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文档介绍
中考数学四边形选择题
2008 年中考数学四边形选择题（教师版） （08黑龙江哈尔滨）10．如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中 点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ A ）． （A）3cm（B）4cm （C）5cm（D）6cm A D C E F B 第8题图 （08辽宁沈阳）8．如图所示，正方形中，点是边上一点，连接， 交对角线于点，连接，则图中全等三角形共有（ C ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 （08辽宁十二市）5．下列命题中正确的是（ A ） A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．两条对角线相等的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 （08山东滨州）10、如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所 示，则△ABC的面积是（ A ） A、10 B、16 C、18 D、20 （08山东济宁）4．若梯形的面积为，高为2cm，则此梯形的中位线长是（ B ） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm （08山东聊城）9．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，那么打开以后的形状是（ C ） 第9题图 A．六边形 B．八边形 C．十二边形 D．十六边形 （08山东临沂）11．如图，菱形ABCD中，∠B＝60° ，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ B ） A． B． C． D． A B C D （第4题） （08山东泰安）4．如图，下列条件之一能使是菱形的为（ A ） ① ② ③ ④ A．①③ B．②③ C．③④ D．①②③ （08山东威海）A B C D F E O A B C D 10．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为 D A．1 B．2 C． D． C D A B （08山东潍坊）3．如图，梯形中，，，，，则（ ） A． B． C． D． （08山东潍坊）D D1 D2 A A1 A2 A3 A4 B1 B2 C C2 C1 C3 C4 B 11．在平行四边形中，点，，，和，， ，分别是和的五等分点，点，和， 分别是和的三等分点，已知四边形的面积为 1，则平行四边形的面积为（ ） A． B． C． D． （08年江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 【 】 A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 （08年江苏连云港）7．已知为矩形的对角线，则图中与一定不相等的是（ D ） B A 1 D C 2 1 1 2 B A D C B A C 1 2 D 1 2 B A D C A． B． C． D． （第6题） （08年江苏南京）6．如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形， 这个新的图形可以是下列图形中的（ B ） A．三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形 （08年江苏南通）15．下列命题正确的是 【C 】 A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形 （08年江苏泰州）11.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB的中点O为顶点把平角三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是：D A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 （08年江苏泰州）12.在平面上，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且满足AB=CD，有下列四个条件：（1）OB=OC;(2);(3);(4).若只增加其中的一个条件，就一定能使成立，这样的条件可以是D A. (2)、(4) B. (2) C. (3) 、(4) D. (4) （08年江苏无锡）18．如图，分别为正方形的边，，， （第18题） 上的点，且，则图中阴影部分的面积 与正方形的面积之比为（ A ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． （08年江苏扬州）5．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形 C、当∠ABC=900时，它是矩形 D、当AC=BD时，它是正方形 （08年江苏扬州）6．如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是 A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小 R P D C B A E F 第6题图 C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P的位置有关 第5题图 D C B A D C F B A （第3题图） E （08浙江绍兴）3．如图，沿虚线将剪开，则得到的四边形是（ A ） A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 （08浙江绍兴）8．将一张纸第一次翻折，折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为（如图2），第三次翻折使与重合，折痕为（如图3），第四次翻折使与重合，折痕为（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ B ） A． B． C． D． （08浙江宿迁）8．用边长为的正方形覆盖的正方形网格,最多覆盖边长为的正方形网格(覆盖一部分就算覆盖)的个数是 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 39（08浙江台州）6．如图，在菱形中，对角线相交于点为的中点， 且，则菱形的周长为（ C ） A． B． C． D． D C B O A E （第6题） 47（08浙江义乌）8．下列命题中，真命题是 D A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 A D C B （第6题） E F （08江西省卷） 6．如图，在中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（ B ） A． B． C．四边形AECD是等腰梯形 D． (08福建厦门)6．在平行四边形中，，那么下列各式中，不能成立的是（ A ） A． B． C． D． （08河南省卷）6．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后， （第6题） 不能拼成的四边形是 【 】 A．邻边不等的矩形 B．等腰梯形 C．有一个角是锐角的菱形 D．正方形 A D B C E F M (第8题图) （08湖北荆州）8．如图，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E为梯形内一点，且∠BEC＝90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，则DM:MC的值为 （ C ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4 （第5题图） （08湖北天门）07．下列命题中，真命题是（ ）． A、一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B、顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形 C、等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形 （08湖北仙桃等）5.如图，四边形是菱形，过点作的平行线 交的延长线于点，则下列式子不成立的是( B ) A. B. C. ° D. （08湖北襄樊）7．顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是（ A ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．等腰梯形 （08湖南邵阳）A D F C E B 图（二） 6．如图（二），将沿翻折，使点恰好落在上的点处，则下列结论不一定成立的是（ C ） A． B． C． D． （08广东茂名）7．正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ B ） Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．25 （08广东茂名）E H F G C B A （（第10题图） 10．如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的 （ C ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． (08广东深圳)8．下列命题中错误的是( D ) Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形 （08云南省卷）7. 如图1，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点O， 则图中的菱形共有B 图2 A B D C 图3 O A B D C 图1 O E H F G A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 （图1） A B E C D 1 （08贵州贵阳）2．如图1，在平行四边形中，是延长线上的一 点，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． （08贵州遵义）B D C F E G A H 8、如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2,那么矩形ABCD的面积是 （ B ） A．21cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．9cm2 （08四川巴中）3．如图2．在中，对角线和相交于点， 则下面条件能判定是矩形的是（ A ） A． B． C．且 D． （08四川达州红 紫 白 黄 D M A F E C N B （8题图） ）8．如图，一个四边形花坛，被两条线段分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是，若，，则有（ C ） A． B． C． D．都不对 （08四川广安）5．下列说法中，正确的是（ D ） A．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形．B．平行四边形的邻边相等． C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴．D．菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半． A E D C B (08四川乐山)11. 如图（5），在直角梯形ABCD中AD∥BC，点E是边CD的 中点，若AB＝AD+BC， BE＝，则梯形ABCD的面积为A A、 B、 C、 D、 25 图2 (08四川泸州)8．如图2，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰的中点，且AD=5，BC=7，则EF的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 (08四川眉山)7．下列说法正确的是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相似三角形的面积等于相似比 C．两直线相交，对顶角互补 D．两直线平行，同位角相等 (08四川眉山)B A D F C E 10．如图，在梯形中，，， 边的垂直平分线交边于，且为边的中点， 又，则梯形的周长等于（ ） A． B． C． D． A D C E B （2题图） (08四川内江)2．如图，在四边形中，点在上，，， ，则的度数为（ ） A． B． C． D． A D C B O （8题图） (08四川内江)8．如图，在直角梯形中，，，且 ，是的直径，则直线与的位置关系为（ ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 (08四川内江)12．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 ②如果四边形的两条对角线互相垂直，那么它的面积等于两条对角线长的积的一半 ③在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆周角相等 ④已知两圆半径分别为5，3，圆心距为2，那么两圆内切 A．1 B．2 C．3 D．4 (08四川自贡)4．