中考数学专题复习资料三角形 专题检测试卷真题汇总

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中考数学专题复习资料三角形 专题检测试卷真题汇总

三角形 专题检测试卷 ‎ 一.选择题(共15小题)‎ ‎1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为(  )‎ A.12S B.10S C.9S D.8S ‎3.如图,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A′与点A重合,点C′落在边AB上,连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为(  )‎ A.3 B.6 C.3 D.‎ ‎5.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=1,BC=2,则四边形ABCD的面积是(  )‎ A. B.3 C. D.4‎ ‎6.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=(  )‎ A.145° B.150° C.155° D.160°‎ ‎7.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为(  )‎ A.(1,1) B.(,1) C.(,) D.(1,)‎ ‎8.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,若S1=3,S3=9,则S2的值为(  )‎ A.12 B.18 C.24 D.48‎ ‎9.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE ‎10.如图,△ABC、△ADE中,C、E两点分别在AD、AB上,且BC与DE相交于F点,若∠A=90°,∠B=∠D=30°,AC=AE=1,则四边形AEFC的周长为何(  )‎ A.2 B.2 C.2+ D.2+‎ ‎11.如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:①EM=DN;②S△CDN=S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎13.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎14.在边长为正整数的△ABC中,AB=AC,且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1:2的两部分,则△ABC面积的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎15.△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2‎ ‎,那么下列结论正确的是(  )‎ A.csinA=a B.bcosB=c C.atanA=b D.ctanB=b 二.填空题(共5小题)‎ ‎16.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为   .‎ ‎17.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为   .‎ ‎18.如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是   .‎ ‎19.如图,∠AOB=60°,点O1是∠AOB平分线上一点,OO1=2,作O1A1⊥OA,O1B1⊥OB,垂足分别为点A1,B1,以A1B1为边作等边三角形A1B1O2;作O2A2⊥OA,O2B2⊥OB,垂足分别为点A2,B2,以A2B2为边作等边三角形A2B2O3;作O3A3⊥OA,O3B3⊥OB,垂足分别为点A3,B3,以A3B3为边作等边三角形A3B3O4;…按这样的方法继续下去,则△AnBnOn的面积为   (用含正整数n的代数式表示).‎ ‎20.如图,△ABC的面积为S.点P1,P2,P3,…,Pn﹣1是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且==,连接MP1,MP2,MP3,…,MPn﹣1,连接NB,NP1,NP2,…,NPn﹣1,线段MP1与NB相交于点D1,线段MP2与NP1相交于点D2,线段MP3与NP2相交于点D3,…,线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1,则△ND1P1,△ND2P2,△ND3P3,…,△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是   .(用含有S与n的式子表示)‎ 三.解答题(共8小题)‎ ‎21.如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:△ADF≌△BCE.‎ ‎22.已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.