中考数学模拟试卷十五含解析

中考数学模拟试卷十五含解析

河南省信阳市新县一中2016年中考数学模拟试卷（十五）‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．估计在（　　）‎ A．0～1之间 B．1～2之间 C．2～3之间 D．3～4之间 ‎2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　）‎ A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 ‎4．方程（k﹣1）x2﹣x+=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≥1 B．k≤1 C．k＞1 D．k＜1‎ ‎5．如过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　）‎ A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ‎7．如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（　　）‎ A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm ‎8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：‎ ‎①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共21分）‎ ‎9．计算：|3﹣2|+（π﹣2014）0+（）﹣1=　　　　　　．‎ ‎10．设有反比例函数，（x1，y1）（x2，y2）为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围是　　　　　　．‎ ‎11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD且AB与CD不平行，AD=2，∠BCD=60°，对角线CA平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF，点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　　　　　　．‎ ‎12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为　　　　　　．‎ ‎13．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是　　　　　　．‎ ‎14．如图，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，F是BC边上的点，过F点的反比例函数y=（k＞0）的图象与AC边交于点E．若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点D处，则点F的坐标为　　　　　　．‎ ‎15．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分75分）‎ ‎16．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．‎ ‎17．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．‎ ‎（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．‎ ‎（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．‎ ‎18．本学期开学初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．‎ 根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）本次测试的学生中，得4分的学生有多少人？‎ ‎（2）本次测试的平均分是多少分？‎ ‎（3）通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试，测得成绩的最低分为3分，且得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得4分、5分的学生各有多少人？‎ ‎19．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．‎ ‎（参考数据=1.732）‎ ‎20．如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=的图象的一个交点为A（1，m），过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点D（n，﹣2）．‎ ‎（1）k1和k2的值分别是多少？‎ ‎（2）直线AB，BD分别交x轴于点C，E，若F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE，求点F的坐标．‎ ‎21．某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．‎ ‎（1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？‎ ‎（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？‎ ‎（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%．每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？‎ ‎22．如图，△ABC中，∠B=45°，O为AC上一个动点，过O作∠POQ=135°，且∠POQ与AB交于P，与BC交于Q ‎（1）若=1， =1，则=　　　　　　．若=， =，求的值，写出求解过程．若=， =，则=　　　　　　．（如图3）‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，2），与x轴的另一个交点为C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点P为抛物线第四象限上的一个动点，连接BC，BP，CP，请求△BCP的面积的最大值；‎ ‎（3）若点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，连接BD．点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请求出线段BM的长．