天水市中考数学试卷及答案解析

天水市中考数学试卷及答案解析

‎2017年甘肃省天水市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy‎2 ‎C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1‎ ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．不可能事件发生的概率为0‎ B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 ‎5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 ‎000kg的煤所产生的能量．把130 000 ‎000kg用科学记数法可表示为（　　）‎ A．13×‎107kg B．0.13×‎108kg C．1.3×‎107kg D．1.3×‎‎108kg ‎6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．关于的叙述不正确的是（　　）‎ A． =2‎ B．面积是8的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 ‎8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（　　）‎ ‎①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．‎ A．①② B．②③ C．①③ D．都不是 ‎9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（　　）‎ A．2π B．π C．π D．π ‎10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=‎4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以‎1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．若式子有意义，则x的取值范围是　 　．‎ ‎12．分解因式：x3﹣x=　 　．‎ ‎13．定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2=　 　．‎ ‎14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=　 　．‎ ‎15．观察下列的“蜂窝图”‎ 则第n个图案中的“”的个数是　 　．（用含有n的代数式表示）‎ ‎16．如图，路灯距离地面‎8米，身高‎1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）‎20米的A处，则小明的影子AM长为　 　米．‎ ‎17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是　 　．‎ ‎18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠‎ ‎0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：‎ ‎①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是　 　．（只填写序号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分）‎ ‎19．（1）计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0‎ ‎（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．‎ ‎20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）‎ ‎21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．‎ ‎ 类别 ‎ 频数（人数）‎ ‎ 频率 ‎ 小说 ‎ ‎ ‎ 0.5‎ ‎ 戏剧 ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ 散文 ‎ 10‎ ‎ 0.25‎ ‎ 其他 ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ 1‎ 根据图表提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）八年级一班有多少名学生？‎ ‎（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；‎ ‎（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．‎ ‎　‎ 四、解答题（共50分）‎ ‎22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．‎ ‎（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；‎ ‎（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．‎ ‎23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．‎ ‎24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，‎ ‎（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？‎ ‎（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？‎ ‎25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．‎ ‎26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣‎3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=‎4AC．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；‎ ‎（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；‎ ‎（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；‎ ‎（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年甘肃省天水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1．若x与3互为相反数，则|x+3|等于（　　）‎ A．0 B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎【考点】15：绝对值；14：相反数．‎ ‎【分析】先求出x的值，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵x与3互为相反数，‎ ‎∴x=﹣3，‎ ‎∴|x+3|=|﹣3+3|=0．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】U2：简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．‎ ‎【解答】解：从上面看易得横着的“”字，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．下列运算正确的是（　　）‎ A．2x+y=2xy B．x•2y2=2xy‎2 ‎C．2x÷x2=2x D．4x﹣5x=﹣1‎ ‎【考点】4H：整式的除法；35：合并同类项；49：单项式乘单项式．‎ ‎【分析】直接利用合并同类项法则和整式的乘除运算法则分别化简求出答案．‎ ‎【解答】解：A、2x+y无法计算，故此选项错误；‎ B、x•2y2=2xy2，正确；‎ C、2x÷x2=，故此选项错误；‎ D、4x﹣5x=﹣x，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．下列说法正确的是（　　）‎ A．不可能事件发生的概率为0‎ B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次 ‎【考点】X3：概率的意义．‎ ‎【分析】根据不可能事件是指在任何条件下不会发生，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，发生的机会大于0并且小于1，进行判断．‎ ‎【解答】解：A、不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；‎ B、随机事件发生的概率P为0＜P＜1，故本选项错误；‎ C、概率很小的事件，不是不发生，而是发生的机会少，故本选项错误；‎ D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，是随机事件，正面朝上的次数不确定是多少次，故本选项错误；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎5．