‎ ‎(1)如图1,求证:AE=BD;‎ ‎(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.‎ ‎23.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.‎ ‎(1)如图1,若AB=4,BE=5,求AE的长;‎ ‎(2)如图2,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD、CF,当AF=DF时,求证:DC=BC.‎ ‎24.如图所示,在四边形ABCD中,AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE=CF,BE=DF.求证:‎ ‎(1)△ABE≌△CDF;‎ ‎(2)四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎25.我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在△ABC中,AO是BC边上的中线,AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值,可记为AB△AC=AO2﹣BO2.‎ ‎(1)在图1中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是BC边上的中线,则AB△AC=   ,OC△OA=   ;‎ ‎(2)如图2,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,求AB△AC、BA△BC的值;‎ ‎(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AO是BC边上的中线,点N在AO上,且ON=AO.已知AB△AC=14,BN△BA=10,求△ABC的面积.‎ ‎26.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.‎ ‎(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;‎ ‎(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.‎ ‎27.如图,直角△ABC中,∠A为直角,AB=6,AC=8.点P,Q,R分别在AB,BC,CA边上同时开始作匀速运动,2秒后三个点同时停止运动,点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动,点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动,点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动,在运动过程中:‎ ‎(1)求证:△APR,△BPQ,△CQR的面积相等;‎ ‎(2)求△PQR面积的最小值;‎ ‎(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间,是否存在t,使∠‎ PQR=90°?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎28.△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,过点A作直线MN,使MN∥BC,点D在直线MN上,作射线BD,将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E.‎ ‎(1)如图①,当α=60°,且点D在射线AN上时,直接写出线段AB,AD,AE的数量关系.‎ ‎(2)如图②,当α=45°,且点D在射线AN上时,直写出线段AB、AD、AE的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3)当α=30°时,若点D在射线AM上,∠ABE=15°,AD=﹣1,请直接写出线段AE的长度.‎ 参考答案与试题解析 一.选择题(共15小题)‎ ‎1.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【解答】解:连接CP并延长,交AB于D,‎ ‎∵P是Rt△ABC的重心,‎ ‎∴CD是△ABC的中线,PD=CD,‎ ‎∵∠C=90°,‎ ‎∴CD=AB=3,‎ ‎∵AC=BC,CD是△ABC的中线,‎ ‎∴CD⊥AB,‎ ‎∴PD=1,即点P到AB所在直线的距离等于1,‎ 故选:A.‎ ‎2.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM较长直角边,AM=2EF,则正方形ABCD的面积为(  )‎ A.12S B.10S C.9S D.8S ‎【解答】解:设AM=2a.BM=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2‎ 由题意可知EF=(2a﹣b)﹣2(a﹣b)=2a﹣b﹣2a+2b=b,‎ ‎∵AM=2EF,‎ ‎∴2a=2b,‎ ‎∴a=b,‎ ‎∵正方形EFGH的面积为S,‎ ‎∴b2=S,‎ ‎∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=9S,‎ 故选:C.