重庆市中考数学真题解析及答案

重庆市中考数学真题解析及答案

重庆市2009年初中毕业暨高中招生考试 数 学 试 卷 ‎（全卷共五个大题，满分150分，考试时间129分钟）‎ 题号 一 二 三 四 五 总分 总分人 得分 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴公式为 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中。‎ ‎1．－5的相反数是（ ）。‎ A．5 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎1．A 【解析】本题考查相反数的概念，答案A.‎ ‎2．计算的结果是（ ）。‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．B 【解析】本题考查整式运算中单项式除以单项式的运算法则：即系数相除作商的系数，同底数的幂相除底数不变指数相减，答案B.‎ ‎3．函数y＝的自变量取值范围是（ ）。‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎3.C 【解析】因为是分式，根据分式的意义可知：分母x+3不能为0，故x≠-3,答案C，有部分学生把分式分母不为零与二次根式被开数大于等于零混淆.从而误选D.‎ ‎4．如图，直线相交于点，，若，则等于（ ）。‎ ‎ A．70º B．80º C．90º D．100º ‎【答案】B ‎4.B 【解析】考查平行线的性质，因为AB∥DF，所以∠CEB=∠D，又因为∠CEB+∠AEC=180度，所以答案为B.‎ ‎5．下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）。‎ A．调查一批新型节能灯泡的使用寿命 B．调查长江流域的水污染情况 C．调查重庆市初中学生的视力情况 D．为保证“神舟7号”的成功发射，对其零部件进行检查 ‎【答案】D ‎5.D 【解析】考查全面调查与抽样调查的概念及在生活中的实际运用，答案为D.‎ ‎6．如图，⊙是的外接圆，是直径，若，则等于（ ）。‎ ‎ A．60º B．50º C．40º D．30º ‎【答案】C ‎6.C 【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以∠A是∠BOC的一半，答案为C.‎ 正面 ‎7．由四个大小相同的正方体组成的集合体如图所示，那么它的左视图是（ ）。‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎7.A【解析】考查三视图的概念，答案为A，个别同学对左视图理解错误从而误选B.‎ ‎8．观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）。‎ 第1个 第2个 第3个 ‎ ……‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎8.D【解析】本题是由图形的个数构成的规律题，应从第一个图形开始分别列出所含三角形的个数：第一个图有4个三角形，第二个图有8个三角形，第三个图有12个三角形……由此可知三角形的个数是对应的图形序号的四倍，所以答案为D.‎ ‎9．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程之间的函数图象大致是（ ）。‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎9.‎ ‎ B【解析】本题难度中等，考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图像，图像需分段讨论.当P在BC上时，⊿PAB的面积S=AB×PB，即S=×2×X=X.此时 0＜X≤1.当P在CD上时，⊿PAB的面积S=AB×BC=×2×1=1，面积是定值.此时 1＜X≤3.‎ ‎10．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90º，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：‎ ‎①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为 ‎8。其中正确的结论是（ ）。‎ A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．③④⑤‎ ‎【答案】B ‎10. B【解析】考查知识点大多，综合性强，能力要求全面，难度较大.但作为选择题可采用排除法等特有方法，使此题难度稍稍降低一些.解此题的关键在于判断⊿DEF是否为等腰直角三角形，作常规辅助线连接CF，由SAS定理可证⊿CFE和⊿ADF全等，从而可证∠DFE=90°，DF=EF.所以⊿DEF是等腰直角三角形.可证①正确，②错误，再由割补法可知④是正确的，判断③，⑤比较麻烦，因为⊿DEF是等腰直角三角形DE=DF，当DF与BC垂直，即DF最小时，DE取最小值4，故③错误，⊿CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去⊿DEF的最小面积，由③可知⑤是正确的.‎ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）在每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上。‎ ‎11．据重庆市统计局公布的数据，今年一季度全市实现国民生产总值约为7840000万元，那么7840000万元用科学计数法表示为 万元。‎ ‎【答案】7.84×106‎ ‎11. 7.84×106【解析】考查科学记数法的概念.‎ ‎12．分式方程的解为 。‎ ‎【答案】x＝－3‎ ‎12.X=－3【解析】考查分式方程的解法，关键在于正确的找公分母及去分母，最后验根.‎ ‎13．