2020年贵州省黔西南州中考数学试卷(含解析）

2020年贵州省黔西南州中考数学试卷(含解析）

‎2020年贵州省黔西南州中考数学试卷 一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）2的倒数是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎2．（4分）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（　　）‎ A．0.36×106 B．3.6×105 C．3.6×106 D．36×105‎ ‎3．（4分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3+a2＝a5 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6‎ ‎5．（4分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）‎ A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5‎ ‎6．（4分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（　　）‎ A．37° B．43° C．53° D．54°‎ ‎7．（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）‎ 第26页（共26页）‎ A．‎4‎sinα米 B．4sinα米 C．‎4‎cosα米 D．4cosα米 ‎8．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1‎ ‎9．（4分）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（　　）‎ A．y‎=-‎‎3‎‎3‎x B．y‎=-‎‎3‎x C．y‎=-‎‎3‎x D．y‎=‎‎3‎x ‎10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x‎=‎‎5‎‎2‎，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）‎ A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD ‎ C．a‎=-‎‎1‎‎6‎ D．OC•OD＝16‎ 二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分）‎ ‎11．（3分）把多项式a3﹣4a分解因式，结果是　 　．‎ 第26页（共26页）‎ ‎12．（3分）若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝　 　．‎ ‎13．（3分）不等式组‎2x-6＜3x，‎x+2‎‎5‎‎-x-1‎‎4‎≥0‎的解集为　 　．‎ ‎14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3‎3‎，则BD的长度为　 　．‎ ‎15．（3分）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为　 　．‎ ‎17．（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为　 　．‎ ‎18．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了　 　个人．‎ ‎19．（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，‎ 第26页（共26页）‎ 按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　 　．‎ ‎20．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ 三、解答题（本题6小题，共80分）‎ ‎21．（12分）（1）计算（﹣2）2﹣|‎-‎‎2‎|﹣2cos45°+（2020﹣π）0；‎ ‎（2）先化简，再求值：（‎2‎a+1‎‎+‎a+2‎a‎2‎‎-1‎）‎÷‎aa-1‎，其中a‎=‎5‎-‎1．‎ ‎22．（12分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．‎ 根据以上规定，回答问题：‎ ‎（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　 　；‎ A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形 ‎（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　 　（填序号）；‎ 第26页（共26页）‎ ‎（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．‎ 其中真命题的个数有　 　个；‎ A．0‎ B．1‎ C．2‎ D．3‎ ‎（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．‎ ‎23．（14分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：‎ 第26页（共26页）‎ ‎（1）本次抽样测试的学生人数是　 　名；‎ ‎（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是　 　，并把条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为　 　；‎ ‎（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．‎ ‎24．（14分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：‎ ‎（1）A型自行车去年每辆售价多少元？‎ ‎（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？‎ ‎25．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．‎ 第26页（共26页）‎ ‎26．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．‎ 第26页（共26页）‎ ‎2020年贵州省黔西南州中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题10小题，每题4分，共40分）‎ ‎1．（4分）2的倒数是（　　）‎ A．﹣2 B．2 C．‎-‎‎1‎‎2‎ D．‎‎1‎‎2‎ ‎【解答】解：2的倒数是‎1‎‎2‎，‎ 故选：D．‎ ‎2．（4分）某市为做好“稳就业、保民生”工作，将新建保障性住房360000套，缓解中低收入人群和新参加工作大学生的住房需求．把360000用科学记数法表示应是（　　）‎ A．0.36×106 B．3.6×105 C．3.6×106 D．36×105‎ ‎【解答】解：360000＝3.6×105，‎ 故选：B．‎ ‎3．（4分）如图，由6个相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从上面看可得四个并排的正方形，如图所示：‎ 故选：D．