‎ ‎3.如图,已知圆柱的底面直径BC=,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长.‎ 在RT△ADC中,∠ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=3,‎ 所以AC=3,‎ ‎∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6,‎ 故选:D.‎ ‎4.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起,其中点A′与点A重合,点C′落在边AB上,连接B′C.若∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,则B′C的长为(  )‎ A.3 B.6 C.3 D.‎ ‎【解答】解:∵∠ACB=∠AC′B′=90°,AC=BC=3,‎ ‎∴AB==3,∠CAB=45°,‎ ‎∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同,‎ ‎∴∠C′AB′=∠CAB=45°,AB′=AB=3,‎ ‎∴∠CAB′=90°,‎ ‎∴B′C==3,‎ 故选:A.‎ ‎5.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠B=60°,AD=1,BC=2,则四边形ABCD的面积是(  )‎ A. B.3 C. D.4‎ ‎【解答】解:如图所示,延长BA,CD交于点E,‎ ‎∵∠A=∠C=90°,∠B=60°,‎ ‎∴∠E=30°,‎ ‎∴Rt△ADE中,AE===,‎ Rt△BCE中,CE=tan60°×BC=×2=2,‎ ‎∴四边形ABCD的面积 ‎=S△BCE﹣S△ADE ‎=×2×2﹣×1×‎ ‎=2﹣‎ 故选:A.‎ ‎ [来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎6.如图,在△ABC中,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,则∠BAD=(  )‎ A.145° B.150° C.155° D.160°‎ ‎【解答】解:在△ABC中,∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∠BAC=x,∠B=2x,∠C=3x,‎ ‎∴6x=180°,‎ ‎∴x=30°,‎ ‎∵∠BAD=∠B+∠C=5x=150°,‎ 故选:B.‎ ‎7.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为(  )‎ A.(1,1) B.(,1) C.(,) D.(1,)‎ ‎【解答】解:如图所示,过B作BC⊥AO于C,则 ‎∵△AOB是等边三角形,‎ ‎∴OC=AO=1,‎ ‎∴Rt△BOC中,BC==,‎ ‎∴B(1,),‎ 故选:D.‎ ‎8.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,若S1=3,S3=9,则S2的值为(  )‎ A.12 B.18 C.24 D.48‎ ‎【解答】解:∵S1=3,S3=9,‎ ‎∴AB=,CD=3,‎ 过A作AE∥CD交BC于E,‎ 则∠AEB=∠DCB,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形,‎ ‎∴CE=AD,AE=CD=3,‎ ‎∵∠ABC+∠DCB=90°,‎ ‎∴∠AEB+∠ABC=90°,‎ ‎∴∠BAE=90°,‎ ‎∴BE==2,‎ ‎∵BC=2AD,‎ ‎∴BC=2BE=4,‎ ‎∴S2=(4)2=48,‎ 故选:D.‎ ‎9.如图,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(  )‎ A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE ‎【解答】解:∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB,‎ ‎∵以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,‎ ‎∴BE=BC,‎ ‎∴∠ACB=∠BEC,‎ ‎∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,‎ ‎∴∠A=∠EBC,‎ 故选:C.‎ ‎10.如图,△ABC、△ADE中,C、E两点分别在AD、AB上,且BC与DE相交于F点,若∠A=90°,∠B=∠D=30°,AC=AE=1,则四边形AEFC的周长为何(  )‎ A.2 B.2 C.2+ D.2+‎ ‎【解答】解:∵∠A=90°,∠B=∠D=30°,‎ ‎∴∠AED=∠ACB=60°,‎ ‎∵∠AED=∠B+∠EFB=∠ACB=∠CFD+∠D=60°,‎ ‎∴∠EFB=∠CFD=30°,‎ ‎∴∠B=∠EFB=∠CFD=∠D,‎ ‎∴BE=EF=CF=CD,‎ ‎∴四边形AEFC的周长=AB+AC,‎ ‎∵∠A=90°,AE=AC=1,‎ ‎∴AB=AD=,‎ ‎∴四边形AEFC的周长=2.