中考数学试题分类汇编考点19：三角形和角平分线

中考数学试题分类汇编考点19：三角形和角平分线

中考数学试题分类汇编：考点 19 三角形和角平分线 一．选择题（共 16 小题） 1．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作 判断． 【解答】解：如图，图中直角三角形有 Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有 3 个， 故选：C． 2．（2018•贵阳）如图，在△ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条 线段是△ABC 的中线，则该线段是（ ） A．线段 DE B．线段 BE C．线段 EF D．线段 FG 【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判 断即可得． 【解答】解：根据三角形中线的定义知线段 BE 是△ABC 的中线， 故选：B． 3．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 【解答】解：三角形具有稳定性． 故选：A． 4．（2018•长沙）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C ． 5cm ， 5cm ， 10cm D．6cm，7cm，14cm 【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三 边长，即可得出结论． 【解答】解：A、∵5+4=9，9=9， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B、8+8=16，16＞15， ∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C、5+5=10，10=10， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D、6+7=13，13＜14， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B． 5．（2018•福建）下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ） A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5 【分析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即 可求解． 【解答】解：A、1+1=2，不满足三边关系，故错误； B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误； C、2+3＞4，满足三边关系，故正确； D、2+3=5，不满足三边关系，故错误． 故选：C． 6．（2018•常德）已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可 能是（ ） A．1 B．2 C．8 D．11 【分析】根据三角形的三边关系可得 7﹣3＜x＜7+3，再解即可． 【解答】解：设三角形第三边的长为 x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3， 4＜x＜10， 故选：C． 7．（2018•昆明）在△AOC 中，OB 交 AC 于点 D，量角器的摆放如图所示，则∠ CDO 的度数为（ ） A．90° B．95° C．100°D．120° 【分析】依据 CO=AO，∠AOC=130°，即可得到∠CAO=25°，再根据∠AOB=70°， 即可得出∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°． 【解答】解：∵CO=AO，∠AOC=130°， ∴∠CAO=25°， 又∵∠AOB=70°， ∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°， 故选：B． 8．（2018•长春）如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（ ） A．44° B．40° C．39° D．38° 【分析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再利用平行 线的性质解答即可． 【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D， ∴∠DCB= 78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故选：C． 9．（2018•黄石）如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、 ∠ABC 的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ） A．75° B．80° C．85° D．90° 【分析】依据 AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠ BAC=50°，AE 平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC 中，∠C=180°﹣∠ ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°． 【解答】解：∵AD 是 BC 边上的高，∠ABC=60°， ∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE 平分∠BAC， ∴∠BAE=25°， ∴∠DAE=30°﹣25°=5°， ∵△ABC 中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°， 故选：A． 10．（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为 DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确 的是（ ） A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β 【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入 已知可得结论． 【解答】解：由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 故选：A． 11．（2018•广西）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD，若∠A=60°， ∠B=40°，则∠ECD 等于（ ） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可． 【解答】解：∵∠A=60°，∠B=40°， ∴∠ACD=∠A+∠B=100°， ∵CE 平分∠ACD， ∴∠ECD= ∠ACD=50°， 故选：C． 12．（2018•眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30°角的三 角板的一条直角边和含 45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α 的度数是（ ） A．45° B．60° C．75° D．85° 【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB 可得答案． 【解答】解：如图， ∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°， 故选：C． 13．（2018•宿迁）如图，点 D 在△ABC 边 AB 的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°， ∠C=24°，则∠D 的度数是（ ） A．24° B．59° C．60° D．69° 【分析】根据三角形外角性质求出∠DBC，根据平行线的性质得出即可． 【解答】解：∵∠A=35°，∠C=24°， ∴∠DBC=∠A+∠C=59°， ∵DE∥BC， ∴∠D=∠DBC=59°， 故选：B． 14．（2018•大庆）如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 的中点，DM 平分∠ADC，且∠ ADC=110°，则∠MAB=（ ） A．30° B．35° C．45° D．60° 【分析】作 MN⊥AD 于 N，根据平行线的性质求出∠DAB，根据角平分线的判定 定理得到∠MAB= ∠DAB，计算即可． 【解答】解：作 MN⊥AD 于 N， ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°， ∵DM 平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD， ∴MN=MC， ∵M 是 BC 的中点， ∴MC=MB， ∴MN=MB，又 MN⊥AD，MB⊥AB， ∴∠MAB= ∠DAB=35°， 故选：B． 