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ B ） A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分 C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直 （08陕西省卷）6、如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ D ） (第6题图) A D C B O A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD (08甘肃白银等)10．如图8，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（ B ） 图8 A．110° B．115° C．120° D．130° （08宁夏区卷）6． 平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ B ） A． AB=BC B．AC=BD C． AC⊥BD D．AB⊥BD （08新疆区卷）3．如图，下列推理不正确的是（ C ） A．∵AB∥CD ∴∠ABC+∠C=180° B．∵∠1=∠2 ∴AD∥BC C．∵AD∥BC ∴∠3=∠4 D．∵∠A+∠ADC=180° ∴AB∥CD 2008 年中考数学四边形填空题（教师版） （08黑龙江哈尔滨）18．己知菱形ABCD的边长是6，点E在直线AD上，DE＝3，连接BE与对角线AC相交于点M，则 的值是 。 2或 A D C E F G B 第7题图 （08黑龙江鸡西）7．如图，矩形中，cm，cm，点为边上的任意一点，四边形也是矩形，且，则 ．1cm或7cm A D C B O 第12题图 （08辽宁沈阳）12．如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．（或，等） （08辽宁大连）15．如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为___________．1 （08天津市卷）16．如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若，，，则GF的长为 3 ． 第（16）题 A D C B F G E A B C 图9-1 图9-2 （08河北省卷）18．图9-1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图9-2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．76 1 2 A B C D （08内蒙赤峰）16．如图，已知平分，，， 则 ．3 A B C D （08山西太原）15．如图，在矩形中，对角线交于点， 已知，则的长为 ．5 （08山西太原）19．在梯形中，，沿对角线翻折梯形，若点恰好落在下底的中点处，则梯形的周长为 ．15 （08山东济南）15．如图，在ABC中，EF为ABC的中位线，Ｄ为BC边上一点(不与B、C重合)，AD与EF交于点Ｏ，连接DE、DF，要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件 ．(只添加一个条件) BD=CD，OE=OF，DE∥AC等 A E B C F O 第15题图 D A B C D E 第16题图 （08山东济南）16．如图：矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上，则AC的长是 ．4 第18题图 （08山东济宁）18．如图，四边形中，，若，则 38 度． （08山东临沂）18．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长________. 11（08山东青岛）10．如图，在矩形中，对角线相交于点，若，cm，则的长为 cm．8 15（08山东泰安）17．若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为 （结果保留根号的形式）．或 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 图1 Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 图2 （第18题） 16（08山东泰安）18．四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为时（如图2），四边形的面积 ．（用含的式子表示） 22（08山东烟台）16、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______ 第17题 24（08山东枣庄）17．将边长分别为2、3、5的三个正方形按如图方式排列，则图中阴影部分的面积为 ． 34（08年江苏盐城）12．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 6 ． 35（08年江苏盐城）13．将一张等边三角形纸片沿着一边上的高剪开，可以拼成不同形状的四边形．试写出其中一种四边形的名称 ．平行四边形（或矩形或筝形） 38（08年江苏盐城）17．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋2b)、宽为(a＋b)的大长方形，则需要C类卡片 张．3 第18题图图 第17题图图 42（08年江苏扬州）16．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，DE=6㎝，sinA=，则菱形ABCD的面积是__________㎝2。 第7题图（1） 1 第7题图（2） 1 2 l1 l2 A E C B D （第8题图） 45（08年江苏镇江）8．如图，是的中位线，cm，cm，则 4 cm，梯形的周长为 12 cm． 48（08年江苏镇江）12．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在 A 点． C A F D E B G （第12题图） 5(08浙江湖州)15．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式是 ．勾股定理， 7(08浙江嘉兴)13．如图，菱形中，已知，则的大小是 ． （第13题） （08浙江台州）15．如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）． a D C B A M c N E F b G H （第15题） A C B D （第13题图） （08浙江温州）13．如图，菱形中，，对角线， 则菱形的周长等于 ．32 （08浙江义乌）16．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4， 点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF沿EF翻折，点 A的落点记为P． （1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD= ；2 （2）当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于 ． E C D A F B 图5 （08上海市卷）17．如图5，平行四边形中，是边上的点，交于点，如果，那么 ． （08江西省卷） 12．如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ． （第12题） 35° (08福建龙岩)7．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A=115°，则∠BCE= . 25° （第7题图） (08福建南平)15．如图，菱形中，是对角线的交点， ，，则 cm．6 (08福建泉州)12、如图，AB∥DC，AD∥BC，若∠A=35°，则∠C=__35____度。 (08福建泉州)18、四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形的中点四边形），再顺次连结四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，……，则按上述规律组成的第八个中点四边形的边长等于_____________。 (08福建厦门)A B E G C D （第17题） 16．如图，在四边形中，是对角线的中点，分别是的中点，，则的度数是 18 ． C F D B E A P （第16题） (08福建厦门)17．如图，点是的重心，的延长线交于，，，，将绕点旋转得到，则 2 cm，的面积 18 cm2． （第15题） （08河南省卷）15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，点G、H在DC边上，且GH=DC．若AB=10，BC=12,则图中阴影部分面积为 ． （08湖北鄂州）18．已知在中，半径，是两条平行弦，且，，则弦的长为 ．或或 （08湖北恩施）7. 已知菱形的两对角线长分别为6㎝和8㎝,则菱形的面积为 ㎝2.24 （08湖北荆门）17．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_____________．5 C’ A F D B C 第18题图 第17题图 D A B C P M N （08湖北荆门）18．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________． （08湖北十堰）15．如图，已知矩形ABCD，P、R分别是BC和DC上的点，E、F分别是PA、PR的中点．如果DR=3，AD=4，则EF的长为 ．2.5 （08湖北仙桃等）13.如图是我们生活中经常接触的小刀，刀柄外形是一个直角梯形（下底挖去一小半圆），刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1、∠2，则∠1+∠2＝ 度.90 …… （第15题图） （第13题图） （08湖北仙桃等）15.如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、 为两邻边作平行四边形，……，依次类推，则平行四边形的面积为 . （第18题图） （08湖北孝感）18．四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是 一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正 方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较小的锐角为， 那么 ．（或0.6） （08湖南长沙）A B C D E F P 5、如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是 cm.3 （第5题） 图5 （08湖南郴州）16． 已知四边形ABCD中，，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是____________．AB=BC或者BC=CD或者CD=DA或者DA=AB （08湖南郴州）18．如图5，D是AB边上的中点，将沿过D的直线折叠， 使点A落在BC上F处，若，则 __________度．80 （08湖南怀化）18．如图6，在平行四边形ABCD中， DB=DC、，CEBD于E， 则 ． (08广东肇庆)14．边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 8cm 第12题图 B C D A P （08广东佛山）12．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC， 则∠ACP度数是 ． （08广西桂林）11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC⊥BD，AD＝6,BC＝8,则梯形的高为 。 （08广西桂林）12、如图，矩形的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形，再顺次连结四边形四边中点得到四边形，依此类推，求四边形的面积是 。 （08海南省卷）17.如图7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB=6cm，则AE= cm. 6 A B C 图7 E D （08贵州贵阳）12．如图3，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． （图3） A B C D （08贵州遵义）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件： ，使四边形ABCD为平行四边形（不再添加任何辅助线）。 （08贵州遵义）13．如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪成两块，可以拼成不同形状的四边形，请写出你拼成的四边形的名称： 矩形 （只写一个）。 A B C D （11题图） （13题图） 4（08四川巴中）17．如图7，将一平行四边形纸片沿折叠，使点在同一直线上，则 ． （08四川广安）15．如图4，菱形ABCD中，∠BAD=60º ，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为 ． P B C A D M 图4 （08四川内江）14．在如图所示的四边形中，若去掉一个的角得到一个五边形，则 度． 1 2 50° （14题图） （08四川南充）9．如图，四边形中，分别是边的中点．请你添加一个条件，使四边形为菱形，应添加的条件是 ．或或 等（任填一个满足题意的均可）； A D H G C F B E （第9题图） 19题 20题 （08四川宜宾）20、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N. 给出下列结论：①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB= S△ABC.