达州市2015年中考数学卷

达州市2015年中考数学卷

四川省达州市2015年中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）‎ ‎1． 2015的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎2015‎ D．‎ ‎﹣2015‎ 考点：‎ 相反数．. ‎ 分析：‎ 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ 解答：‎ 解：2015的相反数是：﹣2015，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2015•达州）一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 由三视图判断几何体；作图-三视图．. ‎ 分析：‎ 由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，据此可得出图形．‎ 解答：‎ 解：根据所给出的图形和数字可得：‎ 主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，‎ 则符合题意的是D；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形中的数字，可知主视图有3列，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图有3列，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2015•达州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a•a2=a2‎ B．‎ ‎（a2）3=a6‎ C．‎ a2+a3=a6‎ D．‎ a6÷a2=a3‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．. ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；‎ B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；‎ C、原式不能合并，错误；‎ D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．‎ 解答：‎ 解：A、原式=a3，错误；‎ B、原式=a6，正确；‎ C、原式不能合并，错误；‎ D、原式=a4，错误，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2015•达州）2015年某中学举行的春季田径径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：‎ 成绩（m）‎ ‎1.80‎ ‎1.50‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ 人数 ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1.70m，1.65m B．‎ ‎1.70m，1.70m C．‎ ‎1.65m，1.60m D．‎ ‎3，4‎ 考点：‎ 众数；中位数．. ‎ 分析：‎ 首先根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳高成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵15÷2=7…1，第8名的成绩处于中间位置，‎ ‎∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.65m，‎ ‎∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m；‎ ‎∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.60m，‎ ‎∴这些运动员跳高成绩的众数是1.60m；‎ 综上，可得 这些运动员跳高成绩的中位数是1.65m，众数是1.60m．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ ‎（1）此题主要考查了众数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．②求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．‎ ‎（2）此题还考查了中位数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，①如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．②如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2015•达州）下列命题正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 矩形的对角线互相垂直 ‎　‎ B．‎ 两边和一角对应相等的两个三角形全等 ‎　‎ C．‎ 分式方程+1=可化为一元一次力程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5‎ ‎　‎ D．‎ 多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t 考点：‎ 命题与定理．. ‎ 分析：‎ 根据矩形的性质，全等三角形的判定，分式方程的解法以及因式分解对各选项分析判断即可得解．‎ 解答：‎ 解：A、矩形的对角线互相垂直是假命题，故本选项错误；‎ B、两边和一角对应相等的两个三角形全等是假命题，故本选项错误；‎ C、分式方程+1=两边都乘以（2x﹣1），可化为一元一次力程x﹣2+（2x﹣1）=﹣1.5是真命题，故本选项正确；‎ D、多项式t2﹣16+3t因式分解为（t+4）（t﹣4）+3t错误，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2015•达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎48°‎ B．‎ ‎36°‎ C．‎ ‎30°‎ D．‎ ‎24°‎ 考点：‎ 线段垂直平分线的性质．. ‎ 分析：‎ 根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD=24°，然后再计算出∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得BF=CF，进而可得∠FCB=24°，然后可算出∠ACF的度数．‎ 解答：‎ 解：∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠DBC=∠ABD=24°，‎ ‎∵∠A=60°，‎ ‎∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，‎ ‎∵BC的中垂线交BC于点E，‎ ‎∴BF=CF，‎ ‎∴∠FCB=24°，‎ ‎∴∠ACF=72°﹣24°=48°，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2015•达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎12π B．‎ ‎24π C．‎ ‎6π D．