高分秘笈2013中考数学解题方法及提分突破训练换元法专题

高分秘笈2013中考数学解题方法及提分突破训练换元法专题

解题方法及提分突破训练：换元法专题 一．真题链接 ‎1.（2011•恩施州）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（　　）‎ A．x1=1，x2=3 B．x1=-2，x2=3C．x1=-3，x2=-1 D．x1=-1，x2=-2‎ ‎2．（2005•温州）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（　　）‎ A．y2+y-6=0 B．y2-y-6=0 C．y2-y+6=0 D．y2+y+6=0‎ ‎3.（2005•兰州）已知实数x满足 的值是（　　）‎ A．1或-2 B．-1或2 C．1 D．-2‎ ‎4．已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（　　）‎ 二．名词释义 概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。‎ 经验：换元法，可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明.‎ 详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。‎ 三．典题事例 ‎1.整体换元 例1 分解因式：‎ ‎ 解：设，则 原式 评注：此题还可以设，或，或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.‎ ‎2．双换元 ‎ 例2 分解因式：‎ 解：设，两式相加，则 原式 例3 解方程组 解：设，.‎ 原方程组可化为解得 ‎∴即解得 ‎∴原方程组的解为 而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式，‎ ‎3.均值换元 例4 解方程组 解：由①可设，，‎ 即，，代入②，得 ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴原方程组的解为 说明：本题若按常规设法，可设，，此时，﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设，，此时，，没有出现分类，使运算变得简捷.‎ 换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。 ‎ ‎4. 系数对称方程换元 ‎ 例5 解方程：‎ ‎ 分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元：‎ ‎ 变形：，‎ ‎ ，‎ ‎ 设，‎ ‎ 得，可解出方程。‎ ‎5. 倒数换元 ‎ 例6 分解因式 ‎ 解：原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四．巩固强化：‎ ‎1.分解因式：‎ ‎2.分解因式:.‎ ‎3.解方程： ；‎ ‎4. 解方程：.‎ ‎5..解方程:.‎ ‎6.解方程组: ‎ ‎7.计算:‎ ‎8.解方程组 ‎9.解方程组 ‎10.解方程组 ‎11.解方程组 ‎12. 解方程。‎ ‎ ‎ ‎ 13解方程。代入，求方程的解，并检验。‎ 五．参考答案 真题链接答案：‎ ‎1.解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0，‎ 设y=2x+5，‎ 方程可以变为 y2-4y+3=0，‎ ‎∴y1=1，y2=3，‎ 当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2；‎ 当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1，‎ 所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1．‎ 故选D．‎ ‎2.解：把x2+x整体代换为y，‎ y2+y=6，‎ 即y2+y-6=0．‎ 故选A．‎ ‎3.‎ ‎4.解：设x2+y2=t．则由原方程，得t2-t-12=0，‎ ‎∴（t+3）（t-4）=0，‎ ‎∴t+3=0或t-4=0，‎ 解得，t=-3或t=4；‎ 又∵t≥0，‎ ‎∴t=4．故选B．‎ 巩固强化答案：‎ ‎1.解：原式 ‎ 取“均值”，设 ‎ 原式 ‎ ‎ ‎2.解:设,则 原式=‎ ‎ =‎ ‎ = ‎ ‎ =‎ ‎ =.‎ ‎3.解: 原方程可化为:‎ ‎ . ①‎ ‎ 设,则方程①化为:‎ ‎ . ②‎ ‎ 解方程②,得 ‎ .‎ ‎ 当时，‎ ‎ .‎ ‎ 解得,.‎ ‎ 当时,‎ ‎ .‎ ‎ 解得,或.‎ ‎ 经检验,知,,,都是原方程的解.‎ ‎ 所以,原方程的解为,,,.‎ ‎4.解：原方程可化为: ‎ ‎ . ①‎ ‎ 设,则方程①化为:‎ ‎ . ②‎ ‎ 解方程②,得 ‎ .‎ ‎ 当时,‎ ‎ .‎ ‎ 解得,.‎ ‎ 当时,‎ ‎ .‎ ‎ 此方程无解.‎ ‎ 经检验,知都是原方程的解.‎ ‎ 所以,原方程的解为.‎ ‎5.解:原方程可化为:‎ ‎ .‎ ‎ 即.①‎ ‎ 设,则方程①化为:‎ ‎ .‎ ‎ 解得,.‎ ‎ 当时,‎ ‎ .②‎ ‎ 解方程②,得 ‎ .‎ ‎ 当时,‎ ‎ .③‎ ‎ ,‎ ‎ 方程③无实数根.‎ ‎ 因此,原方程的根为.‎ ‎6.解:设,则原方程组可化为:‎ ‎ ‎ ‎ 由(2)得,. (3)‎ ‎ 将(3)代入(1),得 ‎ .‎ ‎ 解得,(不能为负,舍去).‎ ‎ ∴.‎ ‎ 得 ‎ 解得,‎ ‎ 经检验,知是原方程组的解.‎ ‎ 所以,原方程组的解为.‎ ‎7.解:设,则 ‎ 原式=‎ ‎ =‎ ‎ =.‎ ‎8.解：由①，得.‎ 设，则，，‎ 代入②，得.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∴原方程组的解是 ‎9.解：设，.‎ 原方程组可化为解得 ‎∴即解得 ‎∴原方程组的解为 ‎10.解：设 原方程组可化为 解得 ‎∴ ，解得 ‎11.解：由①可设，，‎ 即，，代入②，得 ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎∴原方程组的解为 ‎12.解：方程的分母都含有 ‎ 故可设，‎ ‎ 然后整理可得，‎ ‎ 解得中，‎ ‎ 求出方程的解，并检验。‎ ‎ 13.解：方程变形为 ‎ ，‎ ‎ 即，‎ ‎ 方程可通过互为倒数关系换元：‎ ‎ 设，然后整理得，‎ ‎ 可解得，‎