中考数学总复习训练阅读理解问题含解析

中考数学总复习训练阅读理解问题含解析

阅读理解问题 ‎1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（　　）‎ A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a4‎ ‎2．阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．‎ 例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）‎ ‎=m（a+b）+n（a+b）‎ ‎=（a+b）（m+n）‎ ‎（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）‎ ‎=x2﹣（y+1）2‎ ‎=（x+y+1）（x﹣y﹣1）‎ 试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=　　．‎ ‎3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）=　　．‎ ‎4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．‎ ‎（1）计算：O1D=　　，O2F=　　．‎ ‎（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2=　　．‎ ‎（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．‎ ‎5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是　　．‎ ‎6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为　　．‎ ‎7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是　　．‎ ‎8．阅读材料：‎ 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：‎ 设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．‎ ‎∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．‎ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：‎ ‎（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　　，b=　　；‎ ‎（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　　+　　=（　　+　　）2；‎ ‎（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？‎ ‎9．先阅读下列材料，然后解答问题：‎ 材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．‎ 一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作Anm．Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）‎ 例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．‎ 材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．‎ 一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作Anm，‎ Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）‎ 例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．‎ 问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有　　种不同的选法；‎ ‎（2）从7个人中选取4人，排成一列，有　　种不同的排法．‎ ‎10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．‎ 一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：‎ ‎（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；‎ ‎（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．‎ ‎　‎ 阅读理解问题 参考答案与试题解析 ‎1．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是（　　）‎ A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a4‎ ‎【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角；平行四边形的判定与性质．‎ ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】设等边三角形的边长是a，求出等边三角形的周长，即可求出等边三角形的周率a1；设正方形的边长是x，根据勾股定理求出对角线的长，即可求出周率；设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，根据等边三角形的性质和平行四边形的性质求出直径，即可求出正六边形的周率a3；求出圆的周长和直径即可求出圆的周率，比较即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3‎ 设正方形的边长是x，由勾股定理得：对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828，‎ 设正六边形的边长是b，过F作FQ∥AB交BE于Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，‎ ‎∴正六边形的周率是a3==3，‎ 圆的周率是a4==π，‎ ‎∴a4＞a3＞a2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．‎ 例如：（1）am+an+bm+bn=（am+bm）+（an+bn）‎ ‎=m（a+b）+n（a+b）‎ ‎=（a+b）（m+n）‎ ‎（2）x2﹣y2﹣2y﹣1=x2﹣（y2+2y+1）‎ ‎=x2﹣（y+1）2‎ ‎=（x+y+1）（x﹣y﹣1）‎ 试用上述方法分解因式a2+2ab+ac+bc+b2=　（a+b）（a+b+c）　．‎ ‎【考点】因式分解﹣分组分解法．‎ ‎【专题】压轴题；阅读型．‎ ‎【分析】首先进行合理分组，然后运用提公因式法和公式法进行因式分解．‎ ‎【解答】解：原式=（a2+2ab+b2）+（ac+bc）‎ ‎=（a+b）2+c（a+b）‎ ‎=（a+b）（a+b+c）．‎ 故答案为（a+b）（a+b+c）．‎ ‎【点评】此题考查了因式分解法，要能够熟练运用分组分解法、提公因式法和完全平方公式．‎ ‎　‎ ‎3．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）=　8　．‎ ‎【考点】代数式求值．‎ ‎【专题】压轴题；新定义．‎ ‎【分析】根据已知可将12⊗（﹣1）转换成a﹣4b的形式，然后将a、b的值代入计算即可．‎ ‎【解答】解：12⊗（﹣1）‎ ‎=×12﹣4×（﹣1）‎ ‎=8‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题主要考查代数式求值的方法：直接将已知代入代数式求值．‎ ‎　‎ ‎4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2和，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．‎ ‎（1）计算：O1D=　2　，O2F=　1　．‎ ‎（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2=　3　．‎ ‎（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）根据正方形对角线是正方形边长的倍可得正方形的对角线长，除以2即为所求的线段的长；‎ ‎（2）此时中心距为（1）中所求的两条线段的和，若只有一个公共点，则点D与点F重合，由此可得出答案．‎ ‎（3）动手操作可得两个正方形的边长可能没有公共点，有1个公共点，2个公共点，或有无数个公共点，据此找到相应取值范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）O1D=2×÷2=2；O2F=×÷2=1．‎ 故答案为：2，1；‎ ‎（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O2=2+1=3．‎ 故答案为：3；‎ ‎（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1＜O1O2＜3；‎ 无数个公共点时，O1O2=1；‎ ‎1个公共点时，O1O2=3；‎ 无公共点时，O1O2＞3或0≤O1O2＜1．‎ ‎【点评】考查正方形的动点问题；需掌握正方形的对角线与边长的数量关系；动手操作得到两正方形边长可能的情况是解决本题的主要方法．‎ ‎　‎ ‎5．