我国平均每平方千米的土地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130 000 ‎000kg的煤所产生的能量．把130 000 ‎000kg用科学记数法可表示为（　　）‎ A．13×‎107kg B．0.13×‎108kg C．1.3×‎107kg D．1.3×‎‎108kg ‎【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜‎ ‎10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：130 000 ‎000kg=1.3×‎108kg．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．‎ ‎【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值．‎ ‎【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，‎ ‎∴cos∠B==．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．关于的叙述不正确的是（　　）‎ A． =2‎ B．面积是8的正方形的边长是 C．是有理数 D．在数轴上可以找到表示的点 ‎【考点】27：实数．‎ ‎【分析】=2，‎ 是无理数，可以在数轴上表示，还可以表示面积是8的正方形的边长，由此作判断．‎ ‎【解答】解：A、=2，所以此选项叙述正确；‎ B、面积是8的正方形的边长是，所以此选项叙述正确；‎ C、=2，它是无理数，所以此选项叙述不正确；‎ D、数轴既可以表示有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上可以找到表示的点；所以此选项叙述正确；‎ 本题选择叙述不正确的，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（　　）‎ ‎①函数y=x；②函数y=x2；③函数y=．‎ A．①② B．②③ C．①③ D．都不是 ‎【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形．‎ ‎【分析】函数①③是中心对称图形，对称中心是原点．‎ ‎【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数①③是中心对称图形．‎ 故选C ‎　‎ ‎9．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（　　）‎ A．2π B．π C．π D．π ‎【考点】M5：圆周角定理；M2：垂径定理；MO：扇形面积的计算．‎ ‎【分析】根据垂径定理求得CE=ED=2，然后由圆周角定理知∠DOE=60°，然后通过解直角三角形求得线段OD、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC．‎ ‎【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，‎ ‎∴CE=ED=2，‎ 又∵∠BCD=30°，‎ ‎∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，‎ ‎∴OE=DE•cot60°=2×=2，OD=2OE=4，‎ ‎∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE•CE=﹣2+2=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=‎4cm，∠B=30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以‎1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】E7：动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH，利用∠B=30°可计算出AH=AB=2，BH=AH=2，则BC=2BH=4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，DQ=BQ=x，利用三角形面积公式得到y=x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4，DQ=CQ=（8﹣x），利用三角形面积公式得y=﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．‎ ‎【解答】解：作AH⊥BC于H，‎ ‎∵AB=AC=‎4cm，‎ ‎∴BH=CH，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴AH=AB=2，BH=AH=2，‎ ‎∴BC=2BH=4，‎ ‎∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为‎1cm/s，‎ ‎∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，‎ 当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ=x，BP=x，‎ 在Rt△BDQ中，DQ=BQ=x，‎ ‎∴y=•x•x=x2，‎ 当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ=8﹣x，BP=4‎ 在Rt△BDQ中，DQ=CQ=（8﹣x），‎ ‎∴y=•（8﹣x）•4=﹣x+8，‎ 综上所述，y=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．若式子有意义，则x的取值范围是　x≥﹣2且x≠0　．‎ ‎【考点】72：二次根式有意义的条件；62：分式有意义的条件．‎ ‎【分析】分式中：分母不为零、分子的被开方数是非负数．‎ ‎【解答】解：根据题意，得 x+2≥0，且x≠0，‎ 解得x≥﹣2且x≠0．‎ 故答案是：x≥﹣2且x≠0．‎ ‎　‎ ‎12．分解因式：x3﹣x=　x（x+1）（x﹣1）　．‎ ‎【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．‎ ‎【解答】解：x3﹣x，‎ ‎=x（x2﹣1），‎ ‎=x（x+1）（x﹣1）．‎ 故答案为：x（x+1）（x﹣1）．‎ ‎　‎ ‎13．定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2=　2　．‎ ‎【考点】‎1G：有理数的混合运算．‎ ‎【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎14．如图所示，在矩形ABCD中，∠DAC=65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′=　40°　．‎ ‎【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB：矩形的性质．‎ ‎【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，再根据翻折变换的性质判断出四边形BCEC′是正方形，根据正方形的性质可得∠BEC=45°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BFC，再根据翻折变换的性质可得∠BFC′=∠BFC，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：∵矩形ABCD，∠DAC=65°，‎ ‎∴∠ACD=90°﹣∠DAC=90°﹣65°=25°，‎ ‎∵△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，‎ ‎∴四边形BCEC′是正方形，‎ ‎∴∠BEC=45°，‎ 由三角形的外角性质，∠BFC=∠BEC+∠ACD=45°+25°=70°，‎ 由翻折的性质得，∠BFC′=∠BFC=70°，‎ ‎∴∠AFC′=180°﹣∠BFC﹣∠BFC′=180°﹣70°﹣70°=40°．‎ 故答案为：40°．‎ ‎　‎ ‎15．观察下列的“蜂窝图”‎ 则第n个图案中的“”的个数是　3n+1　．（用含有n的代数式表示）‎ ‎【考点】38：规律型：图形的变化类．‎ ‎【分析】根据题意可知：第1个图有4个图案，第2个共有7个图案，第3个共有10个图案，第4个共有13‘个图案，由此可得出规律．‎ ‎【解答】解：由题意可知：每1个都比前一个多出了3个“”，‎ ‎∴第n个图案中共有“”为：4+3（n﹣1）=3n+1‎ 故答案为：3n+1‎ ‎　‎ ‎16．如图，路灯距离地面‎8米，身高‎1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）‎20米的A处，则小明的影子AM长为　‎5　‎米．