河北中考数学复习  一元二次方程

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河北中考数学复习  一元二次方程

第7讲 一元二次方程 ‎1. (2019,河北)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式时,对于b2-4ac>0的情况,她是这样做的:‎ 由于a≠0,方程ax2+bx+c=0变形为:‎ x2+x=-,…第一步 x2+x+=-+,…第二步 = ,…第三步 x+=(b2-4ac>0),…第四步 x=.…第五步 ‎(1)嘉淇的解法从第 四 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是( x= );‎ ‎(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.‎ ‎【思路分析】 本题考查了用配方法解一元二次方程.用配方法解一元二次方程的步骤:(1)形如x2+px+q=0型.第一步,移项,把常数项移到方程右边;第二步,配方,左、右两边加上一次项系数一半的平方;第三步,左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.(2)形如ax2+bx+c=0型.方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0型,然后配方.‎ 解:(1)四 x= ‎(2)移项,得x2-2x=24.‎ 配方,得x2-2x+1=24+1,即(x-1)2=25.‎ 开方,得x-1=±5.‎ ‎∴x1=6,x2=-4.‎ ‎2. (2019,河北)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是(B)‎ A. a<1 B. a>1 C. a≤1 D. a≥1‎ ‎【解析】 ∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,∴b2-4ac=22-4×1×a<0.解得a>1.‎ ‎3. (2019,河北)a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是(B)‎ A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为0‎ ‎【解析】 由(a-c)2>a2+c2得出-2ac>0,∴Δ=b2-4ac>0.∴方程有两个不相等的实数根.‎ ‎ 一元二次方程的概念及解法 例1 解下列方程:‎ ‎(1)x2-2x-1=0;‎ ‎(2)x2-1=2(x+1);‎ ‎(3)x2+3x=-.‎ ‎【思路分析】 根据所给方程的形式,选择合适的方法解方程.‎ 解:(1)a=1,b=-2,c=-1.‎ Δ=b2-4ac=4+4=8>0.‎ ‎∴方程有两个不相等的实数根.‎ ‎∴x===1±,‎ 即x1=1+,x2=1-.‎ ‎(2)移项,得x2-1-2(x+1)=0,‎ ‎(x+1)(x-1)-2(x+1)=0,‎ 因式分解,得(x+1)(x-1-2)=0,‎ 于是,得x+1=0或x-3=0.‎ ‎∴x1=-1,x2=3.‎ ‎(3)配方,得x2+3x+=-+,‎ =2.‎ 由此可得x+=±.‎ ‎∴x1=-+,x2=--.‎ 针对训练1(2019,邯郸一模) 用配方法解一元二次方程2x2-4x-2=1的过程中,变形正确的是(C)‎ A. 2(x-1)2=1 B. 2(x-2)2=5 ‎ C. (x-1)2= D. (x-2)2= ‎【解析】 2x2-4x-2=1,2x2-4x=3,x2-2x=,x2-2x+1=+1,(x-1)2=.也可以把各选项中的方程展开化为一般形式,和题干中的方程做对比.‎ ‎ 一元二次方程根的判别式 例2 (2019,扬州)如果关于x的方程mx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是( m<且m≠0 ).‎ ‎【解析】 ∵方程有两个不相等的实数根,∴4-12m>0.解得m<.但当m=0时,原方程不是一元二次方程,所以m≠0.‎ 针对训练2(2019,石家庄桥西区一模)常数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是(B)‎ 训练2题图 A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 ‎【解析】 从数轴上可知,a,c异号,则b2-4ac>0,所以方程有两个不相等的实数根.‎ 针对训练3 (2019,张家口桥东区模拟)若关于x的一元二次方程x2+x+tan α=0有两个相等的实数根,则锐角α等于(D)‎ A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°‎ ‎【解析】 ∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=()2-4××tan α=0.解得tan α=.∴α=60°.‎ ‎ 一元二次方程的实际应用 例3 (2019,宜昌,导学号5892921)某市创建“绿色发展模范城市”,针对境内长江段两种主要污染源:生活污水和沿江工厂污染物排放,分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理.若江水污染指数记为Q,沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工),从当年开始,所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算,第一年有40家工厂用乙方案治理,共使Q值降低了12.经过三年治理,境内长江水质明显改善.