2020年中考数学专题复习二次函数与图形综合培优

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二次函数与图形综合[来~源:@中%国教*育出#版网]‎ 知识互联网 题型一：坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题 思路导航 坐标系中（函数图象上）动点产生三角形的问题我们主要讲解3类：①因动点产生的等腰三角形问题②因动点产生的直角三角形问题③因动点产生的相似三角形问题.‎ 一、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为等腰三角形．‎ ‎ ‎ 几何法：①分别以点、为圆心，为半径作圆，找点，，，．（检验）‎ 第 21 页 共 21 页 ‎②作线段的垂直平分线，找点．（检验）‎ 代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：‎ ‎①；②；③．求出点．（检验）‎ 二、方法与技巧：已知线段和直线，在直线上找点，使为直角三角形．‎ 几何法：①分别过点、作线段的垂线，找点，．（检验）‎ ‎②以线段为直径作圆，利用直径所对的圆周角为，找点，．（检验）‎ 代数法：设点的坐标为，求出、、的长度，分类讨论：‎ ‎①；②；③.‎ 求出点．（检验）‎ 三、方法与技巧：以点、、为顶点的三角形和相似．[中*@国&教育^出~版网]‎ 根据“两组角对应相等，两三角形相似．”进行分类讨论：[来源%@:中^教&#网]‎ ‎①，②，‎ ‎③，④，‎ ‎⑤，⑥.（检验）‎ 典题精练 第 21 页 共 21 页 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴交于点．‎ ⑴ 求此二次函数关系式和点的坐标；‎ ⑵ 在轴的正半轴上是否存在点．使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】⑴ 把点代入二次函数有：‎ 得：‎ 所以二次函数的关系式为：．‎ 当时，‎ ‎∴点的坐标为．‎ ‎⑵ 如图：‎ 作的垂直平分线交轴于点，连接，‎ 则：‎ 设，则，[来源:zzs@t%ep.~c&*om]‎ 在直角中，‎ 即：‎ 解得：‎ ‎∴‎ 所以点的坐标为：‎ 可以把“是以为底边的等腰三角形”拓展为“是等腰三角形”.[www&.@^zzst%#ep.com]‎ ‎[来#%源:中国教育&出版网^@]‎ 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数的图象交于点和点．‎ ‎⑴当时，求反比例函数的解析式；‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，求应满足的条件以及的取值范围；‎ ‎⑶设二次函数的图象的顶点为，当是以为斜边的直角三角形时，求的值．[来源@^:&%中~教网]‎ ‎【解析】 ⑴当时，，[www@#.zzst%e~*p.com]‎ ‎∵在反比例函数图象上，‎ ‎∴设反比例函数的解析式为：，‎ 代入得：，‎ 解得：，‎ ‎∴反比例函数的解析式为：，‎ ‎⑵∵要使反比例函数和二次函数都是随着的增大而增大，‎ ‎∴，‎ ‎∵二次函数，的对称轴为：直线，[中%&^国#教育@出版网]‎ 要使二次函数满足上述条件，在的情况，必须在对称轴左边，‎ 即时，才能使得随着的增大而增大，‎ ‎∴综上所述，且；‎ ‎⑶由⑵可得：，‎ ‎∵是以为斜边的直角三角形，点与点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）‎ ‎∴原点平分，∴，作，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 第 21 页 共 21 页 解得：．‎ 如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点B落在边上的点E处．分别以，所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线经过O，D，C三点．‎ ‎⑴求的长及抛物线的解析式；‎ ‎⑵一动点P从点E出发，沿以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？‎ ‎【解析】 ⑴∵四边形为矩形，‎ ‎∴，‎ ‎，．[来源:zz@%s~tep.^com*]‎ 由题意得，．‎ ‎∴，，．‎ 由勾股定理易得．∴．[来@源:中*&~国%教育出版网]‎ 设，则，[来~*源:中^国教育%&出版网]‎ 由勾股定理，得．‎ 解之得，，∴．‎ ‎∵抛物线过点，∴．‎ ‎∵抛物线过点，，[来源@:*zzstep.^c%om&]‎ ‎∴．解之得．‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∴抛物线的解析式为：．[w~#ww.zz&ste^p.com@]‎ ‎⑵∵，，‎ ‎∴．