‎ ‎36π 考点：‎ 扇形面积的计算；旋转的性质．. ‎ 分析：‎ 根据题意得出AB=AB′=12，∠BAB′=60°，根据图形得出图中阴影部分的面积S=+π×122﹣π×122，求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°‎ ‎∴图中阴影部分的面积是：‎ S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O ‎=+π×122﹣π×122‎ ‎=24π．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查的是扇形的面积及旋转的性质，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较好，难度适中．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2015•达州）方程（m﹣2）x2﹣x+=0有两个实数根，则m的取值范围（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＞‎ B．‎ m≤且m≠2‎ C．‎ m≥3‎ D．‎ m≤3且m≠2‎ 考点：‎ 根的判别式；一元二次方程的定义．. ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到 ‎，然后解不等式组即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得，‎ 解得m≤且m≠2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2015•达州）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0‎ B．‎ a＞0‎ ‎　‎ C．‎ b2﹣4ac≥0‎ D．‎ x1＜x0＜x2‎ 考点：‎ 抛物线与x轴的交点．. ‎ 分析：‎ 由于a的符号不能确定，故应分a＞0与a＜0进行分类讨论．‎ 解答：‎ 解：A、当a＞0时，‎ ‎∵点M（x0，y0），在x轴下方，‎ ‎∴x1＜x0＜x2，‎ ‎∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，‎ ‎∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；‎ 当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，‎ ‎∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，‎ ‎∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；‎ 若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，‎ ‎∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，‎ ‎∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；‎ 综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；‎ B、a的符号不能确定，故本选项错误；‎ C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错误；‎ D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是抛物线与x轴的交点，在解答此题时要注意进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2015•达州）如图，AB为半圆O的在直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE•CD，正确的有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎4个 D．‎ ‎5个 考点：‎ 切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．. ‎ 分析：‎ 连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；由△AOD∽△BOC，可得===，选项③正确；由△ODE∽△OEC，可得，选项④正确．‎ 解答：‎ 解：连接OE，如图所示：‎ ‎∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，‎ ‎∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，‎ ‎∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，‎ ‎∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；‎ 在Rt△ADO和Rt△EDO中，，‎ ‎∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），‎ ‎∴∠AOD=∠EOD，‎ 同理Rt△CEO≌Rt△CBO，‎ ‎∴∠EOC=∠BOC，‎ 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，‎ ‎∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；‎ ‎∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，‎ ‎∴△EDO∽△ODC，‎ ‎∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；‎ ‎∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，‎ ‎∠A=∠B=90°，‎ ‎∴△AOD∽△BOC，‎ ‎∴===，选项③正确；‎ 同理△ODE∽△OEC，‎ ‎∴，选项④正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题6个小题，每小题3分，為18分．把最后答案直接填在题中的横线上）‎ ‎11．（3分）（2015•达州）在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中，最小的是　﹣2　．‎ 考点：‎ 实数大小比较．. ‎ 分析：‎ 利用任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，即可得出结果．‎ 解答：‎ 解：在实数﹣2、0、﹣1、2、﹣中，最小的是﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ 点评：‎ 本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2015•达州）已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为　2　cm．‎ 考点：‎ 正多边形和圆．. ‎ 分析：‎ 根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．‎ 解答：‎ 解：如图所示，‎ 连接OA、OB，过O作OD⊥AB，‎ ‎∵多边形ABCDEF是正六边形，‎ ‎∴∠OAD=60°，‎ ‎∴OD=OA•sin∠OAB=AO=，‎ 解得：AO=2．．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题考查的是正六边形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2015•达州）新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为　（40﹣x）（20+2x）=1200　．‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出一元二次方程．. ‎ 专题：‎ 销售问题．‎ 分析：‎ 根据题意表示出降价x元后的销量以及每件衣服的利润，由平均每天销售这种童装盈利1200元，进而得出答案．‎ 解答：‎ 解：设每件童裝应降价x元，可列方程为：‎ ‎（40﹣x）（20+2x）=1200．‎ 故答案为：（40﹣x）（20+2x）=1200．‎ 点评：‎ 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出销量与每件童装的利润是解题关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2015•达州）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB=6，BC=9，则AM的长为　　．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）．. ‎ 分析：‎ 先根据勾股定理求出BF，再根据△AMC′∽△BC′F求出AM即可．‎ 解答：‎ 解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，‎ 设BF=x，则FC=FC′=9﹣x，‎ ‎∵BF2+BC′2=FC′2，‎ ‎∴x2+32=（9﹣x）2，‎ 解得：x=4，‎ ‎∵∠FC′M=90°，‎ ‎∴∠AC′M+∠BC′F=90°，‎ 又∵∠BFC′+BC′F=90°，‎ ‎∴∠AC′M=∠BFC′‎ ‎∵∠A=∠B=90°‎ ‎∴△AMC′∽△BC′F ‎∴‎ ‎∵BC′=AC′=3，‎ ‎∴AM=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题主要考查了折叠的性质和相似三角形的判定与性质，能够发现△AMC′∽△BC′F是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2015•达州）对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5﹣3﹣5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是　4≤a＜5　．‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的整数解．. ‎ 专题：‎ 新定义．‎ 分析：‎ 利用题中的新定义化简所求不等式，求出a的范围即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：2※x=2x﹣2﹣x+3=x+1，‎ ‎∵a＜x+1＜7，即a﹣1＜x＜6解集中有两个整数解，‎ ‎∴a的范围为4≤a＜5，‎ 故答案为：4≤a＜5‎ 点评：‎ 此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2015•达州）在直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左导游依次记为S1、S2、S3、…Sn，则Sn的值为　22n﹣3　（用含n的代数式表示，n为正整数）．‎ 考点：‎ 一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．. ‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 根据直线解析式先求出OA1=1，得出第一个正方形的边长为1，求得A2B1=A1B1=1，再求出第一个正方形的边长为2，求得A3B2=A2B2=2，第三个正方形的边长为22，求得A4B3=A3B3=22，得出规律，根据三角形的面积公式即可求出Sn的值．‎ 解答：‎ 解：∵直线y=x+1，当x=0时，y=1，当y=0时，x=﹣1，‎ ‎∴OA1=1，OD=1，‎ ‎∴∠ODA1=45°，‎ ‎∴∠A2A1B1=45°，‎ ‎∴A2B1=A1B1=1，‎ ‎∴S1=×1×1=，‎ ‎∵A2B1=A1B1=1，‎ ‎∴A2C1=2=21，‎ ‎∴S2=×（21）2=21‎ 同理得：A3C2=4=22，…，‎ S3=×（22）2=23‎ ‎∴Sn=×（2n﹣1）2=22n﹣3‎ 故答案为：22n﹣3．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；通过求出第一个正方形、第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解决问题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题，解答对应必要的文字说明，证明过程及盐酸步骤 ‎17．（6分）（2015•达州）计算：（﹣1）2015+20150+2﹣1﹣|﹣|‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．. ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=﹣1+1+﹣+=1﹣．‎ 点评：‎ 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（7分）（2015•达州）化简•﹣，并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；三角形三边关系．. ‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=•+=+===，‎ ‎∵a与2、3构成△ABC的三边，且a为整数，‎ ‎∴1＜a＜5，即a=2，3，4，‎ 当a=2或a=3时，原式没有意义，‎ 则a=4时，原式=1．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ 四、解答题（共2小题，满分15分）‎ ‎19．（7分）（2015•达州）达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．‎ 根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）参加演讲比赛的学生共有　40　人，扇形统计图中m=　20　，n=　30　，并把条形统计图补充完整．‎ ‎（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．. ‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），然后由扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图；‎ ‎（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），‎ ‎∵n%=×100%=30%，‎ ‎∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，‎ ‎∴m=20，n=30；‎ 如图：‎ 故答案为：40，20，30；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，‎ ‎∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=．‎ 点评：‎ 此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2015•达州）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑比购买3台学习机多600元，购买2台平板电脑和3台学习机共需8400元．