2020-2021年中考数学重难题型突破：数学思想方法

2020-2021年中考数学重难题型突破：数学思想方法

‎2020-2021年中考数学重难题型突破：数学思想方法 数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。 ‎ 数学方法即用数学语言表述事物的状态、关系和过程，并加以推导、演算和分析，以形成对问题的解释、判断和预言的方法。同一手段、门路或程序被重复运用了多次，并且都达到了预期的目的，就成为数学方法。‎ 思想与方法并不是孤立独行的，二者之间互相联系，思想对应方法，方法返衬思想。‎ 模块一 数学思想 ‎ ‎ 数学思想——数形结合思想 题组一 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。‎ ‎1、数形结合的内容 ‎（1）绝对值问题：画数轴，根据绝对值的性质（一点到另一点的距离）得到一个范围，从而解出绝对值。‎ ‎（2）函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合 体现了数形结合的特征与方法。‎ ‎（3）方程与不等式：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。‎ ‎（4）几何探究：几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。‎ ‎2、数形结合的类型 ‎（1）以“数”化“形”：对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路： 明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再作出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经作出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求证）的目标去解决问题。‎ ‎（2）以“形”变“数”：解题的基本思路： 明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式（一般利用坐标转化也可以通过引入参数解决）表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等。‎ 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；②是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；③是正确确定参数的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎ 例1 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．‎ ‎【规范答题】由数轴可得：，则，，，‎ 则．‎ ‎ 例2 在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积等于　　　　．‎ ‎【规范答题】‎ 过作于，在中，，，‎ ‎，，在中，，‎ ‎，‎ 如图1，，平行四边形的面积，‎ 如图2，，平行四边形的面积，故答案为：或．‎ ‎ ‎ ‎ 例3 如图，点，依次在的图象上，点，依次在轴的正半轴上．若△，△ 均为等边三角形，则点的坐标为　 　．‎ ‎【规范答题】作，垂足为，△为等边三角形，，，‎ ‎，设的坐标为，点在的图象上，‎ ‎，解得，，，作，垂足为．‎ 设，则，，．‎ 在反比例函数的图象上，代入，得，‎ 化简得，解得：．，．‎ ‎，，所以点的坐标为，．‎ ‎ 1 如图，在矩形中，，，是上的一个动点不与，重合），过点 的反比例函数的图象与边交于点．‎ ‎（1）当为的中点时，求该函数的解析式；‎ ‎（2）当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？‎ ‎【解答】（1）在矩形中，，，，为的中点，，‎ 点在反比例函数的图象上，，该函数的解析式为；‎ ‎（2）由题意知，两点坐标分别为，，，‎ ‎，‎ 在边上，不与，重合，即，解得 当时，有最大值．．‎ ‎ 2 如图，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④成立的个数 ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【解答】四边形是平行四边形，，，平分，‎ 是等边三角形，，，，‎ ‎，，故①错误；‎ 可得，，故②正确；‎ ‎，为中点，，，，‎ ‎；故③正确；‎ 四边形是平行四边形，，，，，，‎ ‎，，故④正确；故正确的个数为3个，故选：．