其中正确的结论是 （只填番号）.①②③ 图4 25（08四川资阳）11．如图4，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，请你写出其中的一对全等三角形_________________． 答案不唯一，ΔAOB≌ΔCOD、ΔAOD≌ΔCOB、ΔADB≌ΔCBD、ΔABC≌ΔCDA之一均可； 图5 （08四川资阳）14．如图5，校园内有一块梯形草坪ABCD，草坪边缘本有道路通过甲、乙、丙路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条直“路”EF，假设走1步路的跨度为0.5米，结果他们仅仅为了少走________步路，就踩伤了绿化我们校园的小草（“路”宽忽略不计）.4 27（08四川自贡）13．如图矩形ABCD中，AB＝8㎝，CB＝4㎝，E是DC的中点，BF＝BC，则四边形DBFE的面积为 。10cm （08重庆市卷）16、如图，在□ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，则□ABCD的周长为 cm. 16题图 （08重庆市卷） 20、如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合.展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G.连接GF.下列结论：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . 20题图 （08陕西省卷）14、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D 的坐标为 。（2＋，） （第16题图） A B D C （08陕西省卷）16、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC＋∠BCD＝90° 且DC＝2AB，分别以DA、AB、BC为边向梯形外作 正方形，其面积分别为、、，则、、之间 的关系是 。＝＋ (08甘肃白银等)13． 已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为 ．4 (08甘肃白银等)15． 如图9，将左边的矩形绕点B旋转一定角度后，位置如右边的矩形，则∠ABC=_90o ． 图9 图9 (08甘肃白银等)18． 如图10(1)是一个等腰梯形，由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图10(2)所示的一个菱形．对于图10(1)中的等腰梯形，请写出它的内角的度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论：答案不唯一． ①它内角的度数为60°、60°、120°、120°；②它的腰长等于上底长；③它的上底等于下底长的一半． （1） （2） 图10 （08青海省卷）6．已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是 cm；等腰梯形中，，cm，cm，，则梯形的腰长是 4 cm． （08新疆乌鲁木齐）D A B C 图3 9．如图3，在四边形中，， ，若再添加一个条件，就能推出四边形是矩形，你所添加的条件是 ．（写出一种情况即可） 或或 2008 年中考数学四边形解答题（教师版） （08黑龙江鸡西23题）23．（本小题满分6分） 有一底角为的直角梯形，上底长为10cm，与底垂直的腰长为10cm，以上底或与底垂直的腰为一边作三角形，使三角形的另一边长为15cm，第三个顶点落在下底上．请计算所作的三角形的面积． 23．解：当cm时，的面积是； C B A E F D 当cm时，的面积是； 当cm时，的面积是． （每种情况，图给1分，计算结果正确1分，共6分） （08黑龙江鸡西26题）26．（本小题满分8分） 已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点． 当绕点旋转到时（如图1），易证． （1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明． B B M B C N C N M C N M 图1 图2 图3 A A A D D D （2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 26．解：（1）成立． （2分） B M E A C N D 如图，把绕点顺时针，得到， 则可证得三点共线（图形画正确） （3分） 证明过程中， 证得： （4分） 证得： （5分） （6分） （2） （8分） （08黑龙江大庆）20．（本题5分） A B C D F E （第20题） 如图，在中，分别是边和上的点且，则线段与线段有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论． 2008年中考数学四边形解答题（教师版） (08北京市卷18题)18．（本小题满分5分） 如图，在梯形中，，，，，，求的长． A B C D F E 图1 A B C D 解： (08北京市卷18题解析)（本小题满分5分） 解法一：如图1，分别过点作于点， 于点． 1分 ． 又， 四边形是矩形． ． 2分 ，，， ． ． ， 4分 在中，， ． 5分 解法二：如图2，过点作，分别交于点． 1分 ， A B C D F E 图2 ． ， ． 在中，，，， 2分 在中，，，， ． ． 4分 在中，， ． 5分 (08北京市卷22题)22．（本小题满分4分） A G C F E B D 图2 已知等边三角形纸片的边长为，为边上的点，过点作交于点．于点，过点作于点，把三角形纸片分别沿按图1所示方式折叠，点分别落在点，，处．若点，，在矩形内或其边上，且互不重合，此时我们称（即图中阴影部分）为“重叠三角形”． A G C F E B D 图1 （1）若把三角形纸片放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形的面积； （2）实验探究：设的长为，若重叠三角形存在．试用含的代数式表示重叠三角形的面积，并写出的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）． A C B 备用图 A C B 备用图 解：（1）重叠三角形的面积为 ； （2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为 ；的取值范围为 ． (08北京市卷22题解析)：（1）重叠三角形的面积为． 1分 （2）用含的代数式表示重叠三角形的面积为； 2分 的取值范围为． 4分 (08北京市卷25题)25．请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值． 小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． D C G P A B E F 图2 D A B E F C P G 图1 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值； （2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）． (08北京市卷25题解析)解：（1）线段与的位置关系是；． 2分 （2）猜想：（1）中的结论没有发生变化． 证明：如图，延长交于点，连结． D C G P A B E F H 是线段的中点， ． 由题意可知． ． ， ． ，． 四边形是菱形， ，． 由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上， 可得． ． 四边形是菱形， ． ． ． ，． ． 即． ，， ，． ． 6分 （3）． 8分 （08河北省卷26题）26．（本小题满分12分） 如图15，在中，，，，分别是的中点．点从点出发沿折线以每秒7个单位长的速度匀速运动；点从点出发沿方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点作射线，交折线于点．点同时出发，当点绕行一周回到点时停止运动，点也随之停止．设点运动的时间是秒（）． （1）两点间的距离是 ； （2）射线能否把四边形分成面积相等的两部分？若能，求出的值．若不能，说明理由； （3）当点运动到折线上，且点又恰好落在射线上时，求的值； （4）连结，当时，请直接写出的值． A E C D F G B Q K 图15 P （08河北省卷26题解答）26．解：（1）25． A E C D F O B Q K 图5 H P G （2）能． 如图5，连结，过点作于点， 由四边形为矩形，可知过的中点时， 把矩形分为面积相等的两部分 （注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明）， A E C D F B Q K 图6 P G 此时．由，，得． 故． （3）①当点在上时，如图6． ，， A E C D F B Q K 图7 P (G) 由，得． ． ②当点在上时，如图7． A E C D F B Q K 图8 P G H 已知，从而， 由，，得． 解得． （4）如图8，；如图9，． A E C D F B Q K 图9 P G （注：判断可分为以下几种情形：当时，点下行，点上行，可知其中存在的时刻，如图8；此后，点继续上行到点时，，而点却在下行到点再沿上行，发现点在上运动时不存在；当时，点均在上，也不存在；由于点比点先到达点并继续沿下行，所以在中存在的时刻，如图9；当时，点均在上，不存在） （08内蒙赤峰）20．（本题满分10分） A B C D 如图，用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由． 20．答：四边形是菱形．（不写已知、求证不扣分） （2分） 证明：由，得四边形是平行四边形 （4分） 过两点分别作于，于． B A D C F E ． （6分） （纸带的宽度相等）， （8分） 四边形是菱形 （10分） （08山西省卷）25．（本题12分）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连结DE并延长至点F，使EF=AE，连结AF、BE和CF。 （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。 （2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。 （3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。 2008年中考数学四边形解答题（教师版） 1（08山东滨州21题）21．（本题满分10分）在梯形ABCD中，AB∥CD，，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。 解：（08山东滨州21题）21． 略证：过点C作于F，则四边形AFCD是矩形，在中，可算得 则AD=，故DE=AE= 在和中， 8（08山东聊城22题）22．（本题满分8分）如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于． （1）求证：； （2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论． 解：（08山东聊城22题）22．（本题满分8分） F D O C B E A （1）证明：四边形是矩形， （矩形的对角线互相平分）， （矩形的对边平行）． ，． （A．A．S）． 4分 （2）当时，四边形是菱形． 5分 证明：四边形是矩形， （矩形的对角线互相平分）． F D O C B E A 又由（1）得， ， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的 四边形是平行四边形） 6分 又， 四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四 边形是菱形）． 8分 （注：小括号内的理由不写不扣分）． 10（08山东临沂21题）21．（本小题满分7分） 第21题图 如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，。 ⑴求证：△ABF∽△CEB; ⑵若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积。 第23题图 解：（08山东临沂21题）⑴证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠CEB， ∴△ABF∽△CEB. ………………………………………2分 ⑵∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，ABCD， ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，……………3分 ∵, ∴,,…………4分 ∵, ∴,,……………………………………6分 ∴, ∴.…………7分 15（08山东青岛21题）21．（本小题满分8分） 已知：如图，在正方形中，是上一点，延长到，使，连接并延长交于． A B C D E F G （1）求证：； （2）将绕点顺时针旋转得到， 判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 证明：（08山东青岛21题）（1） ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=CD，∠BCD=90°． ∵∠BCD +∠DCE=180°， ∴∠BCD=∠DCE=90°． 又∵CG=CE， ∴△BCG≌△DCE． 4′ （2）∵△DCE绕D顺时针旋转得到△DAE ′， ∴CE=AE ′． ∵CE=CG， ∴CG=AE ′． ∵四边形ABCD是正方形， ∴BE ′∥DG，AB=CD． ∴AB－AE ′ =CD－CG， 即BE ′ =DG． ∴四边形DE ′ BG是平行四边形． 8′ 20（08山东潍坊21题）21．