四川省广元市中考数学试卷解析

四川省广元市中考数学试卷解析

‎2018年四川省广元市中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.‎ ‎1．﹣3的绝对值是（　　）‎ A．±3 B．﹣‎3 ‎C．3 D．‎ ‎2．下列运算中正确的是（　　）‎ A．（a2）3＝a5 B．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 ‎ C．a‎8a2＝a4 D．（a﹣3）2＝a2﹣‎6a+9‎ ‎3．已知关于x的一元一次方程2（x﹣1）+‎3a＝3的解为4，则a的值是（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．﹣2 D．﹣3‎ ‎4．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）‎ A．众数是3 B．中位数是‎0 ‎C．平均数3 D．方差是2.8‎ ‎5．如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正方体的个数，这个立体图形的左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．一元一次不等式组的最大整数解是（　　）‎ A．﹣1 B．‎0 ‎C．1 D．2‎ ‎7．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　　）‎ A．30° B．36° C．45° D．72°‎ ‎8．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中错误的是（　　）‎ A．小明吃早餐用时5分钟 ‎ B．小华到学校的平均速度是‎240米/分 ‎ C．小明跑步的平均速度是‎100米/分 ‎ D．小华到学校的时间是7：55‎ ‎9．如图为一次函数y＝ax﹣‎2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎10．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（　　）‎ A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3 ‎ B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点 ‎ C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数 ‎ D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上．‎ ‎11．某物体质量为‎325000克，用科学记数法表示为　 　克．‎ ‎12．一个多边形的每一个外角都是18°，这个多边形的边数为　 　．‎ ‎13．如图，∠A＝22°，∠E＝30°，AC∥EF，则∠1的度数为　 　．‎ ‎14．如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝‎8cm、点C与的中点D的距离CD＝‎2cm．则此圆环形士片的外圆半径为　 　cm．‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点A为原点建立平面直角坐标系，使AB在x轴正半轴上，点D是AC边上的一个动点，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下结论：‎ ‎①△AFD∽△DCE∽△EGB；‎ ‎②当D为AC的中点时，△AFD≌△DCE；‎ ‎③点C的坐标为（3.2，2.4）；‎ ‎④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1的坐标为（1.6，4.8）；‎ ‎⑤矩形DEGF的最大面积为3．在这此结论中正确的有　 　（只填序号）‎ 三、解答题（共75分）要求写出必安的解答步骤或证明过程.‎ ‎16．（6分）计算： +（sin75°﹣2018）0﹣（﹣）﹣2﹣4cos30°．‎ ‎17．（7分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝+2．‎ ‎18．（7分）如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．‎ 求证：AE＝CF．‎ ‎19．（8分）为了提高学生的身体素质，某班级决定开展球类活动，要求每个学生必须在篮球、足球、排球、兵乓球、羽毛球中选择一项参加训练（只选择一项），根据学生的报名情况制成如下统计表：‎ 项目 篮球 足球 排球 乒乓球 羽毛球 报名人数 ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ a ‎10‎ 占总人数的百分比 ‎24%‎ b ‎（1）该班学生的总人数为　 　人；‎ ‎（2）由表中的数据可知：a＝　 　，b＝　 　；‎ ‎（3）报名参加排球训练的四个人为两男（分别记为A、B）两女（分别记为C、D），现要随机在这4人中选2人参加学校组织的校级训练，请用列表或树状图的方法求出刚好选中一男一女的概率．‎ ‎20．（8分）某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元 ‎（1）求购进甲、乙两种报纸的单价；‎ ‎（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元．销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？‎ ‎21．（8分）如图，雨后初睛，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、测量点A到水面平台的垂直高度AB、看到倒影顶端的视线与水面交点C到AB的水半距离BC．