‎ ‎ 3 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，点在轴的正半轴上，点为的重心，连接并延长，交于点，反比例函数的图象经过，两点．若的面积为6，则的值为　　‎ A. B． C． D．3‎ ‎【解答】 过点作于，于，如图，点为的重心，‎ ‎，，，‎ 设，则，，，，，，‎ ‎，，‎ 为的中线，，即，．故选：．‎ 数学思想——分类讨论思想 题组二 每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。‎ ‎1、分类讨论的步骤 ‎（1） 明确分类对象 ‎（2） 明确分类标准 ‎（3） 逐类分类、分级得到阶段性结果 ‎（4） 用该级标准进行检验筛选结果 ‎（5） 归纳作出结论 ‎2、分类讨论的对象 ‎ 例4 关于的方程有实数根，则的取值范围是　　‎ A． B．且 C．且 D．且 ‎【规范答题】①当，即，方程化为，解得；‎ ‎②当时，△，解得且，‎ 综上所述，的范围为．故选：．‎ ‎ 例5 如图，在直角中，，，，、分别为边、上的两个动点，若要使是等腰三角形且是直角三角形，则 ．‎ ‎【规范答题】① 如图1中，当，时，设，，‎ ‎，，，，．‎ ‎② 如图2中，当，时，设．，，‎ ‎，．综上所述，满足条件的的值为或．‎ ‎ 例6 如图，中，，，，点是斜边上任意一点，过点作，垂足为，交边（或边于点，设，的面积为，则与之间的函数图象大致是　　[来源:学+科+网]‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范答题】①当点在上时，，，，‎ ‎；‎ ‎②当点在上时，如下图所示：‎ ‎，，，，，．‎ ‎，‎ 该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下，故选：．‎ ‎ 4 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是　　‎ A． B．且 C．且 D．‎ ‎【解答】当该方程是一元二次方程时，由题意可知：△，，，且，当该方程时一元一次方程时，，满足题意，故选：．‎ ‎ 5 若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C．且 D．‎ ‎【解答】关于的一元二次方程没有实数根，‎ ‎△，且，解得，故选：．‎ ‎ 6 已知关于的一元二次方程，这个方程根的情况是　　‎ A．有两个相等的实根 ‎ B．有两个不相等的实根 ‎ C．有可能无实根 ‎ D．有两个实根，可能相等，也可能不相等 ‎【解答】根据题意得，△，‎ ‎，，△，方程有两个不相等的两个实数根．故选：．‎ ‎ 7 如图：在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，求的坐标．‎ ‎【解答】（1）是等腰三角形的底边时，就是的垂直平分线与的交点，此时；‎ ‎（2）是等腰三角形的一条腰时：‎ ‎①若点是顶角顶点时，点就是以点为圆心，以5为半径的弧与的交点，‎ 在直角中，，则的坐标是．‎ ‎②若是顶角顶点时，点就是以点为圆心，以5为半径的弧与的交点，‎ 过作于点，在直角中，，‎ 当在的左边时，，则的坐标是；‎ 当在的右侧时，，则的坐标是．故为：或或．‎ ‎ 8 如图，在矩形中，，，点是边上靠近点的三等分点，动点从点出发，沿路径运动，则的面积与点经过的路径长之间的函数关系用图象表示大致是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】在矩形中，，，‎ ‎，，点是边上靠近点的三等分点，，‎ ‎①点在上时，的面积，‎ ‎②点在上时，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎③点在上时，，‎ ‎，故选：．‎ ‎ 9 如图，抛物线经过点，，直线：交轴于点，且与抛物线交于两点，为抛物线上一动点（不与重合）。‎ ‎（1）求抛物线的解析式。‎ ‎（2）当点在直线下方时，过点作轴交于点，轴交于点，求的 最大值。‎ ‎（3）设为直线上的点，以为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求坐标；若不 能，请说明理由。 ‎ ‎【解答】‎ ‎（1）把，代入，得，‎ 抛物线的解析式为：。‎ ‎（2）设由题得，‎ 当时，的最大值是。‎ ‎（3）以为顶点的四边形能构成平行四边形。由题可得：，‎ ‎①以为边，有:且，此时 在上方时，（舍去），得.‎ 在下方时，得 ‎②以为对角线，由得：‎ 解得：（舍去），得.‎ 综上所述，当为时，四边形能构成平行四边形。‎ 数学思想——函数方程思想 题组三 函数方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程、方程组或者函数关系，或利用方程函数的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。