‎ 故选:B.‎ ‎11.如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵点O是△ABC的重心,‎ ‎∴OC=CE,‎ ‎∵△ABC是直角三角形,‎ ‎∴CE=BE=AE,‎ ‎∵∠B=30°,‎ ‎∴∠FAE=∠B=30°,∠BAC=60°,‎ ‎∴∠FAE=∠CAF=30°,△ACE是等边三角形,‎ ‎∴CM=CE,‎ ‎∴OM=CE﹣CE=CE,即OM=AE,‎ ‎∵BE=AE,‎ ‎∴EF=AE,‎ ‎∵EF⊥AB,‎ ‎∴∠AFE=60°,‎ ‎∴∠FEM=30°,‎ ‎∴MF=EF,‎ ‎∴MF=AE,‎ 故选:D.‎ ‎12.如图,在钝角△ABC中,分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,EM平分∠AEB交AB于点M,取BC中点D,AC中点N,连接DN、DE、DF.下列结论:①EM=DN;②S△CDN=S四边形ABDN;③DE=DF;④DE⊥DF.其中正确的结论的个数是(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【解答】解:∵D是BC中点,N是AC中点,‎ ‎∴DN是△ABC的中位线,‎ ‎∴DN∥AB,且DN=;‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB交AB于点M,‎ ‎∴M是AB的中点,‎ ‎∴EM=,‎ 又∵DN=,‎ ‎∴EM=DN,‎ ‎∴结论①正确;‎ ‎∵DN∥AB,‎ ‎∴△CDN∽ABC,‎ ‎∵DN=,‎ ‎∴S△CDN=S△ABC,‎ ‎∴S△CDN=S四边形ABDN,‎ ‎∴结论②正确;‎ 如图1,连接MD、FN,,‎ ‎∵D是BC中点,M是AB中点,‎ ‎∴DM是△ABC的中位线,‎ ‎∴DM∥AC,且DM=;‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,‎ ‎∴FN=,‎ 又∵DM=,‎ ‎∴DM=FN,‎ ‎∵DM∥AC,DN∥AB,‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形,‎ ‎∴∠AMD=∠AND,‎ 又∵∠EMA=∠FNA=90°,‎ ‎∴∠EMD=∠DNF,‎ 在△EMD和△DNF中,‎ ‎∴△EMD≌△DNF,‎ ‎∴DE=DF,‎ ‎∴结论③正确;‎ 如图2,连接MD,EF,NF,,[来源:1]‎ ‎∵三角形ABE是等腰直角三角形,EM平分∠AEB,‎ ‎∴M是AB的中点,EM⊥AB,‎ ‎∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°,‎ ‎∵D是BC中点,M是AB中点,‎ ‎∴DM是△ABC的中位线,‎ ‎∴DM∥AC,且DM=;‎ ‎∵三角形ACF是等腰直角三角形,N是AC的中点,‎ ‎∴FN=,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°,‎ 又∵DM=,‎ ‎∴DM=FN=FA,‎ ‎∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD,‎ ‎∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC ‎=360°﹣45°﹣45°﹣(180°﹣∠AMD)‎ ‎=90°+∠AMD ‎∴∠EMD=∠EAF,‎ 在△EMD和△∠EAF中,‎ ‎∴△EMD∽△∠EAF,‎ ‎∴∠MED=∠AEF,‎ ‎∵∠MED+∠AED=45°,‎ ‎∴∠AED+∠AEF=45°,‎ 即∠DEF=45°,‎ 又∵DE=DF,‎ ‎∴∠DFE=45°,‎ ‎∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°,‎ ‎∴DE⊥DF,‎ ‎∴结论④正确.‎ ‎∴正确的结论有4个:①②③④.‎ 故选:D.‎ ‎13.在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q,下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线(箭头表示行进的方向),则路程最长的行进路线图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:如图A中、延长AC、BE交于S,‎ ‎∵∠CAB=∠EDB=45°,‎ ‎∴AS∥ED,则SC∥DE.‎ 同理SE∥CD,‎ ‎∴四边形SCDE是平行四边形,‎ ‎∴SE=CD,DE=CS,‎ 即走的路线长是:AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS;‎ 如图B中、延长AF、BH交于S,作EG∥AS交BS于E.‎ 显然AF+FG+GH+HB<SA+SB.‎ 如图C中、延长AI到S,使得∠SBA=70°,SB交KM于T.‎ 显然AI+IK+KM+BM>SA+SB,‎ 如图D中、‎ 显然AN+NQ+QP+PB>SA+SB.