‎ ‎4．（4分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3+a2＝a5 B．a3÷a＝a3 C．a2•a3＝a5 D．（a2）4＝a6‎ ‎【解答】解：A、a3+a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；‎ B、a3÷a＝a2，故此选项错误；‎ C、a2•a3＝a5，正确；‎ D、（a2）4＝a8，故此选项错误；‎ 第26页（共26页）‎ 故选：C．‎ ‎5．（4分）某学校九年级1班九名同学参加定点投篮测试，每人投篮六次，投中的次数统计如下：4，3，5，5，2，5，3，4，1，这组数据的中位数、众数分别为（　　）‎ A．4，5 B．5，4 C．4，4 D．5，5‎ ‎【解答】解：将数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，5，5，5，‎ 这组数据的中位数为4；众数为5．‎ 故选：A．‎ ‎6．（4分）如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为（　　）‎ A．37° B．43° C．53° D．54°‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，∠2＝37°，‎ ‎∴∠2＝∠3＝37°，‎ ‎∵∠1+∠3＝90°，‎ ‎∴∠1＝53°，‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　）‎ A．‎4‎sinα米 B．4sinα米 C．‎4‎cosα米 D．4cosα米 ‎【解答】解：过点A′作A′C⊥AB于点C，‎ 第26页（共26页）‎ 由题意可知：A′O＝AO＝4，‎ ‎∴sinα‎=‎A'CA'O，‎ ‎∴A′C＝4sinα，‎ 故选：B．‎ ‎8．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，‎ ‎∴m-1≠0‎‎△=‎2‎‎2‎-4×1×(m-1)≥0‎，‎ 解得：m≤2且m≠1．‎ 故选：D．‎ ‎9．（4分）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y═kx（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（　　）‎ A．y‎=-‎‎3‎‎3‎x B．y‎=-‎‎3‎x C．y‎=-‎‎3‎x D．y‎=‎‎3‎x ‎【解答】解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，‎ ‎∴OC＝2，∠COB＝60°，‎ ‎∴点C的坐标为（﹣1，‎3‎），‎ ‎∵顶点C在反比例函数y═kx的图象上，‎ ‎∴‎3‎‎=‎k‎-1‎，得k‎=-‎‎3‎，‎ 第26页（共26页）‎ 即y‎=-‎‎3‎x，‎ 故选：B．‎ ‎10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x‎=‎‎5‎‎2‎，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　）‎ A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD ‎ C．a‎=-‎‎1‎‎6‎ D．OC•OD＝16‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，‎ ‎∴A（0，4），‎ ‎∵对称轴为直线x‎=‎‎5‎‎2‎，AB∥x轴，‎ ‎∴B（5，4）．‎ 故A无误；‎ 如图，过点B作BE⊥x轴于点E，‎ 则BE＝4，AB＝5，‎ ‎∵AB∥x轴，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACO，‎ ‎∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，‎ ‎∴∠ACO＝∠ACB，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴∠BAC＝∠ACB，‎ ‎∴BC＝AB＝5，‎ ‎∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，‎ ‎∴C（8，0），‎ ‎∵对称轴为直线x‎=‎‎5‎‎2‎，‎ ‎∴D（﹣3，0）‎ ‎∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，‎ ‎∴AD＝5，‎ ‎∴AB＝AD，‎ 故B无误；‎ 设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），‎ 将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），‎ ‎∴a‎=-‎‎1‎‎6‎，‎ 故C无误；‎ ‎∵OC＝8，OD＝3，‎ ‎∴OC•OD＝24，‎ 故D错误．‎ 综上，错误的只有D．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本题10小题，每题3分，共30分）‎ ‎11．（3分）把多项式a3﹣4a分解因式，结果是　a（a+2）（a﹣2）　．‎ ‎【解答】解：原式＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．‎ 故答案为：a（a+2）（a﹣2）．‎ ‎12．（3分）若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝　8　．‎ ‎【解答】解：∵7axb2与﹣a3by的和为单项式，‎ ‎∴7axb2与﹣a3by是同类项，‎ ‎∴x＝3，y＝2，‎ ‎∴yx＝23＝8．‎ 故答案为：8．‎ 第26页（共26页）‎ ‎13．（3分）不等式组‎2x-6＜3x，‎x+2‎‎5‎‎-x-1‎‎4‎≥0‎的解集为　﹣6＜x≤13　．‎ ‎【解答】解：‎2x-6＜3x①‎x+2‎‎5‎‎-x-1‎‎4‎≥0②‎，‎ 解①得：x＞﹣6，‎ 解②得：x≤13，‎ 不等式组的解集为：﹣6＜x≤13，‎ 故答案为：﹣6＜x≤13．‎ ‎14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3‎3‎，则BD的长度为　2‎3‎　．‎ ‎【解答】解：∵∠C＝90°，∠ADC＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝30°，‎ ‎∴CD‎=‎‎1‎‎2‎AD，‎ ‎∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，‎ ‎∴∠BAD＝30°，‎ ‎∴BD＝AD，‎ ‎∴BD＝2CD，‎ ‎∵BC＝3‎3‎，‎ ‎∴CD+2CD＝3‎3‎，‎ ‎∴CD‎=‎‎3‎，‎ ‎∴DB＝2‎3‎，‎ 故答案为：2‎3‎．‎ ‎15．（3分）如图，正比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象相交于点P，点P到x轴的距离是2，则这个正比例函数的解析式是　y＝﹣2x　．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：∵点P到x轴的距离为2，‎ ‎∴点P的纵坐标为2，‎ ‎∵点P在一次函数y＝﹣x+1上，‎ ‎∴2＝﹣x+1，得x＝﹣1，‎ ‎∴点P的坐标为（﹣1，2），‎ 设正比例函数解析式为y＝kx，‎ 则2＝﹣k，得k＝﹣2，‎ ‎∴正比例函数解析式为y＝﹣2x，‎ 故答案为：y＝﹣2x．