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文档介绍
青岛市黄岛区中考数学模拟试卷八含答案解析
2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷(八) 一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的.每小题选对得分;不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.请将1-8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上. 1.的绝对值是( ) A. B. C. D. 2.下列水平放置的几何体中,主视图是矩形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.我国第六次人口普查显示,全国人口为1370536875人,将这个总人口数(保留四个有效数字)用科学记数法表示为( )人. A.13.71×108 B.1.370×109 C.1.371×109 D.0.137×1010 4.观察下列图案,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 5.若反比例函数的图象经过点A(﹣3,2),则当x>1时,函数值y的取值范围是( ) A.y>6 B.0<y<6 C.y>﹣6 D.﹣6<y<0 6.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示,将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后,B点的坐标为( ) A.(4,0) B.(4,1) C.(﹣2,2) D.(3,1) 7.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=10,AB=8,则⊙O的半径为( ) A. B. C.5 D.6 8.函数y=ax+a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 二、填空题(本题满分18分,共有6道小题,每小题3分) 9.小亮应聘小记者,进行了三项素质测试,测试成绩分别是:采访写作90分,计算机输入85分,创意设计70分,若将采访写作、计算机输入、创意设计三项成绩按5:2:3的比例来计算平均成绩,则小亮的平均成绩是 分. 10.如图,AB是⊙O的直径,E是⊙O上的一点,C是弧AE的中点,若∠A=50°,则∠AOE的度数为 °. 11.某旅馆的客房有三人间和二人间两种,三人间每人每天80元,二人间每人每天110元.一个40人的旅游团到该旅店住宿,租住了若干房间,且每个客房正好住满,一天共花去住宿费2500元.求两种客房各租住了多少间?若设租住了三人间x间,二人间y间,则根据题意可列方程组为 . 12.某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球(小球出颜色外完全相同)共60个.通过多次摸球实验后,发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%,由此估计口袋中蓝球的数目约为 个. 13.如图,等腰直角三角形ABC中,AD是底边BC上的高,现将△ABD沿DC方向平移,使点D和点C重合,若重叠部分(阴影部分)的面积是4,则△ABC的腰长为 . 14.如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为s,则第n个矩形的面积为 . 三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹 15.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置. 四、解答题(本题满分74分,共有9道小题) 16.(1)解不等式组: (2)化简:. 17.某校为了解九年级学生的体能情况,随机抽取部分男生进行引体向上测试,并根据抽测成绩绘制成如下两幅统计图. (1)请你补全图2的统计图; (2)本次抽测成绩的众数和中位数分别是多少? (3)若规定引体向上9次以上(含9次)为体能达到标准,则该校450名九年级男生中,估计有多少人体能达到标准? 18.甲、乙两个人进行游戏:在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌,它们分别标有数字1,2,3,4.从中随机摸出一张纸牌然后放回,再随机摸出一张纸牌,若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数,则甲得1分;否则乙得1分.这是个公平的游戏吗?请说明理由;若不公平,请你修改规则使该游戏对双方公平. 19.五一期间,小明随父母到某旅游胜地参观游览,他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向,测得景点B在其南偏东40°方向.小明从游客中心走了2千米到达景点A,已知景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与B之间的距离.(结果精确到0.1千米) (参考数据:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,sin40°≈0.64,tan40°≈0.84) 20.某超市第一次用3000元从生产基地购进某品种水果,很快售完,第二次又用2400元购进相同品种的水果,第二次购进水果每千克的进价是第一次的1.2倍,且重量比第一次少了20千克. (1)求两次购进水果每千克的进价分别是多少元? (2)在这两次购进水果的运输过程中,总重量损失10%,若这两次水果的售价相同,全部售完后超市至少要获得20%的总利润,则该水果的售价最低应定为每千克多少元?(结果保留整数). 21.如图,在▱ABDC中,分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP∥BC,交DC的延长线于点P. (1)求证:△ABE≌△DCF; (2)当∠P满足什么条件时,四边形BECF是菱形?证明你的结论. 22.某茶叶专卖店经销一种崂山绿茶,每千克成本80元.据销售人员调查发现,每月的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式; (2)写出每月销售这种绿茶获得的利润w(元)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式; (3)若该专卖店销售这种绿茶想要每月获得的利润不低于1350元,并且为了不压货,要求每月销售量不得低于70千克,则销售单价应定在什么范围内? 