2020年中考数学二轮复习压轴专题三角形（含解析）

2020年中考数学二轮复习压轴专题三角形（含解析）

三角形 ‎1．在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB，垂足为点D，M为线段DB上一动点（不包括端点），点N在直线AC左上方且∠NCM＝135°，CN＝CM，如图①‎ ‎（1）求证：∠ACN＝∠AMC[来%#源*:中^&教网]‎ ‎（2）记△ANC得面积为5，记△ABC得面积为5．求证：‎ ‎（3）延长线段AB到点P，使BP＝BM，如图②．探究线段AC与线段DB满足什么数量关系时对于满足条件的任意点M，AN＝CP始终成立？（写出探究过程）‎ 解：（1）∵∠BAC＝45°，‎ ‎∴∠AMC＝180°﹣45°﹣∠ACM＝135°﹣∠ACM，‎ ‎∵∠NCM＝135°，[来源:zz^@step.&com%*]‎ ‎∴∠ACN＝135°﹣∠ACM，‎ ‎∴∠ACN＝∠AMC；‎ ‎（2）过点N作NE⊥AC于E，‎ ‎[来@源~:^中国教育出&版#网]‎ ‎∵∠CEN＝∠CDM＝90°，∠ACN＝∠AMC，CM＝CN，‎ ‎∴△NEC≌△CDM（AAS）‎ ‎∴NE＝CD，CE＝DM；‎ ‎∵S1＝AC•NE，S2＝AB•CD，[ww@w.zzs%t^ep&.#com]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴＝；‎ ‎（3）当AC＝2BD时，对于满足条件的任意点N，AN＝CP始终成立，‎ 理由如下：过点N作NE⊥AC于E，‎ 由（2）可得NE＝CD，CE＝DM，‎ ‎∵AC＝2BD，BP＝BM，CE＝DM，‎ ‎∴AC﹣CE＝BD+BD﹣DM ‎∴AE＝BD+BP＝DP，‎ ‎∵NE＝CD，∠NEA＝∠CDP＝90°，AE＝DP，‎ ‎∴△NEA≌△CDP（SAS）[来源:%中*国#教~育出^版网]‎ ‎∴AN＝PC．‎ ‎2．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．‎ ‎（Ⅰ）求C点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；‎ ‎（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．‎ 解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：‎ ‎∵CM⊥OA，AC⊥AB，‎ ‎∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，[中国^%@教育&出~版网]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴∠MAC＝∠OBA，‎ 在△MAC和△OBA中，，‎ ‎∴△MAC≌△OBA（AAS），[中国#教&@育出^版*网]‎ ‎∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，‎ ‎∴OM＝6，‎ ‎∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），[中#国%^@教育出版网~]‎ 故答案为（﹣6，﹣2）；‎ ‎（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，[来%源:@~&zzste#p.com]‎ 则四边形OEDQ是矩形，‎ ‎∴DE＝OQ，‎ ‎∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，‎ ‎∴∠QPD＝∠OAP，‎ 在△AOP和△PDQ中，，‎ ‎∴△AOP≌△PDQ（AAS），[中国教育出版网*~&%@]‎ ‎∴AO＝PQ＝2，‎ ‎∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；[中国~@*^教育出&版网]‎ ‎（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，‎ 则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，‎ ‎∴四边形OSFT是正方形，‎ ‎∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，‎ ‎∴∠HFS＝∠GFT，‎ 在△FSH和△FTG中，，[来源:zzs*#~te^%p.com]‎ ‎∴△FSH≌△FTG（AAS），‎ ‎∴GT＝HS，‎ 又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴OT═OS＝4，‎ ‎∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，[来@源*:中教&%网^]‎ ‎∴﹣4﹣m＝n+4，‎ ‎∴m+n＝﹣8．[w~#ww.z&zst^ep.com@]‎ ‎[www.z@~%z&st*ep.com]‎ ‎3．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A.B重合），分别以AC.BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE.BD交于点P ‎（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为　AE＝BD　．‎ ‎②∠APC的度数为　60°　．[来*@源:zzs^te%p.