‎ ‎　‎ ‎2016年河南省信阳市新县一中中考数学模拟试卷（十五）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共24分）‎ ‎1．估计在（　　）‎ A．0～1之间 B．1～2之间 C．2～3之间 D．3～4之间 ‎【分析】根据二次根式的性质得出，即：2，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ 即：2，‎ ‎∴在2到3之间．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，解此题的关键是知道在和之间．‎ ‎　‎ ‎2．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是中心对称图形，故此选项正确；‎ C、不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、不是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念．注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎3．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（　　）‎ A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 ‎【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．‎ ‎【解答】解：∵∠DPF=∠BAF，‎ ‎∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．方程（k﹣1）x2﹣x+=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≥1 B．k≤1 C．k＞1 D．k＜1‎ ‎【分析】假设k=1，代入方程中检验，发现等式不成立，故k不能为1，可得出此方程为一元二次方程，进而有方程有解，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范围，且由负数没有平方根得到1﹣k大于0，得出k的范围，综上，得到满足题意的k的范围．‎ ‎【解答】解：当k=1时，原方程不成立，故k≠1，‎ ‎∴方程为一元二次方程，‎ 又此方程有两个实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac=（﹣）2﹣4×（k﹣1）×=1﹣k﹣（k﹣1）=2﹣2k≥0，‎ 解得：k≤1，1﹣k＞0，‎ 综上k的取值范围是k＜1．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与解的情况，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．本题注意要舍去k=1时的情况．‎ ‎　‎ ‎5．如过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图所示的几何体，其正确展开图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．‎ ‎【解答】解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】考查了截一个几何体和几何体的展开图．解决此类问题，要充分考虑带有各种符号的面的特点及位置．‎ ‎　‎ ‎6．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（　　）‎ A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ‎【分析】根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．‎ ‎【解答】解：∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，‎ ‎∴D选项说法正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率．‎ ‎　‎ ‎7．如果圆形纸片的直径是8cm，用它完全覆盖正六边形，那么正六边形的边长最大不能超过（　　）‎ A．2cm B．2cm C．4cm D．4Cm ‎【分析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为8cm的圆内接正六边形的边长．‎ ‎【解答】解：解：已知圆内接半径r为4cm，‎ 则OB=4cm，‎ ‎∴BD=OBsin30°=4×=2（cm）．‎ 则BC=2×2=4（cm）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了多边形的计算，所求结果比较新颖，要注意题目问题的真正含义，即求圆内接正六边形的边长．‎ ‎　‎ ‎8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：‎ ‎①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，‎ ‎∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；‎ ‎∵当x=﹣3时，y＜0，‎ ‎∴9a﹣3b+c＜0，‎ 即9a+c＜3b，（故②错误）；‎ ‎∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c=0，‎ 而b=﹣4a，‎ ‎∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，‎ ‎∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，‎ ‎∵抛物线开口向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；‎ ‎∵对称轴为直线x=2，‎ ‎∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，‎ 当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共21分）‎ ‎9．计算：|3﹣2|+（π﹣2014）0+（）﹣1=　2　．‎ ‎【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、负指数幂等考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：原式=2﹣3+1+‎ ‎=2﹣3+1+‎ ‎=2﹣3+1+2‎ ‎=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是掌握零指数幂、绝对值、负指数幂等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎10．