中考数学试题研究精选及答案

中考数学试题研究精选及答案

‎2011年中考数学试题研究精选 ‎（黄冈市2011）24．（14分）如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx＋b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）．‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第22题图 ‎⑴求b的值．‎ ‎⑵求x1•x2的值 ‎⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．‎ ‎⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．‎ 答案：24．解：⑴b=1⑵显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=－4‎ ‎⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：‎ 由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F‎1M1•F1N1=－x1•x2=4，而FF1=2，所以F‎1M1•F1N1=F‎1F2，另有∠M‎1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN‎1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN‎1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形．‎ ‎⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：‎ F M N N1‎ M1‎ F1‎ O y x l ‎ 第22题解答用图 P Q 直线y=－1即为直线M1N1．‎ 如图，设N点横坐标为m，则 ‎（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙‎ 上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。‎ ‎（1）如图（8），若是⊙的直径，求证：；‎ ‎（2）如图(9)，若是⊙外一点，求证：；‎ ‎（3）如图（10），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。‎ ‎ ‎ 答案：24．（9分）证明：（1）如图（一），连接，‎ ‎∵为⊙的直径 ∴‎ ‎∴为⊙的直径 ∴在上 又，为的中点 ‎∴△是以为底边的等腰三角形 ‎∴ （3分）‎ ‎（2）如图（二），连接，并延长交⊙与点，连 ‎∵四边形内接于⊙ ∴‎ 又∵ ∴‎ ‎∴‎ 又为⊙的直径 ∴‎ ‎∴ （3分）‎ ‎（3）如图（三），连接，并延长交⊙与点，连 ‎∵ 又 ‎∴ ‎ ‎∴ 又 ‎∴ （3分）‎ ‎（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数 ‎（1）当时，函数值随的增大而减小，求的取值范围。‎ ‎（2）以抛物线的顶点为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（，两点在抛物线上），请问：△的面积是与无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。‎ ‎（3）若抛物线与轴交点的横坐标均为整数，求整数的值。‎ x y ‎0‎ A 答案：25．（10分）解：（1）∵‎ ‎∴由题意得， （3分）‎ ‎（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知轴，设抛物线的对称轴与交于点，则。设 ‎∴‎ 又 ‎ ‎ ‎∴ ∴‎ ‎∴，‎ ‎∴定值 （3分）‎ x y ‎0‎ A N B M ‎（3）令，即时，有 由题意，为完全平方数，令 即 ‎∵为整数， ∴的奇偶性相同 ‎∴或 解得或 综合得 ‎ ‎（2011年广东茂名市）如图，⊙P与轴相切于坐标原点O（0，0），与 轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．‎ ‎（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分） ‎ ‎（2）若AC=, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值（用含的代数式表示）． （４分） ‎ 第24题备用图 χ 第24题图 χ 解：‎ 六、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎24、解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，‎ ‎ 在Rt△AOC中，，1分 ‎ 在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB ‎ ∴Rt△AOC∽Rt△ABO，····························2分 ‎ ∴，即， ····················3分 ‎ ∴ ， ∴····················4分 ‎ 解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°‎ 在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ············1分 过C作CE⊥OA于点E，则：，‎ 即：，∴，·························2分 ‎∴ ∴，·········3分 设经过A、C两点的直线解析式为：．‎ ‎ 把点A（5，0）、代入上式得：‎ ‎ ， 解得：，‎ ‎ ∴ ， ∴点 ．·4分 ‎（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：‎ 连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴，‎ ‎∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，‎ ‎∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，‎ ‎∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； ·················6分 由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，‎ 由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，‎ ‎，OD=，‎ ‎∴，点在函数的图象上，‎ ‎∴， ∴． ················8分 ‎（2011年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点Ａ(0，4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴与轴相交于点M．‎ ‎（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分）‎ ‎（2）设点P为抛物线（）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2分）‎ ‎（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分）‎ 第25题图 解：‎ ‎25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为，············1分 ‎ 　　把点A（0，4）代入上式得：，‎ ‎ 　　∴‎ ‎，···········2分 ‎ 　　∴抛物线的对称轴是：．······································3分 ‎（2）由已知，可求得P（6，4）． ···································5分 提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，‎ 即P（6，4）．···································5分 ‎（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1分） ‎ ‎⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．