~com]‎ ‎（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明 ‎（3）拓展应用：如图3，分别以AC.BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为　AE＝BD，AE⊥BD　．[ww&w.#z~zstep@.com*]‎ 第 33 页 共 33 页 解：（1）观察猜想：①如图1，‎ ‎[来源%:#中国~教*育@出版网]‎ 设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，‎ ‎∵△ADC，△ECB都是等边三角形，‎ ‎∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，‎ ‎∴∠ACE＝∠DCB，[中^#国教%育出&@版网]‎ ‎∴△ACE≌△DCB（SAS），‎ ‎∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE＝S△BCD，[来@源~:^中国教育出&版#网]‎ ‎∵∠AOC＝∠DOP，‎ ‎∴∠DPO＝∠ACO＝60°，‎ ‎∴∠APB＝120°，‎ ‎∵S△ACE＝S△BCD，[ww~w.zz@st^ep&.#com]‎ ‎∴×AE×CH＝×BD×CG，‎ ‎∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，[来#源:~中国%&教育@出版网]‎ ‎∴CP平分∠APB，[中国@%*^教育~出版网]‎ ‎∴∠APC＝60°，‎ 故答案为AE＝BD，60°．‎ ‎（2）数学思考：：①成立，②不成立，‎ 第 33 页 共 33 页 理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，‎ ‎∵△ADC，△ECB都是等边三角形，‎ ‎∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，‎ ‎∴∠ACE＝∠DCB[来源@^:&%中~教网]‎ ‎∴△ACE≌△DCB（SAS），[www@#.zzst%e~*p.com]‎ ‎∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，‎ ‎∵∠AOP＝∠DOC，‎ ‎∴∠APO＝∠DCO＝60°，‎ ‎∴∠DPE＝120°，‎ ‎∵S△ACE＝S△BCD，‎ ‎∴×AE×CH＝×BD×CG，‎ ‎∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，‎ ‎∴CP平分∠DPE，‎ ‎∴∠DPC＝60°，[www%.^z#zstep.co&m*]‎ ‎∴∠APC＝120°，‎ ‎∴①成立，②不成立；‎ 拓展应用：‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[ww#w.zz*^ste&p.c@om]‎ 设AC交BD于点O．[www^.%zzste&p.~co#m]‎ ‎∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，[来&源#%:^中*教网]‎ ‎∴∠ACE＝∠DCB[来源:zzst#~e@p&^.com]‎ ‎∴△AEC≌△DBC（SAS），‎ ‎∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，‎ ‎∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，[www&.z~z*s#tep.co@m]‎ ‎∴∠DCO＝∠APO＝90°，‎ ‎∴AE⊥BD，‎ 故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．‎ ‎4．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB.直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．[来源:z&zste%p.com@#~]‎ ‎（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．‎ 解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：‎ 如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，‎ ‎∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，‎ ‎∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，‎ ‎∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，‎ ‎∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，‎ ‎∴∠CDN＝∠EDM，‎ ‎∵D是BC边的中点，‎ ‎∴DE＝BD＝CD，[来源:zzst^ep%.c~om@&]‎ 在△CDN和△EDM中，‎ ‎，[ww^w#.~zzste&p.co*m]‎ ‎∴△CDN≌△EDM（ASA），‎ ‎∴CN＝EM，[来源@:zzstep.