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)从第二年起,每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m,三年来用乙方案治理的工厂数量共190家,求m的值,并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量;‎ ‎(3)该市生活污水用甲方案治理,从第二年起,每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a.在(2)的情况下,第二年,用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年用甲方案治理降低的Q值相等.第三年,用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值.‎ ‎【思路分析】 (1)平均数×数量=总数.(2)按相同增长率,第一年40家,第二年40(1+m)家,第三年40(1+m)2家,三年总和等于190家列方程求解即可.(3)先求出第二年用甲方案治理降低的Q值,再根据第三年用甲方案使Q值降低了39.5,列方程组求解即可.‎ 解:(1)∵40n=12,∴n=0.3.‎ ‎(2)根据题意,得40+40(1+m)+40(1+m)2=190.‎ 解得m1=,m2=-(舍去).‎ ‎∴m=50%.‎ ‎∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为40(1+m)=40×(1+50%)=60(家).‎ ‎(3)设第一年用甲方案治理降低的Q值为x.‎ 第二年Q值用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30.‎ 根据题意,得 解得 针对训练4(2019,白银)如图,某小区计划在一块长为32 m、宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路,剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m,则下面所列方程正确的是(A)‎ 训练4题图 A. (32-2x)(20-x)=570 B. 32x+2×20x=32×20-570‎ C. (32-x)(20-x)=32×20-570 D. 32x+2×20x-2x2=570‎ ‎【解析】 设道路的宽为x m.根据题意,得(32-2x)(20-x)=570.‎ 针对训练5 (2019,眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品生产76件,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.‎ ‎(1)若生产的某批次蛋糕产品每件利润为14元,此批次蛋糕产品属第几档次产品?‎ ‎(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?‎ ‎【思路分析】 (1)利润增加的量除以2即为档次提高的量.(2)设生产的是第x档次产品,则相应的产量是76-4(x-1),每件利润是10+2(x-1);等量关系是:每件利润×产量=总利润.‎ 解:(1)(14-10)÷2+1=3(档次).‎ 答:此批次蛋糕产品属第三档次产品.‎ ‎(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品.‎ 根据题意,得[76-4(x-1)][10+2(x-1)]=1 080.‎ 整理,得x2-16x+55=0.‎ 解得x1=5,x2=11(不合题意,舍去).‎ 答:该烘焙店生产的是第五档次的产品.‎ 一、 选择题 ‎1. 已知关于x的方程x2-mx+3=0的一个解为x=-1,则m的值为(A)‎ A. -4 B. 4 C. -2 D. 2‎ ‎【解析】 把x=-1代入原方程,得m=-4.‎ ‎2. (2019,石家庄28中质检)若x2+4x-4=0,则3(x-2)2-6(x+1)(x-1)的值为(B)‎ A. -6 B. 6 C. 18 D. 30‎ ‎【解析】 已知条件转化为x2+4x=4,原式=-3x2-12x+18=-3(x2+4x)+18=6.‎ ‎3. (2019,石家庄40中二模)用配方法解方程x2+x-1=0,配方后所得方程是(C)‎ A. = B. = ‎ C. = D. = ‎【解析】 配方过程x2+x=1,x2+x+2=1+2,2=.‎ ‎4. (2019,唐山路南区一模)已知关于x的方程x2+mx-1=0的根的判别式的值为5,则m的值为(D)‎ A. ±3 B. 3 C. 1 D. ±1‎ ‎【解析】 根据题意,得Δ=m2+4=5.解得m=±1.‎ ‎5. (2019,唐山丰南区一模)现定义运算“★”,对于任意实数a,b,都有a★b=a2-a·b+b.如:3★5=32-3×5+5.若x★2=10,则实数x的值为(C)‎ A. -4或-1 B. 4或-1 C. 4或-2 D. -4或2‎ ‎【解析】 根据题意,得x★2=x2-2x+2.∴x2-2x+2=10.解得x1=4,x2=-2.‎ ‎6. (2019,唐山路南区二模)下列方程中,没有实数根的是(D)‎ A. x2-2x=0 B. x2-2x-1=0‎ C. x2-2x+1=0 D. x2-2x+2=0‎ ‎【解析】 选项A,Δ=4>0;选项B,Δ=8>0;选项C,Δ=0;选项D,Δ=-4<0.‎ ‎7. (2019,娄底)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是(A)‎ A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 ‎ C. 无实数根 D. 不能确定 ‎【解析】 ∵Δ=2-4k=k2+2k+9=(k+1)2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根.‎ ‎8. (2019,定西)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根,则k的取值范围是(C)‎ A. k≤-4 B. k<-4 ‎ C. k≤4 D. k<4‎ ‎【解析】 因为方程有实数根,所以Δ=16-4k≥0.