15．（2018•常德）如图，已知 BD 是△ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线， ∠BAC=90°，AD=3，则 CE 的长为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据角平分线的定义、三角形 内角和定理求出∠C=∠DBC=∠ABD=30°，根据直角三角形的性质解答． 【解答】解：∵ED 是 BC 的垂直平分线， ∴DB=DC， ∴∠C=∠DBC， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CE=CD×cos∠C=3 ， 故选：D． 16．（2018•黄冈）如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC， AC 于点 D 和 E，∠B=60°，∠C=25°，则∠BAD 为（ ） A．50° B．70° C．75° D．80° 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠ DAC=∠C，根据三角形内角和定理求出∠BAC，计算即可． 【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=70°， 故选：B． 二．填空题（共 8 小题） 17．（2018•绵阳）如图，在△ABC 中，AC=3，BC=4，若 AC，BC 边上的中线 BE， AD 垂直相交于 O 点，则 AB= ． 【分析】利用三角形中线定义得到 BD=2，AE= ，且可判定点 O 为△ABC 的重心， 所以 AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到 BO2+OD2=4，OE2+AO2= ，等量代换 得到 BO2+ AO2=4， BO2+AO2= ，把两式相加得到 BO2+AO2=5，然后再利用勾 股定理可计算出 AB 的长． 【解答】解：∵AD、BE 为 AC，BC 边上的中线， ∴BD= BC=2，AE= AC= ，点 O 为△ABC 的重心， ∴AO=2OD，OB=2OE， ∵BE⊥AD， ∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2= ， ∴BO2+ AO2=4， BO2+AO2= ， ∴ BO2+ AO2= ， ∴BO2+AO2=5， ∴AB= = ． 故答案为 ． 18．（2018•泰州）已知三角形两边的长分别为 1、5，第三边长为整数，则第三 边的长为 5 ． 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三 边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解． 【解答】解：根据三角形的三边关系，得 第三边＞4，而＜6． 又第三条边长为整数， 则第三边是 5． 19．（2018•白银）已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1） 2=0，c 为奇数，则 c= 7 ． 【分析】根据非负数的性质列式求出 a、b 的值，再根据三角形的任意两边之和 大于第三边，两边之差小于第三边求出 c 的取值范围，再根据 c 是奇数求出 c 的 值． 【解答】解：∵a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得 a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴6＜c＜8， 又∵c 为奇数， ∴c=7， 故答案是：7． 20．（2018•永州）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边 AB、CE 相交于点 D，则∠BDC= 75° ． 【分析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可； 【解答】解：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°， ∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°， ∴∠BDC=∠ADE=75°， 故答案为 75°． 21．（2018•滨州）在△ABC 中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C= 100° ． 【分析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠A=30°，∠B=50°， ∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°． 故答案为：100° 22．（2018•德州）如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则 点 C 到射线 OA 的距离为 3 ． 【分析】过 C 作 CF⊥AO，根据勾股定理可得 CM 的长，再根据角的平分线上的 点到角的两边的距离相等可得 CF=CM，进而可得答案． 【解答】解：过 C 作 CF⊥AO， ∵OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB， ∴CM=CF， ∵OC=5，OM=4， ∴CM=3， ∴CF=3， 故答案为：3． 23．（2018•广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB 于 C，若 EC=1， 则 OF= 2 ． 【分析】作 EH⊥OA 于 H，根据角平分线的性质求出 EH，根据直角三角形的性质 求出 EF，根据等腰三角形的性质解答． 【解答】解：作 EH⊥OA 于 H， ∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA， ∴EH=EC=1，∠AOB=30°， ∵EF∥OB， ∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE， ∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE， ∴OF=EF=2， 故答案为：2． 24．（2018•南充）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C= 24 度． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平 分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵DE 是 AC 的垂直平分线， ∴EA=EC， ∴∠EAC=∠C， ∴∠FAC=∠EAC+19°， ∵AF 平分∠BAC， ∴∠FAB=∠EAC+19°， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°， 解得，∠C=24°， 故答案为：24． 三．解答题（共 2 小题） 25．（2018•淄博）已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠ C=180°． 【分析】过点 A 作 EF∥BC，利用 EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+ ∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°． 【解答】证明：过点 A 作 EF∥BC， ∵EF∥BC， ∴∠1=∠B，∠2=∠C， ∵∠1+∠2+∠BAC=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°， 即∠A+∠B+∠C=180°． 26．（2018•宜昌）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC 的外角 ∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E． （1）求∠CBE 的度数； （2）过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求∠F 的度数． 【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补 角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE= ∠CBD=65°； （2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质 即可求出∠F=∠CEB=25°． 【解答】解：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE= ∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°．