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so，研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x，5，3（x＞5），则x的值是　15　．‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【专题】阅读型．‎ ‎【分析】题中给出了调和数的规律，可将x所在的那组调和数代入题中给出的规律里，然后列出方程求解．‎ ‎【解答】解：根据题意，得：．‎ 解得：x=15‎ 经检验：x=15为原方程的解．‎ 故答案为：15．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式方程的应用，重点在于弄懂题意，准确地找出题目中所给的调和数的相等关系，这是列方程的依据．‎ ‎　‎ ‎6．若自然数n使得作竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，则称n为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23+24+25产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为　24　．‎ ‎【考点】一元一次不等式的应用．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】首先理解“可连数”的概念，再分别考虑个位、十位、百位满足的数，用排列组合的思想求解．‎ ‎【解答】解：个位需要满足：x+（x+1）+（x+2）＜10，即x＜，x可取0，1，2三个数．‎ 十位需要满足：y+y+y＜10，即y＜，y可取0，1，2，3四个数（假设0n就是n）‎ 因为是小于200的“可连数”，故百位需要满足：小于2，则z可取1一个数．‎ 则小于200的三位“可连数”共有的个数=4×3×1=12；‎ 小于200的二位“可连数”共有的个数=3×3=9；‎ 小于200的一位“可连数”共有的个数=3．‎ 故小于200的“可连数”共有的个数=12+9+3=24．‎ ‎【点评】解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解，还要掌握排列组合的解法．‎ ‎　‎ ‎7．我们定义=ad﹣bc，例如=2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是　±3　．‎ ‎【考点】一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【专题】压轴题；新定义．‎ ‎【分析】先根据题意列出不等式，根据x的取值范围及x为整数求出x的值，再把x的值代入求出y的值即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，1＜1×4﹣xy＜3，即1＜4﹣xy＜3，‎ ‎∴，‎ ‎∵x、y均为整数，∴xy为整数，‎ ‎∴xy=2，‎ ‎∴x=±1时，y=±2；‎ x=±2时，y=±1；‎ ‎∴x+y=2+1=3或x+y=﹣2﹣1=﹣3．‎ ‎【点评】此题比较简单，解答此题的关键是根据题意列出不等式，根据x，y均为整数求出x、y的值即可．‎ ‎　‎ ‎8．阅读材料：‎ 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：‎ 设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．‎ ‎∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．‎ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：‎ ‎（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　m2+3n2　，b=　2mn　；‎ ‎（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　4　+　2　=（　1　+　1　）2；‎ ‎（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？‎ ‎【考点】二次根式的混合运算．‎ ‎【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；‎ ‎（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；‎ ‎（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵a+b=，‎ ‎∴a+b=m2+3n2+2mn，‎ ‎∴a=m2+3n2，b=2mn．‎ 故答案为：m2+3n2，2mn．‎ ‎（2）设m=1，n=1，‎ ‎∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．‎ 故答案为4、2、1、1．‎ ‎（3）由题意，得：‎ a=m2+3n2，b=2mn ‎∵4=2mn，且m、n为正整数，‎ ‎∴m=2，n=1或者m=1，n=2，‎ ‎∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．‎ ‎【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．‎ ‎　‎ ‎9．先阅读下列材料，然后解答问题：‎ 材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为A32=3×2=6．‎ 一般地，从n个不同的元素中选取m个元素的排列数记作Anm．Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）‎ 例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：A53=5×4×3=60．‎ 材料2：从三张不同的卡片中选取两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为．‎ 一般地，从n个不同的元素中取出m个元素的排列数记作Anm，‎ Anm=n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣m+1）（m≤n）‎ 例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．‎ 问：（1）从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有　56　种不同的选法；‎ ‎（2）从7个人中选取4人，排成一列，有　840　种不同的排法．‎ ‎【考点】有理数的混合运算．‎ ‎【专题】压轴题；阅读型．‎ ‎【分析】（1）利用组合公式来计算；‎ ‎（2）都要利用排列公式来计算．‎ ‎【解答】解：（1）C83==56（种）；‎ ‎（2）A74=7×6×5×4=840（种）．‎ ‎【点评】本题为信息题，根据题中所给的排列组合公式求解．‎ ‎　‎ ‎10．我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．‎ 一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N．小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时，从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：‎ ‎（1）当直线l与方形环的对边相交时，如图1，直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N，小明发现MM′与N′N相等，请你帮他说明理由；‎ ‎（2）当直线l与方形环的邻边相交时，如图2，l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N，l与DC的夹角为α，你认为MM′与N′N还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出的值（用含α的三角函数表示）．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）证线段相等，可证线段所在的三角形全等．结合本题，证△MM′E≌△‎ NN′F即可；‎ ‎（2）由于M′E∥CD，则∠EM′M=∠FNN′=α，易证得△FNN′∽△EM′M，那么MM′：NN′=EM′：FN；而EM′=FN′，则比例式可化为： ==tanα，‎ 由此可知：当α=45°时，MM′=NN′；当α≠45°时，MM′≠NN′．‎ ‎【解答】解　（1）在方形环中，∵M′E⊥AD，N′F⊥BC，AD∥BC，‎ 在△MM′E与△NN′F中，‎ ‎，‎ ‎∴△MM′E≌△NN′F（AAS）．‎ ‎∴MM′=N′N；‎ ‎（2）法一∵∠NFN′=∠MEM′=90°，∠FNN′=∠EM′M=α，‎ ‎∴△NFN′∽△M′EM，‎ ‎∴=．‎ ‎∵M′E=N′F，‎ ‎∴==tanα（或）．‎ ‎①当α=45°时，tan α=1，则MM′=NN′；‎ ‎②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．‎ 法二　在方形环中，∠D=90°．‎ ‎∵M′E⊥AD，N′F⊥CD，‎ ‎∴M′E∥DC，N′F=M′E．‎ ‎∴∠MM′E=∠N′NF=α．‎ 在Rt△NN′F与Rt△MM′E中，‎ sinα=，cosα=，即=tanα（或）．‎ ‎①当α=45°时，MM′=NN′；‎ ‎②当α≠45°时，MM′≠NN′，则=tanα（或）．‎ ‎【点评】此题主要考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用等知识．‎