‎ ‎【考点】SA：相似三角形的应用．‎ ‎【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．‎ ‎【解答】解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，‎ 根据相似三角形的性质可知=，即=，‎ 解得AM=‎5m．则小明的影长为‎5米．‎ ‎　‎ ‎17．如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是　6　．‎ ‎【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题；LE：正方形的性质．‎ ‎【分析】根据两点之间线段最短和点B和点D关于AC对称，即可求得△PBE周长的最小值，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，‎ ‎∵BE=1，BC=CD=4，‎ ‎∴CE=3，DE=5，‎ ‎∴BP′+P′E=DE=5，‎ ‎∴△PBE周长的最小值是5+1=6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎18．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：‎ ‎①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是　②⑤　．（只填写序号）‎ ‎【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．‎ ‎【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．‎ ‎【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．‎ 观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．‎ 根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，‎ 观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，‎ 因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，‎ 所以②⑤正确，‎ 故答案为②⑤．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共3小题，共28分）‎ ‎19．（1）计算：﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0‎ ‎（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣1．‎ ‎【考点】6D：分式的化简求值；‎2C：实数的运算；6E：零指数幂；‎6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；‎ ‎（2）原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：（1）﹣14+sin60°+（）﹣2﹣（π﹣）0=﹣1+2×+4﹣1=5；‎ ‎（2）（1﹣）÷=×=，‎ 当x=﹣1时，‎ 原式=．‎ ‎　‎ ‎20．一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）‎ ‎【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题；KU：勾股定理的应用．‎ ‎【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．‎ ‎【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=200，‎ 在Rt△APC中，∵cos∠APC=，‎ ‎∴PC=20•cos60°=10，‎ ‎∴AC==10，‎ 在△PBC中，∵∠BPC=45°，‎ ‎∴△PBC为等腰直角三角形，‎ ‎∴BC=PC=10，‎ ‎∴AB=AC﹣BC=10﹣10（海里）．‎ 答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是（10﹣10）海里．‎ ‎　‎ ‎21．八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．‎ ‎ 类别 ‎ 频数（人数）‎ ‎ 频率 ‎ 小说 ‎ ‎ ‎ 0.5‎ ‎ 戏剧 ‎ 4‎ ‎ ‎ ‎ 散文 ‎ 10‎ ‎ 0.25‎ ‎ 其他 ‎ 6‎ ‎ ‎ ‎ 合计 ‎ ‎ ‎ 1‎ 根据图表提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）八年级一班有多少名学生？‎ ‎（2）请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；‎ ‎（3）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的2人恰好是乙和丙的概率．‎ ‎【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；VB：扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；‎ ‎（2）根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；‎ ‎（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．‎ ‎【解答】解：（1）∵喜欢散文的有10人，频率为0.25，‎ ‎∴总人数=10÷0.25=40（人）；‎ ‎（2）在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为×100%=15%，‎ 故答案为：15%；‎ ‎（3）画树状图，如图所示：‎ 所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，‎ ‎∴P（丙和乙）==．‎ ‎　‎ 四、解答题（共50分）‎ ‎22．如图所示，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（2，4），B（﹣4，n）两点．‎ ‎（1）分别求出一次函数与反比例函数的表达式；‎ ‎（2）过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，连接AC，求△ACB的面积．‎ ‎【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）将点A坐标代入y=可得反比例函数解析式，据此求得点B坐标，根据A、B两点坐标可得直线解析式；‎ ‎（2）根据点B坐标可得底边BC=2，由A、B两点的横坐标可得BC边上的高，据此可得．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=，得：m=8，‎ 则反比例函数解析式为y=，‎ 当x=﹣4时，y=﹣2，‎ 则点B（﹣4，﹣2），‎ 将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入y=kx+b，‎ 得：，‎ 解得：，‎ 则一次函数解析式为y=x+2；‎ ‎（2）由题意知BC=2，‎ 则△ACB的面积=×2×6=6．‎ ‎　‎ ‎23．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．‎ ‎【考点】MD：切线的判定．‎ ‎【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD， =，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；‎ ‎（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：‎ ‎∵E是弦BD的中点，‎ ‎∴BE=DE，OE⊥BD， =，‎ ‎∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，‎ ‎∵∠DBC=∠A，‎ ‎∴∠BOE=∠DBC，‎ ‎∴∠OBE+∠DBC=90°，‎ ‎∴∠OBC=90°，‎ 即BC⊥OB，‎ ‎∴BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，‎ ‎∴OC==10，‎ ‎∵△OBC的面积=OC•BE=OB•BC，‎ ‎∴BE===4.8，‎ ‎∴BD=2BE=9.6，‎ 即弦BD的长为9.6．‎ ‎　‎ ‎24．天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两行环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元，‎ ‎（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？