（本题满分10分） 如图，为平行四边形，，，交的延长线于点，交于点． （1）求证：； A D F E B C （2）若，，，求的长； （3）在（2）的条件下，求四边形的面积． 21（08山东潍坊23题）23．（本题满分11分） 如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边的点上，折痕的一端点在边上，． （1）当折痕的另一端在边上时，如图（1），求的面积； A B F E(B) D C G 图（1） 图（2） G C D F A B E(B) H(A) （2）当折痕的另一端在边上时，如图（2），证明四边形为菱形，并求出折痕的长． 24（08山东烟台25题）25、（本题满分14分） 如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE≌△BCF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由； （3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围. 2（08年江苏常州）已知:如图,在矩形ABCD中,E、F分别是边BC、AB上的点,且EF=ED,EF⊥ED. 求证:AE平分∠BAD. 3（08年江苏常州）如图,这是一张等腰梯形纸片,它的上底长为2,下底长为4,腰长为2,这样的纸片共有5张.打算用其中的几张来拼成较大的等腰梯形,那么你能拼出哪几种不同的等腰梯形?分别画出它们的示意图,并写出它们的周长. 9（08年江苏连云港20题）（本小题满分8分） 如图，在直角梯形纸片中，，，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．连接并展开纸片． （1）求证：四边形是正方形； （2）取线段的中点，连接，如果，试说明四边形是等腰梯形． E C B D A G F （第20题图） （08年江苏连云港20题）证明：（1），，． 由沿折叠后与重合，知，． E C B D A G F （第20题答图） 四边形是矩形，且邻边相等． 四边形是正方形． 3分 （2），且，四边形是梯形． 4分 四边形是正方形，，． 又点为的中点，．连接． 在与中，，，， ，． 6分 ，，四边形是平行四边形． ．．． 四边形是等腰梯形． 8分 注：第（2）小题也可过点作，垂足为点，证． 11（08年江苏南京21题）（6分）如图，在中，为上两点，且，． （第21题） A B C D E F 求证：（1）； （2）四边形是矩形． （08年江苏南京21题）（本题6分） 解：（1）， ，， ． 1分 四边形是平行四边形， ． 2分 在和中， ，，， ． 3分 （2）解法一：， ． 4分 四边形是平行四边形， ． ． ． 5分 四边形是矩形． 6分 解法二：连接． ， ． ． 4分 在和中， ，，， ． ． 5分 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 6分 12（08年江苏南京22题）（6分）如图，菱形（图1）与菱形（图2）的形状、大小完全相同． （1）请从下列序号中选择正确选项的序号填写； ①点；②点；③点；④点． 图1 A （第22题） B C D 图2 E F G H 如果图1经过一次平移后得到图2，那么点对应点分别是 ； 如果图1经过一次轴对称后得到图2，那么点对应点分别是 ； 如果图1经过一次旋转后得到图2，那么点对应点分别是 ； （2）①图1，图2关于点成中心对称，请画出对称中心（保留画图痕迹，不写画法）； ②写出两个图形成中心对称的一条性质： ．（可以结合所画图形叙述） （08年江苏南京22题）（本题6分） 解：（1）①；②；④； 3分 （2）①画图正确； 5分 ②答案不惟一，例如：对应线段相等， 等． 6分 19（08年江苏宿迁21题）（本题满分8分） 如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点． 第21题 (1)求证：； (2)当与满足什么数量关系时， 四边形是矩形，并说明理由． （08年江苏宿迁21题）(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵为的中点 ∴ ∴ ∴. (2)解:当时,四边形是矩形.理由如下: ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形. 23（08年江苏泰州27题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=。 （1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分） （2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F。 ①求证：点B平分线段AF；（3分） ②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由。（4分） （08年江苏泰州27题）（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。………………………1分 由∠D=900 ，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，∠CEB=600 ，从而∠AEB=∠CEB=600 ，即EB平分∠ AEC。……………………………3分 （2）①∵CE∥BF，∴== ∴BF=2CE。…………………5分 ∵AB=2CE，∴点B平分线段AF………………………………………6分 ②能。……………………………………………………………………7分 证明：∵CP=，CE=1，∠C=900 ，∴EP=。 在Rt △ADE中，AE= =2，∴AE=BF， 又∵PB=，∴PB=PE ∵∠AEP=∠BP=900 ，∴△PAS≌△PFB。…………………………9分 ∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。 旋转度数为1200 且是 …………………………………………………10分 24（08年江苏无锡20题）（本小题满分6分）如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：． （08年江苏无锡20题）解法一：矩形中，，， （2分） ． （4分） ，，． （5分） ． （6分） 解法二：矩形中，． （2分） ，，． （4分） 25（08年江苏无锡21题）（本小题满分7分） 如图，四边形中，，平分，交于． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由． （08年江苏无锡21题）（1），即，又，四边形是平行四边形． （2分） 平分，， （3分） 又，，，， 四边形是菱形． （4分） （2）证法一：是中点，． 又，，， （5分） ， （6分） ，． 即，是直角三角形． （7分） 证法二：连，则，且平分， （5分） 设交于． 是的中点，． （6分） ，是直角三角形． （7分） 27（08年江苏无锡28题）（本小题满分8分） 一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问： （1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？ （2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用） 图4 图3 图2 图1 （08年江苏无锡28题）解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求． （3分）（图案设计不唯一） （2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，． 由，得， ，， 即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分） 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分） 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形． 所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分） 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分． B F D A E H O 图2 图3 D C F B E A O A D C B 图1 31（08年江苏徐州26题）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断 ① OA＝OC ② AB＝CD ③ ∠BAD＝∠DCB ④ AD∥BC 请你从中选择两个论断作为条件,以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论,完成下列各题： ①构造一个真命题，画图并给出证明； ②构造一个假命题，举反例加以说明. （08年江苏徐州26题）解：（1）②③为论断时， （2）②④为论断时，此时可以构成一梯形. 4（08浙江湖州20题）20．（本小题8分） 如图，在中，是边的中点，分别是及其延长线上的点，． （1）求证：． （2）请连结，试判断四边形是何种特殊四边形，并说明理由． 解：（08浙江湖州20题）（本小题8分） （1）证明：，． 又，， ． （2）四边形是平行四边形． 由，得． ，四边形是平行四边形． 5（08浙江淮安24题）24．(本小题9分) 已知；如图．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E， 连结AE、DE． (1)试判断四边形AODE的形状,不必说明理由； (2)请你连结EB、EC．并证明EB=EC． 9（08浙江嘉兴23题）23．小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决： （1）如图1，正方形中，作交于，交于，求证：； （2）如图2，正方形中，点分别在上，点分别在上，且，求的值； （3）如图3，矩形中，，，点分别在上，且，求的值． （第23题图1） （第23题图2） （第23题图3） （第23题图1） （第23题图2） 解：（08浙江嘉兴23题）（1）， ， 又，， ， ． （2）作交于， 作交于， 则，． 由（1）知，， （第23题图3） ，即． （3）作交于， 作交于， 则，． ，， ， 又， ， ． ． 12（08浙江丽水18题）18．如图，正方形中，与分别是、上一点． 在①、②∥、③中，请选择其中一个条件，证明． C F A B D E 1 2 （第18题） （1）你选择的条件是 （只需填写序号）； （2）证明： 解：（08浙江丽水18题）（本题8分） 解法一：（1）选 ① ；………………………………………………………（2分） （2）证明：∵是正方形， ∴，． 又∵， ∴△≌△．……………………………………………（4分） ∴．………………………………………………………（2分） 解法二：（1）选 ② ；………………………………………………………（2分） （2）证明：∵是正方形， ∴∥． 又∵∥， ∴四边形是平行四边形．…………………………………（4分） ∴．………………………………………………………（2分） 解法三：（1）选 ③ ；…………………………………………………………（2分） （2）证明：∵是正方形， ∴，． 又∵， ∴△≌△．……………………………………………（4分） ∴．………………………………………………………（2分） 16（08浙江衢州20题）D 20、(本题8分)如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，但ADCD，我们称这样的四边形为“半菱形”。小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半”。他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。 C A B 20、(本题8分) 解：正确。 证明如下： D 方法一：设AC，BD交于O，∵AB=AD，BC=DC，AC=AC， ∴△ABC≌△ADE， C ∴∠BAC=∠DAC O A AB=AD，∴AO⊥BD B ， 方法二：∵AB=AD， ∴点A在线段BD的中垂线上。 又∵CB=CD，∴点C与在线段BD的中垂线上， ∴AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD⊥AC； 设AC，BD交于O，∵， 19（08浙江宿迁）21．（本题满分8分） 第21题 如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)当与满足什么数量关系时， 四边形是矩形，并说明理由． 27（08浙江义乌）23．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断． （2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由． （3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值． 23．解: (1)① ………………………………………………………………2分 ②仍然成立 ……………………………………………………1分 在图（2）中证明如下 ∵四边形、四边形都是正方形 ∴ ，， ∴…………………………………………………………………1分 ∴ （SAS）………………………………………………………1分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ …………………………………………………………………………1分 （2）成立，不成立 …………………………………………………2分 简要说明如下 ∵四边形、四边形都是矩形， 且，，，(，) ∴ ， ∴ ∴………………………………………………………………………1分 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ……………………………………………………………………………1分 （3）∵ ∴ 又∵，， ∴ ………………………………………………1分 ∴ ………………………………………………………………………1分 （08上海市卷）23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 如图11，已知平行四边形中，对角线交于点，是延长线上的点，且是等边三角形． E C D B A O 图11 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求证：四边形是正方形． 