23.【问题提出】 如图1,把一个边长为1的正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;再将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°,点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处),求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l1围成图形的面积. 【问题解决】 三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即弧OO1和弧O1O2,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,即+=;这两段圆弧与直线l1围成的图形面积,等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和,即++=+. 【类比应用】 如图2,把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片进行第一次旋转,即绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处;再将正方形纸片AO1C1B1进行第二次旋转,即绕点B1按顺时针方向旋转90°,…,按上述方法经过若干次旋转后. 请你解答下面两个问题: (1)若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积; (2)若正方形OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程. 【拓展应用】 将正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是π? 24.如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=cm,AD=8cm,直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动,速度是2cm/s,运动过程中始终保持EF∥AC,EF交AD于E,交DC于点F;同时,点P从点C出发沿CB方向匀速运动,速度是1cm/s,连接PE、PF,设运动时间为t(s)(0<t<4). (1)当EP⊥BC时,求t的值是多少? (2)设△PEF的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使面积y最大?若存在,求出y的最大值;若不存在,说明理由. (4)连接AP,是否存在某一时刻t,使点E恰好在AP的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由. 2015年山东省青岛市黄岛区六中中考数学模拟试卷(八) 参考答案与试题解析 一、选择题(本题满分24分,共有8道小题,每小题3分)下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的.每小题选对得分;不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.请将1-8各小题所选答案的标号填写在第8小题后面给出表格的相应位置上. 1.的绝对值是( ) A. B. C. D. 【考点】绝对值. 【分析】根据正数的绝对值是它本身,可得答案. 【解答】解:||=,故B正确; 故选:B. 【点评】本题考查了绝对值,正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数. 2.下列水平放置的几何体中,主视图是矩形的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【考点】简单几何体的三视图. 【分析】根据主视图的概念找出各图形的主视图. 【解答】解;圆柱的主视图我长方形,长方体的主视图为长方形,三棱柱的主视图为长方形,圆锥的主视图为三角形. 主视图为矩形的共3个. 故选C. 【点评】本题考查了简单几何体的三视图,主视图为从物体正面看到的视图. 3.我国第六次人口普查显示,全国人口为1370536875人,将这个总人口数(保留四个有效数字)用科学记数法表示为( )人. A.13.71×108 B.1.370×109 C.1.371×109 D.0.137×1010 【考点】科学记数法与有效数字. 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于137 053 687 5有10位,所以可以确定n=10﹣1=9.有效数字的计算方法是:从左边第一个不是0的数字起,后面所有的数字都是有效数字. 用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关. 【解答】解:全国人口为1370536875人,将这个总人口数(保留四个有效数字)用科学记数法表示为1.371×109, 故选:C. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法,以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法.用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关,与10的多少次方无关. 4.观察下列图案,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【考点】中心对称图形;轴对称图形. 【专题】压轴题. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、不是轴对称图形,不符合题意,故本选项错误; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意,故本选项错误; C、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意,故本选项正确; D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意,故本选项错误. 故选C. 