设有反比例函数，（x1，y1）（x2，y2）为其图象上两点，若x1＜0＜x2，y1＞y2，则k的取值范围是　k＜﹣2　．‎ ‎【分析】先根据x1＜0＜x2，y1＞y2判断出k+2的符号，求出k的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：∵（x1，y1）（x2，y2）为反比例函数图象上两点，x1＜0＜x2，y1＞y2，‎ ‎∴k+2＜0，解得k＜﹣2．‎ 故答案为：k＜﹣2．‎ ‎【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD且AB与CD不平行，AD=2，∠BCD=60°，对角线CA平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF，点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为　2　．‎ ‎【分析】要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解．‎ ‎【解答】解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴B点关于EF的对称点C点，‎ ‎∴AC即为PA+PB的最小值，‎ ‎∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，‎ ‎∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴PA+PB的最小值=ABtan60°=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分的面积为　　．‎ ‎【分析】连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．‎ ‎【解答】解：连接OD．‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴CE=DE=CD=（垂径定理），‎ 故S△OCE=S△ODE，‎ 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，‎ 又∵∠CDB=30°，‎ ‎∴∠COB=60°（圆周角定理），‎ ‎∴OC=2，‎ 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式．‎ ‎　‎ ‎13．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是　　．‎ ‎【分析】首先分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，‎ 画树状图得：‎ ‎∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的有2种情况，‎ ‎∴其概率是： =．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】此题考查了树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在矩形AOBC中，OB=4，OA=3，分别以OB，OA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，F是BC边上的点，过F点的反比例函数y=（k＞0）的图象与AC边交于点E．若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点D处，则点F的坐标为　（4，）　．‎ ‎【分析】过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=DF，易证Rt△MEM∽Rt△BMF；而EC=AC﹣AE=4﹣，CF=BC﹣BF=3﹣，得到EM=4﹣，MF=3﹣，即可得 的比值；故可得出EM：MB=ED：MF=4：3，而ED=3，从而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值即可得到F点的坐标．‎ ‎【解答】解：∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，‎ ‎∴∠EMF=∠C=90°，EC=EM，CF=MF，‎ ‎∴∠DME+∠FMB=90°，‎ 而ED⊥OB，‎ ‎∴∠DME+∠DEM=90°，‎ ‎∴∠DEM=∠FMB，‎ ‎∴Rt△DEM∽Rt△BMF；‎ 又∵EC=AC﹣AE=4﹣，CF=BC﹣BF=3﹣，‎ ‎∴EM=4﹣，MF=3﹣，‎ ‎∴==；‎ ‎∴ED：MB=EM：MF=4：3，而ED=3，‎ ‎∴MB=，‎ 在Rt△MBF中，MF2=MB2+MF2，即（3﹣）2=（）2+（）2，‎ 解得k=，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=，‎ 把x=4代入得y=，‎ ‎∴F点的坐标为（4，）．‎ 故答案为（4，）．‎ ‎【点评】本题涉及到反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点，折叠的性质、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识，难度适中．‎ ‎　‎ ‎15．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为　或或　．‎ ‎【分析】分类讨论：当BD=BQ，由AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，利用三角形的中位线的性质得到DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=‎ BC=2，可得到BQ与QM的长，然后利用等腰三角形的性质得到∠3=90°﹣∠B，易得∠2=∠B，又Rt△ABC≌Rt△DEF，利用三角形全等的性质得到∠EDF=∠A=90°﹣∠B，则∠1=∠B，即∠1=∠2，则△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的性质得到PN：QM=DN：DM，代值计算可得CP，从而求得AP；‎ 当DB=DQ，则Q点在C点，易证△CPD∽△CDA，然后根据三角形相似的相似比即可得到CP，从而求得AP；‎ 当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，得到∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，易证Rt△APD∽Rt△ABC，然后根据三角形相似的相似比即可求得AP．