函数方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。‎ ‎ 例7 矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为　　　　　．‎ ‎【规范答题】四边形是矩形，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，‎ ‎，，，在中，由勾股定理，得．‎ 在矩形中，．．设，则．‎ 在中，．解得．，故答案为：2.5．‎ ‎ 例8 如图，已知直线分别与轴，轴交于，两点，与双曲线交于，两点，若，则的值是　　‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【规范答题】作轴，轴，与交于，如图，‎ 点坐标为，点坐标为，，为等腰直角三角形，‎ ‎，，为等腰直角三角形，‎ ‎，设点横坐标为，代入，则纵坐标是，‎ 则的坐标是：，点坐标为，‎ ‎，解得，点坐标为，，．故选：．‎ ‎ 10 如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【解答】中，，，，，是直角三角形，‎ 的垂直平分线分别交，于，，，‎ 设为，，在中，，即，‎ 解得：，即，故选：．‎ ‎ 11 如图，矩形中，点在边上，于，若，，则线段长为　　‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【解答】 连接，四边形是矩形，，，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，，，，‎ 在中，设为，由勾股定理可得：，即，解得：，‎ 所以，，故选：．‎ ‎ 12 如图，在矩形中，，，点是上一点，把沿向矩形内部折叠，当点的对应点恰落在的平分线上时，　　　　　．‎ ‎【解答】过作交于，交于，作于，如图所示：‎ 由折叠的性质得：，点恰落在的平分线上，，‎ 四边形是正方形，，设，则，，‎ 在△中，由勾股定理得：，解得：，或（舍去），‎ ‎；故答案为：．‎ ‎ 13 如图，有一个，，，，将它放在直角坐标系中，使斜边在轴上，直角顶点在反比例函数的图像上，求点的坐标　　　　　 ‎ ‎【解答】如图，过点作轴于点，‎ 在中，，，，点的纵坐标为，[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ 点在反比例函数的图像上，，，‎ 即点横坐标为，点横坐标也为，在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设，则，由勾股定理得：，解得或（舍去）‎ ‎，‎ 在轴上，的坐标为．‎ 数学思想——引参转化思想 题组四 换元引参思想是我们在解决很多几何问题和函数问题时惯用的思路，参数可以作为中间量进行过渡，也可以以参数为未知变量，研究其最值及其它性质，是数学思想中重要的一脉；转化与整体思想是数学中研究复杂代数或者几何问题时常用的方法，整体转化思想往往与换元引参思想密不可分，但是初中阶段对思想方法的考察要求不是很高，只需有所简单了解，所以在此我们不做过多深入讲解，掌握思想方法的表现形式即可。‎ ‎ 例9 如图，在正方形中，点，分别在边，上，如果，，‎ ‎，那么正方形的面积等于　　　　　．‎ ‎【规范答题】设正方形的边长为，的长为．，，‎ ‎，，‎ ‎，即解得①‎ 在中，②‎ 将①代入②，可得：正方形的面积为：．‎ ‎ 例10 在中，边上的中线，，，则的面积为　　　　　．‎ ‎【规范答题】如图，在中，是边上的中线，，，，‎ ‎，，，，，‎ 是直角三角形，，又，‎ ‎，，‎ 又，．‎ ‎ 14 如图，是以为底的等腰三角形，是边上的高，点、分别是、的中点．‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）如果四边形的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形的面积．‎ ‎【解答】（1），点、分别是、的中点，中，，‎ 中，，又，点、分别是、的中点，‎ ‎，，四边形是菱形；‎ ‎（2）如图，菱形的周长为12，，设，，则，‎ ‎，①于，中，，‎ ‎，即，②把②代入①，可得，，‎ 菱形的面积．[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ 15 如图，已知为的直径，，点和点是上关于直线对称的两个点，连接、，且，直线和直线相交于点，过点作直线与线段的延长线相交于点，与直线相交于点，且．‎ ‎（1）求证：直线为的切线；‎ ‎（2）若点为线段上一点，连接，满足，‎ ‎① ；‎ ‎② 求的最大值．