*%c&#om]‎ ‎∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；‎ ‎（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：‎ 如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，‎ ‎∴∠NCD＝120°，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，‎ ‎∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，‎ ‎∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，‎ ‎∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，‎ ‎∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，[来源:@中国%#教*育~出版网]‎ ‎∴∠CDN＝∠EDM，‎ ‎∵D是BC边的中点，‎ ‎∴DE＝BD＝CD，‎ 在△CDN和△EDM中，‎ ‎，‎ ‎∴△CDN≌△EDM（ASA），‎ ‎∴CN＝EM，‎ ‎∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，‎ ‎∴BM﹣CN＝BD．‎ ‎5．△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC＜180°，DB平分∠PBC，且DB＝DA．‎ ‎（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；‎ ‎（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；‎ ‎（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．‎ 第 33 页 共 33 页 解：（1）∵△ABC是等边三角形，BD平分∠PBC，‎ ‎∴∠PBD＝∠CBD＝30°，‎ ‎∵DB＝DA，‎ ‎∴∠PBD＝∠BPD＝30°；‎ ‎（2）如图2，连接CD，‎ ‎[中国*教&^育%#出版网]‎ ‎∵点D在∠PBC的平分线上，‎ ‎∴∠PBD＝∠CBD，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BC＝AC，∠ACB＝60°，‎ ‎∵BP＝BA，[中国教@育出版%~#&网]‎ ‎∴BP＝BC，‎ ‎∵BD＝BD，‎ ‎∴△PBD≌△CBD（SAS），‎ ‎∴∠BPD＝∠BCD，‎ ‎∵DB＝DA，BC＝AC，CD＝CD，‎ ‎∴△BCD≌△ACD（SSS），‎ ‎∴∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝30°，‎ ‎∴∠BPD＝30°；‎ ‎（3）‎ 如图3，连接CD，‎ ‎∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，‎ ‎∴△ACD≌△BCD（SSS）[中&国教育*%出@#版网]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴∠ACD＝∠BCD＝30°，‎ ‎∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，‎ ‎∴△PBD≌△CBD（SAS）‎ ‎∴∠BPD＝∠BCD＝30°，‎ 如图4，连接CD，‎ ‎∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，‎ ‎∴△ACD≌△BCD（SSS）‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝30°，‎ ‎∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，‎ ‎∴△PBD≌△CBD（SAS）‎ ‎∴∠BPD＝∠BCD＝30°，‎ 如图5，连接CD，[中^%&国#教育@出版网]‎ ‎∵AD＝BD，CD＝CD，BC＝AC，‎ ‎∴△ACD≌△BCD（SSS）[中国#教育出@~版%网*]‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD＝＝150°，‎ ‎∵BD＝BD，∠PBD＝∠CBD，PB＝AB＝BC，‎ ‎∴△PBD≌△CBD（SAS）‎ ‎∴∠BPD＝∠BCD＝150°，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[中国教*&%育出^版网~]‎ ‎6．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，以D为直角顶点的Rt△DEF的另两个顶点E，F分别落在边AC，CB（或它们的延长线）上．‎ ‎[来源:@#z%zste~*p.com]‎ ‎（1）如图1，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC互相垂直，则S△DEF+S△CEF＝S△ABC，求当S△DEF＝S△CEF＝2时，AC边的长；[来源*:中国教育出版&@网^~]‎ ‎（2）如图2，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△ABC的两条直角边AC，BC不垂直，S△DEF+S△CEF＝S△ABC，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系；‎ ‎（3）如图3，若Rt△DEF的两条直角边DE，DF与△‎ 第 33 页 共 33 页 ABC的两条直角边AC，BC不垂直，且点E在AC的延长线上，点F在CB的延长线上，S△DEF+S△CEF＝S△ABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出S△DEF，S△CEF，S△ABC之间的数量关系．