再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF，根据以下数据进行计算，‎ 如图，AB＝‎2米，BC＝‎1米，EF＝‎4‎米，∠l＝60°，∠2＝45°．已知线段ON和线段OD关于直线OB对称．（以下结果保留根号）‎ ‎（1）求梯步的高度MO；‎ ‎（2）求树高MN．‎ ‎22．（9分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），E是AD的中点；反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C和点E，过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；‎ ‎（2）求直线BF的解析式；‎ ‎（3）直接写出y1＞y2时，自变量x的取值范围．‎ ‎23．（10分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝P．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．‎ ‎24．（12分）已知抛物线的顶点为（2，﹣4）并经过点（﹣2，4），点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为﹣，抛物线交y轴于点N．如图1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P为抛物线对称轴上的一点，△ANP为等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，点B为直线y＝﹣2上的一个动点，过点B的直线l与AB垂直 ‎①求证：直线l与抛物线总有两个交点；‎ ‎②设直线1与抛物线交于点C、D（点C在左侧），分别过点C、D作直线y＝﹣2的垂线，垂足分别为E、F．求EF的长．‎ ‎2018年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的.‎ ‎1．﹣3的绝对值是（　　）‎ A．±3 B．﹣‎3 ‎C．3 D．‎ ‎【分析】根据绝对值的定义回答即可．‎ ‎【解答】解：﹣3的绝对值是3．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了绝对值得定义，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解答此题的关键．‎ ‎2．下列运算中正确的是（　　）‎ A．（a2）3＝a5 B．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 ‎ C．a‎8a2＝a4 D．（a﹣3）2＝a2﹣‎6a+9‎ ‎【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．‎ ‎【解答】解：A、结果是a6，故本选项不符合题意；‎ B、结果是4x2﹣1，故本选项不符合题意；‎ C、结果是a10，故本选项不符合题意；‎ D、结果是a2﹣‎6a+9，故本选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．‎ ‎3．已知关于x的一元一次方程2（x﹣1）+‎3a＝3的解为4，则a的值是（　　）‎ A．﹣1 B．‎1 ‎C．﹣2 D．﹣3‎ ‎【分析】将x＝4代入方程中即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：将x＝4代入2（x﹣1）+‎3a＝3，‎ ‎∴2×3+‎3a＝3，‎ ‎∴a＝﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解的定义，本题属于基础题型．‎ ‎4．某小组长统计组内5人一天在课堂上的发言次数分別为3，3，0，4，5．关于这组数据，下列说法错误的是（　　）‎ A．众数是3 B．中位数是‎0 ‎C．平均数3 D．方差是2.8‎ ‎【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可．‎ ‎【解答】解：将数据重新排列为0，3，3，4，5，‎ 则这组数的众数为3，中位数为3，平均数为＝3，方差为×[（0﹣3）2+2×（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式．‎ ‎5．如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正方体的个数，这个立体图形的左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：根据该几何体中小正方体的分布知，其左视图共2列，第1列有1个正方形，第2列有3个正方形，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．‎ ‎6．一元一次不等式组的最大整数解是（　　）‎ A．﹣1 B．‎0 ‎C．1 D．2‎ ‎【分析】求出不等式组的解集，即可求出正最大整数解；‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得到：2x+6﹣4≥0，‎ ‎∴x≥﹣1，‎ 由②得到：x+1＞3x﹣3，‎ ‎∴x＜2，‎ ‎∴﹣1≤x＜2，‎ ‎∴最大整数解是1，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法，属于中考常考题型．‎ ‎7．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（　　）‎ A．30° B．36° C．45° D．72°‎ ‎【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；‎ ‎【解答】解：如图，连接OC，OD．‎ ‎∵ABCDE是正五边形，‎ ‎∴∠COD＝＝72°，‎ ‎∴∠CPD＝∠COD＝36°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎8．