解得k≤4.‎ ‎9. (2019,桂林)已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的实数根,则k 的值为(A)‎ A. ±2 B. ± C. 2或3 D. 或 ‎【解析】 因为方程有两个相等的实数根,所以Δ=k2-24=0.解得k=±2.‎ ‎10. (2019,秦皇岛海港区模拟)某城市2019年底已有绿化面积300 hm2,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2019年底已达到363 hm2.设绿化面积的年平均增长率为x.根据题意,所列方程正确的是(B)‎ A. 300(1+x)=363 B. 300(1+x)2=363‎ C. 300(1+2x)=363 D. 363(1-x)2=300‎ ‎【解析】 2019年底的绿化面积是300(1+x) hm2,2019年底的绿化面积是300(1+x)2 hm2,可得方程.‎ ‎11. (2019,绵阳)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯.若一共碰杯55次,则参加酒会的有(C)‎ A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 ‎【解析】 设参加酒会的有x人,则每人碰杯(x-1)次.因为每两人都只碰一次杯,所以共碰杯次,得方程=55,取正根x=11.‎ 二、 填空题 ‎12. (2019,淮安)一元二次方程x2-x=0的根是 x1=0,x2=1 .‎ ‎【解析】 x(x-1)=0,得x1=0,x2=1.‎ ‎13. (2019,秦皇岛海港区模拟)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为 1 .‎ ‎【解析】 把x=1代入方程,得m+n=-1,则m2+2mn+n2=(m+n)2=1.‎ ‎14. (2019,南充)若2n(n≠0)是关于x的方程x2-2mx+2n=0的根,则m-n的值为( ).‎ ‎【解析】 把x=2n代入方程,得(2n)2-2m·2n+2n=0, 变形为2n(2n-2m+1)=0,∵2n≠0,∴2n-2m+1=0.∴m-n=.‎ ‎15. (2019,邵阳)已知关于x的方程x2 +3x-m=0的一个解为x=-3,则它的另一个解是 x=0 .‎ ‎【解析】 把x=-3代入方程解得m=0,则原方程为x2 +3x=0,可求出另一个解是x=0.‎ ‎16. (2019,唐山丰南区一模)若关于x的方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根,则c的值为 9 .‎ ‎【解析】 因为方程有两个相等的实数根,所以Δ=36-4c=0.解得c=9.‎ ‎17. (2019,威海)关于x的一元二次方程(m-5)x2+2x+2=0有实数根,则m的最大整数值是 4 .‎ ‎【解析】 因为方程有实数根, 所以Δ=4-8(m-5)≥0.解得 m≤.又因为m≠5,所以m的最大整数值是4.‎ 三、 解答题 ‎18. 解下列方程:‎ ‎(1)x2-3x+1=0;‎ ‎(2)x2-2x=6-3x;‎ ‎(3)(2x+3)2=8.‎ ‎【思路分析】 针对各个方程的特点,选择适当的解法.(1)用公式法.(2)用因式分解法.(3)用直接开平方法.‎ 解:(1)这里a=1,b=-3,c=1.‎ ‎∵b2-4ac=(-3)2-4×1×1=5>0,‎ ‎∴x=,即x1=,x2=.‎ ‎(2)原方程可化为x(x-2)=-3(x-2).‎ 移项,因式分解,得(x-2)(x+3)=0.‎ 于是,得x-2=0或x+3=0.‎ x1=2,x2=-3.‎ ‎(3)2x+3=±2,‎ ‎2x=±2-3,‎ x1=,x2=.‎ ‎19. (2019,北京)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.‎ ‎(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;‎ ‎(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.‎ ‎【思路分析】 (1)把b=a+2代入根的判别式,判断出正负即可.(2)由Δ=0得出a,b之间的关系,任取一组符合条件的值,再解方程.‎ 解:(1)Δ=b2-4a=(a+2)2-4a=a2+4>0,‎ 所以方程有两个不相等的实数根.‎ ‎(2)∵方程有两个相等的实数根,‎ ‎∴Δ=b2-4a=0.‎ 令b=2,a=1,此时方程为x2+2x+1=0,‎ ‎∴x1=x2=-1.‎ ‎20. 【发现思考】‎ 已知等腰三角形ABC的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两个根,求等腰三角形ABC三条边的长各是多少?‎ 如图所示的是涵涵的作业,老师说他的做法有错误,请你找出错误之处并说明错误原因.‎ ‎【探究应用】‎ 请解答以下问题:‎ 已知等腰三角形ABC的两边长是关于x的方程x2-mx+-=0的两个实数根.‎ ‎(1)当m=2时,求等腰三角形ABC的周长;‎ ‎(2)当△ABC为等边三角形时,求m的值.‎ 涵涵的作业 解:x2-7x+10=0.‎ a=1,b=-7,c=10.‎ ‎∵b2-4ac=9>0,‎ ‎∴x==.‎ ‎∴x1=5,x2=2.‎ ‎∴当腰为5,底为2时,等腰三角形的三条边长分别为5,5,2.‎ 当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边长分别为2,2,5.‎ 第20题图 ‎【思路分析】 一要检查解方程的过程和结果,二要考虑方程的解是三角形的边,需满足任意两边之和大于第三边.‎ 解:【发现思考】错误之处:当腰为2,底为5时,等腰三角形的三条边长分别为2,2,5.