‎ 如图D中,延长AN交BP的延长线于T.作∠RQB=45°,‎ 显然:AN+NQ+QP+PB>AN+NQ+QR=RB,‎ 即AN+NQ+PQ+PB>AI+IK+KM+MB,‎ 综上所述,D选项的所走的线路最长.‎ 故选:D.[来源:1]‎ ‎14.在边长为正整数的△ABC中,AB=AC,且AB边上的中线CD将△ABC的周长分为1:2的两部分,则△ABC面积的最小值为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解答】解:设这个等腰三角形的腰为x,底为y,分为的两部分边长分别为n和2n,得 或,‎ 解得或,‎ ‎∵2×<(此时不能构成三角形,舍去)‎ ‎∴取,其中n是3的倍数 ‎∴三角形的面积S△=××=n2,对于S△=n2=n2,‎ 当n>0时,S△随着n的增大而增大,故当n=3时,S△=取最小.‎ 故选:C.‎ ‎15.△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,如果a2+b2=c2,那么下列结论正确的是(  )‎ A.csinA=a B.bcosB=c C.atanA=b D.ctanB=b ‎【解答】解:∵a2+b2=c2,‎ ‎∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°.‎ A、sinA=,则csinA=a.故本选项正确;‎ B、cosB=,则cosBc=a.故本选项错误;‎ C、tanA=,则=b.故本选项错误;‎ D、tanB=,则atanB=b.故本选项错误.‎ 故选:A.‎ 二.填空题(共5小题)‎ ‎16.我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为 10 .‎ ‎【解答】解:(14×14﹣2×2)÷8‎ ‎=(196﹣4)÷8‎ ‎=192÷8‎ ‎=24,‎ ‎24×4+2×2‎ ‎=96+4‎ ‎=100,‎ ‎=10.‎ 答:正方形EFGH的边长为10.‎ 故答案为:10.‎ ‎17.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为 18 .‎ ‎【解答】解:如图,作AM⊥BC、AN⊥CD,交CD的延长线于点N;‎ ‎∵∠BAD=∠BCD=90°[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎∴四边形AMCN为矩形,∠MAN=90°;‎ ‎∵∠BAD=90°,‎ ‎∴∠BAM=∠DAN;‎ 在△ABM与△ADN中,‎ ‎∴△ABM≌△ADN(AAS),‎ ‎∴AM=AN(设为λ);△ABM与△ADN的面积相等;‎ ‎∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积;‎ 由勾股定理得:AC2=AM2+MC2,而AC=6;‎ ‎∴2λ2=36,λ2=18,‎ 方法二:将三角形ADC绕点A顺时针旋转90度得到△ABC′,只要证明△ACC′是等腰直角三角形,然后面积可用AC×AC′来表示.‎ 故答案为:18.‎ ‎18.如图,在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,请你添加一个条件(不添加字母和辅助线),使Rt△ABC≌Rt△DCB,你添加的条件是 AB=DC .‎ ‎【解答】解:∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等,‎ ‎∴在Rt△ABC与Rt△DCB中,已知∠A=∠D=90°,使Rt△ABC≌Rt△DCB,添加的条件是:AB=DC.‎ 故答案为:AB=DC.‎ ‎19.如图,∠AOB=60°,点O1是∠AOB平分线上一点,OO1=2,作O1A1⊥OA,O1B1⊥OB,垂足分别为点A1,B1,以A1B1为边作等边三角形A1B1O2;作O2A2⊥OA,O2B2⊥OB,垂足分别为点A2,B2,以A2B2为边作等边三角形A2B2O3;作O3A3⊥OA,O3B3⊥OB,垂足分别为点A3,B3,以A3B3为边作等边三角形A3B3O4;…按这样的方法继续下去,则△AnBnOn的面积为 或 (用含正整数n的代数式表示).‎ ‎【解答】解:如图,由题意得:∠A1OC1=∠B1OO1=30°,OO1=2,‎ ‎∠OA1O1=∠OB1O1=90°,‎ ‎∴A1O1=B1O1=OO1=1,‎ ‎∴OA1=OB1=,‎ ‎∵∠AOB=60°,‎ ‎∴△A1OB1是等边三角形,‎ ‎∴A1B1=,‎ 设OO4分别与A1B1,A2B2,A3B3的交点为C1,C2,C3,‎ ‎∴高OC1=,O1C1=2﹣=,‎ ‎∴△A1B1O1的面积为A1B1×O1C1=,‎ 易证得△A1B1O1∽△A2B2O2,‎ 同理可得: ==×,…,‎ ‎==×=(或).‎ 故答案为: 或.‎ ‎20.如图,△ABC的面积为S.点P1,P2,P3,…,Pn﹣1是边BC的n等分点(n≥3,且n为整数),点M,N分别在边AB,AC上,且==,连接MP1,MP2,MP3,…,MPn﹣1,连接NB,NP1,NP2,…,NPn﹣1,线段MP1与NB相交于点D1,线段MP2与NP1相交于点D2,线段MP3与NP2相交于点D3,…,线段MPn﹣1与NPn﹣2相交于点Dn﹣1,则△ND1P1,△ND2P2,△ND3P3,…,△NDn﹣1Pn﹣1的面积和是 •S .