23．证明：（1）四边形是平行四边形，． （2分） 又是等边三角形，，即． （2分） 平行四边形是菱形； （2分） （2）是等边三角形，． （1分） ，． （1分） ，．． （1分） 四边形是菱形，． （2分） 四边形是正方形． （1分） (08安徽省卷20题)20.（本题8分） 如图四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。 ⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)； (2)求BP∶PQ∶QR (08安徽省卷20题解析)：（1）△BCP∽△BER，△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ ……4分 第20题图 （2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形 ∴BC=AD=CE，AC∥DE，∴PB=PR， 又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ 又∵点R是DE中点，∴DR=RE。 ，∴QR=2PQ。 又∵BP=PR=PQ＋QR=3PQ…………8分 ∴BP∶PQ∶QR=3∶1∶2……10分 （08安徽芜湖21题）21． （本小题满分8分）如图，在梯形中，，，，于点E，F是CD的中点，DG是梯形的高． （1）求证:四边形AEFD是平行四边形; （2）设，四边形DEGF的面积为y，求y关于x的函数关系式． （08安徽芜湖21题解析） （1） 证明： ∵，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴，又∵， ∴．∴．∴． 由已知，∴AE∥DC． 2分 又∵AE为等腰三角形ABD的高， ∴E是BD的中点， ∵F是DC的中点， ∴EF∥BC． ∴EF∥AD． ∴四边形AEFD是平行四边形． 4分 （2）解：在Rt△AED中， ，∵，∴． 在Rt△DGC中 ∠C=60°，并且，∴． 6分 由（1）知： 在平行四边形AEFD中，又∵，∴， ∴四边形DEGF的面积， ∴ ． 8分 （08江西省卷） 20．如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点处． A B C D F E （1）求证：； （2）设，试猜想之间有何等量关系， 并给予证明． 20．（1）证一：由题意得，， 1分 A B C D F E 在矩形中，， ， 2分 ． 3分 ． 4分 ． 5分 证二：连结，由题意得， ． 1分 在矩形中，， 2分 ． 3分 ． 4分 ． 5分 （2）解：可猜想之间存在关系：． 6分 证一：由题意知，． A B C D F E 由（1）知． 在中，， ． 8分 证二：由题意知，． 由（1）知，． 在中，， ． 8分 (08福建龙岩25题)25．（14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长； （2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值； （3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. （第25题图） ） （备用图） (08福建龙岩25题解析)（14分） （1）解法一：如图25-1 过A作AE⊥CD，垂足为E . 依题意，DE=. …………………………2分 在Rt△ADE中，AD=. ………5分 图25-1 解法二：如图25-2 过点A作AE∥BC交CD于点E，则CE=AB=4 . …2分 ∠AED=∠C=60°. 又∵∠D=∠C=60°， ∴△AED是等边三角形 . ∴AD=DE=9－4=5 . …………………………………5分 （2）解：如图25-1 图25-2 ∵CP=x，h为PD边上的高,依题意，△PDQ的面积S可表示为： S=PD·h ………………………………………6分 =(9－x)·x·sin60° =(9x－x2) =－(x－)2＋. ………………………………………………… 8分 由题意，知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分 当x=时（满足0≤x≤5），S最大值=. …………………………… 10分 （3）证法一：如图25-3 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 于是9－x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-3所示，连QP . △PDQ恰为等边三角形 . 过点Q作QM∥DC，交BC于M，点M即为所求. 连结MP，以下证明四边形PDQM是菱形 . 图25-3 易证△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 . 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－=. ………………… 14分 [注] 本题仅回答存在，给1分. 证法二：如图25-4 假设存在满足条件的点M，则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 于是9－x=x，x=. 此时，点P、Q的位置如图25-4所示，△PDQ恰为等边三角形 . 过点D作DO⊥PQ于点O，延长DO交BC于点M，连结PM、QM，则DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ . 易知∠1=∠C . ∴PQ∥BC . 又∵DO⊥PQ， ∴MC⊥MD 图25-4 ∴MP= CD=PD 即MP=PD=DQ=QM ∴四边形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分 所以存在满足条件的点M，且BM=BC－MC=5－= ……………… 14分 [注] 本题仅回答存在，给1分. (08福建厦门25题)25．（本题满分12分） 已知：如图所示的一张矩形纸片（），将纸片折叠一次，使点与重合，再展开，折痕交边于，交边于，分别连结和． A E D C F B （第25题） （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的面积为，求的周长； （3）在线段上是否存在一点，使得？ 若存在，请说明点的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由． 25．解：（1）连结交于， A E D C F B P O 当顶点与重合时，折痕垂直平分， ， 1分 在平行四边形中，， ， ． 2分 四边形是菱形． 3分 （2）四边形是菱形，． 设，，， 4分 ① 又，则． ② 5分 由①、②得： 6分 ，（不合题意舍去） 的周长为． 7分 （3）过作交于，则就是所求的点． 9分 证明：由作法，， 由（1）得：，又， ， ，则 10分 四边形是菱形，，． 11分 12分 2008年中考数学四边形解答题（教师版） （08湖北恩施18题）18.（本题满分8分）F E D C B A 图7 如图7，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等，并说明理由. （08湖北恩施18题解答） 解:AF=CE 2分 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=CB, ∠A=∠C, ∠ADC=∠ABC 4分 又∵∠ADF=∠ADC, ∠CBE=∠ABC ∴∠ADF=∠CBE 6分 ∴∆ADF≌∆CBE ∴AF=CE 8分 （08湖北恩施20题）20. （本题满分8分）如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； (2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小? E D C B A 图8 (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值. （08湖北恩施20题解答）解: (1) 2分 (2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小 4分 F E D C B A (3)如下图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连结AE交BD于点C.AE的长即为代数式的最小值. 6分 过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF, 则AB=DF=2,AF=BD=8. 所以AE==13 即的最小值为13. 8分 （08湖北黄冈）A D O C B 12．如图，已知梯形中，，，相交于点，，则下列说法正确的是（ ） A．梯形是轴对称图形 B． C．梯形是中心对称图形 D．平分 （08湖北黄冈）A E B C F D 1 2 3 14．（本题满分7分）已知：如图，点是正方形的边上任意一点，过点作交的延长线于点．求证：． （08湖北黄石26题）26．（本小题满分9分） 如图，为直角，点为线段的中点，点是射线上的一个动点（不与点重合），连结，作，垂足为，连结，过点作，交于． （1）求证：； （2）在什么范围内变化时，四边形是梯形，并说明理由； A B C D F E M （3）在什么范围内变化时，线段上存在点，满足条件，并说明理由． （08湖北黄石26题解答）（1）在中，，，，． A B C D F E M G H ， ，． ，， ． ． ． （3分） （2）由（1），而， ，即． 若，则，． ，． 当或时，四边形为梯形． （6分） （3）作，垂足为，则． ，． 又为中点，为的中点． 为的中垂线． ． 点在h上，． ， ． ． ． 又， ． 当时，上存在点，满足条件． （9分） （08湖北荆州19题）A B C D F E 19．（本题6分）如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF＝DC． （08湖北十堰22题）22．(7分)如图，把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F． ⑴求证：ΔABF≌ΔEDF； ⑵若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点M正好重合，连接DM，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由． （08湖北十堰22题解答）解：⑴证明：由折叠可知， ……1分 在矩形中， ∴ ∵∠AFB＝∠EFD， ∴△AFB≌△EFD． ……………………４分 ⑵四边形BMDF是菱形． ………………………５分 理由：由折叠可知：BF＝BM，DF＝DM． …………６分 由⑴知△AFB≌△EFD，∴BF＝DF．∴BM＝BF＝DF＝DM． ∴四边形BMDF是菱形． …………………7分 （08湖北武汉）24.（本题10分）正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F.如图1，当点P与点O重合时，显然有DF＝CF.（1）如图2，若点P在线段AO上（不与点A，O重合），PE⊥PB且PE交CD点E. ①求证：DF＝EF， ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论：（2）若点P在线段OC上（不与点O，C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断（1）中的结论①、②是否分别成立？若不成立，写出相应的结论（所写结论均不必证明）. 24.⑴ ①略；②PC－PA＝CE；⑵结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA－PC＝CE； (08湖北咸宁19题)19．（本题满分8分） 如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO=FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？ 并证明你的结论． (08湖北咸宁19题解答)19．解（1）证明： ∵CE平分， ∴， 又∵MN∥BC， ∴， ∴， ∴． ------------2分 同理，． -----3分 ∴ ．------------------4分 （2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形. -------------------------5分 ∵，点O是AC的中点． ∴四边形AECF是平行四边形. --------------6分 又∵，． ∴，即． ----7分 ∴四边形AECF是矩形． ----------------------------------------------8分 （08湖北襄樊20题）20．（本小题满分7分） 如图12，是同一直线上的三个点，四边形与四边形都是正方形．连接． （1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论； （2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请指出，并说出旋转过程；若不存在，请说明理由． （08湖北襄樊20题解答）解：（1）． （1分） 四边形和四边形都是正方形， ，，． （2分） ． （3分） ． （4分） （2）存在．