‎ ‎【解答】解：（1）当BD=BQ，‎ ‎∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，‎ 则AB=5，‎ 过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，‎ ‎∵D为AB的中点，‎ ‎∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2，‎ ‎∴BQ=BD=，QM=﹣2=，‎ ‎∴∠3=90°﹣∠B，‎ 而∠2+∠3=90°，‎ ‎∴∠2=∠B，‎ 又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，‎ ‎∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，‎ 而∠1+∠EDF+∠2=90°，‎ ‎∴∠1=∠B，即∠1=∠2，‎ ‎∴△DQM∽△DPN，‎ ‎∴PN：QM=DN：DM，即PN： =2：，‎ ‎∴PN=，‎ ‎∴AP=+=；‎ ‎（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，‎ DA=DC=，‎ 而Rt△ABC≌Rt△DEF，‎ ‎∴∠EDF=∠A，‎ ‎∴△CPD∽△CDA，‎ ‎∴CP：CD=CD：CA，即CP： =：3，‎ ‎∴CP=，‎ ‎∴AP=3﹣=；‎ ‎（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，‎ 而∠EDF=∠A，‎ ‎∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，‎ ‎∴Rt△APD∽Rt△ABC，‎ ‎∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，‎ ‎∴AP=．‎ 故答案为或或．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质：两腰相等，两底角相等．也考查了三角形全等的性质和三角形相似的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论思想的运用．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分75分）‎ ‎16．先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解得到x的值，代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=÷==，‎ ‎，‎ 由①解得：x＞2；由②解得：x＜，‎ ‎∴不等式的解集为2＜x＜，‎ 当x=3时，原式=．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式组的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．‎ ‎　‎ ‎17．如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．‎ ‎（1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形．‎ ‎（2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形；‎ ‎（2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，得出AD2=ACAF，进而求出AD．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，连接OD、OE、ED．‎ ‎∵BC与⊙O相切于一点D，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴∠ODB=90°=∠C，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∵∠B=30°，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∵OA=OE，‎ ‎∴△AOE是等边三角形，‎ ‎∴AE=AO=0D，‎ ‎∴四边形AODE是平行四边形，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴四边形AODE是菱形．‎ ‎（2）解：设⊙O的半径为r．‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴△OBD∽△ABC．‎ ‎∴，即10r=6（10﹣r）．‎ 解得r=，‎ ‎∴⊙O的半径为．‎ 如图2，连接OD、DF．‎ ‎∵OD∥AC，‎ ‎∴∠DAC=∠ADO，‎ ‎∵OA=OD，‎ ‎∴∠ADO=∠DAO，‎ ‎∴∠DAC=∠DAO，‎ ‎∵AF是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADF=90°=∠C，‎ ‎∴△ADC∽△AFD，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD2=ACAF，‎ ‎∵AC=6，AF=，‎ ‎∴AD2=×6=45，‎ ‎∴AD==3．‎ ‎【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．本学期开学初，学校体育组对九年级某班50名学生进行了跳绳项目的测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图．‎ 根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）本次测试的学生中，得4分的学生有多少人？‎ ‎（2）本次测试的平均分是多少分？‎ ‎（3）通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试，测得成绩的最低分为3分，且得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，问第二次测试中得4分、5分的学生各有多少人？