陕西省中考数学试卷及解析

陕西省中考数学试卷及解析

‎2010年陕西省中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）（2010•陕西）=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2010•陕西）如图，点O在直线AB上且OC⊥OD．若∠COA=36°，则∠DOB的大小为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎36°‎ B．‎ ‎54°‎ C．‎ ‎64°‎ D．‎ ‎72°‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2010•陕西）计算（﹣2a2）•3a的结果是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣6a2‎ B．‎ ‎﹣6a3‎ C．‎ ‎12a3‎ D．‎ ‎6a3‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2010•陕西）如图是由正方体和圆锥组成的几何体，它的俯视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2010•陕西）一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2010•陕西）中国2010年上海世博会充分体现“城市，让生活更美好”的主题．据统计5月1日至5月7日入园数（单位：万人）分别为：20.3，21.5，13.2，14.6，10.9，11.3，13.9．这组数据中的中位数和平均数分别为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎14.6，15.1‎ B．‎ ‎14.65，15.0‎ C．‎ ‎13.9，15.1‎ D．‎ ‎13.9，15.0‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2010•陕西）不等式组的解集是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1＜x≤2‎ B．‎ ‎﹣2≤x＜1‎ C．‎ x＜﹣1或x≥2‎ D．‎ ‎2≤x＜﹣1‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2010•陕西）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎16‎ B．‎ ‎8‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎1‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2010•陕西）如图，点A、B是在⊙O上的定点、P是在⊙O上的动点，要使△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 ‎　‎ ‎10．（3分）（2010•陕西）将抛物线C：y=x2+3x﹣10，将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，则下列平移方法中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 将抛物线C向右平移个单位 B．‎ 将抛物线C向右平移3个单位 ‎　‎ C．‎ 将抛物线C向右平移5个单位 D．‎ 将抛物线C向右平移6个单位 ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）（2010•陕西）在：1，﹣2，，0，π五个数中最小的数是 　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2010•陕西）方程x2﹣4x=0的解为 　_________　．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2010•陕西）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是　_________　．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2010•陕西）如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽1.6米，则这条管道中此时最深为　_________　米．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2010•陕西）已知A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上．若x1x2=﹣3，则y1y2的值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2010•陕西）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A+∠B=90°．若AB=10，AD=4，DC=5，则梯形ABCD的面积为　_________　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分72分）‎ ‎17．（5分）（2010•陕西）化简：‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2010•陕西）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN连接FN，EC．‎ 求证：FN=EC．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）（2010•陕西）某县为了了解“五一”期间该县常住居民出游情况，有关部门随即调查了1600名常住居民，并根据调查结果绘制了如下统计图：‎ 根据以上信息，解答下列各题：‎ ‎（1）补全条形信息统计图．在扇形统计图中，直接填入出游的主要目的是采集发展信息人数的百分数；‎ ‎（2）若该县常住居民24万人，请估计出游人数．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2010•陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2010•陕西）某蒜薹生产基地喜获丰收，收获蒜薹200吨．