和． （5分） 绕点顺时针方向旋转后与重合． （7分） （08湖北孝感20题）20．（本题满分8分） 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形的方法归纳出以下作图步骤（如图所示）： 第一步：作一个任意正方形； 第二步：分别取的中点，连接； 第三步：以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于； 第四步：过作交的延长线于， 请你根据以上作法，证明矩形为黄金矩形，（可取） A B C D E F M N （第20题图） （08湖北孝感20题解答）证明：在正方形中，取 为的中点， 2分 在中， 4分 又， ， 6分 ． 7分 故矩形为黄金矩形． 8分 （08湖北孝感25题）25．（本题满分12分） 锐角中，，，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为． A A B B C C M M N N P P Q Q D D （第25题图1） （第25题图2） （1）中边上高 ；（2分） （2）当 时，恰好落在边上（如图1）；（4分） （3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（注明的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？（6分） （08湖北孝感25题解答）解：（1）； 2分 （2）（或）； 6分 （3）设分别交于，则四边形为矩形． A B C M N P Q D （第25题图2） G E F 设，交于（如图2） ，． ， ． ，即 ． 8分 ． 10分 配方得：． 11分 当时，有最大值，最大值是6． 12分 （08湖北宜昌23题）23．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P是边AB（含端点）上的动点．过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F恰好分别在边BC，AC上． （1）△ABC与△SBR是否相似，说明理由； （2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系； (第23题) （3）设边AB＝1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值． （08湖北宜昌23题解答）解：(1)∵RS是直角∠PRB的平分线，∴∠PRS＝∠BRS＝45°. (第23题图1) 在△ABC与△SBR中，∠C＝∠BRS＝45°，∠B是公共角， ∴△ABC∽△SBR..(1分) (2)线段TS的长度与PA相等.(2分) ∵四边形PTEF是正方形， ∴PF＝PT，∠SPT＋∠FPA＝180°－∠TPF＝90°, 在Rt△PFA中，∠PFA ＋∠FPA＝90°, ∴∠PFA＝∠TPS， ∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA＝TS.(3分) 当点P运动到使得T与R重合时， 这时△PFA与△TSP都是等腰直角三角形且底边相等，即有PA＝TS. (若下面解题中没有求出x的取值范围是0≤x≤， 以上的讨论可评1分) 由以上可知，线段ST的长度与PA相等. (3)由题意，RS是等腰Rt△PRB的底边PB上的高， ∴PS＝BS, ∴BS＋PS＋PA＝1, ∴PS＝.(4分) 设PA的长为x，易知AF=PS， 则y＝PF＝PA＋PS,得y＝x＋(), 即y＝，(5分) 根据二次函数的性质，当x＝时，y有最小值为.(6分) (第23题图2) (第23题图3) 如图2，当点P运动使得T与R重合时，PA＝TS为最大. 易证等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR， ∴PA＝. 如图3，当P与A重合时，得x＝0. ∴x的取值范围是0≤x≤.(7分) (此处为独立得分点，只要求出x≤即可得1分) ∴①当x的值由0增大到时，y的值由减小到(8分) ∴②当x的值由增大到时，y的值由增大到.(8分) (说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) ∵≤≤，∴在点P的运动过程中， 正方形PTEF面积y的最小值是，y的最大值是.(9分) （08湖南长沙24题）24、（本题满分8分）如图，在□ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点. A B C D E F （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积. （08湖南长沙24题解答）(1)证明略； （4分） (2)当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形， （6分） 四边形ABCD的高为， （7分） ∴菱形AECF的面积为2． （8分） （08湖南常德23题）23．如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形． A B C D ① ② ③ ④ 图7 Ｏ （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？ （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 解（1） （08湖南常德23题解答）解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况： ① ② ，①③， ①④， ②③， ②④， ③④……………２分 其中有两组（①③， ②④）是相似的． A B C D ① ② ③ ④ 图7 Ｏ ∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=…………4分 （2）证明：选择①、③证明． 在△AOB与△COD中, ∵AB∥CD, ∴∠CDB＝∠DBA , ∠DCA＝∠CAB, ∴△AOB∽△COD……………………………………………8分 选择②、④证明. ∵四边形ABCD是等腰梯形, ∴∠DAB＝∠CAB, ∴在△DAB与△CBA中有 AD=BC, ∠DAB＝∠CAB,AB=AB, ∴△DAB ≌ △CBA,…………………………………………6分 ∴∠ADO＝∠BCO. 又∠DOA＝∠COB, ∴△DOA∽△COB………………………8分 （08湖南常德26题）26． 如图9，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6㎝；在△ABC中：∠C＝90O，∠A＝300，AB＝4㎝；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90O ,DG＝6㎝，DE＝4㎝，∠EDG＝600。解答下列问题： （1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转900，请你在图中作出旋转后的对应图形 △A1B1C，并求出AB1的长度； （2）翻折：将△A1B1C沿过点B1且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形 △A2B1C1，试判定四边形A2B1DE的形状？并说明理由； （3）平移：将△A2B1C1沿直线向右平移至△A3B2C2，若设平移的距离为ｘ，△A3B2C2与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC面积的一半时,ｘ的值是多少？ A B C D E F G 图9 （08湖南常德26题解答） A B C D E F G 图9 解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=， ∴AB1=AC+C B1=AC+CB=.……………………………………2分 (2)四边形A2B1DE为平行四边形.理由如下： ∵∠EDG＝60°，∠A2B1C1＝∠A1B1C＝∠ABC＝60°，∴A2B1∥DE 又A2B1＝A1B1＝AB＝4，DE＝4，∴A2B1＝DE,故结论成立.………………4分 （3）由题意可知： S△ABC=， ① 当或时，ｙ＝0 此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半……………5分 ②当时，直角边B2C2与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC2=C1C2-DC1=（ｘ－2）㎝，则ｙ＝, 当ｙ= S△ABC= 时，即 ， 解得（舍）或. ∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半. ③当时，△A3B2C2完全与等腰梯形重叠，即……………7分 ④当时,B2G=B2C2-GC2=2－(－8)=10- 则ｙ＝, 当ｙ= S△ABC= 时，即 ， 解得,或(舍去). ∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………9分 由以上讨论知,当或时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.………10分 图8 （08湖南郴州24题）24．如图8，ΔABC为等腰三角形，把它沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形ABDC的形状，并说出你的理由． （08湖南郴州24题解答）四边形ABCD为菱形 2分 理由是： 由翻折得△ABC≌△DBC．所以 4分 因为△ABC为等腰三角形， 所以 所以AC＝CD＝AB＝BD， 7分 故四边形ABCD为菱形 8分 注：如果学生只答四边形ABCD为平行四边形给1分，说理正确，给5分，共6分． （08湖南怀化24题）24．（本题满分7分） 如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N． 求证：（1）； （2） （08湖南怀化24题解答） 证明：（1）四边形和四边形都是正方形 3分 4分 （2）由（1）得 7分 ∴AMN∽CDN 6分 （08湖南怀化25题）25．(本题满分7分) 如图11，已知△的面积为3，且AB=AC，现将△沿CA方向平移CA长度得到△． （1）求四边形CEFB的面积； （2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由； （3）若，求AC的长． （08湖南怀化25题解答）解：（1）由平移的性质得 ． 3分 （2）．证明如下：由（1）知四边形为平行四边形 5分 （08湖南湘潭20题）20.（本题满分6分） 如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F. B A C D ES F （1）猜想：AD与CF的大小关系； （2）请证明上面的结论. （08湖南湘潭20题解答）解：（1）． 2分 （2）四边形是矩形， 3分 又 4分 5分 6分 （08湖南益阳22题）22. △ABC是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG，使正方形的一条边DE落在BC上，顶点F、G分别落在AC、AB上. A B C D E F G 图10(1) Ⅰ.证明：△BDG≌△CEF； Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形. 小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱa和Ⅱb的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答. 如果两题都解，只以Ⅱa的解答记分. Ⅱa. 小聪想：要画出正方形DEFG，只要能计算出正方形的边长就能求出BD和CE的长，从而确定D点和E点，再画正方形DEFG就容易了. 设△ABC的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) . A B C D E F G 图10(2) Ⅱb. 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’； ②连结BF’并延长交AC于F； ③作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求. A B C D E F G 图10(3) G′ F′ E′ D′ 你认为小明的作法正确吗？说明理由. （08湖南益阳22题解答）Ⅰ.证明：∵DEFG为正方形， ∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90° 2分 ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60° 3分 ∴△BDG≌△CEF(AAS) 5分 A B C D E F G 解图10(2) H Ⅱa.解法一：设正方形的边长为x，作△ABC的高AH， 求得 7分 由△AGF∽△ABC得： 9分 解之得：(或) 10分 解法二：设正方形的边长为x，则 7分 在Rt△BDG中，tan∠B=， ∴ 9分 解之得：(或) 10分 解法三：设正方形的边长为x， 则 7分 由勾股定理得： 9分 解之得： 10分 Ⅱb.解： 正确 6分 由已知可知，四边形GDEF为矩形 7分 A B C D E F G 解图10(3) G’ F’ E’ D’ ∵FE∥F’E’ ， ∴， 同理， ∴ 又∵F’E’=F’G’， ∴FE=FG 因此，矩形GDEF为正方形 10分 （08湖南益阳23题）23. 