已知△ABC与△DEF相似且面积比为4︰25，则△ABC与△DEF的相似比为 。‎ ‎【答案】2∶5‎ ‎13.2:5【解析】考查相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方.‎ ‎14．已知⊙的半径为‎3cm，⊙的半径为‎4cm，两圆的圆心距为‎7cm，则⊙与⊙的位置关系为 。‎ ‎【答案】外切 ‎14.外切【解析】考查圆和圆的位置关系.由d=R+r可知两圆是外切的位置关系.本题部分学生由于考虑不充分，对概念理解不清，误填为相切，导致得出错误的结论.‎ ‎15在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴围成一个△AOB。现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为 。‎ ‎【答案】‎ ‎15. 【解析】考查函数、概率、几何等知识的综合运用，难度较大.先算出P的坐标是（1，1）（2， ）（3， ）（，2）（，3）将以上五点的横坐标分别代入y= -x+3中算出直线上点的纵坐标，如前者纵坐标小于后者纵坐标则在⊿AOB内.可知当x=1时，y=2,因为1小于2，故点（1，1）在⊿AOB内，同理可知（2， ），（，2）也在⊿AOB内，所以答案为.‎ ‎16．某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%。由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点。若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 %。‎ ‎【答案】30％‎ ‎16. 30【解析】考查列方程模型解决实际问题，关键在于设求知数，列方程，难点在于涉及百分数，运算易出错.‎ 三、解答题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。‎ ‎17．计算：‎ 解：原式＝2+3×1－3+1＝3。‎ ‎17．【解析】考查绝对值、负指数幂、零次方、二次根式.（-1）的偶次方的计算与化简，比较简单.‎ 解：原式=2+3×1-3+1………………………………（5分）‎ ‎ =3………………………………………… （6分）‎ ‎①②‎ ‎18．解不等式组： ‎ 解：解不等式①，得x＞－3。‎ 解不等式②，得x≤2。‎ ‎∴－3＜x≤2。‎ ‎18. 【解析】考查不等式组的解法，比较简单，但部分学生忘记取两个不等式解集的公共部分，导致失分.‎ 解：由①，得X＞-3………………………………… （2分）‎ 由②，得X≤2……………………………………（4分）‎ 所以，原不等式组的解集为-3＜X≤2……………………（6分）‎ ‎19．作图：请你在下图中作出一个以线段AB为一边的等边△ABC。（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）‎ A B 已知：线段AB。‎ ‎19题图 求作：等边△ABC。‎ 图略。‎ ‎19. 【解析】是今年重庆中考的新题型，难度不大，但部分学生写已知、求作不很规范.‎ 解：已知：线段AB……………………………………（1分）‎ 求作：等边⊿ABC………………………………………… （2分）‎ 作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC、BC各一分）‎ ‎20．为了建设“森林重庆”，绿化环境，某中学七年级一班同学都积极参加了植树活动。今年4月份该班同学的植树情况的部分统计如下图所示：‎ 植树2株的 人数占32%‎ ‎（1）请你根据以上统计图中的信息，填写下表：‎ 该班人数 植树株数的中位数 植树株数的众数 ‎（2）请你将该条形统计图补充完整。‎ 解：(1)人数：16÷32％＝50(人)。中位数： (2+4)÷2＝3。众数是2。‎ ‎(2)植树4株的是50－9－16－7－4＝14(人)。‎ ‎20. 【解析】考查统计的基本知识、概念及对条形图、扇形图的理解与运用.‎ 解：（1）填表如下：‎ 该班人数 植树株数的中位数 植树株数的纵数 ‎50‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎16‎ ‎……………（4分）‎ ‎ 1 2 4 5 6 ‎ 植树量（株）‎ 人数 ‎（2）补图如下：‎‎9‎ ‎14‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎ …………（6分）‎ 四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。‎ ‎21．先化简，再求值：，其中 解：原式＝＝。‎ 当时，原式＝。‎ ‎21. 【解析】是近几年重庆中考的一贯题型，考查分式的化简与求值，主要的知识点是整式的运算法则、因式分解、通分约分等，难度不大，此题学生完成较好.‎ 解：原式=÷ …………………………………….（4分）‎ ‎=×…………………………………………（6分）….‎ ‎=……………………………………………………………（8分）‎ 当x=-3时，原式==…………………………………（10分）‎ ‎22．已知：如图在平面直角坐标系中，直线AB分别与轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥轴于点E，，OB=4，OE=2。‎ ‎（1）求该反比例函数的解析式；‎ ‎（2）求直线AB的解析式。‎ 解：(1)设反比例函数的解析式是。‎ ‎∵，OB=4，‎ ‎∴。∴OA＝2，即A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，0)。‎ ‎∵CE⊥x轴，∴CE∥OA，∴。‎ ‎∵OE=2，∴CE＝3。∴点C的坐标是(－2，3)。‎ ‎∴k＝－2×3＝－6。∴。‎ ‎(2)设直线AB的解析式为y＝kx+b。‎ ‎∴解得，‎ ‎∴。‎ ‎22. 【解析】是一次函数与反比例函数的综合题.