‎ 解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC，‎ ‎∴四边形DECF是矩形，[来~*@源:中国教育出^版#网]‎ ‎∵∠ACB＝90°，[来&源:中@教~#*网]‎ ‎∴BC⊥AC，‎ ‎∵DE⊥AC，‎ ‎∴DE∥BC，‎ ‎∵D为AB边的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE＝BC，AC＝2CE，[来%源:@中^国教~育出版#网]‎ 同理：DF＝AC，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴DE＝DF，‎ ‎∴四边形DECF是正方形，‎ ‎∴CE＝DF＝CF＝DE，‎ ‎∵S△DEF＝S△CEF＝2＝DE•DF＝DF2，[中国教~#育出*版网%@]‎ ‎∴DF＝2，‎ ‎∴CE＝2，‎ ‎∴AC＝2CE＝4；‎ ‎（2）S△DEF+S△CEF＝S△ABC成立，理由如下：[中#国*教育%出&版网@]‎ 连接CD；如图2所示：‎ ‎∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，‎ ‎∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，‎ ‎∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，S△ABC＝2S△BCD，‎ ‎∵∠EDF＝90°，‎ ‎∴∠CDE＝∠BDF，‎ 第 33 页 共 33 页 在△CDE和△BDF中，，‎ ‎∴△CDE≌△BDF（ASA），‎ ‎∴DE＝DF．S△CDE＝S△BDF．‎ ‎∴S△DEF+S△CEF＝S△CDE+S△CDF＝S△BCD＝S△ABC；‎ ‎（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：‎ 连接CD，如图3所示：‎ 同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，‎ ‎∴S△DEF＝S五边形DBFEC，‎ ‎＝S△CFE+S△DBC，‎ ‎＝S△CFE+S△ABC，[来源@:中~#国*教&育出版网]‎ ‎∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．‎ ‎∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．‎ ‎7．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容[来*^源:#zzs@tep.c~om]‎ ‎2．线段垂直平分线 第 33 页 共 33 页 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA.PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：‎ 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．‎ 已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．‎ 求证：PA＝PB．‎ 分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB．‎ 定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．[来源:中*国教育出版^网%#~]‎ 定理应用：‎ ‎（1）如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC.AC的垂直平分线，直线m、n的交点为O．过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH＝BH．[来%源^:zzs~tep.com&@]‎ ‎（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线l交AC于点D，边BC的垂直平分线k交AC于点E．若∠ABC＝120°， AC＝15，则DE的长为　5　．‎ 解：定理证明：‎ ‎∵MN⊥AB，‎ ‎∴∠PCA＝∠PCB＝90°．‎ 又∵AC＝BC，PC＝PC，‎ ‎∴△PAC≌△PBC（SAS），‎ ‎∴PA＝PB．‎ 定理应用：（1）如图2，连结OA.OB.OC．‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵直线m是边BC的垂直平分线，‎ ‎∴OB＝OC，‎ ‎∵直线n是边AC的垂直平分线，‎ ‎∴OA＝OC，‎ ‎∴OA＝OB ‎∵OH⊥AB，‎ ‎∴AH＝BH；‎ ‎（2）如图③中，连接BD，BE．[中国#教*&育出版^~网]‎ ‎[来#%源~:中国教育出版*网&]‎ ‎∵BA＝BC，∠ABC＝120°，[www&.z~z*s@tep.com#]‎ ‎∴∠A＝∠C＝30°，‎ ‎∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，‎ ‎∴DA＝DB，EB＝EC，[www.