1)∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,‎ ‎∵AE∥BF,∴∠DAB+∠CBA,=180°,‎ ‎∴∠BAC+∠ABD=(∠DAB+∠ABC)=×180°=90°,∴∠AOD=90°;‎ ‎(2)证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA,‎ ‎∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线,∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,‎ ‎∴∠BAC=∠ACB,∠ABD=∠ADB,∴AB=BC,AB=AD∴AD=BC,‎ ‎∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD=AB,∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎32、(1)证明:∵△ABE平移至△DCF的位置.∴△ABE≌△DCF.∴BE=CF ‎∵四边形ABCD为矩形.∴AD∥BC,AD=BC,∠B=90°.∴EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD.‎ ‎∴四边形AEFD为平行四边形.在Rt△ABE中,根据勾股定理得:AE=--‎ ‎∵AD=5, ∴AD=AE.∴四边形AEFD为菱形. ‎ ‎(2)连结DE、AF. 求出DE=. 求出AF=‎ ‎33、【解答】证明:(1)∵D,E分别为边AC,AB的中点,∴DE∥BC,即EF∥BC.‎ 又∵BF∥CE,∴四边形ECBF是平行四边形.‎ ‎(2)∵∠ACB=90°,∠A=30°,E为AB的中点,∴CB=AB,CE=AB.∴CB=CE.‎ 又由(1)知,四边形ECBF是平行四边形,∴四边形ECBF是菱形.‎ ‎34、【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,‎ ‎∴AD∥BC,∠A=90°,∴∠MDO=∠NBO,∠DMO=∠BNO,‎ ‎∵在△DMO和△BNO中,,∴△DMO≌△BNO(AAS),∴OM=ON,‎ ‎∵OB=OD,∴四边形BMDN是平行四边形,∵MN⊥BD,∴平行四边形BMDN是菱形.‎ ‎(2)解:∵四边形BMDN是菱形,∴MB=MD,设MD长为x,则MB=DM=x,‎ 在Rt△AMB中,BM2=AM2+AB2即x2=(8﹣x)2+42,解得:x=5,所以MD长为5.‎ ‎35、(1)证明:根据翻折的方法可得EF=EC,∠FEG=∠CEG.‎ 又∵GE=GE,∴△EFG≌△ECG.∴FG=GC.‎ ‎∵线段FG是由EF绕F旋转得到的,∴EF=FG.∴EF=EC=FG=GC.∴四边形FGCE是菱形.‎ ‎(2)连接FC交GE于O点.根据折叠可得BF=BC=10.‎ ‎∵AB=8,∴在Rt△ABF中,根据勾股定理得AF==6.∴FD=AD-AF=10-6=4.‎ 设EC=x,则DE=8-x,EF=x,在Rt△FDE中,FD2+DE2=EF2,即42+(8-x)2=x2.‎ 解得x=5.即CE=5.S菱形CEFG=CE·FD=5×4=20.‎ ‎(3)当=时,BG=CG,理由:由折叠可得BF=BC,∠FBE=∠CBE,‎ ‎∵在Rt△ABF中,=,∴BF=2AF.∴∠ABF=30°.‎ 又∵∠ABC=90°,∴∠FBE=∠CBE=30°,EC=BE.∵∠BCE=90°,∴∠BEC=60°.‎ 又∵GC=CE,∴△GCE为等边三角形.∴GE=CG=CE=BE.∴G为BE的中点.∴CG=BG=BE. ‎ ‎36、(1)证明:∵四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点,‎ ‎∴FG=CD,HE=CD,FH=AB,GE=AB.‎ ‎∵AB=CD,∴FG=FH=HE=EG.∴四边形EGFH是菱形.‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD中,G、F、H分别是BD、BC、AC的中点,∴GF∥DC,HF∥AB.‎ ‎∴∠GFB=∠DCB,∠HFC=∠ABC.∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°.‎ ‎∴∠GFH=90°.∴菱形EGFH是正方形.‎ ‎∵AB=1,∴EG=AB=.∴正方形EGFH的面积=()2=.‎ ‎37、解答:解:(1)证明:∵▱ABCD中,AD∥BC,∴∠2=∠ACB,‎ 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠ACB∴AB=BC,∴▱ABCD是菱形;‎ ‎(2)∵▱ABCD中,AD∥BC,∴∠AFE=∠EBC,‎ 又∵AF=AE,∴∠AFE=∠AEF=∠BEC,∴∠EBC=∠BEC,∴BC=CE,‎ ‎∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA,∴OA=(AF+BC),又∵AB=BC,∴OA=(AF+AB).‎ ‎38、(1)证明:∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC.‎ 同理:OC=OE.∴OE=OF.‎ ‎(2)由(1)知:OF=OC,OC=OE,∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.‎ 而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°. ∴EF=13.∴OC=EF=.‎ ‎(3)连接AE、AF.当点O移动到AC中点时,四边形AECF为矩形.理由如下:由(1)知OE=OF,‎ 当点O移动到AC中点时,有OA=OC,∴四边形AECF为平行四边形. 又∵∠ECF=90°,∴四边形AECF为矩形. ‎ ‎39、【解答】解:(1)OE=OF.证明如下:‎ ‎∵CE是∠ACB的平分线,∴∠1=∠2.∵MN∥BC,∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∴OE=OC.同理可证OC=OF.‎ ‎∴OE=OF.四边形BCFE不可能是菱形,若四边形BCFE为菱形,则BF⊥EC,‎ 而由(1)可知FC⊥EC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线.当点O运动到AC中点时,且△ABC是直角三角形(∠ACB=90°)时,四边形AECF是正方形.‎ 理由如下:∵O为AC中点,∴OA=OC,∵由(1)知OE=OF,∴四边形AECF为平行四边形;‎ ‎∵∠1=∠2,∠4=∠5,∠1+∠2+∠4+∠5=180°,∴∠2+∠5=90°,即∠ECF=90°,∴▱AECF为矩形,‎ 又∵AC⊥EF.∴▱AECF是正方形.‎ ‎∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时,四边形AECF是正方形.‎ ‎40、【解答】解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=BC=CD,∠C=∠A=60°‎ ‎∴△ABD和△CBD都是等边三角形;故答案为:等边;‎ ‎(2)△BEF是等边三角形,理由:由(1)知,△ABD和△CBD都是等边三角形,‎ ‎∴∠EDB=∠DBC=∠C=60°,BD=BC ‎∵∠EBF=60°,∴∠EBD=∠CBF,‎ 在△BDE与△BCF中,,∴△BDE≌△BCF,∴BE=BF,∴△BEF是等边三角形;‎ ‎(3)不变,理由:∵△ABD是等边三角形,AB=a,∴AB边上的高=a,∴S△ABD=a2,‎ ‎∵△BDE≌△BCF,∴S四边形BFDE=S△ABD=a2,∴在运动过程中,四边形BEDF的面积不变化;‎ ‎(4)∵△BDE≌△BCF,∴DE=CF,∴DF+DE=DF+CF=3,‎ ‎∵△BEF是等边三角形,∴BF=EF,∵BF<3,∴△DEF的周长<6,‎ 当BF⊥CD时,BF=,∴△DEF的周长=3+,∴m的取值范围是3+≤m<6.‎ ‎ ‎
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