经市场调查，可采用批发、零售、冷库储藏后销售三种方式，并按这三种方式销售，计划平均每吨的售价及成本如下表：‎ 销售方式 批发 零售 储藏后销售 售价（元/吨）‎ ‎3000‎ ‎4500‎ ‎5500‎ 成本（元/吨）‎ ‎700‎ ‎1000‎ ‎1200‎ 若经过一段时间，蒜薹按计划全部售出获得的总利润为y（元），蒜薹零售x（吨），且零售量是批发量的．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）由于受条件限制，经冷库储藏售出的蒜薹最多80吨，求该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2010•陕西）某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏，游戏采用一个不透明的盒子，里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球出书字外，其他完全相同，游戏规则是参加联欢会的50名同学，每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随即一次摸出两个球（每位同学必须且只能摸一次）．若两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下个同学接着做摸球游戏依次进行．‎ ‎（1）用列表法或画树状图法求参加联欢会同学表演即兴节目的概率；‎ ‎（2）估计本次联欢会上有多少个同学表演即兴节目．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2010•陕西）如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC于E点，连接BE．‎ ‎（1）若BE是△DEC的外接圆⊙O的切线，求∠C的大小；‎ ‎（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2010•陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式；‎ ‎（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2010•陕西）问题探究：‎ ‎（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；‎ ‎（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．‎ 问题解决：‎ ‎（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎ 2010年陕西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）‎ 考点：‎ 绝对值．2867872‎ 分析：‎ 按照绝对值的性质进行求解．‎ 解答：‎ 解：根据负数的绝对值是它的相反数，得：|﹣|=．故选C．‎ 点评：‎ 绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2．（3分）‎ 考点：‎ 垂线．2867872‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 首先由OC⊥OD，根据垂直的定义，得出∠COD=90°，然后由平角的定义，知∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，从而得出∠DOB的度数．‎ 解答：‎ 解：∵OC⊥OD，‎ ‎∴∠COD=90°，‎ 又∵∠AOC+∠COD+∠DOB=180°，‎ ‎∴∠DOB=180°﹣36°﹣90°=54°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了垂直及平角的定义．‎ ‎3．（3分）‎ 考点：‎ 单项式乘单项式．2867872‎ 分析：‎ 根据单项式的乘法法则计算．‎ 解答：‎ 解：（﹣2a2）•3a，‎ ‎=（﹣2×3）×（a2•a），‎ ‎=﹣6a3．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．‎ ‎4．（3分）‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．2867872‎ 分析：‎ 俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据各几何体的特点进行判断．‎ 解答：‎ 解：圆锥的俯视图是圆及一点，正方体的俯视图是正方形；由图知：圆锥的底面圆直径与正方形的边长相等，故俯视图中的圆应该内切于正方形．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．‎ ‎5．（3分）‎ 考点：‎ 待定系数法求正比例函数解析式．2867872‎ 专题：‎ 待定系数法．‎ 分析：‎ 利用待定系数法即可求解．‎ 解答：‎ 解：设函数的解析式是y=kx．‎ 根据题意得：2k=﹣3．‎ 解得：k=﹣．‎ 故函数的解析式是：y=﹣x．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了函数的解析式与图象的关系，满足解析式的点一定在图象上，图象上的点一定满足函数解析式．‎ ‎6．（3分）‎ 考点：‎ 中位数；众数．2867872‎ 分析：‎ 本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ 这几个数的和，除以数据的个数为平均数．‎ 解答：‎ 解：将这组数据从小到大的顺序排列为（10.9，11.3，13.2，13.9，14.6，20.3，21.5），处在中间的是13.9，因此中位数13.9．‎ 平均数为=15.1．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是中位数和平均数的定义．‎ ‎7．（3分）‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组．2867872‎ 分析：‎ 先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．