#zzs&^tep*.co%m]‎ ‎∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，‎ ‎∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，[www.~z#zste&p*%.com]‎ ‎∴△BDE是等边三角形，‎ ‎∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，[来源:&中%国教育#出版*~网]‎ ‎∵AC＝15＝AD+DE+EC＝3DE，‎ ‎∴DE＝5，‎ 故答案为：5．‎ 第 33 页 共 33 页 ‎8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，∠CBD＝90°，斜边CD交AB于点E．‎ ‎（1）如图1，若∠ABC＝60°，BE＝4，作EH⊥BC于H，求线段BC的长；‎ ‎（2）如图2，作CF⊥AC，且CF＝AC，连接BF，且E为AB中点，求证：CD＝2BF．‎ 解：（1）∵∠ABC＝60°，EH⊥BC，‎ ‎∴∠BEH＝30°，‎ ‎∴BE＝2BH＝4，EH＝BH，[来源:*~&%中^教网]‎ ‎∴BH＝2，EH＝2，‎ ‎∵∠CBD＝90°，BD＝BC，‎ ‎∴∠BCD＝45°，且EH⊥BC，‎ ‎∴∠BCD＝∠BEC＝45°，‎ ‎∴EH＝CH＝2，‎ ‎∴BC＝BH+HC＝2+2；‎ ‎（2）如图，过点A作AM⊥BC，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[来#源*:~^%中教网]‎ ‎∵AB＝AC，AM⊥BC，[来源^:*&中教%网~]‎ ‎∴BM＝MC＝BC＝DB，‎ ‎∵∠DCB＝45°，AM⊥BC，‎ ‎∴∠DCB＝∠MNC＝45°，‎ ‎∴MN＝MC＝BD，‎ ‎∵AM∥DB，‎ ‎∴△CNM∽△CBD ‎∴，[来源*:%@中~教网&]‎ ‎∴CD＝2CN，AN＝BD，[来源:#z~zstep&.c%o*m]‎ ‎∵CF⊥AC，∠BCD＝45°，‎ ‎∴∠ACD+∠BCF＝45°，且∠ACD+∠MAC＝45°，[来源%:^中教网~#&]‎ ‎∴∠BCF＝∠MAC，且AC＝CF，BC＝AN，‎ ‎∴△ACN≌△CFB（SAS）‎ ‎∴BF＝CN，‎ ‎∴CD＝2BF ‎9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．‎ ‎【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；‎ 第 33 页 共 33 页 ‎【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A.C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．‎ ‎【探究发现】‎ 证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC ‎∴∠CAB＝∠CBA＝45°[来源:%中国#@教*育~出版网]‎ ‎∵CD∥AB ‎∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD ‎∴∠DCB＝∠DBC＝45°‎ ‎∴DB＝DC 即DP＝DB；[来%源#:zz@step.*com&]‎ ‎【数学思考】‎ 证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°‎ ‎∴∠DCG＝∠DGC＝45°‎ ‎∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，‎ ‎∵∠BDP＝∠CDG＝90°‎ ‎∴∠CDP＝∠BDG ‎，在△CDP和△GDB中，，‎ ‎∴△CDP≌△GDB（ASA）‎ ‎∴DP＝DB．‎ ‎10．已知，在平面直角坐标系中，A（m，0）、B（0，n），m、n满足（m﹣n）2+|m﹣5|＝0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO＝PD，DE⊥AB于E．‎ ‎（1）如图1，当点P在线段AB上运动时，点D恰在线段OA上，则PE与AB的数量关系为　AB＝2PE 第 33 页 共 33 页 ‎（2）如图2，当点D在点A右侧时，（1）中结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由！‎ ‎（3）设AB＝5，若∠OPD＝45°，直接写出点D的坐标．‎ 解：（1）∵（m﹣n）2+|m﹣5|＝0，‎ ‎∴m﹣n＝0，m﹣5＝0，‎ ‎∴m＝n＝5，‎ ‎∴A（5，0）、B（0，5），‎ ‎∴AC＝BC＝5，[www.z^z&@ste*p.co~m]‎ ‎∴△AOB为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，‎ ‎∵PO＝PD，‎ ‎∴∠POD＝∠PDO，[中%^@国教&育出~版网]‎ ‎∵D是x轴正半轴上一点，[来源:@#中国^教育出版&网~]‎ ‎∴点P在BC上，‎ ‎∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，‎ ‎∴∠POC＝∠DPE，‎ 在△POC和△DPE中，‎ ‎，‎ ‎∴△POC≌△DPE（AAS），‎ ‎∴OC＝PE，‎ ‎∵C为AB的中点，‎ ‎∴AB＝2OC，‎ ‎∴AB＝2PE．‎ 第 33 页 共 33 页 故答案为：AB＝2PE．