(用含有S与n的式子表示)‎ ‎【解答】解:连接MN,设BN交MP1于O1,MP2交NP1于O2,MP3交NP2于O3.‎ ‎∴MN∥BC,‎ ‎∵点P1,P2,P3,…,Pn﹣1是边BC的n等分点,‎ ‎∴MN=BP1=P1P2=P2P3,‎ ‎∴四边形MNP1B,四边形MNP2P1,四边形MNP3P2都是平行四边形,‎ 易知S△ABN=•S,S△BCN=•S,S△MNB=•S,‎ ‎∴===•S,‎ ‎∴S阴=S△NBC﹣(n﹣1)•﹣=•S﹣(n﹣1)••S﹣S=•S,‎ 故答案为•S.‎ 三.解答题(共8小题)‎ ‎21.如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:△ADF≌△BCE.‎ ‎【解答】解:∵AE=BF,‎ ‎∴AE+EF=BF+EF,‎ ‎∴AF=BE,‎ 在△ADF与△BCE中,‎ ‎∴△ADF≌△BCE(SAS)‎ ‎22.已知:△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.‎ ‎(1)如图1,求证:AE=BD;‎ ‎(2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.‎ ‎【解答】解:(1)∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形,‎ ‎∠ACB=∠DCE=90°,‎ ‎∴AC=BC,DC=EC,‎ ‎∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,‎ ‎∴∠BCD=∠ACE,‎ 在△ACE与△BCD中,‎ ‎∴△ACE≌△BCD(SAS),‎ ‎∴AE=BD,‎ ‎(2)∵AC=DC,‎ ‎∴AC=CD=EC=CB,‎ ‎△ACB≌△DCE(SAS);‎ 由(1)可知:∠AEC=∠BDC,∠EAC=∠DBC ‎∴∠DOM=90°,‎ ‎∵∠AEC=∠CAE=∠CBD,‎ ‎∴△EMC≌△BCN(ASA),‎ ‎∴CM=CN,‎ ‎∴DM=AN,‎ ‎△AON≌△DOM(AAS),‎ ‎∵DE=AB,AO=DO,‎ ‎∴△AOB≌△DOE(HL)‎ ‎23.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.‎ ‎(1)如图1,若AB=4,BE=5,求AE的长;‎ ‎(2)如图2,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD、CF,当AF=DF时,求证:DC=BC.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,‎ ‎∴AC=BC=AB=4,‎ ‎∵BE=5,‎ ‎∴CE==3,‎ ‎∴AE=4﹣3=1;‎ ‎(2)∵∠ACB=90°,AC=BC,‎ ‎∴∠CAB=45°,‎ ‎∵AF⊥BD,‎ ‎∴∠AFB=∠ACB=90°,‎ ‎∴A,F,C,B四点共圆,‎ ‎∴∠CFB=∠CAB=45°,‎ ‎∴∠DFC=∠AFC=135°,‎ 在△ACF与△DCF中,,‎ ‎∴△ACF≌△DCF,‎ ‎∴CD=AC,‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴DC=BC.‎ ‎24.如图所示,在四边形ABCD中,AE⊥BD于点E,CF⊥‎ BD于点F,AE=CF,BE=DF.求证:‎ ‎(1)△ABE≌△CDF;‎ ‎(2)四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎【解答】解:(1)∵AE⊥BD,CF⊥BD,‎ ‎∴∠AEB=∠DFC=90°,‎ 在△ABE与△CDF中,‎ ‎∴△ABE≌△CDF(SAS);‎ ‎(2)∵△ABE≌△CDF,‎ ‎∴AB=CD,∠ABE=∠CDF,‎ ‎∴AB∥CD,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎25.我们规定:三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如图1,在△ABC中,AO是BC边上的中线,AB与AC的“极化值”就等于AO2﹣BO2的值,可记为AB△AC=AO2﹣BO2.‎ ‎(1)在图1中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,AO是BC边上的中线,则AB△AC= 0 ,OC△OA= 7 ;‎ ‎(2)如图2,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,求AB△AC、BA△BC的值;‎ ‎(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AO是BC边上的中线,点N在AO上,且ON=AO.已知AB△AC=14,BN△BA=10,求△ABC的面积.