【点评】本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识,要注意:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图形重合. 5.若反比例函数的图象经过点A(﹣3,2),则当x>1时,函数值y的取值范围是( ) A.y>6 B.0<y<6 C.y>﹣6 D.﹣6<y<0 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征;反比例函数的性质. 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征,将点A的坐标代入函数解析式求得k=﹣6,据此可以画出该函数的大致图象,根据图象直接回答问题. 【解答】解:∵反比例函数的图象经过点A(﹣3,2), ∴k=xy=(﹣3)×2=﹣6<0, ∴该反比例函数经过第二、四象限,且当x=1时,y=﹣6. 其图象如图所示: 根据图象知,当x>1时,﹣6<y<0. 故选D. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质.解题时,采用了“数形结合”的数学思想. 6.正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示,将正方形ABCD绕D点顺时针旋转90°后,B点的坐标为( ) A.(4,0) B.(4,1) C.(﹣2,2) D.(3,1) 【考点】坐标与图形变化-旋转;正方形的性质. 【分析】根据旋转的性质作出旋转后的图形,写出点B对应点的坐标即可得解. 【解答】解:如图,点B的对应点B′的坐标为(4,0). 故选A. 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转,利用数形结合求解更加简便,准确作出图形是解题的关键. 7.如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=10,AB=8,则⊙O的半径为( ) A. B. C.5 D.6 【考点】垂径定理;勾股定理. 【分析】如图,作辅助线;设⊙O的半径为λ,运用勾股定理列出λ2=42+(10﹣λ)2,求出λ即可解决问题. 【解答】解:如图,连接OA. 设⊙O的半径为λ,则OE=10﹣λ. ∵弦AB⊥CD, ∴AE=BE=4; 由勾股定理得:λ2=42+(10﹣λ)2, 解得:λ=, 故选A. 【点评】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题;解题的关键是作辅助线,灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答. 8.函数y=ax+a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( ) A. B. C. D. 【考点】反比例函数的图象;一次函数的图象. 【分析】根据反比例函数图象所在的象限可以判定a的符号,根据a的符号来确定直线所经过的象限. 【解答】解:A、双曲线经过第二、四象限,则a<0.则直线应该经过第二、四象限,故本选项错误. B、双曲线经过第一、三象限,则a>0.所以直线应该经过第一、三象限,且与y轴交于正半轴,故本选项正确. C、双曲线经过第二、四象限,则a<0.所以直线应该经过第二、四象限,且与y轴交于正半轴,故本选项错误. D、双曲线经过第一、三象限,则a>0.所以直线应该经过第一、三象限,且与y轴交于正半轴,故本选项错误. 故选:B. 【点评】此题考查一次函数,反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系,难度不大,属于基础题. 二、填空题(本题满分18分,共有6道小题,每小题3分) 9.小亮应聘小记者,进行了三项素质测试,测试成绩分别是:采访写作90分,计算机输入85分,创意设计70分,若将采访写作、计算机输入、创意设计三项成绩按5:2:3的比例来计算平均成绩,则小亮的平均成绩是 83 分. 【考点】加权平均数. 【分析】利用加权平均数按照比例求得小亮同学的成绩即可. 【解答】解:(分). 故答案为:83. 【点评】本题考查了加权平均数的计算方法,在进行计算时候注意权的分配,另外还应细心,否则很容易出错. 10.如图,AB是⊙O的直径,E是⊙O上的一点,C是弧AE的中点,若∠A=50°,则∠AOE的度数为 160 °. 【考点】圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系. 【分析】先根据圆周角定理得出∠ACB=90°,再由三角形内角和定理求出∠ABC的度数,故可得出的度数,根据C是弧AE的中点可得出的度数,进而可得出结论. 【解答】解:∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠A=50°, ∴∠ABC=90°﹣50°=40°. ∴=40°. ∵点C是弧AE的中点, ∴=2=80°, ∴∠AOE=2×80°=160°. 故答案为:160. 【点评】本题考查的是圆周角定理,熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键. 11.某旅馆的客房有三人间和二人间两种,三人间每人每天80元,二人间每人每天110元.一个40人的旅游团到该旅店住宿,租住了若干房间,且每个客房正好住满,一天共花去住宿费2500元.求两种客房各租住了多少间?若设租住了三人间x间,二人间y间,则根据题意可列方程组为 . 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组. 【分析】设租住了三人间x间,二人间y间,根据总共40人花费2500元,列方程组即可. 【解答】解:设租住了三人间x间,二人间y间, 由题意得,. 故答案为:. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组. 12.某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球(小球出颜色外完全相同)共60个.通过多次摸球实验后,发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%,由此估计口袋中蓝球的数目约为 15 个. 【考点】利用频率估计概率. 【分析】首先求得摸到红球的频率,然后利用概率公式求解即可. 