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中错误的是（　　）‎ A．小明吃早餐用时5分钟 ‎ B．小华到学校的平均速度是‎240米/分 ‎ C．小明跑步的平均速度是‎100米/分 ‎ D．小华到学校的时间是7：55‎ ‎【分析】根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得．‎ ‎【解答】解：A、小明吃早餐用时13﹣8＝5分钟，此选项正确；‎ B、小华到学校的平均速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），此选项正确；‎ C、小明跑步的平均速度是（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100（米/分），此选项正确；‎ D、小华到学校的时间是7：53，此选项错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．‎ ‎9．如图为一次函数y＝ax﹣‎2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断..‎ ‎【解答】解：ax﹣‎2a＝﹣，‎ 则x﹣2＝﹣，‎ 整理得，x2﹣2x+1＝0，‎ ‎△＝0，‎ ‎∴一次函数y＝ax﹣‎2a与反比例函数y＝﹣只有一个公共点，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的图象和性质，函数图象的交点的求法是解题的关键．‎ ‎10．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以下说法中错误的是（　　）‎ A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2的解集是x＜3 ‎ B．函数y＝（x+2）*x的图象与x轴有两个交点 ‎ C．在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数 ‎ D．方程（x﹣2）*3＝5的解是x＝5‎ ‎【分析】根据题目中的新规定和二次函数的性质、不等式的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵a*b＝ab﹣a+b，‎ ‎∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1，‎ ‎∵（﹣2）*（3﹣x）＜2，‎ ‎∴x﹣1＜2，解得x＜3，故选项A正确；‎ ‎∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2，‎ ‎∴当y＝0时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，故选项B正确；‎ ‎∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+）2+＞0，‎ ‎∴在实数范围内，无论a取何值，代数式a*（a+1）的值总为正数，故选项C正确；‎ ‎∵（x﹣2）*3＝5，‎ ‎∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5，‎ 解得，x＝3，故选项D错误；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、非负数的性质、解一元一次方程、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．‎ 二、填空题（每小题3分，共15分）把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上．‎ ‎11．某物体质量为‎325000克，用科学记数法表示为　3.25×‎105　‎克．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：某物体质量为‎325000克，用科学记数法表示为3.25×‎105克．‎ 故答案为：3.25×105．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎12．一个多边形的每一个外角都是18°，这个多边形的边数为　二十　．‎ ‎【分析】根据多边形的外角和为360°，求出多边形的边数即可．‎ ‎【解答】解：设正多边形的边数为n，‎ 由题意得，n×18°＝360°，‎ 解得：n＝20．‎ 故答案为：二十．‎ ‎【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．‎ ‎13．如图，∠A＝22°，∠E＝30°，AC∥EF，则∠1的度数为　52°　．‎ ‎【分析】依据∠E＝30°，AC∥EF，即可得到∠AGH＝∠E＝30°，再根据∠1是△AGH的外角，即可得出∠1＝∠A+∠AGH＝52°．‎ ‎【解答】解：如图，∵∠E＝30°，AC∥EF，‎ ‎∴∠AGH＝∠E＝30°，‎ 又∵∠1是△AGH的外角，‎ ‎∴∠1＝∠A+∠AGH＝22°+30°＝52°，‎ 故答案为：52°．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．‎ ‎14．如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝‎8cm、点C与的中点D的距离CD＝‎2cm．则此圆环形士片的外圆半径为　‎5　cm．‎ ‎【分析】根据垂径定理求得AC＝‎4cm，然后根据勾股定理即可求得半径．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA，‎ ‎∵CD＝‎2cm，AB＝‎8cm，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴OD⊥AB，‎ ‎∴AC＝AB＝‎4cm，‎ ‎∴设半径为r，则OD＝r﹣2，‎ 根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，‎ 解得：r＝5．