‎ ‎（2）预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于650万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？‎ ‎【考点】CE：一元一次不等式组的应用；‎9A：二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；‎ ‎（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1220万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于650万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．‎ ‎【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得 ‎，‎ 解得，‎ 答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．‎ ‎（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得 ‎，‎ 解得：≤a≤，‎ 因为a是整数，‎ 所以a=6，7，8；‎ 则（10﹣a）=4，3，2；‎ 三种方案：‎ ‎①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；‎ ‎②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；‎ ‎③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；‎ 购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．‎ ‎　‎ ‎25．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△‎ DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．‎ ‎（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．‎ ‎【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质．‎ ‎【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：△BPE≌△CQE；‎ ‎（2）由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B=∠C=∠DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得∠BEP=∠EQC，则可证得：△BPE∽△CEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，‎ ‎【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=45°，AB=AC，‎ ‎∵AP=AQ，‎ ‎∴BP=CQ，‎ ‎∵E是BC的中点，‎ ‎∴BE=CE，‎ 在△BPE和△CQE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△BPE≌△CQE（SAS）；‎ ‎（2）解：连接PQ，‎ ‎∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，‎ ‎∴∠B=∠C=∠DEF=45°，‎ ‎∵∠BEQ=∠EQC+∠C，‎ 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，‎ ‎∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，‎ ‎∴∠BEP=∠EQC，‎ ‎∴△BPE∽△CEQ，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BP=2，CQ=9，BE=CE，‎ ‎∴BE2=18，‎ ‎∴BE=CE=3，‎ ‎∴BC=6．‎ ‎　‎ ‎26．如图所示，在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣‎3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=‎4AC．‎ ‎（1）求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴；‎ ‎（2）求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；‎ ‎（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；‎ ‎（4）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．‎ ‎【考点】HF：二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）解方程即可得到结论；‎ ‎（2）根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；‎ ‎（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣‎3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2﹣3ax﹣‎4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；‎ ‎（4）令ax2﹣2ax﹣‎3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣‎4a=0，得到D（4，‎5a），设P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣‎3a=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=3，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（3，0），‎ 对称轴为直线x==1；‎ ‎（2）∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），‎ ‎∴0=﹣k+b，‎ 即k=b，‎ ‎∴直线l：y=kx+k，‎ ‎∵抛物线与直线l交于点A，D，‎ ‎∴ax2﹣2ax﹣‎3a=kx+k，‎ 即ax2﹣（‎2a+k）x﹣‎3a﹣k=0，‎ ‎∵CD=‎4AC，‎ ‎∴点D的横坐标为4，‎ ‎∴﹣3﹣=﹣1×4，‎ ‎∴k=a，‎ ‎∴直线l的函数表达式为y=ax+a；‎ ‎（3）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣‎3a），‎ 则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣‎3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣‎4a，‎ ‎∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF=（ax2﹣3ax﹣‎4a）（x+1）﹣（ax2﹣3ax﹣‎4a）x=（ax2﹣3ax﹣‎4a）=a（x﹣）2﹣a，‎ ‎∴△ACE的面积的最大值=﹣a，‎ ‎∵△ACE的面积的最大值为，‎ ‎∴﹣a=，‎ 解得a=﹣；‎ ‎（4）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，‎ 令ax2﹣2ax﹣‎3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣‎4a=0，‎ 解得：x1=1，x2=4，‎ ‎∴D（4，‎5a），‎ ‎∵抛物线的对称轴为直线x=1，‎ 设P（1，m），‎ ‎①若AD是矩形ADPQ的一条边，‎ 则易得Q（﹣4，‎21a），‎ m=‎21a+‎5a=‎26a，则P（1，‎26a），‎ ‎∵四边形ADPQ是矩形，‎ ‎∴∠ADP=90°，‎ ‎∴AD2+PD2=AP2，‎ ‎∴52+（‎5a）2+32+（26﹣‎5a）2=22+（‎26a）2，‎ 即a2=，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴P（1，﹣）；‎ ‎②若AD是矩形APDQ的对角线，‎ 则易得Q（2，﹣‎3a），‎ m=‎5a﹣（﹣‎3a）=‎8a，则P（1，‎8a），‎ ‎∵四边形APDQ是矩形，‎ ‎∴∠APD=90°，‎ ‎∴AP2+PD2=AD2，‎ ‎∴（﹣1﹣1）2+（‎8a）2+（1﹣4）+（‎8a﹣‎5a）2=52+（‎5a）2，‎ 即a2=，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴a=﹣，‎ ‎∴P（1，﹣4），‎ 综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．‎