‎ ‎（2）成立，理由如下：‎ ‎∵点C为AB中点，‎ ‎∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC⊥AB，[来源*:中国教~育出版网@^%]‎ ‎∵PO＝PD，‎ ‎∴∠POD＝∠PDO，‎ ‎∵∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，‎ ‎∴∠POC＝∠DPE，‎ 在△POC和△DPE中，‎ ‎，‎ ‎∴△POC≌△DPE（AAS），‎ ‎∴OC＝PE，‎ 又∠AOC＝∠BAO＝45°[来@源~:中&#教网%]‎ ‎∴OC＝AC＝AB ‎∴AB＝2PE；‎ ‎（3）∵AB＝5，‎ ‎∴OA＝OB＝5，‎ ‎∵OP＝PD，‎ ‎∴∠POD＝∠PDO＝＝67.5°，[来源:*中@教#&网~]‎ ‎∴∠APD＝∠PDO﹣∠A＝22.5°，∠BOP＝90°﹣∠POD＝22.5°，‎ ‎∴∠APD＝∠BOP，‎ 在△POB和△DPA中，‎ ‎，‎ ‎∴△POB≌△DPA（SAS），‎ ‎∴PA＝OB＝5，DA＝PB，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴DA＝PB＝5﹣5，‎ ‎∴OD＝OA﹣DA＝5﹣（5﹣5）＝10﹣5，‎ ‎∴点D的坐标为（10﹣5，0）．‎ ‎11．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A.B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．‎ ‎（1）求A.B两点的坐标；‎ ‎（2）若点D为AB中点，求OE的长；‎ ‎（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．‎ 解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，‎ ‎∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，[来源*:~中国教育出版网@^%]‎ ‎∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，‎ ‎∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，‎ ‎∴m＝2，n＝4，‎ ‎∴点A为（2，0），点B为（0，4）；‎ ‎（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，‎ 设OE＝x，‎ ‎∵OC平分∠AOB，‎ ‎∴∠BOC＝∠AOC＝45°，[中国教育*#&@^出版网]‎ ‎∵DE∥OC，‎ ‎∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴OE＝OF＝x，‎ 在△ADF和△BDG中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADF≌△BDG（SAS），‎ ‎∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，‎ ‎∴∠G＝∠BEG＝45°，‎ ‎∴BG＝BE＝4﹣x，‎ ‎∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，[来#源:~%^中*国教育出版网]‎ ‎∴OE＝1；‎ ‎（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），‎ ‎∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），‎ ‎∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，‎ ‎∵∠PEF＝90°，‎ ‎∴∠PEN+∠FEM＝90°，‎ ‎∵FM⊥y轴，‎ ‎∴∠MFE+∠FEM＝90°，‎ ‎∴∠PEN＝∠MFE，‎ 在△EFM和△PEN中，‎ ‎，‎ ‎∴△EFM≌△PEN（AAS），‎ ‎∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，‎ ‎∴点F为（m+2x﹣4，m+x），‎ ‎∵F点的横坐标与纵坐标相等，‎ ‎∴m+2x﹣4＝m+x，‎ 解得：x＝4，‎ ‎∴点P为（4，﹣4）．‎ 第 33 页 共 33 页 ‎[来源:@zzstep.c~^#*om]‎ ‎12．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．‎ ‎（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD　＝　BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝　30　度；‎ ‎（2）设直线BE与直线AM的交点为O．‎ ‎①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；‎ ‎②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．‎ 解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形 第 33 页 共 33 页 ‎∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°‎ ‎∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE ‎∴∠ACD＝∠BCE．