‎ ‎【解答】解:①∵∠BAC=90°,AB=8,AC=6,‎ ‎∴BC=10,‎ ‎∵点O是BC的中点,‎ ‎∴OA=OB=OC=BC=5,‎ ‎∴AB△AC=AO2﹣BO2=25﹣25=0,‎ ‎②如图1,‎ 取AC的中点D,连接OD,‎ ‎∴CD=AC=3,‎ ‎∵OA=OC=5,‎ ‎∴OD⊥AC,‎ 在Rt△COD中,OD==4,‎ ‎∴OC△OA=OD2﹣CD2=16﹣9=7,‎ 故答案为0,7;‎ ‎(2)①如图2,取BC的中点O,连接AO,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AO⊥BC,‎ 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,‎ ‎∴∠ABC=30°,‎ 在Rt△AOB中,AB=4,∠ABC=30°,‎ ‎∴AO=2,OB=2,‎ ‎∴AB△AC=AO2﹣BO2=4﹣12=﹣8,‎ ‎②取AC的中点D,连接BD,‎ ‎∴AD=CD=AC=2,‎ 过点B作BE⊥AC交CA的延长线于E,‎ 在Rt△ABE中,∠BAE=180°﹣∠BAC=60°,‎ ‎∴∠ABE=30°,‎ ‎∵AB=4,‎ ‎∴AE=2,BE=2,‎ ‎∴DE=AD+AE=4,‎ 在Rt△BED中,根据勾股定理得,BD===2,‎ ‎∴BA△BC=BD2﹣CD2=24;‎ ‎(3)如图3,‎ 设ON=x,OB=OC=y,‎ ‎∴BC=2y,OA=3x,‎ ‎∵AB△AC=14,‎ ‎∴OA2﹣OB2=14,‎ ‎∴9x2﹣y2=14①,‎ 取AN的中点D,连接BD,‎ ‎∴AD=DN=AN=×OA=ON=x,‎ ‎∴OD=ON+DN=2x,‎ 在Rt△BOD中,BD2=OB2+OD2=y2+4x2,‎ ‎∵BN△BA=10,‎ ‎∴BD2﹣DN2=10,‎ ‎∴y2+4x2﹣x2=10,‎ ‎∴3x2+y2=10②‎ 联立①②得,或(舍),‎ ‎∴BC=4,OA=3,‎ ‎∴S△ABC=BC×AO=6.‎ ‎26.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分别是BG,AC的中点.‎ ‎(1)求证:DE=DF,DE⊥DF;‎ ‎(2)连接EF,若AC=10,求EF的长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵AD⊥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°,‎ 在△BDG和△ADC中,‎ ‎∴△BDG≌△ADC,‎ ‎∴BG=AC,∠BGD=∠C,‎ ‎∵∠ADB=∠ADC=90°,E,F分别是BG,AC的中点,‎ ‎∴DE=BG=EG,DF=AC=AF,‎ ‎∴DE=DF,∠EDG=∠EGD,∠FDA=∠FAD,‎ ‎∴∠EDG+∠FDA=90°,‎ ‎∴DE⊥DF;‎ ‎(2)解:∵AC=10,‎ ‎∴DE=DF=5,‎ 由勾股定理得,EF==5.‎ ‎27.如图,直角△ABC中,∠A为直角,AB=6,AC=8.点P,Q,R分别在AB,BC,CA边上同时开始作匀速运动,2秒后三个点同时停止运动,点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动,点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动,点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动,在运动过程中:‎ ‎(1)求证:△APR,△BPQ,△CQR的面积相等;‎ ‎(2)求△PQR面积的最小值;‎ ‎(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间,是否存在t,使∠PQR=90°?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)如图,在Rt△ABC中,AB=6,AC=8,根据勾股定理得,BC=10,‎ ‎∴sin∠B===,sin∠C=,‎ 过点Q作QE⊥AB于E,‎ 在Rt△BQE中,BQ=5t,‎ ‎∴sin∠B==,‎ ‎∴QE=4t,‎ 过点Q作QD⊥AC于D,‎ 在Rt△CDQ中,CQ=BC﹣BQ=10﹣5t,‎ ‎∴QD=CQ•sin∠C=(10﹣5t)=3(2﹣t),‎ 由运动知,AP=3t,CR=4t,‎ ‎∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3(2﹣t),AR=AC﹣CR=8﹣4t=4(2﹣t),‎ ‎∴S△APR=AP•AR=×3t×4(2﹣t)=6t(2﹣t),‎ S△BPQ=BP•QE=×3(2﹣t)×4t=6t(2﹣t),‎ S△CQR=CR•QD=×4t×3(2﹣t)=6t(2﹣t),‎ ‎∴S△APR=S△BPQ=S△CQR,‎ ‎∴△APR,△BPQ,△CQR的面积相等;‎ ‎(2)由(1)知,S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t(2﹣t),‎ ‎∵AB=6,AC=8,‎ ‎∴S△PQR=S△ABC﹣(S△APR+S△BPQ+S△CQR)‎ ‎=×6×8﹣3×6t(2﹣t)=24﹣18(2t﹣t2)=18(t﹣1)2+6,‎ ‎∵0≤t≤2,‎ ‎∴当t=1时,S△PQR最小=6;‎ ‎(3)存在,方法1、如图1,‎ 