‎ ‎∴这个玉片的外圆半径长为‎5cm．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点A为原点建立平面直角坐标系，使AB在x轴正半轴上，点D是AC边上的一个动点，DE∥AB交BC于E，DF⊥AB于F，EG⊥AB于G．以下结论：‎ ‎①△AFD∽△DCE∽△EGB；‎ ‎②当D为AC的中点时，△AFD≌△DCE；‎ ‎③点C的坐标为（3.2，2.4）；‎ ‎④将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1的坐标为（1.6，4.8）；‎ ‎⑤矩形DEGF的最大面积为3．在这此结论中正确的有　①③⑤　（只填序号）‎ ‎【分析】①正确，根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；‎ ‎②错误．根据斜边不相等即可判断；‎ ‎③正确．求出点C坐标即可判断；‎ ‎④错误．求出点B1即可判断；‎ ‎⑤正确．首先证明四边形DEGF是矩形，推出DF＝EG，DE＝FG，设DF＝EG＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质即可判断；‎ ‎【解答】解：如图，作CH⊥AB于H．‎ ‎∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，‎ ‎∴∠AFD＝∠DCE＝∠EGB＝90°，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠CDE＝∠DAF，∠CED＝∠EBG，‎ ‎∴△AFD∽△DCE∽△EGB；故①正确；‎ 当AD＝CD时，∵DE＞CD，‎ ‎∴DE＞AD，‎ ‎∴△AFD与△DCE不全等，故②错误，‎ 在Rt△ACB中，∵AC＝4，BC＝3，‎ ‎∴AB＝5，CH＝＝＝2.4，‎ ‎∴AH＝＝3.2，‎ ‎∴C（3.2，2.4），故③正确，‎ 将△ABC沿AC所在的直线翻折到原来的平面，点B的对应点B1，设B1为（m，n），‎ 则有＝3.2，m＝1.4，‎ ‎＝2.4，n＝4.8，‎ ‎∴B1（1.4，4.8），故④错误；‎ ‎∵DF⊥AB于F，EG⊥AB于G，‎ ‎∴DF∥EG，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴四边形DEGF是平行四边形，‎ ‎∵∠DFG＝90°，‎ ‎∴四边形DEGF是矩形，‎ ‎∴DF＝EG，DE＝FG，设DF＝EG＝x，则AFx，BG＝x，‎ ‎∴DE＝FG＝5﹣x﹣x＝5﹣x，‎ ‎∵S矩形DEGF＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴S的最大值＝＝3，故⑤正确，‎ 综上所述，正确的有：①③⑤，‎ 故答案为①③⑤．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数，解决最值问题，属于中考压轴题．‎ 三、解答题（共75分）要求写出必安的解答步骤或证明过程.‎ ‎16．（6分）计算： +（sin75°﹣2018）0﹣（﹣）﹣2﹣4cos30°．‎ ‎【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝2+1﹣（﹣3）2﹣4×‎ ‎＝2+1﹣9﹣2‎ ‎＝﹣8‎ ‎【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用有关运算性质，本题属于基础题型．‎ ‎17．（7分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝+2．‎ ‎【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：÷（﹣），‎ ‎＝÷，‎ ‎＝÷，‎ ‎＝•，‎ ‎＝．‎ 当a＝+2时，原式＝＝1+2．‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎18．（7分）如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．‎ 求证：AE＝CF．‎ ‎【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．‎ ‎【解答】证明：∵菱形ABCD，‎ ‎∴BA＝BC，∠A＝∠C，‎ ‎∵BE⊥AD，BF⊥CD，‎ ‎∴∠BEA＝∠BFC＝90°，‎ 在△ABE与△CBF中 ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CBF（AAS），‎ ‎∴AE＝CF．‎ ‎【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．‎ ‎19．（8分）为了提高学生的身体素质，某班级决定开展球类活动，要求每个学生必须在篮球、足球、排球、兵乓球、羽毛球中选择一项参加训练（只选择一项），根据学生的报名情况制成如下统计表：‎ 项目 篮球 足球 排球 乒乓球 羽毛球 报名人数 ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ a ‎10‎ 占总人数的百分比 ‎24%‎ b ‎（1）该班学生的总人数为　50　人；‎ ‎（2）由表中的数据可知：a＝　16　，b＝　24%　；‎ ‎（3）报名参加排球训练的四个人为两男（分别记为A、B）两女（分别记为C、D），现要随机在这4人中选2人参加学校组织的校级训练，请用列表或树状图的方法求出刚好选中一男一女的概率．‎ ‎【分析】（1）用篮球的人数除以其所占百分比即可得总人数；‎ ‎（2）根据各项目的人数之和等于总人数可求得a的值，用羽毛球的人数除以总人数可得b的值；‎ ‎（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）该班学生的总人数为12÷24%＝50（人），‎ 故答案为：50；‎ ‎（2）a＝50﹣（12+8+4+10）＝16，‎ 则b＝×100%＝20%，‎ 故答案为：16，24%；‎ ‎（3）画树状图如下：‎ 由树状图知，共有12种等可能结果，其中刚好选中一男一女的有8种结果，‎ ‎∴刚好选中一男一女的概率为＝．