‎ ‎16．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为　‎3‎　．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ 由题意可得：∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，‎ 则NG‎=‎‎1‎‎2‎AM，故AN＝NG，‎ ‎∴∠2＝∠4，‎ ‎∵EF∥AB，‎ ‎∴∠4＝∠3，‎ ‎∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4‎=‎1‎‎3‎×‎90°＝30°，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，‎ ‎∴AE‎=‎‎1‎‎2‎AD‎=‎‎1‎‎2‎BC＝1，‎ ‎∴AG＝2，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴EG‎=‎2‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎=‎‎3‎，‎ 故答案为：‎3‎．‎ ‎17．（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为　1　．‎ ‎【解答】解：当x＝625时，‎1‎‎5‎x＝125，‎ 当x＝125时，‎1‎‎5‎x＝25，‎ 当x＝25时，‎1‎‎5‎x＝5，‎ 当x＝5时，‎1‎‎5‎x＝1，‎ 当x＝1时，x+4＝5，‎ 当x＝5时，‎1‎‎5‎x＝1，‎ ‎…‎ 依此类推，以5，1循环，‎ ‎（2020﹣2）÷2＝1009，能够整除，‎ 所以输出的结果是1，‎ 故答案为：1‎ ‎18．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了　10　个人．‎ ‎【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人．‎ 依题意，得1+x+x（1+x）＝121，‎ 即（1+x）2＝121，‎ 解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．‎ 第26页（共26页）‎ 答：每轮传染中平均每人传染了10人．‎ ‎19．（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　57　．‎ ‎【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；‎ 第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；‎ 第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；‎ ‎…，‎ 按此规律排列下去，‎ 所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．‎ 故答案为：57．‎ ‎20．（3分）如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为　π‎4‎‎-‎‎1‎‎2‎　．‎ ‎【解答】解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．‎ ‎∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，‎ ‎∴DC‎=‎‎1‎‎2‎AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM‎=‎‎2‎‎2‎．‎ 则扇形FDE的面积是：‎90π×‎‎1‎‎2‎‎360‎‎=‎π‎4‎．‎ ‎∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，‎ ‎∴CD平分∠BCA，‎ 又∵DM⊥BC，DN⊥AC，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴DM＝DN，‎ ‎∵∠GDH＝∠MDN＝90°，‎ ‎∴∠GDM＝∠HDN，‎ 在△DMG和△DNH中，‎ ‎∠DMG=∠DNH‎∠GDM=∠HDNDM=DN‎，‎ ‎∴△DMG≌△DNH（AAS），‎ ‎∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN‎=‎‎1‎‎2‎．‎ 则阴影部分的面积是：π‎4‎‎-‎‎1‎‎2‎．‎ 故答案为π‎4‎‎-‎‎1‎‎2‎．‎ 三、解答题（本题6小题，共80分）‎ ‎21．（12分）（1）计算（﹣2）2﹣|‎-‎‎2‎|﹣2cos45°+（2020﹣π）0；‎ ‎（2）先化简，再求值：（‎2‎a+1‎‎+‎a+2‎a‎2‎‎-1‎）‎÷‎aa-1‎，其中a‎=‎5‎-‎1．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝4‎-‎2‎-‎2‎×‎2‎‎2‎+‎1‎ ‎＝4‎-‎2‎-‎2‎+‎1‎ ‎＝5﹣2‎2‎；‎ ‎（2）原式＝[‎2(a-1)‎‎(a-1)(a+1)‎‎+‎a+2‎‎(a-1)(a+1)‎]•‎a-1‎a ‎=‎‎3a‎(a-1)(a+1)‎‎•a-1‎a ‎ ‎=‎‎3‎a+1‎‎，‎ 当a‎=‎5‎-‎1时，原式‎=‎3‎‎5‎‎-1+1‎=‎‎3‎‎5‎‎5‎．‎ ‎22．（12分）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形 第26页（共26页）‎ 的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．‎ 根据以上规定，回答问题：‎ ‎（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　B　；‎ A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形 ‎（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　（1）（3）（5）　（填序号）；‎ ‎（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．‎ 其中真命题的个数有　C　个；‎ A．0‎ B．1‎ C．2‎ D．3‎ ‎（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：（1）是旋转图形，不是中心对称图形是正五边形，‎ 故选B．‎ ‎（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有（1）（3）（5）．‎ 故答案为（1）（3）（5）．‎ ‎（3）命题中①③正确，‎ 故选C．‎ ‎（4）图形如图所示：‎ ‎23．（14分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：‎ 第26页（共26页）‎ ‎（1）本次抽样测试的学生人数是　40　名；‎ ‎（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是　54°　，并把条形统计图补充完整；‎ ‎（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为　75人　；‎ ‎（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．