过点R作RE⊥BC于E,过点P作PD⊥BC于D,‎ ‎∴∠REQ=∠QDP=90°,‎ ‎∴∠ERQ+∠EQR=90°,‎ ‎∵∠PQR=90°,‎ ‎∴∠EQR+∠PQD=90°,‎ ‎∴∠ERQ=∠PQD,‎ ‎∴△REQ∽△QDP,‎ ‎∴RE×DP=QD×EQ,‎ 由运动知,CR=4t,BQ=5t,AP=3t,‎ ‎∴BP=6﹣3t,‎ 易证,△BDP∽△BAC,‎ ‎∴DP=(6﹣3t),BD=(6﹣3t),‎ ‎∴DQ=BQ﹣BD=5t﹣(6﹣3t)=,‎ 同理:EQ=,RE=,‎ ‎∴×(6﹣3t)=×,‎ ‎∴t=1或秒;‎ 方法2、由点P,Q,R的运动速度知,运动1秒时,点P,Q,R分别在AB,BC,AC的中点,此时,四边形APQR是矩形,即:t=1秒时,∠PQR=90°,‎ 由(1)知,QE=4t,QD=3(2﹣t),AP=3t,CR=4t,AR=4(2﹣t),‎ ‎∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3(2﹣t),AR=AC﹣CR=8﹣4t=4(2﹣t),‎ 过点Q作QD⊥AC于D,作QE⊥AB于E,‎ ‎∵∠A=90°,‎ ‎∴四边形APQD是矩形,‎ ‎∴AE=DQ=3(2﹣t),AD=QE=4t,‎ ‎∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4(2﹣t)|=4|2t﹣2|,PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3(2﹣t)|=3|2t﹣2|‎ ‎∵∠DQE=90°,∠PQR=90°,‎ ‎∴∠DQR=∠EQP,‎ ‎∴tan∠DQR=tan∠EQP,‎ 在Rt△DQR中,tan∠DQR==,‎ 在Rt△EQP中,tan∠EQP==,‎ ‎∴16t=9(2﹣t),‎ ‎∴t=.‎ 即:t=1或秒时,∠PQR=90°.‎ ‎28.△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,过点A作直线MN,使MN∥BC,点D在直线MN上,作射线BD,将射线BD绕点B顺时针旋转角α后交直线AC于点E.‎ ‎(1)如图①,当α=60°,且点D在射线AN上时,直接写出线段AB,AD,AE的数量关系.‎ ‎(2)如图②,当α=45°,且点D在射线AN上时,直写出线段AB、AD、AE的数量关系,并说明理由.‎ ‎(3)当α=30°时,若点D在射线AM上,∠ABE=15°,AD=﹣1,请直接写出线段AE的长度.‎ ‎【解答】解:(1)∵当α=60°时,∠ABC=∠DBE=60°,‎ ‎∴∠ABD=∠CBE,‎ 又∵AB=AC,‎ ‎∴△ABC是等边三角形,‎ ‎∴AB=CB,∠ACB=60°,‎ ‎∴∠BCE=120°,‎ ‎∵MN∥BC,‎ ‎∴∠BAD=180°﹣∠ABC=120°,‎ ‎∴∠BAD=∠BCE,‎ ‎∴△BAD≌△BCE,‎ ‎∴AD=CE,‎ ‎∴AE=AC+CE=AB+AD;‎ ‎(2)AE=AB+AD.‎ 理由:当α=45°时,∠ABC=∠DBE=45°,‎ ‎∴∠ABD=∠CBE,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°,∠BAC=90°,‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形,[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴BC=AB,‎ ‎∵MN∥BC,‎ ‎∴∠BAD=180°﹣∠ABC=135°,‎ ‎∵∠BCE=180°﹣∠ACB=135°,‎ ‎∴∠BAD=∠BCE,‎ ‎∴△BAD∽△BCE,‎ ‎∴CE=AD,‎ ‎∴AE=AC+CE=AB+AD;‎ ‎(3)线段AE的长度为﹣1或2﹣.‎ 由题可得,∠ABC=∠DBE=∠BAD=30°,‎ 分两种情况:‎ ‎①如图所示,当点E在线段AC上时,‎ ‎∵∠ABE=15°=∠ABC=∠DBE,‎ ‎∴∠ABD=∠ABE=15°,‎ 在BE上截取BF=BD,易得△ABD≌△ABF,‎ ‎∴AD=AF=﹣1,∠ABC=∠BAD=∠BAF=30°,‎ ‎∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=15°+30°=45°,‎ 又∵∠AEF=∠CBE+∠C=15°+30°=45°,‎ ‎∴∠AFE=∠AEF,‎ ‎∴AE=AF=﹣1;‎ ‎②如图所示,当点E在CA的延长线上时,‎ 过D作DF⊥AB于F,过E作EG⊥BC于G,‎ ‎∵AD=﹣1,∠DAF=30°,‎ ‎∴DF=,AF=,‎ ‎∵∠DBF=15°+30°=45°,‎ ‎∴∠DBF=∠BDF,‎ ‎∴BF=DF=,AB=+=1=AC,‎ 易得△ABC中,BC=,‎ ‎∵∠EBG=15°+30°=45°,‎ ‎∴∠BEG=∠EBG,‎ 设BG=EG=x,则CG=﹣x,‎ ‎∵Rt△CEG中,tanC=,即=,‎ ‎∴x==EG,‎ ‎∴CE=2EG=3﹣,‎ ‎∴AE=CE﹣AC=3﹣﹣1=2﹣‎ 综上所述所,线段AE的长度为﹣1或2﹣.‎
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