【解答】解:∵摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%, ∴摸到蓝色球的频率为1﹣30%﹣45%=25%, 设有蓝球x个,根据题意得: =25%, 解得:x=15, 故答案为:15. 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率,根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键. 13.如图,等腰直角三角形ABC中,AD是底边BC上的高,现将△ABD沿DC方向平移,使点D和点C重合,若重叠部分(阴影部分)的面积是4,则△ABC的腰长为 4 . 【考点】平移的性质. 【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=45°,故可得出△CDE是等腰直角三角形,根据重叠部分(阴影部分)的面积是4求出DE的长,故可得出CD的长,再根据勾股定理即可得出AC的长. 【解答】解:∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠B=∠C=45°, ∴△CDE是等腰直角三角形. ∵重叠部分(阴影部分)的面积是4, ∴DE2=4,解得DE=2, ∴CD===4, ∴AC===4. 故答案为:4. 【点评】本题考查的是平移的性质,熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键. 14.如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为s,则第n个矩形的面积为 (s)2n﹣2 . 【考点】中点四边形. 【专题】规律型. 【分析】易得第二个矩形的面积为()2s,第三个矩形的面积为()4s,依此类推,第n个矩形的面积为()2n﹣2s. 【解答】解:已知第一个矩形的面积为s; 第二个矩形的面积为原来的()2×2﹣2s=s; 第三个矩形的面积是(s)2×3﹣2=s; … 故第n个矩形的面积为:()2n﹣2s. 故答案为:()2n﹣2s. 【点评】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质,是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的. 三、作图题(本题满分4分)用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹 15.某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目,现要在公园内建一个售票中心,使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,请在图中确定售票中心的位置. 【考点】线段垂直平分线的性质;作图—应用与设计作图. 【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等,可得售票中心是海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点. 【解答】解:如图,①连接AB,AC, ②分别作线段AB,AC的垂直平分线,两垂直平分线相较于点P, 则P即为售票中心. 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质.此题难度不大,注意掌握线段垂直平分线的作法. 四、解答题(本题满分74分,共有9道小题) 16.(1)解不等式组: (2)化简:. 【考点】解一元一次不等式组;分式的混合运算. 【分析】(1)首先解每个不等式,两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集; (2)首先把括号内的分式进行通分、相减,把除法转化为乘法,然后对分式进行化简即可. 【解答】解:(1), 解①得:x≥﹣1, 解②得:x<3, 则不等式的解集是:﹣1≤x<3; (2)原式=• = =2(x﹣2)﹣(x+2) =2x﹣4﹣x﹣2 =x﹣6. 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.还可以观察不等式的解,若x>较小的数、<较大的数,那么解集为x介于两数之间. 17.某校为了解九年级学生的体能情况,随机抽取部分男生进行引体向上测试,并根据抽测成绩绘制成如下两幅统计图. (1)请你补全图2的统计图; (2)本次抽测成绩的众数和中位数分别是多少? (3)若规定引体向上9次以上(含9次)为体能达到标准,则该校450名九年级男生中,估计有多少人体能达到标准? 【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图;中位数;众数. 【分析】(1)先求出总人数,再求出做9次的人数即可作图, (2)利用众数和中位数的定义求解即可, (3)用总人数乘做9次以上(含9次)的百分比. 【解答】解:(1)抽测的男生数为10÷20%=50人,做9次的人数50﹣10﹣14﹣12﹣3=11人 (2)本次抽测成绩的众数和中位数分别是7,8, (3)体能达到标准的人数为:450×=126人. 【点评】本题主要考查了条形统计图,扇形统计图,用样本估计总体,中位数及众数,解题的关键是正确的从条形统计图,扇形统计图得出数据. 18.甲、乙两个人进行游戏:在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌,它们分别标有数字1,2,3,4.从中随机摸出一张纸牌然后放回,再随机摸出一张纸牌,若两次摸出的纸牌上数字之和是3的倍数,则甲得1分;否则乙得1分.这是个公平的游戏吗?请说明理由;若不公平,请你修改规则使该游戏对双方公平. 【考点】游戏公平性. 【分析】列表得出所有等可能的情况数,找出之和为6的情况数,即可求出所求的概率,找出数字之和为3的倍数的情况数,分别求出两人获胜的概率,比较即可得到游戏公平与否. 【解答】解:列表如下: 1 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 所有等可能的情况有16种,其中数字之和为3,6的情况有5种, ∴P(和为3的倍数)=, 则该游戏不公平, 故可以这样修改游戏规则:数字之和为奇数甲获胜,之和为偶数乙获胜. 【点评】此题考查了游戏公平性,以及列表法与树状图法,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平. 19.五一期间,小明随父母到某旅游胜地参观游览,他在游客中心O处测得景点A在其北偏东72°方向,测得景点B在其南偏东40°方向.