‎ 解答：‎ 解：由（1）去分母得，2﹣x≥0，‎ 移项得，﹣x≥﹣2，‎ 系数化为1得，x≤2．‎ ‎（2）移项、合并同类项得，3x＞﹣3，‎ 系数化为1得，x＞﹣1．‎ 故原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．‎ ‎8．（3分）‎ 考点：‎ 菱形的性质．2867872‎ 分析：‎ 根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．‎ 解答：‎ 解：设两对角线长分别是：a，b．‎ 则（a）2+（b）2=22．则a2+b2=16．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了菱形的性质：菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形．‎ ‎9．（3分）‎ 考点：‎ 垂径定理．2867872‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 根据垂径定理，分两种情况：①以AB为底边，可求出有点P1、P2；②以AB为腰，可求出有点P3、P4．故共4个点．‎ 解答：‎ 解：如图：①以AB为底边，‎ 过点O作弦AB的垂线分别交⊙O于点P1、P2，‎ ‎∴AP1=BP1，AP2=BP2，‎ 故点P1、P2即为所求．‎ ‎②以AB为腰，‎ 分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画弧，交⊙O于点P3、P4，‎ 故点P3、P4即为所求．‎ 共4个点．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分线并且平分弦所在的弧．‎ ‎10．（3分）‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．2867872‎ 分析：‎ 主要是找一个点，经过平移后这个点与直线x=1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移5个单位．‎ 解答：‎ 解：∵抛物线C：y=x2+3x﹣10=，‎ ‎∴抛物线对称轴为x=﹣．‎ ‎∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）．‎ 则与A点以对称轴对称的点是B（﹣3，﹣10）．‎ 若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．‎ 则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．‎ 因此将抛物线C向右平移5个单位．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）‎ 考点：‎ 实数大小比较．2867872‎ 分析：‎ 根据正数大于所有负数，负数绝对值大的反而小进行比较即可．‎ 解答：‎ 解：因为|﹣2|＞|﹣|，‎ 所以﹣2＜﹣．‎ ‎∴﹣2＜﹣＜0＜1＜π．‎ 故五个数中最小的数是﹣2．‎ 点评：‎ 此题主要考查的实数的大小的比较，实数比较大小的法则：正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．‎ ‎12．（3分）‎ 考点：‎ 解一元二次方程-因式分解法．2867872‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ x2﹣4x提取公因式x，再根据“两式的乘积为0，则至少有一个式子的值为0”求解．‎ 解答：‎ 解：x2﹣4x=0‎ x（x﹣4）=0‎ x=0或x﹣4=0‎ x1=0，x2=4‎ 故本题的答案是x1=0．x2=4．‎ 点评：‎ 本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．该题运用了因式分解法．‎ ‎13．（3分）‎ 考点：‎ 相似三角形的判定．2867872‎ 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ ‎△ACD和△ABC中，已知了公共角∠A，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹∠A的两组对应边成比例．‎ 解答：‎ 解：△ABC和△ACD中，∠DAC=∠CAB，‎ 若要△ADC与△ABC，需添加的条件为：‎ ‎①∠ADC=∠ACB；‎ ‎②∠ACD=∠B；‎ ‎③，或AC2=AB•AD．‎ 点评：‎ 此题主要考查的是相似三角形的判定方法：‎ 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；‎ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．‎ ‎14．（3分）‎ 考点：‎ 垂径定理的应用；勾股定理．2867872‎ 专题：‎ 应用题．‎ 分析：‎ 利用垂径定理，以及勾股定理即可求解．‎ 解答：‎ 解：作出弧AB的中点D，连接OD，交AB于点C．‎ 则OD⊥AB．AC=AB=0.8m．‎ 在直角△OAC中，OC===0.6m．‎ 则水深CD=OD﹣OC=1﹣0.6=0.4m．‎ 点评：‎ 此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．‎ ‎15.（3分）　‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征．2867872‎ 分析：‎ 根据反比例函数上的点的横纵坐标的积等于6作答即可．‎ 解答：‎ 解：∵A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，‎ ‎∴x1y1=6，x2y2=6，‎ ‎∴x1y1×x2y2=36，‎ ‎∵x1x2=﹣3，‎ ‎∴y1y2=﹣12．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上任意一点横纵坐标的积等于比例系数．‎ ‎16．（3分）‎ 考点：‎ 梯形．2867872‎ 分析：‎ 先分别过D和C点向AB作垂线交AB分别为E和F．再利用已知条件得到△ADE和△CBF相似，求出DE或CF，最后用梯形的面积公式得到结果．‎ 解答：‎ 解：法一：分别过D、C点作DE⊥AB于E、CF⊥AB于F．‎ 设AE=x，BF=y，DE=CF=h．‎ ‎∵△ADE和△BCF都是直角三角形，‎ 且∠A+∠B=90°，‎ ‎∴△ADE∽△CBF．