‎ ‎【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．‎ ‎20．（8分）某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元 ‎（1）求购进甲、乙两种报纸的单价；‎ ‎（2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份1元、1.5元．销售处每天从报社购进甲、乙两种报纸共600份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不低于300元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？‎ ‎【分析】（1）设甲、乙两种报纸的单价分别是x元、y 元，根据购进甲种报纸200份与乙种报纸300份共需360元，购进甲种报纸300份与乙种报纸200份共需340元 列出方程组，解方程组即可；‎ ‎（2）设该销售处每天购进甲种报纸a份，根据销售这两种报纸的总利润不低于300元列出不等式，求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设甲、乙两种报纸的单价分别是x元、y元，根据题意得 ‎，解得．‎ 答：甲、乙两种报纸的单价分别是0.6元、0.8元；‎ ‎（2）设该销售处每天购进甲种报纸a份，根据题意，得 ‎（1﹣0.6）a+（1.5﹣0.8）（600﹣a）≥300，‎ 解得a≤400．‎ 答：该销售处每天最多购进甲种报纸400份．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系与不等关系．‎ ‎21．（8分）如图，雨后初睛，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、测量点A到水面平台的垂直高度AB、看到倒影顶端的视线与水面交点C到AB的水半距离BC．再测得梯步斜坡的坡角∠2和长度EF，根据以下数据进行计算，‎ 如图，AB＝‎2米，BC＝‎1米，EF＝‎4‎米，∠l＝60°，∠2＝45°．已知线段ON和线段OD关于直线OB对称．（以下结果保留根号）‎ ‎（1）求梯步的高度MO；‎ ‎（2）求树高MN．‎ ‎【分析】（1）如图，作EH⊥OB于H．则四边形MOHE是矩形．解Rt△EHF求出EH 即可解决问题；‎ ‎（2）设ON＝OD＝m．作AK⊥ON于K．则四边形AKOB是矩形，AK＝BO，OK＝AB＝2，想办法构建方程求出m即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图，作EH⊥OB于H．则四边形MOHE是矩形．‎ ‎∴OM＝EH，‎ ‎∵∠EHF＝90°，EF＝4，∠2＝45°，‎ ‎∴EH＝FH＝OM＝‎4‎米．‎ ‎（2）设ON＝OD＝m．作AK⊥ON于K．则四边形AKOB是矩形，AK＝BO，OK＝AB＝2‎ ‎∵AB∥OD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OC＝，‎ ‎∴AK＝OB＝+1，NK＝m﹣2，‎ 在Rt△AKN中，∵∠1＝60°，‎ ‎∴NK＝AK，‎ ‎∴m﹣2＝（+1），‎ ‎∴m＝（14+8）米，‎ ‎∴MN＝ON﹣OM＝14+8﹣4＝（14+4）米．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎22．（9分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C 的坐标为（6，2），E是AD的中点；反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C和点E，过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4．‎ ‎（1）求反比例函数的解析式和点E的坐标；‎ ‎（2）求直线BF的解析式；‎ ‎（3）直接写出y1＞y2时，自变量x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）把C点的坐标代入，即可求出反比例函数的解析式，再求出E点的坐标即可；‎ ‎（2）求出B、F的坐标，再求出解析式即可；‎ ‎（3）先求出两函数的交点坐标，即可得出答案．）‎ ‎【解答】解：（1）∵反比例函数y1＝（x＞0）图象经过点C，C点的坐标为（6，2），‎ ‎∴k＝6×2＝12，‎ 即反比例函数的解析式是y1＝，‎ ‎∵矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC与x轴平行，AB＝1，点C的坐标为（6，2），‎ ‎∴点E的纵坐标是2+1＝3，‎ 把y＝3代入y1＝得：x＝4，‎ 即点E的坐标为（4，3）；‎ ‎（2）∵过点B的直线y2＝ax+b与反比例函数图象交于点F，点F的纵坐标为4，‎ 把y＝4代入y1＝得：4＝，‎ 解得：x＝3，‎ 即F点的坐标为（3，4），‎ ‎∵E（4，3），C（6，2），E为矩形ABCD的边AD的中点，‎ ‎∴AE＝DE＝6﹣4＝2，‎ ‎∴B点的横坐标为4﹣2＝2，‎ 即点B的坐标为（2，2），‎ 把B、F点的坐标代入直线y2＝ax+b得：，‎ 解得：a＝2，b＝﹣2，‎ 即直线BF的解析式是y＝2x﹣2；‎ ‎（3）∵反比例函数在第一象限，F（3，4），‎ ‎∴当y1＞y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜3．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、函数的图象、用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式、矩形的性质等知识点，能正确求出两函数的解析式是解此题的关键．