‎ ‎【解答】（1）由题意可知：，是的直径，，‎ ‎，，，‎ ‎，是的半径，直线是的切线；[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎（2）①，，，‎ ‎②由可知：，，，‎ ‎，，‎ 当，此时，，‎ 令当时可取得最大值，最大值为5‎ 模块二 数学方法 ‎ ‎ 数学方法——等面积法 题组一 等面积法是我们解决几何问题时常用的方法，利用面积的关系可以使计算过程事半功倍。‎ ‎1、等面积法 ‎（1）面积和差型 该类型通过面积之间的和差关系构建恒等式。‎ ‎（2）面积算式型 该类型通过对同一图形面积的不同计算方法（以三角形为例，换底和高）构建恒等式。‎ ‎2、等面积法类型 ‎（1）正常的三角形中：涉及多个高线问题的，可以利用等面积法 ‎（2）菱形中涉及对角线求值，利用：列式子求解 ‎（3）其它几何中（选填压轴几何）中，涉面积的结合利用三角形全等进行面积转化 ‎（4）动点问题中，如果动点关系恒定不变的是线线垂直，这个时候可以考虑应用等面积方法求解问题 ‎ 例11 已知：如图，在中，，，平分交于，求的面积．‎ ‎【规范答题】‎ ‎（1）在中，，，，‎ 又平分，，‎ 在中，，，，由勾股定理得 即，解得，，又 法一：，，．‎ 法二：‎ ‎ 例12 已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【规范答题】连接，矩形的两边，，‎ ‎，，，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，故选：．‎ ‎ 例13 在正方形中，点为边上的一点，，连接，作于点，令，‎ ‎，关于的函数关系图象大致是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【规范答题】法一：正方形中，，，，，，‎ ‎，，，，即，‎ ‎．由上可知可得出与的函数图象是一支在第一象限的双曲线．故选：．‎ 法二等面积法：连接，设，则，由题意：‎ ‎,所以：，‎ 由上可知可得出与的函数图象是一支在第一象限的双曲线．故选：．‎ ‎ 16 如图，四边形是菱形，，，于，则等于　　‎ A． B． C．5 D．4‎ ‎【解答】四边形是菱形，，，，，，‎ ‎，，，由勾股定理得：，‎ ‎，，，故选：．‎ ‎ 17 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．若，，则四边形的面积为　　‎ A． B．24 C．6 D．12‎ ‎【解答】，，在和中，，‎ ‎，，的面积的面积，‎ 面积面积面积面积面积面积，‎ 选：．‎ ‎ 18 如图，在菱形中，，，于点，则的长为　　‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【解答】在菱形中，，，，，‎ ‎，，，，故选：．‎ ‎ 19 如图，将平行四边形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在点处．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）连接，若平行四边形的面积为8，，求的值．‎ ‎【解答】（1）证明：在中，，，，‎ 纸片沿折叠，点与点重合，点落在点处，‎ ‎，，，，，，‎ ‎，，，‎ 在和中，，；‎ ‎（2）连接，，，根据翻折的性质，，‎ 又，四边形是平行四边形，根据翻折后点、重合，，‎ 是菱形，菱形的面积，‎ 的面积，，的面积，菱形的面积等于，‎ 菱形的面积．‎ ‎ 20 如图，为的外接圆，为与的交点，为线段延长线上一点，且．‎ ‎（1）求证：直线是的切线．‎ ‎（2）若为的中点，，‎ ‎①求的半径；‎ ‎②求的内心到点的距离．‎ ‎【解答】（1）证明：连接，并延长交于点，连接 是直径，，‎ ‎，且是半径直线是的切线．‎ ‎（2）① 如图，连接，‎ 为的中点，过圆心，，，，‎ ‎，，的半径为；‎ ‎② 如图，作的平分线交于点，连接，过点作，，‎ ‎，，且平分，且平分 点是的内心，且，，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，．‎ ‎ ‎ 数学方法——坐标解析法 题组二 坐标解析法顾名思义，通过建立坐标系的方法使复杂的几何问题可以通过简单的代数运算求解。坐标解析的优点是坐标体系的知识点是固定的，在不同的几何题中，几何图解的思路是千变万化的，但是如果使用坐标解析的方法去处理问题，则大道同归，方法思路不会发生变化，对于学生而言，不失为一种简便的方法。‎ ‎1、直角建系法：在几何中出现规则的直角时，可以以直角为坐标原点建立平面直角坐标系，然后求解问题 ‎2、无直角建系法：这一类对学生而言往往要求较高，而且设的参数可能会比较多。