‎ 错误原因:此时不能构成三角形(或不符合三角形的三边关系).‎ ‎【探究应用】(1)当m=2时,‎ 方程为x2-2x+=0.‎ 解得x1=,x2=.‎ 当为腰时,因为+<,所以不能构成三角形.‎ 当为腰时,等腰三角形的三边长分别为,,.此时周长为++=.‎ ‎(2)若△ABC为等边三角形,则方程有两个相等的实数根.‎ ‎∴Δ=m2-4=m2-2m+1=0.‎ ‎∴m1=m2=1,即m的值为1.‎ ‎21. (2019,盐城)一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件赢利40元.为了扩大销售、增加赢利,该店采取了降价措施,在每件赢利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.‎ ‎(1)若降价3元,则平均每天可售出 26 件;‎ ‎(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的销售利润为1 200元?‎ ‎【思路分析】 (1)20+3×2=26.(2)设降价x元,则销量为(20+2x)件,每件赢利(40-x)元.等量关系是每件赢利×销量=总赢利.最后要选择符合条件的解.‎ 解:(1)26‎ ‎(2)设每件商品降价x元时,该商店每天的销售利润为1 200元,则平均每天售出(20+2x)件,每件赢利(40-x)元,且40-x≥25,即x≤15.‎ 根据题意,得(40-x)(20+2x)=1 200.‎ 整理,得x2-30x+200=0.‎ 解得x1=10,x2=20(舍去).‎ 答:当每件商品降价10元时,该商店每天的销售利润为1 200元.‎ ‎22. (2019,德州)为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备的成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系.‎ ‎(1)求年销售量y与销售单价x之间的函数关系式;‎ ‎(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元.如果该公司想获得10 000万元的年利润,那么该设备的销售单价应定为多少万元?‎ ‎【思路分析】 (1)用待定系数法求一次函数关系式.(2)等量关系是:每台利润×销量=总利润.根据条件决定方程的根的取舍.‎ 解:(1)设年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).‎ 将(40,600),(45,550)代入y=kx+b,得 解得 ‎∴年销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=-10x+1 000.‎ ‎(2)设该设备的销售单价应定为x万元,则每台设备的利润为(x-30)万元,销售量为(-10x+1 000)台.‎ 根据题意,得(x-30)(-10x+1 000)=10 000.‎ 整理,得x2-130x+4 000=0.‎ 解得x1=50,x2=80.‎ ‎∵此设备的销售单价不得高于70万元,‎ ‎∴x=50.‎ 答:该设备的销售单价应定为50万元.‎ ‎1. (2019,福建A,导学号5892921)已知一元二次方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,则下列判断正确的是(D) ‎ A. 1一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 B. 0一定不是关于x的方程x2+bx+a=0的根 C. 1和-1都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 D. 1和-1不都是关于x的方程x2+bx+a=0的根 ‎【解析】 方程(a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,则有(2b)2-4(a+1)2=0,且a+1≠0.解得b=a+1或b=-(a+1),且a+1≠0.若b=a+1,则-1是方程x2+bx+a=0的根;若b=-(a+1),则1是方程x2+bx+a=0的根.∵a+1≠0,∴a+1≠-(a+1).故1和-1不会同时是方程x2+bx+a=0的根.‎ ‎2. (2019,舟山)欧几里得的《原本》记载,形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC,使∠ACB=90°,BC=,AC=b,再在斜边AB上截取BD=.则该方程的一个正根是(B)‎ 第2题图 A. AC的长 B. AD的长 ‎ C. BC的长 D. CD的长 ‎【解析】 用配方法解方程x2+ax=b2,易得正根x=-.据勾股定理知AB=.∵AD=AB-BD=-,∴AD的长是方程的正根.‎ ‎3. (2019,河北,导学号5892921)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1.因此,min{-,-}= - ;若min{(x-1)2,x2}=1,则x= 2或-1 .‎ ‎【解析】 min{-,-}=-.∵min{(x-1)2,x2}=1,∴当(x-1)2<x2时,(x-1)2=1.解得x1=2,x2=0(不合题意,舍去).当(x-1)2≥x2时,x2=1.解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-1.‎ ‎4. (2019,内江B,导学号5892921)已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1,x2=2,则方程a(x+1)2+b(x+1)+1=0的两根之和为 1 .‎ ‎【解析】 把(x+1)看作一个整体,据已知条件可得x+1=1或x+1=2,所以x1=0,x2=1.所以和为1.‎
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