‎ ‎23．（10分）如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝P．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度．‎ ‎【分析】（1）如图1中，作PH⊥FM于H．想办法证明∠PFH＝∠PMH，∠C＝∠OFC，再根据等角的余角相等即可解决问题；‎ ‎（2）解直角三角形求出AD，PD即可解决问题；‎ ‎（3）分两种情形①当△CDH∽△BFM时，＝．‎ ‎②当△CDH∽△MFB时，＝，分别构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，作PH⊥FM于H．‎ ‎∵PD⊥AC，‎ ‎∴∠PHM＝∠CDM＝90°，‎ ‎∵∠PMH＝∠DMC，‎ ‎∴∠C＝∠MPH，‎ ‎∵∠C＝∠FPM，‎ ‎∴∠HPF＝∠HPM，‎ ‎∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°，‎ ‎∴∠PFH＝∠PMH，‎ ‎∵OF＝OC，‎ ‎∴∠C＝∠OFC，‎ ‎∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°，‎ ‎∴∠OFC+∠PFC＝90°，‎ ‎∴∠OFP＝90°，‎ ‎∴直线PA是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：如图1中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°，‎ ‎∴∠AOF＝60°，‎ ‎∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF，‎ ‎∴∠C＝30°，‎ ‎∵⊙O的半径为4，DM＝1，‎ ‎∴OA＝2OF＝8，CD＝DM＝，‎ ‎∴OD＝OC﹣CD＝4﹣，‎ ‎∴AD＝OA+OD＝8+4﹣＝12﹣，‎ 在Rt△ADP中，‎ DP＝AD•tan30°＝（12﹣）×＝4﹣1，‎ ‎∴PM＝PD﹣DM＝4﹣2．‎ ‎（3）如图2中，‎ 由（2）可知：BF＝BC＝4，FM＝BF＝4，CM＝2DM＝2，CD＝，‎ ‎∴FM＝FC﹣CM＝4﹣2，‎ ‎①当△CDH∽△BFM时，＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DH＝‎ ‎②当△CDH∽△MFB时，＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DH＝，‎ ‎∵DN＝＝，‎ ‎∴DH＜DN，符合题意，‎ 综上所述，满足条件的DH的值为或．‎ ‎【点评】‎ 本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．‎ ‎24．（12分）已知抛物线的顶点为（2，﹣4）并经过点（﹣2，4），点A在抛物线的对称轴上并且纵坐标为﹣，抛物线交y轴于点N．如图1．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P为抛物线对称轴上的一点，△ANP为等腰三角形，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，点B为直线y＝﹣2上的一个动点，过点B的直线l与AB垂直 ‎①求证：直线l与抛物线总有两个交点；‎ ‎②设直线1与抛物线交于点C、D（点C在左侧），分别过点C、D作直线y＝﹣2的垂线，垂足分别为E、F．求EF的长．‎ ‎【分析】（1）由题意设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，把（﹣2，4）代入求出a即可解决问题；‎ ‎（2）利用勾股定理求出AN的长，分三种情形分别求解即可解决问题；‎ ‎（3）①设B（m，﹣2），则直线AB的解析式为y＝x+，由直线l⊥AB，推出直线l的解析式为y＝（‎2m﹣4）x﹣‎2m2‎+‎4m﹣2，由，消去y得到：∴x2+4（1﹣m）x+4（m2﹣‎2m）＝0，只要证明△＞0即可；‎ ‎②设C（x1，y1），D（x2，y2），由①可知：EF＝x2﹣x1，求出方程的两根即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）解：由题意设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，把（﹣2，4）代入得到a＝，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣2．‎ ‎（2）解：由题意：A（2，﹣1.5），N（0，﹣2）．‎ ‎∴AN＝＝，‎ 当PA＝AN时，可得P1（2，﹣），P3（2，﹣﹣）．‎ 当NA＝NP时，可得P2（2，﹣），‎ 当PN＝PA时，设P4（2，a），则有（a+）2＝22+（a+2）2，‎ 解得a＝﹣，‎ ‎∴P4（2，﹣），‎ 综上所述，满足条件的点OP坐标为P1（2，﹣），P2（2，﹣），P3（2，﹣﹣），P4（2，﹣）；‎ ‎（3）①证明：如图2中，‎ 设B（m，﹣2），则直线AB的解析式为y＝x+，‎ ‎∵直线l⊥AB，‎ ‎∴直线l的解析式为y＝（‎2m﹣4）x﹣‎2m2‎+‎4m﹣2，‎ 由，消去y得到：∴x2+4（1﹣m）x+4（m2﹣‎2m）＝0，‎ ‎∴△＝[4（1﹣m）]2﹣4•1•4（m2﹣‎2m）＝16＞0，‎ ‎∴直线l与抛物线有两个交点．‎ ‎②设C（x1，y1），D（x2，y2），‎ 由①可知：EF＝x2﹣x1，‎ ‎∵x2+4（1﹣m）x+4（m2﹣‎2m）＝0，‎ ‎∴x＝＝，‎ ‎∴x2＝，x1＝，‎ ‎∴EF＝x2﹣x1＝4．‎ ‎【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的根 判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数，利用方程组解决问题，属于中考压轴题．‎