主要考查待定系数法求函数解析式.求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难.‎ 解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6‎ ‎ ∵CE⊥X轴于点E，‎ ‎∴tan∠ABO==.∴CE=3 ..............................................（1分）‎ ‎∴点C的坐标为（-2，3）..............................................（2分）‎ 设反比例函数的解析式为y=(m≠0)‎ 将点C的坐标带入，得3=，………………………..（3分）‎ ‎∴m=－6 ……………………………………………….(4分)‎ ‎∴该反比例函数的解析式为y=－……………………….(5分)‎ ‎（2）∵OB=4，∴B(4,0) ……………………………………(6分)‎ ‎∵tan∠ABO==‎ ‎∴OA=2. ∴A(0,2) …………………………………………..(7分)‎ 设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0), 将点A、B坐标代入,得 b=0, ‎ ‎4k+2b=0……………………………………………(8分)‎ 解得 k= -‎ b=2…………………………………………..(9分)‎ ‎∴直线AB的解析式为y= -x+2……………………..(10分)‎ ‎23．有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）。小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积。‎ ‎（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；‎ ‎（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢。你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平。‎ 解：(1)‎ 总结果是12种，积为0的是4种，∴积为0的概率是；‎ ‎(2)不公平。结果是偶数的为8种，奇数为4种，这样不公平。可以改为：积大于2的小亮赢，否则小红赢。(答案不唯一)‎ ‎23. 【解析】本题考查用树状图或列表法解决需两步完成的概率题，判断游戏的公平性，并修改游戏规则.由于平时训练到位，此题学生完成较好.‎ 解：（1）画树状图如下：‎ 幸运数 1 2 3 4 ‎ ‎ ‎ 吉祥数 0 1 3 0 1 3 0 1 3 0 1 3…………….（4分）‎ ‎ 积 0 1 3 0 2 6 0 3 9 0 4 12‎ 由图可知，所有等可能的结果有12种，其中积为0的有4种，‎ 所以，积为0的概率为P==，……………………………………….（6分）‎ ‎（2）不公平 ………………………………………….………….（7分）‎ 因为有图知，积为奇数的有4种，积为偶数的有8种.‎ 所以，积为奇数的概率为==，……………………………….….（8分）‎ 积为偶数的概率为== ……………………………….….（9分）‎ 因为≠，所以，该游戏不公平.游戏可修改为：‎ 若这两个数的积为0，则小亮赢；积为奇数，则小红赢.………….（10分）‎ ‎（只要正确即可）‎ ‎24．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC。‎ ‎（1）求证：BG=FG；‎ ‎（2）若AD=DC=2，求AB的长。‎ ‎(1)证明：在△ABC和△AFE中，‎ ‎∴△ABC≌△AFE。‎ ‎∴AB＝AF。‎ ‎∴BE＝CF。‎ ‎∴在△EBG和△CFG中，‎ ‎∴△EBG≌△CFG。‎ ‎∴BG=FG。‎ ‎(2)∵AD=DC=2，DE⊥AC ，AE=AC。‎ ‎∴AF＝FC。‎ ‎∴AE＝2AF＝2AB。‎ ‎∵∠AFE＝∠EAD＝90°，∴△EAF∽△EDA。‎ ‎∴DE＝2AD＝4。∴AE＝。‎ ‎∴AB＝。‎ ‎24. 【解析】本题考查直角梯形、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，知识点多，综合性强.突破此题的关键在于第一问通过两次全等证Rt⊿ABG≌Rt⊿AFG，第二问求AB的长应充分利用等腰⊿ADC的性质得AF=AC=AE.从而得出∠E=30°‎ ‎（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，‎ ‎ ∴∠ABC=∠AFE ………………………..…..(1分)‎ ‎ ∵AC=AE, ∠EAF=∠CAB,‎ ‎ ∴⊿ABC≌⊿AFE ………………………..…..(2分)‎ ‎ ∴AB=AF ………………………..…..(3分)‎ ‎ 连接AG， ………………………..…..(4分)‎ ‎ ∵AG=AC,AB=AF,‎ ‎ ∴Rt⊿ABG≌Rt⊿AFG …………………..…..(5分)‎ ‎ BG=FG ………………………………...…..(6分)‎ ‎(2)解：∵AD=DC，DF=AC ‎ ∴AF=AC=AE………………………...…..(7分)‎ ‎ ∴∠E=30°‎ ‎∴∠FAD=∠E=30°………………………………………………...…..(8分)‎ ‎∴AF=…………………………………………………………...…..(9分)‎ ‎∴AB=AF=……………………………………………………...…..(10分)‎ ‎25．某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价（元）与月份之间满足函数关系，去年的月销售量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：‎ 月份 ‎1月 ‎5月 销售量 ‎3.9万台 ‎4.3万台 ‎（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？