‎ ‎∴．‎ 即h2=xy．‎ 在△ADE中，‎ ‎∵AD=4，‎ ‎∴h2=16﹣x2．‎ ‎∴xy=16﹣x2．‎ 而x+y=AB﹣CD=10﹣5=5，‎ ‎∴y=5﹣x．‎ ‎∴x（5﹣x）=16﹣x2，‎ x=．‎ ‎∴=．‎ 故梯形ABCD的面积为=18．‎ 法二：过点C作CE∥AD交AB于E，作CH⊥AB于H，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴AE=CD=5，CE=AD=4，∠CEB=∠A，‎ ‎∴BE=AB﹣AE=5．‎ ‎∵∠A+∠B=90°，‎ ‎∴∠BCE=90°，‎ ‎∴BC=3，‎ ‎∴CH==，‎ ‎∴梯形ABCD的面积为=18．‎ 点评：‎ 考查三角形相似的性质和梯形面积公式．‎ 三、解答题（共9小题，满分72分）‎ ‎17．（5分）‎ 考点：‎ 分式的加减法．2867872‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 把异分母分式转化成同分母分式，然后进行化简．‎ 解答：‎ 解：原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 点评：‎ 分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．‎ ‎18．（6分）‎ 考点：‎ 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．2867872‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 只要判定△FNE≌△EBC，就不难证明FN=EC．‎ 解答：‎ 证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，‎ AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，‎ ‎∵AB=2BC，即BC=BN=AB，‎ ‎∴BN=BE，即N为BE的中点，‎ ‎∴EN=NB=BC，‎ ‎∴△FNE≌△EBC，‎ ‎∴FN=EC．‎ 点评：‎ 本题集中考查了正方形的性质和全等三角形的判定．‎ ‎（1）正方形的四条边相等，四个角相等，都是90°，对角线互相垂直、平分；‎ ‎（2）三角形全等的判定定理有SAS、SSS、AAS，ASA，HL等．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．2867872‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ ‎（1）因为调查了1600名，没有出游的为1000人，所以出游人数为600人；采集发展信息百分比为1减其它三项的差；‎ ‎（2）由条形统计图中可以利用样本估计总体的方法知道出游率为，再用常住居民人数乘以出游率即可求得结果．‎ 解答：‎ 解：（1）如图所示：‎ ‎（2）24×=9（万人）．‎ ‎∴该县常住居民出游人数约为9万人．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．‎ ‎20．（8分）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．2867872‎ 分析：‎ 过P作AB的垂线，设垂足为H．在Rt△APH中求出AH、PH的长，进而在Rt△AHB中求得BH的长；由AB=AH+BH即可求出A、B间的距离．‎ 解答：‎ 解：作PH⊥AB于点H．‎ 则∠APH=30°，‎ 在Rt△APH中，‎ AH=100，PH=AP•cos30°=100．‎ Rt△PBH中，‎ BH=PH•tan43°≈161.60．‎ AB=AH+BH≈262．‎ 答：码头A与B距约为262米．‎ 点评：‎ 当两个三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题目的基本出发点．‎ ‎21．（8分）（2010•陕西）‎ 考点：‎ 一次函数的应用．2867872‎ 专题：‎ 经济问题．‎ 分析：‎ ‎（1）利润=批发数量×（批发售价﹣批发成本）+零售数量×（零售售价﹣零售成本）+储藏数量×（储藏售价﹣储藏成本）；‎ ‎（2）由库储藏的蒜薹最多80吨，则得200﹣4x≤80．再由y与x之间的函数关系式可求得y的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意，批发蒜薹3x吨，储藏后销售（200﹣4x）吨，‎ 则y=3x（3000﹣700）+x（4500﹣1000）+（200﹣4x）（5500﹣1200），‎ ‎=﹣6800x+860000（0＜x≤50）．‎ ‎（2）由题意得200﹣4x≤80解之得x≥30，‎ ‎∵﹣6800x+860000且﹣6800x＜0，‎ ‎∴y的值随x的值增大而减小，‎ 当x=30时，y最大值=﹣6800×30+860000=656000（元）；‎ 答：该生产基地按计划全部售完蒜薹获得的最大利润为656000元．‎ 点评：‎ 本题主要考查了一次函数在实际问题中的应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．‎ ‎22．（8分）‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．2867872‎ 分析：‎ ‎（1）可用列表法列举出所有情况，看两球上的数字之和是偶数的情况占总情况的多少即可；‎ ‎（2）表演节目的同学数=学生总数×相应概率．‎ 解答：‎ 解：（1）如下表：‎ 从上表可以看出，一次性共有20种可能结果，其中两数为偶数的共有8种．‎ 将参加联欢会的某位同学即兴表演节目记为事件A，‎ ‎∴P（A）=P（两数和为偶数）==；‎ ‎（2）∵50×=20（人），‎ ‎∴估计有20名同学即兴表演节目．‎ 点评：‎ 用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×部分相应概率．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）‎ 考点：‎ 切线的性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．