‎ ‎3、坐标系知识 ‎（1）坐标：两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，坐标系内一组有序数对为点坐标 ‎（2）坐标系知识：‎ ‎①轴方程为： ；过点，垂直于轴（平行于轴）的方程为： ‎ 轴方程为： ；过点，垂直于轴（平行于轴）的方程为： ‎ ‎②直线解析式：‎ 书写规范：设一次函数解析式为：，。把、带入解析式， ‎ 得 ，一次函数解析式为：。‎ 快速得解：做题分析时要能达到目之所及，解析式现。‎ 代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度。‎ 代表直线的纵截距，含义是直线与轴相交的点的纵坐标。‎ ‎③ 两点，之间的距离公式：‎ ‎④ 两点，之间的中点坐标公式：‎ ‎ 例14 如图，在中，，，是的中点，点在上，点在上，且．给出以下四个结论：其中正确的有 ‎ ‎①；②是等腰直角三角形；③；➃的最小值为2．‎ ‎【规范答题】‎ ‎① ，，，‎ 点是的中点，，且，，‎ ‎，在和中，‎ ‎，，，，所以①正确；‎ ‎②，‎ 是等腰直角三角形；所以②正确；‎ ‎③，和的面积相等，为中点，[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 的面积的面积，‎ ‎；所以③正确；‎ ‎④法一：几何图解法当，时，值最小，根据勾股定理得：，‎ 此时四边形是矩形，即，所以；所以④正确；‎ 法二：坐标解析法。如图，以方向为轴，以方向为轴，建立平面直角坐标系 设，则。所以、‎ 由勾股定理可得：‎ 显然，抛物线对称轴，‎ 当时，有最小值，，所以④正确；‎ ‎ 例15 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，，点、点分别是、 ‎ 的中点，连接，，于点，交于点，，则线段的 长为　　．‎ ‎【规范答题】‎ 法一：几何图解法设，点、点分别是、的中点，是的中位线，‎ ‎，，，四边形是平行四边形，‎ ‎，，，，，‎ 是等腰直角三角形，，连接，，‎ ‎，，，易得，，‎ ‎，中，由勾股定理得：，，‎ 或（舍，．故答案为：．‎ 法二：坐标解析法。‎ 如图，过做垂线，垂足为，以方向为轴，以方向为轴,建立平面直角坐标系。‎ 设,因为，所以，因为且是中点，‎ 所以，所以，；(为矩形)‎ 所以、、由中点坐标公式可得,‎ 设直线：,将、代入，可得：,‎ 令,所以、‎ 由勾股定理可得：，可得：，所以 ‎ 21 如图，正方形的边长为6，为上的一点，，为上的一点，，为 上一点，则的最小值为　　．‎ ‎【解答】作关于直线的对称点，连接，则即为所求，‎ 过作于，在△中，，，‎ 所以．故答案为：．‎ 法二：坐标解析法。‎ 如图，以方向为轴，以方向为轴,建立平面直角坐标系。‎ 由题意：、，记的对称点为由题意:‎ ‎ 22 如图，在矩形中，，．、在对角线上，且，、分别是、‎ 的中点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）点是对角线上的点，，求的长．‎ ‎【解答】（1）证明四边形是矩形，，．‎ 在和中，，；‎ ‎（2）如图，连接，交于点．四边形是矩形，，，‎ ‎，、分别是、的中点，，‎ 四边形是矩形，，‎ 在和中，，，，，‎ 为、中点．，，‎ 或，的长为1或4．‎ 法二：坐标解析法。‎ 如图，以方向为轴，以方向为轴,建立平面直角坐标系。‎ 由题意：、、、；由中点坐标公式可得、‎ 设直线:，将、代入，可得：，设 由勾股定理可得：‎ ‎、‎ 在中，，根据勾股定理可得：‎ 代入整理可得：，解得：或,所以或 当时，‎ 当时，‎ ‎ 23 如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，证明：与相切；‎ ‎（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．‎ ‎【解答】‎ ‎（1）连接，‎ 在和中，，，，又，‎ ‎，为的直径，，，即，；‎ ‎（2）法一勾股逆定理 ，设、则，，‎ ‎，且，，，‎ 在中，，‎ 在中，，，‎ ‎，，则与相切；‎ 法二:两锐角互余：，设、则，，‎ 在和中，，‎ ‎，，，‎ 即，是的半径，是的切线．‎ ‎（3）法一:相似三角形：连接，是的直径，‎ ‎，，，即①，‎ 又，，，，即②，‎ 由①②可得，即，又，，，‎ ‎、、、、，，即，解得：‎ 法二全等三角形：如图所示，连接、，‎ ‎，，是等腰直角三角形，，‎ 是的直径，，是等腰直角三角形，，‎ 和是同弧所对的圆周角，，‎ 在和中，，‎ ‎，，，即 ‎，即，‎ 在中，由勾股定理得:，，‎ ‎，，．‎ 法三：坐标解析法。以方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系 结合（2）中勾股逆定理的过程，可得、、‎ 由题意可知为的中点，由中点坐标公式可得：‎ 由勾股定理可得：,‎