小明从游客中心走了2千米到达景点A,已知景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与B之间的距离.(结果精确到0.1千米) (参考数据:sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,sin40°≈0.64,tan40°≈0.84) 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题. 【分析】作OC⊥AB.在在Rt△AOC中,求出AC、OC的长,从而求出BC的长,于是将AC、BC相加即可. 【解答】解:作OC⊥AB. ∵AB∥OF, ∴∠A=72°,∠B=40°, ∴在Rt△AOC中, AC=2×cos72°≈2×0.31=0.62(千米), OC=2×sin72°≈2×0.95=1.9(千米), 在Rt△BOC中, =tan40°, 即≈0.84, BC≈=2.26(千米), ∴AB=0.62+2.26=2.88(千米). 【点评】本题考查了方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想. 20.某超市第一次用3000元从生产基地购进某品种水果,很快售完,第二次又用2400元购进相同品种的水果,第二次购进水果每千克的进价是第一次的1.2倍,且重量比第一次少了20千克. (1)求两次购进水果每千克的进价分别是多少元? (2)在这两次购进水果的运输过程中,总重量损失10%,若这两次水果的售价相同,全部售完后超市至少要获得20%的总利润,则该水果的售价最低应定为每千克多少元?(结果保留整数). 【考点】一元一次不等式的应用;解分式方程. 【专题】计算题. 【分析】(1)设第一次购进水果单价x元,则第二次购进水果单价1.2x元,根据第二次比第一次的重量少了20千克,可得出分式方程,解出即可; (2)最低应定为每千克y元,根据全部售完后超市至少要获得20%的总利润可得出不等式,解出即可. 【解答】解:(1)设第一次购进水果单价x元,则第二次购进水果单价1.2x元 由题意得﹣=20, 解得:x=50, 经检验的x=50是原方程的解, 而1.2x=60, 所以两次购进水果每千克的进价分别是50元、60元. (2)最低应定为每千克y元, 购买水果的总质量为:( +)=100千克, 由题意得:100×90%y﹣3000﹣2400≥5400×20%, 解得:y≥72, 答:该水果的售价最低应定为每千克72元. 【点评】本题考查了一元一次不等式及分式方程的应用,解答此类题目的关键是仔细审题,找到题目中的等量关系及不等关系,从而利用数学知识解答. 21.如图,在▱ABDC中,分别取AC、BD的中点E和F,连接BE、CF,过点A作AP∥BC,交DC的延长线于点P. (1)求证:△ABE≌△DCF; (2)当∠P满足什么条件时,四边形BECF是菱形?证明你的结论. 【考点】平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定. 【分析】(1)根据平行四边形的对角相等可得∠BAC=∠D,对边相等可得AB=CD,AC=BD,再根据中点定义求出AE=DF,然后利用“边角边”证明即可; (2)∠P=90°时,四边形BECF是菱形.先判断出四边形ABCP是平行四边形,根据平行四边形的对角相等可得∠ABC=∠P,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BE=CE,利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形BECF是平行四边形,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明. 【解答】(1)证明:在▱ABDC中,∠BAC=∠D,AB=CD,AC=BD, ∵E、F分别是AC、BD的中点, ∴AE=DF, 在△ABE和△DCF中,, ∴△ABE≌△DCF(SAS); (2)解:∠P=90°时,四边形BECF是菱形.理由如下: 在▱ABCD中,AB∥CD, ∵AP∥BC, ∴四边形ABCP是平行四边形, ∴∠ABC=∠P=90°, ∵E是AC的中点, ∴BE=CE=AC, ∵E、F分别是AC、BD的中点, ∴BF=CE, 又∵AC∥BD, ∴四边形BECF是平行四边形, ∴四边形BECF是菱形(邻边相等的平行四边形是菱形). 【点评】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的判定,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键. 22.某茶叶专卖店经销一种崂山绿茶,每千克成本80元.据销售人员调查发现,每月的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式; (2)写出每月销售这种绿茶获得的利润w(元)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系式; (3)若该专卖店销售这种绿茶想要每月获得的利润不低于1350元,并且为了不压货,要求每月销售量不得低于70千克,则销售单价应定在什么范围内? 【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)设函数解析式为y=kx+b,将(90,100),(100,80)代入y=kx+b即可; (2)每千克利润乘以销售量即为总利润; (3)要求每月销售量不得低于70千克和每月获得的利润不低于1350元,求出x的取值范围. 【解答】解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b, 把(90,100),(100,80)代入y=kx+b得, , 解得,, y与销售单价x之间的函数关系式为y=﹣2x+280. (2)w=(x﹣80)(﹣2x+280)=﹣2x2+440x﹣22400; (3)要求每月销售量不得低于70千克, 即﹣2x+280≥70, 解得x≤105, 当﹣2x2+440x﹣22400=1350时, 得到﹣2(x﹣110)2+1800=1350, 解得(x﹣110)2=225, 解得x1=95,x2=125. 每月获得的利润不低于1350元,则有95元≤x≤125元, 于是销售单价在95元≤x≤105元之间. 【点评】本题考查了二次函数的应用,还考查抛物线的基本性质,另外将实际问题转化为求函数最值问题,从而来解决实际问题,同时要熟悉二次函数和一元二次方程的关系. 23.