2867872‎ 分析：‎ ‎（1）由于DE垂直平分AC，可得两个条件：①DE⊥AC，②E是AC的中点；由①得：∠DEC是直角，则DC是⊙O的直径，若连接OE，则OE⊥BE，且∠BOE=2∠C；欲求∠C的度数，只需求出∠EBO、∠C的比例关系即可；由②知：在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，则BE=EC，即∠EBO=∠C，因此在Rt△EBO中，∠EBO和∠EOB互余，即3∠C=90°，由此得解．‎ ‎（2）根据AB、BC的长，利用勾股定理可求出斜边AC的长，由（1）知：E是AC的中点，即可得到EC的值；易证得△DEC∽△ABC，根据所得比例线段，即可求得直径CD的长，由此得解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵DE垂直平分AC，‎ ‎∴∠DEC=90°，‎ ‎∴DC为△DEC外接圆的直径，‎ ‎∴DC的中点O即为圆心；‎ 连接OE，又知BE是圆O的切线，‎ ‎∴∠EBO+∠BOE=90°；‎ 在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，‎ ‎∴BE=EC，‎ ‎∴∠EBC=∠C；‎ 又∵OE=OC，‎ ‎∴∠BOE=2∠C，∠EBC+∠BOE=90°，‎ ‎∴∠C+2∠C=90°，‎ ‎∴∠C=30°．‎ ‎（2）在Rt△ABC中，AC=，‎ ‎∴EC=AC=，‎ ‎∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，‎ ‎∴△ABC∽△DEC，‎ ‎∴，‎ ‎∴DC=，‎ ‎∴△DEC外接圆半径为．‎ 点评：‎ 此题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质以及相似三角形的判定和性质，难度适中．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）‎ 考点：‎ 二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式．2867872‎ 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）设出抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，由于抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点，把三点代入表达式，联立解方程组，求出a、b、c．‎ ‎（2）要分类讨论AB是边还是对角线两种情况，AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可，进而求出P点坐标，当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，进而求出P点坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意，‎ 得：，‎ 解之得，‎ ‎∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣1．‎ ‎（2）①AB为边时，只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可．‎ 又知点Q在y轴上，‎ ‎∴点P的横坐标为4或﹣4，这时符合条件的点P有两个，分别记为P1，P2．‎ 而当x=4时，y=；‎ 当x=﹣4时，y=7，‎ 此时P1（4，）、P2（﹣4，7）．‎ ‎②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，‎ 又知点Q在y轴上，Q点横坐标为0，且线段AB中点的横坐标为1，‎ ‎∴由中点坐标公式，得点P的横坐标为2，这时符合条件的P只有一个记为P3．‎ 而且当x=2时y=﹣1，此时P3（2，﹣1），‎ 综上，满足条件的P为P1（4，）、P2（﹣4，7）、P3（2，﹣1）．‎ 点评：‎ 本题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定，分类讨论的思想，此题不是很难，但是做题时要考虑周全．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）‎ 考点：‎ 直角梯形；待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质．2867872‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分．‎ ‎（2）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分．‎ ‎（3）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y=kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎（1）如图①．‎ ‎（2）如图②连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．‎ ‎（3）如图③存在直线l，‎ 过点D的直线作DA⊥OB于点A，‎ 则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，‎ ‎∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，‎ 易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．‎ 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，‎ 即直线PH为所求直线l 设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（4，2），‎ ‎∴2=4k+b即b=2﹣4k，‎ ‎∴y=kx+2﹣4k，‎ ‎∵直线OD的表达式为y=2x，‎ ‎∴，解之．‎ ‎∴点H的坐标为（x=，y=）‎ 把x=2代入直线PH的解析式y=kx+2﹣4k，得y=2﹣2k，‎ ‎∴PH与线段AD的交点F（2，2﹣2k），‎ ‎∴0＜2﹣2k＜4，‎ ‎∴﹣1＜k＜1．‎ ‎∴S△DHF=（4﹣2+2k）•（2﹣）=××2×4，‎ ‎∴解之，得k=．（k=舍去）‎ ‎∴b=8﹣2，‎ ‎∴直线l的表达式为y=．‎ 点评：‎ 本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错，做的时候要认真．‎ ‎　‎