‎ ‎【分析】（1）用总人数乘以得4分的学生所占的百分百即可得出答案；‎ ‎（2）根据平均数的计算公式把所有人的得分加起来，再除以总人数即可；‎ ‎（3）先设第二次测试中得4分的学生有x人，得5分的学生有y人，再根据成绩的最低分为3分，得4分和5分的人数共有45人，平均分比第一次提高了0.8分，列出方程组，求出x，y的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：‎ 得4分的学生有50×50%=25（人），‎ 答：得4分的学生有25人；‎ ‎（2）根据题意得：‎ 平均分==3.7（分）；‎ ‎（3）设第二次测试中得4分的学生有x人，得5分的学生有y人，根据题意得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 答：第二次测试中得4分的学生有15人，得5分的学生有30人．‎ ‎【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数和二元一次方程组的解法，掌握平均数的计算公式以及二元一次方程组的解法，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎19．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．‎ ‎（参考数据=1.732）‎ ‎【分析】本题中重点是求AB的长，可通过作辅助线构建直角三角形来求解．过A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，那么就有了一条公共直角边AD，可先求出AD的长，然后再求AB的长，然后再根据时间=路程÷速度比较两者的时间，看看是谁先到．‎ ‎【解答】解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，‎ ‎∵A在B北偏东60°方向上，‎ ‎∴∠ABD=30°，‎ 又∵A在C北偏东30°方向上，‎ ‎∴∠ACD=60°‎ 又∵∠ABC=30°，所以∠BAC=30°，‎ ‎∴∠ABD=∠BAC，所以AC=BC ‎∵BC=120，所以AC=120‎ 在Rt△ACD中，∠ACD=60°，AC=120，‎ ‎∴CD=60，AD=‎ 在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，‎ ‎∴AB=‎ 第一组时间：‎ 第二组时间：‎ 因为207.84＞150所以第二组先到达A处．‎ 答：第二组先到．‎ ‎【点评】在解此类实际问题中，构建直角三角形是关键，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．‎ ‎　‎ ‎20．如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=的图象的一个交点为A（1，m），过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点D（n，﹣2）．‎ ‎（1）k1和k2的值分别是多少？‎ ‎（2）直线AB，BD分别交x轴于点C，E，若F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE，求点F的坐标．‎ ‎【分析】（1）由点A在直线AC上，可求出点A的坐标，根据点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k1的值．由BD⊥AC，通过角的计算可得出∠BEC=∠OBC，从而得出△BEC∽△‎ OBC，根据相似三角形的性质可求出点E的坐标，再根据点B、E的坐标利用待定系数法即可求出直线BD的解析式，从而可得出点D的坐标，由点D的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k2的值；‎ ‎（2）由点A、C、E的坐标可得出AC、AE、CE的长度，由此可得出AE=CE，即∠EAC=∠ECA，再根据同角的余角相等可得出∠EAC=∠DBF，从而得出点F在点B的下方，设点F（0，t），结合点B、D的坐标即可得出BF、BD的长度，结合△BDF∽△ACE利用相似三角形的性质即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可求出t值，从而得出点F的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（1，m）在一次函数y=2x+2的图象上，‎ ‎∴m=2+2=4，‎ ‎∵点A（1，4）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴k1=1×4=4；‎ ‎∵BD⊥AB，‎ ‎∴∠BCE+∠BEC=90°，‎ ‎∵∠OCB+∠OBC=90°，‎ ‎∴∠BEC=∠OBC，‎ ‎∴△BEC∽△OBC，‎ ‎∴．‎ ‎∵已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与x轴交于点C，‎ ‎∴B（0，2），C（﹣1，0），‎ ‎∴BC==，OB=2，OC=1，‎ ‎∴CE==5，‎ ‎∴E（4，0）．‎ 设直线BD的解析式为y=kx+b，‎ 则有，解得：，‎ ‎∴直线BD的解析式为y=﹣x+2．‎ ‎∵点D（n，﹣2）在直线BD上，‎ ‎∴﹣2=﹣n+2，解得：n=8，‎ ‎∵点D（8，﹣2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴k2=8×（﹣2）=﹣16．‎ ‎（2）∵A（1，4），C（﹣1，0），E（4，0），‎ ‎∴CE=4﹣（﹣1）=5，AE==5，AC==2，‎ ‎∴∠EAC=∠ECA．‎ ‎∵∠EBO+∠CBO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，‎ ‎∴∠EBO=∠BCO=∠EAC=∠DBF，‎ ‎∴点F在点B的下方．‎ 设点F（0，t），B（0，2），D（8，﹣2），‎ ‎∴BF=2﹣t，BD==4．‎ ‎∵△BDF∽△ACE，‎ ‎∴，‎ ‎∴BF=2﹣t==10，‎ 解得：t=﹣8．‎ ‎∴当F是y轴上一点，且满足△BDF∽△ACE时，点F的坐标为（0，﹣8）．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）求出点A、D的坐标；（2）找出关于t的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用相似三角形的性质找出方程是关键．‎ ‎　‎ ‎21．某镇水库的可用水量为12000万m3，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．为实施城镇化建设，新迁入了4万人后，水库只能够维持居民15年的用水量．‎ ‎（1）问：年降水量为多少万m3？每人年平均用水量多少m3？‎ ‎（2）政府号召节约用水，希望将水库的使用年限提高到25年．则该镇居民人均每年需节约多少m3水才能实现目标？‎ ‎（3）某企业投入1000万元设备，每天能淡化5000m3海水，淡化率为70%．