[来~源^*:&中教%网]‎ 由⑴可得，，．[来源:中@#国教*育出版~网^]‎ 而，，∴．‎ 当时，，[来源#:*中国教%育出~&版网]‎ ‎∴，即，解得．‎ 当时，，‎ ‎∴，即，解得．[来源:中国#%&教育出*@版网]‎ ‎∴当或时，以，，为顶点的三角形与相似．‎ 题型二：坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题 思路导航 坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题：主要讲解两类问题：⑴因动点产生的平行四边形问题 ⑵因动点产生的梯形问题.[来源%@:中^教#*网]‎ ‎⑴因动点产生的平行四边形问题的方法与技巧：‎ 已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形，寻找平行四边形的另外两个顶点．‎ ‎①为边：平移型，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形．‎ ‎②为对角线：旋转型，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形．‎ 第 21 页 共 21 页 ‎⑵因动点产生的梯形问题的方法与技巧：‎ 如图，已知和直线，在直线上找点，使以点、、、为顶点的四边形为梯形．‎ ‎①分别过点、、作、、的平行线与直线相交．‎ ‎②检验以点、、、为顶点的四边形是否为平行四边形．‎ 第 21 页 共 21 页 典题精练 在平面直角坐标系中，以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、（点在点的左边），与轴相交于点、（点在点的下方）．‎ ‎⑴求以直线为对称轴，且经过点、的抛物线的解析式；[来源:中~国教育^出*版&网@]‎ ‎⑵若为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎⑴如图，∵圆以点为圆心，半径为5，‎ ‎∴此圆与轴交于点，．‎ 连接OD在中，，‎ ‎∵，，∴．∴点的坐标为．‎ 设抛物线的解析式为，[www.z&^zs#tep.c*o~m]‎ ‎∵抛物线经过点，，‎ 且对称轴为，∴‎ 解得，，．‎ ‎∴抛物线的解析式为 ．[来#%源:中国教育&出版网^@]‎ ‎⑵存在符合条件的点F，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．[www.@^*z~zstep.c#om]‎ 情况1：当为平行四边形的一边时，∵，‎ ‎∴．‎ 设点，，，将点、‎ 第 21 页 共 21 页 分别代入抛物线的解析式，‎ 得，．[www@#.zzst%e~*p.com]‎ 情况2：当为平行四边形的对角线时，，‎ 又∵点在抛物线上，‎ ‎∴点必为抛物线的顶点．‎ ‎∴．‎ 综上所述，，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．‎ 抛物线经过直线与坐标轴的两个交点，抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为．[来源*:中&~#^教网]‎ ‎⑴求此抛物线的解析式；‎ ‎⑵试判断的形状，并证明你的结论；‎ ‎⑶在坐标轴上是否存在点使得以点、、、为顶点的四边形是梯形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎⑴∵直线与坐标轴的两个交点坐标分别为，‎ 又抛物线经过这两个点，‎ 则可得，解得，‎ ‎∴此抛物线的解析式为．‎ ‎⑵由⑴可知：点坐标为，顶点的坐标为，‎ 过点作轴于，‎ 可知，∴，‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴是直角三角形．‎ ‎⑶分以下三种情况讨论：‎ ‎①若为底，则与轴交于点，‎ 由易知，直线的解析式为，‎ ‎∴直线的解析式为，∴．‎ ‎②若为底，则与轴交于点，[中*%@国教育^出版#网]‎ 由易知，直线的解析式为，‎ ‎∴直线的解析式为，∴．‎ ‎③若为底，则与轴、轴分别交于，‎ 已知直线的解析式为，‎ ‎∴直线的解析式为，∴．[中国教育&%出版@网*#]‎ 综上所述，满足以为顶点的四边形是梯形的点坐标为，，，．‎ 第 21 页 共 21 页 ‎[中^~#国教育出版网&%]‎ 如图，已知抛物线：的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），点的横坐标是．‎ y x A O B P M 图1‎ C1‎ C2‎ C3‎ 图⑴‎ ‎ ‎y x A O P P N 图2‎ C1‎ C4‎ Q E F 图⑵‎ ‎⑴求点坐标及的值；‎ ‎⑵如图⑴，抛物线与抛物线关于轴对称，将抛物线向右平移，平移后的抛物线记为，的顶点为，当点关于点成中心对称时，求的解析式；‎ ‎⑶如图⑵，点是轴正半轴上一点，将抛物线绕点旋转后得到抛物线．