‎ ‎（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了，且每月的销售量都比去年12月份下降了。国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴。受此政策的影响，今年3月份至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台。若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元，求的值（保留一位小数）‎ ‎（参考数据：，，，）‎ 解：(1)设P＝kx+b，根据题意，得 解得 ‎∴P＝0.1x+3.8‎ 设去年月销往农村的销售金额为W，则)‎ 即。‎ 当时，。‎ ‎(2)去年12月的价格为：－50×12+2600＝2000。‎ 去年12月的销售量为：0.1×12+3.8＝5。‎ 根据题意，得2000(1－m％)×13％×〔5(1－1.5m％)+1.5〕×3＝936。‎ 解得m1≈52.8，m2≈133.9(舍去)。‎ 答：m的值是52.8。‎ ‎25.‎ ‎ 【解析】本题考查数学知识在实际生活中的应用，培养学生学数学，用数学的意识和能力.本题阅读量大，数量与数量之间关系转换较为复杂.第一问直接问哪月销售金额最大，思维起点较高，突破口在于先求出销售量与月份x之间的函数关系式，再正确列出销售金额与月份x之间的函数关系式；第二问头绪多，相等关系难列出来，并且计算量大，学生失分严重，应化整为零，先求出去年12月份每台的售价与去年12月份销售金额，再逐步表示今年3—5月份的售价与销售量，从而列出方程，解方程时应非常仔细，否则易出错.‎ 解：（1）设p与x的函数关系为p=kx+b(k≠0),根据题意，得 k+b=3.9‎ ‎5k+b=4.3……………………………………………………..(1分)‎ 解得：k=0.1‎ ‎ B=3.8‎ ‎∴p= 0.1x+3.8………………………………………………..(2分)‎ 设月销售金额为w万元，则w=py=(0.1x+3.8)(-50x+2600)…………(3分)‎ 化简，得w= -5+70x+9880,所以,w= - 5+10125万元 当x=7时，w取得最大值，最大值为10125万元 答：该品牌电视机在去年7月份销往农村的销售金额最大，最大值为10125万元. ………………………………………..…………………………….(4分)‎ ‎（2）去年12月份每台的售价为 -50×12+2600=2000元,‎ 去年12月份销售金额为0.1×12+3.8=5万台……..……………………….(5分)‎ 根据题意, 得2000(1-m﹪) ×〔5(1-1.5m﹪)+1.5〕×13﹪×3=936……….(8分)‎ 令m%=t，原方程可化为7.5－14t+5.3=0 解得：=,=‎ ‎∴≈0.528, ≈1.339(舍去).‎ 答：m的值约为52.8 …………………………………………………………………（10分）‎ ‎26．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3。过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G。如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 解：(1)∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD。‎ ‎∵AB∥OC，∴∠ADO＝∠COD。‎ ‎∴∠ADO＝∠AOD。∴AD＝AO＝2。∴点D的坐标为(2，2)。‎ ‎∵OA=2，OC=3。∴BD＝1。‎ ‎∵DE⊥DC，∴∠ADE+∠BDC＝90°，∴∠ADE＝∠BCD。‎ ‎∵∠DAE＝∠CBD＝90°，AD＝BC＝2。‎ ‎∴△ADE≌△BCD。‎ ‎∴AE＝BD＝1。∴点E的坐标为(0，1)。‎ ‎∵OC＝3，∴点C的坐标为(3，0)。‎ 设过点E、D、C的抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c。‎ 解得 ‎∴。‎ ‎(2)EF＝2OG。‎ 理由：把x＝代入，得y=。‎ ‎∴点M得坐标为(，)。‎ 设直线DM的解析式为y＝kx+b。‎ 解得∴y＝x+3。‎ 当x＝0时，y＝3。∴点F的坐标为(0，3)。∴EF＝2。‎ 作DH⊥OC于H，‎ ‎∵DH＝AD，∠GHD＝∠FAD＝90°，∠GDH＝∠FDA，‎ ‎∴△FAD≌△GHD。∴GH＝AF＝1。∴OG＝1。∴EF＝2OG。‎ ‎(3)存在。∵OG＝1，∴CG＝2。‎ ‎①当PG＝CG＝2时，PG⊥OC。∴点P的坐标为(1，2)，∴把x＝1代入，得y＝。∴点Q的坐标为(1，)。‎ ‎②当PC＝CG时，PC⊥OC，∴点P就是点B，坐标为(3，2)。‎ 设直线BG的解析式为y＝kx+b，得出 解得∴y＝x－1。‎ ‎∴点Q是直线BG与抛物线的交点。‎ ‎∴解得或 又∵点P在第一象限。∴点P的坐标为(，)。‎ ‎③当PG＝PC时，点P在CG的垂直平分线上，∴点P就是点D，点D也是点Q，坐标为(2，2)。‎ ‎∴综上所述，点Q的坐标为(1，)或(，)或(2，2)。‎ ‎26. 【解析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，图形旋转变换，三角形全等，探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高.考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法.解决此题首先应正确求出二次函数解析式；第二问关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；第三问应当明确⊿PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性.‎