每淡化1m3海水所需的费用为1.5元，政府补贴0.3元．企业将淡化水以3.2元/m3的价格出售，每年还需各项支出40万元．按每年实际生产300天计算，该企业至少几年后能收回成本（结果精确到个位）？‎ ‎【分析】（1）设年降水量为x万m3，每人年平均用水量为ym3，根据题意等量关系可得出方程组，解出即可；‎ ‎（2）设该镇人均每年用水量为zm3水才能实现目标，由等量关系得出方程，解出即可；‎ ‎（3）该企业n年后能收回成本，根据投入1000万元设备，可得出不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）设年降水量为x万m3，每人年平均用水量为ym3，‎ 由题意得，‎ 解得：．‎ 答：年降水量为200万m3，每人年平均用水量为50m3．‎ ‎（2）设该镇居民人均每年用水量为zm3水才能实现目标，‎ 由题意得，12000+25×200=20×25z，‎ 解得：z=34，‎ ‎50﹣34=16m3．‎ 答：该镇居民人均每年需节约16m3水才能实现目标．‎ ‎（3）该企业n年后能收回成本，‎ 由题意得，[3.2×5000×70%﹣（1.5﹣0.3）×5000]×300n﹣400000n≥10000000，‎ 解得：n≥8．‎ 答：至少9年后企业能收回成本．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次不等式、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，得到等量关系与不等关系，难度一般．‎ ‎　‎ ‎22．如图，△ABC中，∠B=45°，O为AC上一个动点，过O作∠POQ=135°，且∠POQ与AB交于P，与BC交于Q ‎（1）若=1， =1，则=　1　．若=， =，求的值，写出求解过程．若=， =，则=　　．（如图3）‎ ‎【分析】（1）根据四点共圆的性质以及圆周角定理求出即可；‎ ‎（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，先证△OMP∽△ONQ，再根据相似三角形的性质与相关三角形的面积比的关系求出的值；‎ ‎（3）与（2）互逆．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠B=45°，∠POQ=135°，‎ ‎∴P，B，Q，O四点共圆，‎ ‎∵=1， =1，‎ ‎∴∠PBO=∠OBC，‎ ‎∴PO=QO，‎ ‎∴=1；‎ ‎（2）过O作OM⊥BA的延长线于M，O，作ON⊥BC的于N，连BO，‎ 先证△OMP∽△ONQ，‎ 得=，‎ 又==，‎ 即可得=；‎ ‎（3）过O作OM⊥BA的延长线于M，O作ON⊥BC的于N，连BO，‎ 先证△OMP∽△ONQ，‎ 得=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题结合三角形的面积计算考查了相似三角形的判定和性质，其中（2）与（3）之间互为逆运算．‎ ‎　‎ ‎23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，2），与x轴的另一个交点为C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点P为抛物线第四象限上的一个动点，连接BC，BP，CP，请求△BCP的面积的最大值；‎ ‎（3）若点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，连接BD．点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请求出线段BM的长．‎ ‎【分析】（1）把A和B代入函数解析式即可求得b和c的值，求得函数解析式；‎ ‎（2）首先利用待定系数法求得直线BC的解析式，设P的横坐标是t，过P作y轴的平行线交BC于点E，则E的坐标即可用t表示，则EF的长可利用t表示，则△BCP的面积即可表示成t的函数，利用函数的性质即可求解；‎ ‎（3）在Rt△BNF中，由勾股定理求得BF的长，然后分成当点M位于点B右侧时和当点M位于点B左侧时两种情况进行讨论，利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：，‎ 解得：，‎ 则函数的解析式是：；‎ ‎（2）在中令y=0，‎ 解得：x=或，‎ A的坐标是（，0），则C的坐标是（，0）．‎ 设BC的函数解析式是：y=kx+d，‎ 则，‎ 解得：，‎ 则直线BC的解析式是：y=x+．‎ 设P的横坐标是t，过P作y轴的平行线交BC于点E，则E的坐标是（t， t+），P的坐标是（t，）．‎ 则S△BCP= [（t+）﹣（）]（﹣1）．‎ 则S△BCP的最大值是：；‎ ‎（3）∵O（0，0），B（1，2），F为OB的中点，∴F（，）．‎ 过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=2﹣=，BN=1﹣=．‎ 在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．‎ ‎∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，‎ ‎∴∠FBM=2∠BMF．‎ ‎（I）当点M位于点B右侧时．‎ 在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，‎ 在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．‎ ‎∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．‎ 又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，‎ ‎∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，‎ ‎∴△GFB∽△GMF，‎ ‎∴=，即，‎ ‎∴BM=；‎ ‎（II）当点M位于点B左侧时．‎ 设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，‎ ‎∴KF=OB=FB=，‎ ‎∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，‎ 又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，‎ ‎∴∠BMF=∠MFK，‎ ‎∴MK=KF=，‎ ‎∴BM=MK+BK=+1=．‎ 综上所述，线段BM的长为或．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求得函数解析式，以及利用二次函数的性质求最值，正确进行讨论是解决本题的关键．‎