抛物线的顶点为，与轴相交于两点（点在点的左边），当以点为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标．‎ y x A O B P M 图⑴‎ C1‎ C2‎ C3‎ H G ‎⑴由抛物线：得顶点的坐标为 ‎∵点在抛物线上，∴，解得．‎ ‎⑵连接，作轴于，作轴于 ‎∵点关于点成中心对称，‎ ‎∴过点，且[来源:#&zzstep^@.%com]‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴顶点的坐标为[w*ww.#@zz&step.^com]‎ y x A O B P N 图⑵‎ Q E F H G K 抛物线关于轴对称得到，再平移得到[中%国教育出版@&网#~]‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∴抛物线的解析式为[w~ww.zz#s^tep%@.com]‎ ‎⑶∵抛物线由绕着轴上的点旋转得到 ‎∴顶点关于点成中心对称 由⑵得点的纵坐标为，设点坐标为[来源:*中国教育出^版网@&#]‎ 作轴于，作轴于，作于 ‎∵旋转中心在轴上，∴，‎ ‎∴，点坐标为，坐标为，坐标为，‎ 根据勾股定理得，，‎ ‎，‎ ‎①当时，，解得，∴点坐标为[来~源:zz*^st@%ep.com]‎ ‎②当时，，解得，∴点坐标为 ‎③∵，∴‎ 综上，当点坐标为或时，以点为顶点的三角形是直角三角形．‎ ‎[w@ww%.zzste^p.#com~]‎ 第 21 页 共 21 页 复习巩固 题型一 坐标系中（函数图象上）动点产生三角形问题 巩固练习 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点右侧），过点的直线交抛物线于另一点，点的坐标为．‎ ‎⑴求的值及直线的函数关系式；‎ ‎⑵是线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，[中~国#教育出&版网^%]‎ 交轴于点．‎ ‎①求线段长度的最大值；‎ ‎②在抛物线上是否存在这样的点，使得与相似？如 果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．‎ ‎[来~源^@:中教&网%]‎ ‎⑴由题意得，∴‎ ‎∴抛物线的函数解析式为，与轴交于、‎ 设直线的解析式为，则有，解得，‎ ‎∴直线的解析式为[来#源:中教@~网%^]‎ ‎⑵ ①设的横坐标为，则，‎ ‎∴[中国*^教育&#出版网~]‎ ‎∴当时，的最大值为．‎ ‎②；‎ 第 21 页 共 21 页 提示：通过观察容易得到，需要计算过点且与垂直的直线与抛物线的交点，比较复杂；亦或过作的垂线，垂足为，则，得到，设点的横坐标为，通过点坐标与线段的转化，利用比例关系求出，进一步求出点坐标．‎ ‎[来源:zzs@te#%^*p.com]‎ ‎[ww&w.~z*zs@tep.co#m]‎ 题型二 坐标系中（函数图象上）动点产生四边形问题 巩固练习 已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．‎ ‎⑴求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；‎ ‎⑵在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的[中&国教育#*~出^版网]‎ 解析式；‎ ‎⑶在⑵的条件下直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．[来^源@:&%中~教网]‎ ‎⑴根据题意，得，解得 ‎∴抛物线的解析式为，顶点坐标是．‎ ‎⑵‎ 设直线的解析式为 第 21 页 共 21 页 ‎∵直线经过点，点 ‎∴，解得，∴．‎ ‎⑶存在．，，，．[ww~w.zzs@t#%ep.&com]‎ 在平面直角坐标系中，以点为圆心、半径为的圆与轴相交于点、（点在点的左边），与轴相交于点、（点在点的下方）．[来源~:@中^国#教%育出版网]‎ ‎⑴求以直线为对称轴，且经过点、的抛物线的解析式；‎ ‎⑵若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求的取值范围；‎ ‎⑶若为这个抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点，使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎⑴由的圆心为，半径为，及各点的位置可知 ‎，‎ ‎∵抛物线的对称轴是，且经过点，∴该抛物线一定经过点，‎ ‎∴设抛物线解析式为，代入，可得 ‎，解得，∴抛物线解析式为．[中国教育*出&@^#版网]‎ ‎⑵由两点关于对称轴对称，则连结与对称轴交于一点，‎ 此时最小，又知，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎⑶①若，则点横坐标为或，‎ 这两点关于对称轴对称，∴，‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∴点的坐标为．