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作： (1) 如图11(1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积. A B E F C D 图11(1) (2)如图11(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由. A B E F C D 图11(2) (3)如图11(3)，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连结AE，请你求出sinα的值. A B (E) (F) C D 图11(3) E (F) α （08湖南益阳23题解答）解：(1)过C点作CG⊥AB于G， A B E F C D 解图11(1) G 在Rt△AGC中，∵sin60°=，∴ 1分 ∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC= 3分 (2)菱形 4分 ∵CD∥BF， FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形 5分 ∵DF∥AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF 6分 ∴四边形CDBF是菱形 7分 (判断四边形CDBF是平行四边形，并证明正确，记2分) (3)解法一：过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE= 8分 又S△ADE=， 9分 ∴在Rt△DHE’中，sinα= 10分 解法二：∵△ADH∽△ABE 8分 ∴ 即： ∴ 9分 ∴sinα= 10分 A B (E) (F) C D 解图11(3) E (F) α H （08湖南永州22题）22．（8分）如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB （1）求证：四边形EFCD是菱形； （2）设CD＝4，求D、F两点间的距离． （08湖南永州22题解答）（8分） （1）证明：与都是等边三角形 1分 2分 又 3分 四边形是菱形 4分 （2）解：连结，与相交于点 5分 由，可知 6分 7分 8分 （08湖南邵阳19题）19．学生在讨论命题：“如图（十二），梯形中，，，则．”的证明方法时，提出了如下三种思路． A D C B 图（十二） 思路1：过一个顶点作另一腰的平行线，转化为等腰三角形和平行四边形； 思路2：过同一底边上的顶点作另一条底边的垂线，转化为直角三角形和矩形； 思路3：延长两腰相交于一点，转化为等腰三角形． 请你结合以上思路，用适当的方法证明该命题． 19．过点作交于点， ， 1分 又， ． 3分 ， 四边形为平行四边形， 5分 ， ．（答案不唯一） 6分 2008年中考数学四边形解答题（教师版） (08广东东莞/中山市15题)15．（本题满分6分）如图4，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。 图4 (08广东东莞/中山市15题解答)解：设小正方形的边长为. …………………………1分 由题意得，.……………3分 解得，. ………………………………4分 经检验，符合题意，不符合题意舍去. ∴ .…………………………………………………5分 答：截去的小正方形的边长为. ……………………6分 （08广东广州20题）20、（10分）如图7，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD是等腰梯形 图7 （08广东广州20题解答）提示：得，由DC//AE,AD不平行CE得证 （08广东茂名23题）23.（本题满分10分） 如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=DC，AD=2，BC=4，延长BC到E，使CE=AD． （1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（5分） （2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由．（5分） （第23题图） 解： （08广东茂名23题解答）解：（1）△CDA≌△DCE，△BAD≌△DCE； 2分 G ① △CDA≌△DCE的理由是： ∵AD∥BC， ∴∠CDA=∠DCE． 3分 又∵DA=CE，CD=DC ， 4分 ∴△CDA≌△DCE． 5分 或 ② △BAD≌△DCE的理由是： ∵AD∥BC， ∴∠CDA=∠DCE． 3分 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴∠BAD=∠CDA， ∴∠BAD =∠DCE． 4分 又∵AB=CD，AD=CE， ∴△BAD≌△DCE． 5分 （2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直． 6分 理由是：设AC与BD的交点为点G，∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=DB． 又∵AD=CE，AD∥BC， ∴四边形ACED是平行四边形， 7分 ∴AC=DE，AC∥DE． ∴DB=DE． 8分 则BF=FE， 又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6， ∴BF=FE=3． 9分 ∵DF=3， ∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°， ∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°， 又∵AC∥DE ∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD． 10分 （说明：由DF=BF=FE得∠BDE=90°，同样给满分．） 图8 (08广东梅州18题)18．本题满分8分． 如图8，四边形是平行四边形．O是对角线的中点，过点的直线分别交AB、DC于点、，与CB、AD的延长线分别交于点G、H． （1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）； （2）除AB=CD，AD=BC，OA=OC这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明． (08广东梅州18题解答)解：（1） AEH与DFH． 2分 （或AEH与BEG， 或BEG与CFG ，或DFH与CFG） （2）OE=OF． 3分 证明：四边形是平行四边形， ∥CD， 4分 ， 5分 ， 6分 △△， 7分 ． 8分 （注意：此题有多种选法，选另外一对的，按此标准评分） (08广东梅州21题)21．本题满分8分． 如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点， EF⊥DE交BC 于点F． （1）求证： ADE∽BEF； （2）设正方形的边长为4， AE=，BF=．当取什么值时， 有最大值?并求出这个最大值． (08广东梅州21题解答)证明： （1）因为ABCD是正方形，所以 ∠DAE=∠FBE=， 所以∠ADE+∠DEA=， 1分 又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=， 2分 所以∠ADE=∠FEB， 3分 所以ADE∽BEF． 4分 （2）解：由（1） ADE∽BEF，AD=4，BE=4-，得 ，得 5分 ==， 6分 所以当=2时， 有最大值， 7分 的最大值为1． 8分 （08广东深圳18题）18．如图5，在梯形ABCD中，AB∥DC， DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的 延长线于点E，且∠C＝2∠E． （1）求证：梯形ABCD是等腰梯形． （2）若∠BDC＝30°，AD＝5，求CD的长． （08广东深圳18题解答）（1）证明：∵AE∥BD, ∴∠E＝∠BDC ∵DB平分∠ADC ∴∠ADC＝2∠BDC 又∵∠C＝2∠E ∴∠ADC＝∠BCD ∴梯形ABCD是等腰梯形 …………………………3分 （2）解：由第（1）问，得∠C＝2∠E＝2∠BDC＝60°，且BC＝AD＝5 ∵ 在△BCD中，∠C＝60°, ∠BDC＝30° ∴∠DBC＝90° ∴DC＝2BC＝10 …………………………7分 (08广东肇庆21题) 21.（本小题满分7分） 如图5，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上. （1）求证AE=BF； （2）若BC=cm，求正方形DEFG的边长. (08广东肇庆21题解答)（本小题满分7分） 解：（1）∵ 等腰Rt△ABC中，∠90°， ∴ ∠A＝∠B， （1分） ∵ 四边形DEFG是正方形， ∴ DE＝GF，∠DEA＝∠GFB＝90°， （２分） ∴ △ADE≌△BGF， ∴ AE＝BF． （3分） （2）∵ ∠DEA＝90°，∠A=45°， ∴∠ADE=45°． （4分） ∴ AE＝DE． 同理BF＝GF． （5分） ∴ EF＝AB===cm， （6分） ∴ 正方形DEFG的边长为． （7分） （08广东佛山21题）21. 如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上. (1) 用尺规作图，作出D、E、F中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另外两点不需要用尺规作图确定，作草图即可)； (2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF的边长. A B C 第21题图 （08广东佛山21题解答）21．⑴ 作图：作∠BAC的平分线交线段BC于E； …………………………4分 （痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分） A B C 第21题图 D E F ⑵ 如图，∵ 四边形ADEF是正方形， ∴ EF∥AB，AD = DE = EF = FA. ……5分 ∴ △CFE ∽△CAB. ∴ .…………………………………6分 ∵ AC = 2 ，AB = 6， 设AD = DE = EF = FA = x， ∴ . …………………………………………………………………………………………7分 ∴ x＝.即正方形ADEF的边长为. ………………………………………………………………8分 （本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD或AF的值用作中垂线的方法找到D点或F点，给2分） （08广东佛山23题）23. 如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形. (1) 当AB≠AC时，证明四边形ADFE为平行四边形； 第23题图 E F D A B C (2) 当AB = AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件. （08广东佛山23题解答）第23题图 E F D A B C 23．(1) ∵△ABE、△BCF为等边三角形， ∴AB = BE = AE，BC = CF = FB，∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA. ………………………1分 ∴△FBE ≌△CBA. ∴EF = AC. ………………………………………2分 又∵△ADC为等边三角形， ∴CD = AD = AC. ∴EF = AD..………………………………………………………………………………………………3分 同理可得AE = DF. ……………………………………………………………………………………5分 ∴四边形AEFD是平行四边形. ……………………………………………………………………………6分 （其它证法，参照给分） (2) 构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段. 当图形为菱形时，∠ BAC≠60°（或A与F不重合、△ABC不为正三角形）………7分 （若写出图形为平行四边形时，不给分） 当图形为线段时，∠BAC = 60°（或A与F重合、△ABC为正三角形）. …………8分 （08广东湛江）图7 D B A O C 23． 如图7所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明． 23． 解：ABC≌DCB （2分） D B A O C 第23题图 证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC ∴ABC=DCB （4分） 在ABC与DCB中 ∴ABC≌DCB （7分）（注：答案不唯一） 2008年中考数学四边形解答题（教师版） A B C D E F 图11 G （08云南省卷）23．（本大题满分12分）如图11，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE交DG于F. （1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明； （2）求证：AE=FC+EF. 23. (1) ΔAED≌ΔDFC. ………………………………（1分） ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AD=DC，∠ADC=90º. ………………………………（3分） 又∵ AE⊥DG，CF∥AE， ∴ ∠AED=∠DFC=90º, ………………………………（5分） ∴ ∠EAD+∠ADE=∠FDC+∠ADE=90º， ∴ ∠EAD=∠FDC. ………………………………（7分） ∴ ΔAED≌ΔDFC （AAS）. ………………………………（8分） (2) ∵ ΔAED≌ΔDFC， ∴ AE=DF，ED=FC. ………………………………（10分） ∵ DF=DE+EF， ∴ AE=FC+EF. ………………………………（12分） A B C D E F （08云南双柏）19．（本小题8分）如图，是平行四边形的对角线上的点，． 请你猜想：与有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明． 猜想： 证明： A B C D E F 图19－1 2 3 4 1 19．（本小题8分） 猜想：， 证明： 证法一：如图19－1 四边形是平行四边形． 