‎ ‎（1）求购买1台平板电脑和1台学习机各需多少元？‎ ‎（2）学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍．请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？‎ 考点：‎ 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．. ‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ ‎（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可得到结果；‎ ‎（2）设购买平板电脑x台，学习机（100﹣x）台，根据“购买的总费用不超过168000元，且购买学习机的台数不超过购买平板电脑台数的1.7倍”列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出购买方案，进而得出最省钱的方案．‎ 解答：‎ 解：（1）设购买1台平板电脑和1台学习机各需x元，y元，‎ 根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则购买1台平板电脑和1台学习机各需3000元，800元；‎ ‎（2）设购买平板电脑x台，学习机（100﹣x）台，‎ 根据题意得：，‎ 解得：37.03≤x≤40，‎ 正整数x的值为38，39，40，‎ 当x=38时，y=62；x=39时，y=61；x=40时，y=60，‎ 方案1：购买平板电脑38台，学习机62台，费用为114000+49600=163600（元）；‎ 方案2：购买平板电脑39台，学习机61台，费用为117000+48800=165800（元）；‎ 方案3：购买平板电脑40台，学习机60台，费用为120000+48000=168000（元），‎ 则方案1最省钱．‎ 点评：‎ 此题考查了一元一次不等式组的应用，以及二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．‎ ‎　‎ 五、解答题（共2小题，满分15分）‎ ‎21．（7分）（2015•达州）学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：‎ ‎（1）在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH=30°；‎ ‎（2）在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器（C、D与B在同一直线上，且C、D之间的距离可以直接测得），测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH=45°；‎ ‎（3）测得测倾器的高度CF=DG=1.5米，并测得CD之间的距离为288米；‎ 已知红军亭高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB．（取1.732，结果保留整数）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．. ‎ 分析：‎ 首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造边角关系，进而可求出答案．‎ 解答：‎ 解：设AH=x米，‎ 在RT△EHG中，∵∠EGH=45°，‎ ‎∴GH=EH=AE+AH=x+12，‎ ‎∵GF=CD=288米，‎ ‎∴HF=GH+GF=x+12+288=x+300，‎ 在RT△AHF中，∵∠AFH=30°，‎ ‎∴AH=HF•tan∠AFH，即x=（x+300）•，‎ 解得x=150（+1）．‎ ‎∴AB=AH+BH≈409.8+1.5=411（米）‎ 答：凤凰山与中心广场的相对高度AB大约是411米．‎ 点评：‎ 此题主要考查了解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO=，tan∠AOB=，一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点，反比例函数y=的图象过OA的中点D．‎ ‎（1）求一次函数和反比例函数的表达式；‎ ‎（2）平移一次函数y=k1x+b的图象，当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，求b的取值范围．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．. ‎ 分析：‎ ‎（1）连接AC，交OB于E，由菱形的性质得出BE=OE=OB，OB⊥AC，由三角函数tan∠AOB==，得出OE=2AE，设AE=x，则OE=2x，根据勾股定理得出OA=x=，解方程求出AE=1，OE=2，得出OB=2OE=4，得出A、B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数的解析式；再求出点D的坐标，代入反比例函数y=，求出k2的值即可；‎ ‎（3）由题意得出方程组 无解，消去y化成一元二次方程，由判别式△＜0，即可求出b的取值范围．‎ 解答：‎ 解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：‎ ‎∵四边形ABCO是菱形，‎ ‎∴BE=OE=OB，OB⊥AC，‎ ‎∴∠AEO=90°，‎ ‎∴tan∠AOB==，‎ ‎∴OE=2AE，‎ 设AE=x，则OE=2x，‎ 根据勾股定理得：OA=x=，‎ ‎∴x=1，‎ ‎∴AE=1，OE=2，‎ ‎∴OB=2OE=4，‎ ‎∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），‎ 把点A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函数y=k1x+b得：，‎ 解得：k1=，b=2，‎ ‎∴一次函数的解析式为：y=x+2；‎ ‎∵D是OA的中点，A（﹣2，1），‎ ‎∴D（﹣1，），‎ 把点D（﹣1，）代入反比例函数y=得：k2=﹣，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：y=﹣；‎ ‎（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y=x+b，‎ ‎∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点，‎ ‎∴方程组 无解，‎ 即x+b=﹣无解，‎ 整理得：x2+2bx+1=0，‎ ‎∴△=（2b）2﹣4×1×1＜0，b2＜1，‎ 解得：﹣1＜b＜1，‎ ‎∴当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，b的取值范围是﹣1＜b＜1．‎ 点评：‎ 本题是反比例函数综合题目，考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果．‎ ‎　‎ 六、解答题（共2小题，满分17分）‎ ‎23．（8分）（2015•达州）阅读与应用：‎ 阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（﹣）2≥0，所以a﹣2+b≥0从而a+b≥2（当a=b时取等号）．‎ 阅读2：若函数y=x+；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2．