‎ ‎②若互相平分，则点在对称轴上，‎ ‎∴点坐标为．‎ ‎∴存在点，坐标为．‎ ‎[来#源:中~^%*国教育出版网]‎ 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为点，与x轴的交点为点A，过点作轴的平行线，交抛物线于点，连接．现有两动点，分别从，两点同时出发，点以每秒4个单位的速度沿向终点移动，点以每秒1个单位的速度沿向点移动，点停止运动时，点也同时停止运动，线段，相交于点，过点作，交于点，射线交轴于点．设动点，移动的时间为（单位：秒）‎ ‎⑴求，，三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；‎ ‎⑵当为何值时，四边形为平行四边形？请写出计算过程；‎ ‎⑶当时，的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；‎ ‎⑷当为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程.‎ ‎⑴∵，令，得，，‎ ‎∴或，∴；‎ 在中，令，得，即；‎ 由于，故点的纵坐标为，‎ 由，得或 第 21 页 共 21 页 即，且易求出顶点坐标为，‎ 于是，，顶点坐标为．‎ ‎⑵若四边形为平行四边形，‎ 由于．故只要即可，‎ 而，故，得；[来#%源&:~中教^网]‎ ‎⑶设点运动秒，则，，‎ 说明在线段上，且不与点、重合，‎ 由于知，故，‎ ‎∴，∴．‎ 又点到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 于是的面积总为．‎ ‎⑷由⑶知，．‎ 构造直角三角形后易得，‎ ‎．‎ ‎①若，即，故，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎②若，即，无的满足条件；[来~%源:zz#s*tep.c&om]‎ ‎③若，即，得，[中&国教育出版@*#%网]‎ ‎∴或都不满足，故无的满足方程；[ww@w.zzs%t&ep.^#com]‎ 第 21 页 共 21 页 综上所述：当时，是等腰三角形．‎ 如图，抛物线与轴分别相交于点、，它的顶点为，连接，把所在的直线沿轴向上平移，使它经过原点，得到直线，设是直线上一动点.[来#源:中*国教育出版^网%~]‎ ‎⑴求点的坐标；‎ ‎⑵以点、、、为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、‎ 直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点的坐标；‎ ‎⑶设以点、、、为顶点的四边形的面积为，点的横 坐标为，当时，求的取值范围.‎ ‎[来源:zzst*^ep#@.c~om]‎ ‎⑴由，知点的坐标为．‎ ‎⑵ ①如图2，菱形的顶点的坐标为．‎ ‎②如图3，等腰梯形的顶点的坐标为．‎ ‎③如图4，直角梯形的顶点的坐标为，‎ 直角梯形的顶点的坐标为．‎ ‎ ‎ ‎⑶ 直线的解析式为，那么点的坐标可表示为．[ww#w%.zzstep^.*com~]‎ 的面积．‎ 第 21 页 共 21 页 ‎① 当在轴上方时，．‎ 解不等式组，得．[中^国教#育&*%出版网]‎ ‎② 当在轴下方时，与是同底等高的三角形，面积相等．‎ 因此．‎ 解不等式组，得．‎ 综上所述，的取值范围.是或 课后测 ‎【测试1】点在轴的负半轴上，，.将绕坐标原点顺时针旋转，得到，再继续旋转，得到.抛物线经过、两点.‎ ⑴ 求抛物线的解析式；‎ ⑵ 点是否在此抛物线上，请说明理由；‎ ⑶ 在该抛物线上找一点，使得是以为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标；‎ ⑷ 在该抛物线上，是否存在两点、，使得原点是线段中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【解析】⑴ 过点作于点，‎ ‎∵，∴．‎ 又，∴．‎ ‎∴．∴，．[中国*教育^#出&版网%]‎ 第 21 页 共 21 页 ‎∵抛物线经过、两点，‎ ‎∴ 解得．‎ ‎∴抛物线的解析式为．[中~&国^教育出%版网@]‎ ‎⑵ ∵当时，，‎ ‎∴点不在此抛物线上．‎ ‎⑶ 点应在线段的垂直平分线上，由题意可知，且平分，‎ ‎∴点在直线上．‎ 可求得所在直线的解析式为．‎ 又点是直线与抛物线的交点，‎ 由，解得，．‎ ‎∴符合条件的点有两个，即点和．[来源:z#zstep%.&c~om^]‎ ‎⑷ 存在．和．‎ ‎ ‎ 关注“初中教师园地”公众号 关注“中一教师园地”公众号 第 21 页 共 21 页 初中同步备课资料陆续推送中 中考备考资料陆续推送中 快快告诉你身边的小伙伴们吧~ 速速转到班级群/朋友圈 第 21 页 共 21 页