又 A B C D E F 图19－2 Ｏ 证法二：如图19－2 连结，交于点，连结，． 四边形是平行四边形 ， 又 四边形是平行四边形 （08贵州贵阳21题）21．（本题满分10分） 如图8，在中，分别为边的中点，连接． （1）求证：．（5分） （2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分） （图8） A B C D E F （08贵州遵义22题）22．（10分）在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，一块 三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向 旋转，当三角板的两直角边与AB、BC分别相交于点M，N时， 观察或测量BM与CN的长度，你能得到什么结论？ 并证明你的结论。 解：BM与CN的长度相等 证明：在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD的中点，作EF⊥BC于点F，则有AB＝AE＝EF＝FC 在Rt△AME和Rt△FNE中 AE＝EF ∠AEM＝∠FEN＝900－∠MEF ∴ Rt△AME≌Rt△FNE ∴ AM＝FN ∴MN=CN 1（08四川巴中）24．已知：如图9，梯形中，，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点． （1）求证：． （2）连结，判断四边形的形状，并证明你的结论． 24．（1）证明：点是中点 1分 又，在延长线上， ， 3分 在与中 5分 6分 （2）四边形是平行四边形．理由如下： 7分 ， 9分 四边形是平行四边形． 10分 7（08四川广安）20．如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，连接AE并延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：CF=AD； （2）若AD=2，AB=8，当BC为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上，为什么？ A E B C F D 图7操作 11（08四川乐山）A F C D E 图（11） 22．如图（11），分别是等腰的腰的中点． （1）用尺规在边上求作一点，使四边形为菱形； （不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求菱形的面积． 22．解：（1）作图（略）． 3分 注：本题作法较多，如：方法一，作的中垂线：方法二，以为圆心，为半径画弧，交于点．等等． A F C D E 图（1） M （2）如图（1），为菱形， 平分， 5分 又， 在中，， 则， 6分 又分别是、的中点， ， 7分 故菱形的面积（cm2）． 9分 12（08四川乐山）25．从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分． G C D E A B F 图（13） 题甲：如图（13），梯形中，，点是边的中点，连结交于点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 25．甲题： （1）证明：， 2分 ， 3分 又，． 4分 （2）解： ， 5分 由（1）知， ， 6分 设，则， 则有， 8分 即， 解得：或， 经检验，或都是原方程的根，但不合题意，舍去． 故的长为1． 9分 14（08四川凉山）18．（6分）如图，点分别是菱形中边上的点（不与重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明． A F D C B 第18题图 18．（6分） （1）添加条件：或或等 1分 （2）证明： 四边形是菱形 A F D C B 第18题图 2分 3分 在和中 5分 6分 注：其它合理的推理参照评分． 16（08四川泸州）15．如图4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F， 求证：DE=BF 。 A E D O C F B （第15题图） 20（08四川南充）15．如图，的对角线相交于点，过点任引直线交于，交于，则 （填“”“”“”），说明理由． 15．解：填“” 理由：四边形是平行四边形 A E D O C F B （第15题图） 1 3 4 2 ， 3分 ， 4分 在和中 ． 5分 6分 23（08四川宜宾）23、(本小题满分8分) 已知:如图,菱形ABCD中, E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF. (1)求证:AE=AF. (2)若∠B=60°,点E，F分别为BC和CD的中点，求证:△AEF为等边三角形. 23.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,, 又∵BE=DF ∴≌ ∴AE=AF (2)连接AC ∵AB=BC, ∴是等边三角形， E是BC的中点 ∴AE⊥BC, ∴,同理 ∵ ∴ 又∵AE=AF ∴是等边三角形。 24（08四川资阳）18．（本小题满分7分） 图7 如图7，在△ABC中，∠A、∠B的平分线交于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F． （1）点D是△ABC的________心； （2）求证：四边形DECF为菱形． （08四川资阳）18．(1) 内. 2分 (2) 证法一：连接CD， 3分 ∵ DE∥AC，DF∥BC， ∴ 四边形DECF为平行四边形， 4分 又∵ 点D是△ABC的内心， ∴ CD平分∠ACB，即∠FCD＝∠ECD， 5分 又∠FDC＝∠ECD，∴ ∠FCD＝∠FDC ∴ FC＝FD， 6分 ∴ □DECF为菱形． 7分 证法二： 图7 过D分别作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，DI⊥AC于I． 3分 ∵AD、BD分别平分∠CAB、∠ABC， ∴DI=DG， DG=DH． ∴DH=DI． 4分 ∵DE∥AC，DF∥BC， ∴四边形DECF为平行四边形， 5分 ∴S□DECF=CE·DH =CF·DI， ∴CE=CF． 6分 ∴□DECF为菱形． 7分 29（08四川自贡）22如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。 请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想 22．解：DE＝DF 证明如下： 连结BD ∵四边形ABCD是菱形 ∴∠CBD＝∠ABD(菱形的对角线平分一组对角) ∵DF⊥BC，DE⊥AB ∴DF＝DE(角平分线上的点到角两边的距离相等) （08重庆市卷）26题图 26、（10分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E。 求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE 2008年中考数学四边形解答题（教师版） (08甘肃兰州25题)25．（本题满分9分）如图15，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点． （1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等； A B C D O F E 图15 （3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数． (08甘肃兰州25题解答)（本题满分9分） （1）证明：当时，， 又， 四边形为平行四边形． 3分 （2）证明：四边形为平行四边形， ． ． 5分 （3）四边形可以是菱形． 6分 理由：如图，连接， A B C D O F E 由（2）知，得， 与互相平分． 当时，四边形为菱形． 7分 在中，， ，又，， 8分 ， 绕点顺时针旋转时，四边形为菱形． 9分 (08甘肃白银等22题)22．（8分）如图13，在ABCD中，点E是CD的中点，AE的延长线与BC的延长线相交于点F． 图13 (1)求证：△ADE≌△FCE； (2)连结AC、DF，则四边形ACFD是下列选项中的（ ）． A．梯形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 (08甘肃白银等22题解答) 本小题满分8分 证明：(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BF，∴ ∠D=∠ECF． 3分 ∵ E是CD的中点，∴ DE = CE． 又 ∠AED=∠FEC， 4分 ∴ △ADE≌△FCE． 5分 (2) D．或填“平行四边形”． 8分 (08甘肃白银等26题)26．（10分）如图18，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=． 图18 （1）求点D到BC边的距离； （2）求点B到CD边的距离． (08甘肃白银等26题解答)本小题满分10分 解：（1）如图①，作DE⊥BC于E， 1分 ∵ AD∥BC，∠B=90°， ∴ ∠A=90°．又∠DEB=90°， ∴ 四边形ABED是矩形． 2分 ∴ BE=AD=2， ∴ EC=BC-BE=3． 3分 在Rt△DEC中，DE= EC·tanC ==4． 5分 （2）如图②，作BF⊥CD于F． 6分 图② 方法一： 在Rt△DEC中，∵ CD=5， 7分 ∴ BC=DC，又∠C=∠C， 8分 ∴ Rt△BFC≌Rt△DEC． 9分 ∴ BF= DE=4． 10分 方法二： 在Rt△DEC中，∵ CD=5， 7分 ∴ sinC=． 8分 在Rt△BFC中，BF=BC·sinC==4． 10分 （08宁夏区卷）26． (10分) 如图，在边长为4的正方形中，点在上从向运动，连接交于点． （1）试证明：无论点运动到上何处时，都有△≌△； （2）当点在上运动到什么位置时，△的面积是正方形面积的； （3）若点从点运动到点，再继续在上运动到点，在整个运动过程中，当点 运动到什么位置时，△恰为等腰三角形． 26．（1）证明：在正方形中， 无论点运动到上何处时，都有 = ∠=∠ = ∴△≌△ 2分 (2)解法一：△的面积恰好是正方形ABCD面积的时， 过点Q作⊥于,⊥于，则 = == ∴= 4分 由△ ∽△得 解得 ∴时，△的面积是正方形面积的 6分 解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，过点作⊥轴 于点，⊥轴于点． == ∴= ∵点在正方形对角线上 ∴点的坐标为 ∴ 过点（0，4），(两点的函数关系式为： 当时， ∴点的坐标为（2，0） ∴时，△的面积是正方形面积的． 6分 （3）若△是等腰三角形，则有 =或=或= ①当点运动到与点重合时，由四边形是正方形知 = 此时△是等腰三角形 ②当点与点重合时，点与点也重合， 此时=, △是等腰三角形 8分 ③解法一：如图，设点在边上运动到时，有= ∵ ∥ ∴∠=∠ 又∵∠=∠ ∠=∠ ∴∠=∠ ∴ == ∵= = =4 ∴ 即当时，△是等腰三角形 10分 解法二：以为原点建立如图所示的直角坐标系，设点在上运动到时，有=． 过点作⊥轴于点，⊥轴于点,则 在△中，，∠=45° ∴=°= ∴点的坐标为（，） ∴过、两点的函数关系式：+4 当=4时， ∴点的坐标为（4，8-4）． ∴当点在上运动到时，△是等腰三角形． 10分 （08青海省卷）B A F C E D 第25题图 25．如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：是的中点； （2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论． 25．（1）证明：， ． （1分） 是的中点， ． 又， ． （2分） ． （3分） ， ． 即是的中点． （4分） （2）解：四边形是矩形， （5分） 证明：，， 四边形是平行四边形． （6分） ，是的中点， ． 即． （7分） 四边形是矩形． （8分） （08青海西宁）图10 A B C D E F G 23．如图10，已知：中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于．求证：． 23．证明：四边形是平行四边形（已知）， ，（平行四边形的对边平行，对边相等） 1分 ，（两直线平行，内错角相等） 2分 又平分，平分（已知）， ，（角平分线定义） 3分 ，． 4分 ，（在同一个三角形中，等角对等边） 5分 6分 ，即． 7分 （08新疆区卷）23．（10分）（1）请用两种不同的方法，用尺规在所给的两个矩形中各作一个不为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上．（保留作图痕迹） （2）写出你的作法． 23．（10分）解：（1）所作菱形如图①、②所示． 说明：作法相同的图形视为同一种．例如类似图③、图④的图形视为与图②是同一种． （作出一个图形得3分） （2）图①的作法： 作矩形A1B1C1D1四条边的中点E1、F1、G1、H1； 连接H1E1、E1F1、G1F1、G1H1． 四边形E1F1G1H1即为菱形． 图②的作法： 在B2C2上取一点E2，使E2C2＞A2E2且E2不与B2重合； 以A2为圆心，A2E2为半径画弧，交A2D2于H2； 以E2为圆心，A2E2为半径画弧，交B2C2于F2； 连接H2F2，则四边形A2E2F2H2为菱形． （写对一个作法得2分） （此题答案不惟一，只要画法及作法合理、正确，均可酌情得分．） （08新疆乌鲁木齐）B G A E F H D C 图8 21．如图8，在四边形中，点是线段上的任意一点（与不重合），分别是的中点． （1）证明四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下，若，且，证明平行四边形是正方形． 21．证明：（1）在中，分别是的中点 且 3分 又是的中点，， 且 4分 四边形是平行四边形 6分 （2）证明：分别是的中点 且 8分 又，且，，且 10分 平行四边形是正方形．查看更多