‎ 阅读理解上述内容，解答下列问题：‎ 问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（x+），求当x=　2　时，周长的最小值为　8　；‎ 问题2：已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=x2+2x+10（x＞﹣1），‎ 当x=　2　时，的最小值为　6　；‎ 问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）‎ 考点：‎ 二次函数的应用．. ‎ 分析：‎ 问题1：根据阅读2得到x+的范围，进一步得到周长的最小值；‎ 问题2：将变形为（x+1）+，根据阅读2得到（x+1）+，的范围，进一步即可求解；‎ 问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数式，再根据阅读2得到范围，从而求解．‎ 解答：‎ 解：问题1：x=（x＞0），解得x=2，‎ x=2时，x+有最小值为2×=4．‎ 故当x=2时，周长的最小值为2×4=8．‎ 问题2：∵函数y1=x+1（x＞﹣1），函数y2=x2+2x+10（x＞﹣1），‎ ‎∴=（x+1）+，‎ x+1=，解得x=2，‎ x=2时，（x+1）+有最小值为2×=6．‎ 问题3：设学校学生人数为x人，‎ 则生均投入==10+0.01x+=10+0.01（x+），‎ x=（x＞0），解得x=700，‎ x=700时，x+有最小值为2×=1400，‎ 故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．‎ 答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．‎ 故答案为：2，8；2，6．‎ 点评：‎ 考查了二次函数的应用，本题关键是理解阅读1和阅读2的知识点：当x=，即x=时，函数y=x+的最小值为2．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2015•达州）在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣‎ 点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；‎ ‎（2）求证：△BCD≌△AFD；‎ ‎（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．‎ 考点：‎ 圆的综合题．. ‎ 分析：‎ ‎（1）由CD是△ABC的外角平分线，可得∠MCD=∠ACD，又由∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，可得∠MCD=∠BAD，继而证得∠ABD=∠BAD，即可得DB=DA；‎ ‎（2）由DB=DA，可得=，即可得=，则可证得CD=FD，BC=AF，然后由SSS判定△BCD≌△AFD；‎ ‎（3）首先连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，由∠ACM=120°，易证得△ABD是等边三角形，并可求得边长，易证得△ACD∽△EBD，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长．‎ 解答：‎ 解：（1）DB=DA．‎ 理由：∵CD是△ABC的外角平分线，‎ ‎∴∠MCD=∠ACD，‎ ‎∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，‎ ‎∴∠MCD=∠BAD，‎ ‎∴∠ACD=∠BAD，‎ ‎∵∠ACD=∠ABD，‎ ‎∴∠ABD=∠BAD，‎ ‎∴DB=DA；‎ ‎（2）证明：∵DB=DA，‎ ‎∴=，‎ ‎∵=，‎ ‎∴AF=BC，=，‎ ‎∴CD=FD，‎ 在△BCD和△AFD中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCD≌△AFD（SSS）；‎ ‎（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，‎ ‎∵DB=DA，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DN⊥AB，‎ ‎∵∠ACM=120°，‎ ‎∴∠ABD=∠ACD=60°，‎ ‎∵DB=DA，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∴∠OBA=30°，‎ ‎∴ON=OB=×5=2.5，‎ ‎∴DN=ON+OD=7.5，‎ ‎∴BD==5，‎ ‎∴AD=BD=5，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠ADC=∠BDF，‎ ‎∵∠ABD=∠ACD，‎ ‎∴△ACD∽△EBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE=12.5．‎ 点评：‎ 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．‎ ‎　‎ 七、解答题（共1小题，满分12分）‎ ‎25．（12分）（2015•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y=x2+bx+c的图象抛物线经过A，C两点．‎ ‎（1）求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；‎ ‎（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．. ‎ 分析：‎ ‎（1）根据待定系数法，可得函数解析式；‎ ‎（2）分别作A关于x轴的对称点E，作B关于y轴的对称点F，连接EF交x轴于D，交y轴于C，连接AD、BC，则此时AD+DC+BC的值最小，根据A、B的坐标求出AB，求出E、F的坐标，求出EF的长，即可求出答案；‎ ‎（3）根据三角形的面积，首先求得点P到OD的距离，然后过点O作OF⊥OD，使OF等于点P到OD的距离，过点F作FG∥OD，求得FG的解析式，然后再求直线FG与抛物线交点的坐标即可得到点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y=x2+bx+c，得 ‎，‎ 解得．‎ 故二次函数的表达式y=x2﹣x+4；‎ ‎（2）如图：‎ 延长EC至E′，使E′C=EC，延长DA至D′，使D′A=DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，‎ GD=GD′EF=E′F，‎ ‎（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE，‎ 由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（﹣4，4），E（5，﹣2）．‎ 由勾股定理，得 DE==，D′E′==，‎ ‎（DG+GF+EF+ED）最小=D′E′+DE=+；‎ ‎（3）如下图：‎ OD=．‎ ‎∵S△ODP的面积=12，‎ ‎∴点P到OD的距离==3．‎ 过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG∥OD，交抛物线与点P1，P2，‎ 在Et△OGF中，OG===6，‎ ‎∴直线GF的解析式为y=x﹣6．‎ 将y=x﹣6代入y=得：x﹣6=，‎ 解得：，，‎ 将x1、x2的值代入y=x﹣6得：y1=，y2=‎ ‎∴点P1（，），P2（，）‎ 如下图所示：‎ 过点O作OF⊥OD，取OF=3，过点F作直线FG交抛物线与P3，P4，‎ 在Rt△PFO中，OG==6‎ ‎∴直线FG的解析式为y=x+6，‎ 将y=x+6代入y=得：x+6=‎ 解得：，‎ y1=x1+6=，y2=x2+6=‎ ‎∴p3（，），p4（，）‎ 综上所述：点P的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点P到OD的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．‎