‎ ‎【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（人）；‎ ‎（2）∵A级的百分比为：‎6‎‎40‎‎×‎100%＝15%，‎ ‎∴∠α＝360°×15%＝54°；‎ C级人数为：40﹣6﹣12﹣8＝14（人）．‎ 如图所示：‎ ‎（3）500×15%＝75（人）．‎ 故估计优秀的人数为 75人；‎ ‎（4）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，‎ ‎∴选中小明的概率为‎1‎‎2‎．‎ 故答案为：40；54°；75人．‎ 第26页（共26页）‎ ‎24．（14分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：‎ ‎（1）A型自行车去年每辆售价多少元？‎ ‎（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？‎ ‎【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得 ‎80000‎x‎=‎‎80000(1-10%)‎x-200‎‎，‎ 解得：x＝2000．‎ 经检验，x＝2000是原方程的根．‎ 答：去年A型车每辆售价为2000元；‎ ‎（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得 y＝（1800﹣1500）a+（2400﹣1800）（60﹣a），‎ y＝﹣300a+36000．‎ ‎∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，‎ ‎∴60﹣a≤2a，‎ ‎∴a≥20．‎ ‎∵y＝﹣300a+36000．‎ ‎∴k＝﹣300＜0，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴y随a的增大而减小．‎ ‎∴a＝20时，y有最大值 ‎∴B型车的数量为：60﹣20＝40辆．‎ ‎∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．‎ ‎25．（12分）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）小明在研究的过程中发现PEPC是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．‎ ‎【解答】解：（1）连接OD、DB，‎ ‎∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，‎ ‎∴DE垂直平分OB，‎ ‎∴DB＝DO．‎ ‎∵在⊙O中，DO＝OB，‎ ‎∴DB＝DO＝OB，‎ ‎∴△ODB是等边三角形，‎ ‎∴∠BDO＝∠DBO＝60°，‎ ‎∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴∠BCD＝∠BDC‎=‎‎1‎‎2‎∠DBO．‎ ‎∵∠DBO＝60°，‎ ‎∴∠CDB＝30°．‎ ‎∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）答：这个确定的值是‎1‎‎2‎．‎ 连接OP，如图：‎ 由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．‎ ‎∴OEOP‎=OPOC=‎‎1‎‎2‎，‎ 又∵∠COP＝∠POE，‎ ‎∴△OEP∽△OPC，‎ ‎∴PEPC‎=OPOC=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎26．（16分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；‎ ‎（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．‎ 第26页（共26页）‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），‎ ‎∴a-b+6=0‎‎36a+6b+6=0‎，‎ ‎∴a=-1‎b=5‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x‎-‎‎5‎‎2‎）2‎+‎‎49‎‎4‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（‎5‎‎2‎，‎49‎‎4‎）；‎ ‎（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，‎ ‎∴C（0，6），‎ ‎∴OC＝6，‎ ‎∵A（6，0），‎ ‎∴OA＝6，‎ ‎∴OA＝OC，‎ ‎∴∠OAC＝45°，‎ ‎∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，‎ ‎∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，‎ ‎∴∠PED＝45°，‎ 第26页（共26页）‎ ‎∴∠PDE＝∠PED，‎ ‎∴PD＝PE，‎ ‎∴PD+PE＝2PE，‎ ‎∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，‎ ‎∵A（6，0），C（0，6），‎ ‎∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，‎ 设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），‎ ‎∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，‎ 当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，‎ ‎∴P（3，12）；‎ ‎（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，‎ ‎∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，‎ ‎∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，‎ ‎∵l∥y轴，‎ ‎∴∠MFC＝∠OCA＝45°，‎ ‎∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，‎ ‎∴NF∥x轴，‎ 由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，‎ 当x‎=‎‎5‎‎2‎时，y‎=‎‎7‎‎2‎，‎ ‎∴F（‎5‎‎2‎，‎7‎‎2‎），‎ ‎∴点N的纵坐标为‎7‎‎2‎，‎ 设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），‎ ‎∴﹣m2+5m+6‎=‎‎7‎‎2‎，解得，m‎=‎‎5+‎‎35‎‎2‎或m‎=‎‎5-‎‎35‎‎2‎，‎ ‎∴点N的坐标为（‎5+‎‎35‎‎2‎，‎7‎‎2‎）或（‎5-‎‎35‎‎2‎，‎7‎‎2‎）．‎ 第26页（共26页）‎ 第26页（共26页）‎