【问题提出】 如图1,把一个边长为1的正三角形纸片(即△OAB)放在直线l1上,OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处;再将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°,点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处(即顶点O经过上述两次旋转到达O2处),求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l1围成图形的面积. 【问题解决】 三角形纸片在上述两次旋转过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即弧OO1和弧O1O2,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,即+=;这两段圆弧与直线l1围成的图形面积,等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和,即++=+. 【类比应用】 如图2,把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片进行第一次旋转,即绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处;再将正方形纸片AO1C1B1进行第二次旋转,即绕点B1按顺时针方向旋转90°,…,按上述方法经过若干次旋转后. 请你解答下面两个问题: (1)若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积; (2)若正方形OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程. 【拓展应用】 将正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是π? 【考点】几何变换综合题. 【分析】①根据正方形旋转3次的路径,利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可; ②根据正方形旋转5次的路径,利用弧长计算公式求出即可; 【拓展应用】 再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径,进而得出=20(1+)π+,即可得出旋转次数. 【解答】解:①如图所示,正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O运动所形成的图形是三段圆弧, ∴顶点O在此过程中经过的路程为:×2+=(1+)π, 顶点O在此过程中经过的图形与直线l2围成的图形面积为:×2++2××1=1+π. ②正方形纸片OABC经过5次旋转,顶点O在此过程中经过的路程为:×3+=()π; 【拓展应用】 正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O在此过程中经过的路程为:×2+=(1+)π, 根据第四次正方形旋转时O点不动,也就是此时也是正方形纸片OABC经过4次旋转的路程; ∴=20(1+)π+, ∴正方形纸片OABC经过了:20×4+1=81次旋转. 【点评】此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和弧长计算公式,分别得出旋转3,4,5次旋转的路径是解决问题的关键. 24.如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=cm,AD=8cm,直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动,速度是2cm/s,运动过程中始终保持EF∥AC,EF交AD于E,交DC于点F;同时,点P从点C出发沿CB方向匀速运动,速度是1cm/s,连接PE、PF,设运动时间为t(s)(0<t<4). (1)当EP⊥BC时,求t的值是多少? (2)设△PEF的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使面积y最大?若存在,求出y的最大值;若不存在,说明理由. (4)连接AP,是否存在某一时刻t,使点E恰好在AP的垂直平分线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由. 【考点】四边形综合题. 【分析】(1)当EP⊥BC时,DE=PC,得出8﹣2t=t,即可求出t; (2)作AG⊥BC于G,先求出CD=AG=6,再由△DEF∽△DAC,得出比例式得出DF,CF,用梯形DEPC的面积减去△DEF和△CPF的面积即为△PEF的面积; (3)由(2)得y是t的二次函数,二次项系数<0,故有最大值,配方得顶点式,即可得出最大值; (4)由点E在AP的垂直平分线上,得出AE=EP,根据勾股定理得出方程,解方程即可. 【解答】解:(1)根据题意得:AE=2t,PC=t, ∴DE=8﹣2t, 当EP⊥BC时,DE=PC, ∴8﹣2t=t, 解得:t=; (2)作AG⊥BC于G,如图所示: 则四边形AGCD是矩形,∠AGB=90°, ∴CD=AE,AG=AB•sin60°=4•=6, ∴CD=6, ∵EF∥AC, ∴△DEF∽△DAC, ∴,即, ∴DF=6﹣t, ∴CF=t, ∵S梯形DEPC=(8﹣2t+t)×6=24﹣3t, S△DEF=(8﹣2t)(6﹣t)=﹣12t+24, S△CPF=t•t=, ∴y=S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△CPF =24﹣3t﹣(﹣12t+24)﹣ =﹣t2+9t, 即y=﹣t2+9t; (3)存在; ∵y=﹣t2+9t=﹣(t﹣2)2+9,﹣<0, ∴y有最大值,当t=2时,y的值最大,最大值=9; (4)存在; 作PH⊥AD于H,如图所示: 则DH=PC=t,PH=6, ∴EH=8﹣2t﹣t=8﹣3t, ∴EP2=(8﹣3t)2+62, 又∵点E在AP的垂直平分线上, ∴AE=EP, ∴(2t)2=(8﹣3t)2+62, 解得:t=,或t=(舍去), ∴t=时,点E恰好在AP的垂直平分线上. 【点评】本题是四边形综合题目,考查了矩形的判定方法、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的知识以及图形面积的计算;本题难度较大,综合性强,特别是(2)中,通过作辅助线求出线段长度,并运用三角形相似才能求出面积. 查看更多