‎ 设N点的横坐标为，此时点N（，过点N作NG∥轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：；把代入得：，则G，‎ 此时：NG=-（）， ‎ ‎=． ······································７分 ‎∴‎ ‎∴当时，△CAN面积的最大值为，‎ 由，得：，∴N（， -3）． ········ 8分 法二：提示：过点N作轴的平行线交轴于点E，作CF⊥EN于点F，则 ‎（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）‎ ‎（重庆市潼南县2011年）26.（12分）如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，‎ OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．‎ ‎（1）求b,c的值；‎ ‎（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线 交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上 是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎26. 解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）------------1分 ‎∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)‎ ‎∴ 　　------------2分 解得：b=‎-‎‎2 c=-3　　　　　　　　　　　------------3分 ‎（2如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0） B(4,5)‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=x+1 ‎ ‎∵二次函数 ‎∴设点E(t， t+1),则F（t，） ------------4分 ‎∴EF= ------------5分 ‎ 　　=‎ ‎∴当时，EF的最大值=‎ ‎∴点E的坐标为（，）　------------------------6分 ‎（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ． ‎ 可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4） ‎ S　=　S　+　S ‎ =‎ ‎２６题备用图 ‎ = 　　-----------------------------------9分 ‎②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)‎ 则有： 解得:, ‎ ‎∴,　‎ ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）‎ 则有： 　　解得： ，（与点F重合，舍去）∴‎ 综上所述：所有点P的坐标：，（. 能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．------------------------------------12分 ‎（江苏省宿迁市2011年）26．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B．‎ ‎（1）判断P是否在线段AB上，并说明理由；‎ ‎（2）求△AOB的面积；‎ ‎（3）Q是反比例函数y＝（x＞0）图象上异于点P的另一点，请以Q为圆心，QO ‎（第26题）‎ ‎ 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N，连接AN、MB．‎ 求证：AN∥MB．‎ 解：（1）点P在线段AB上，理由如下：‎ ‎ ∵点O在⊙P上，且∠AOB＝90°‎ ‎∴AB是⊙P的直径 ‎∴点P在线段AB上．‎ ‎（2）过点P作PP1⊥x轴，PP2⊥y轴，由题意可知PP1、PP2‎ 是△AOB的中位线，故S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×PP2‎ ‎ ∵P是反比例函数y＝（x＞0）图象上的任意一点 ‎∴S△AOB＝OA×OB＝×2 PP1×2PP2＝2 PP1×PP2＝12．‎ ‎（3）如图，连接MN，则MN过点Q，且S△MON＝S△AOB＝12．‎ ‎∴OA·OB＝OM·ON ‎∴‎ ‎∵∠AON＝∠MOB ‎∴△AON∽△MOB ‎∴∠OAN＝∠OMB ‎∴AN∥MB．‎ ‎（江苏省宿迁市2011年）27．（本题满分12分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．‎ ‎ （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；‎ ‎ （2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．‎ ‎（第27题）‎ 解：（1）∵四边形ABCD是正方形 ‎∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB ‎∵QE⊥AB，MF⊥BC ‎∴∠AEQ＝∠MFB＝90°‎ ‎ ∴四边形ABFM、AEQD都是矩形 ‎ ∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE ‎ 又∵PQ⊥MN ‎∴∠EQP＝∠FMN 又∵∠QEP＝∠MFN＝90°‎ ‎∴△PEQ≌△NFM．‎ ‎ （2）∵点P是边AB的中点，AB＝2，DQ＝AE＝t ‎∴PA＝1，PE＝1－t，QE＝2‎ 由勾股定理，得PQ＝＝‎ ‎∵△PEQ≌△NFM ‎∴MN＝PQ＝‎ 又∵PQ⊥MN ‎∴S＝＝＝t2－t＋‎ ‎∵0≤t≤2‎ ‎∴当t＝1时，S最小值＝2．‎ 综上：S＝t2－t＋，S的最小值为2．‎ ‎（江苏省宿迁市2011年）28．（本题满分12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．‎ ‎　（1）求AE的长度；‎ ‎（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．‎ 解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝‎ ‎（第28题）‎ ‎ ∵BC＝CD，AE＝AD ‎∴AE＝AC－AD＝．‎ ‎ （2）∠EAG＝36°，理由如下：‎ ‎ ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝‎ ‎∴＝‎ ‎∴△FAE是黄金三角形 ‎∴∠F＝36°，∠AEF＝72°‎ ‎∵AE＝AG，FA＝FE ‎∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE ‎∴△AEG∽△FEA ‎∴∠EAG＝∠F＝36°．‎ ‎（2011年广东省）10．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A‎1F1B1D‎1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B‎1C1和△D1E‎1F1各边中点，连接成正六角星形A‎2F2B2D‎2C2E2，如图(3)中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A‎4F4B4D‎4C4E4的面积为_________________． ‎ 题10图（1）‎ A1‎ B C D A F E B C D A F E B C D A F E B1‎ C1‎ F1‎ D1‎ E1‎ A1‎ B1‎ C1‎ F1‎ D1‎ E1‎ A2‎ B2‎ C2‎ F2‎ D2‎ E2‎ 题10图（2）‎ 题10图（3）‎ 答案：‎ ‎（2011年广东省）21．如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)‎ 题21图(1)‎ B H F A（D）‎ G C E C（E）‎ B F A（D）‎ 题21图(2)‎ ‎（1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；‎ ‎（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）‎ ‎（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.‎ ‎（1）、△HAB △HGA；‎ ‎（2）、由△AGC∽△HAB，得AC/HB=GC/AB，即9/y=x/9，故y=81/x (0

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