‎ 在△ADC和△BEC中[中国^教%&@育*出版网]‎ ‎，[中国#教*%育出^版@网]‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS），‎ ‎∴AD＝BE；[来~%源:中^国教育*&出版网]‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC＝60°．‎ ‎∵线段AM为BC边上的中线 ‎∴∠CAM＝∠BAC，[www.zzs%te*p.~c#o@m]‎ ‎∴∠CAM＝30°．[来源:zzst%&ep#*.c~om]‎ 故答案为：＝，30；‎ ‎（2）①AD＝BE，‎ 理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形 ‎∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，[来源:%zzste&p.co~m*#]‎ ‎∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，[来&源:zzs~#te*p.@com]‎ ‎∴∠ACD＝∠BCE，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）[中国#教~^@育%出版网]‎ ‎∴AD＝BE．‎ ‎②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，[来源:zzste*@p.%^c~om]‎ 理由如下：‎ 当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，‎ 第 33 页 共 33 页 又∠ABC＝60°，[来^%源:中教网#~*]‎ ‎∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线 ‎∴AM平分∠BAC，即，‎ ‎∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．‎ 当点D在线段AM的延长线上时，如图2，‎ ‎∵△ABC与△DEC都是等边三角形 ‎∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°‎ ‎∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE ‎∴∠ACD＝∠BCE 在△ACD和△BCE中 ‎，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）‎ ‎∴∠CBE＝∠CAD＝30°，‎ 同理可得：∠BAM＝30°，[来源:中国教~^育出版%网*#]‎ ‎∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．‎ ‎13．小明在学习等边三角形时发现了直角三角形的一个性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．小明同学对以上结论作了进一步探究．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，则：∠ABC＝30°．‎ 探究结论：（1）如图1，CE是AB边上的中线，易得结论：△ACE为　等边　三角形．‎ ‎（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AB，CP是AB边上的中线，点D是边CB上任意一点，连接AD，在AB边上方作等边△ADE，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想加以证明．‎ 拓展应用：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当点C在第一象内，且B（2，0）时，求点C的坐标．‎ 解：探究结论（1）∵CE是AB边上的中线，‎ ‎∴CE＝AE＝AB，‎ ‎∵AC＝AB，‎ ‎∴AC＝CE＝AE，‎ ‎∴△ACE是等边三角形．‎ 第 33 页 共 33 页 故答案为：等边；‎ ‎（2）如图2中，结论：ED＝EB．‎ 理由：取AB的中点P，连接CP、PE．‎ ‎∵△ACP，△ADE都是等边三角形，‎ ‎∴AC＝AP＝PC，AD＝AE＝DE，∠CAP＝∠DAE＝60°，[中%~国教育出&版*^网]‎ ‎∴∠CAD＝∠PAE，‎ ‎∴△CAD≌△PAE（SAS），‎ ‎∴∠ACD＝∠APE＝90°，‎ ‎∴EP⊥AB，‎ ‎∵PA＝PB，‎ ‎∴EA＝EB，‎ ‎∵DE＝AE，‎ ‎∴ED＝EB．‎ 拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．‎ ‎∵A（﹣，1），‎ ‎∴∠AOH＝30°，‎ 由（2）‎ 可知，CO＝CB，‎ ‎∵CF⊥OB，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴OF＝FB＝1，‎ ‎∴可以假设C（1，n），[来源:^~%中*国教育出版网#]‎ ‎∵OC＝BC＝AB，‎ ‎∴1+n2＝1+（+2）2，‎ ‎∴n＝2+，‎ ‎∴C（1，2+）．‎ ‎14．如图，等边△ABC外有一点D，连接DA，DB，DC．‎ ‎（1）如图1，若∠DAB+∠DCB＝180°，求证：BD平分∠ADC；‎ ‎（2）如图2，若∠BDC＝60°，求证：BD﹣CD＝AD；[来源:z@z#step.~co^m*]‎ ‎（3）如图3，延长AD交BC的延长线于点F，以BF为边向下作等边△BEF，若点D，C，E在同一直线上，且∠ABD＝α，直接写出∠CEF的度数为　60°﹣α　（结果用含α的式子表示）．‎ ‎（1）证明：过点B作BM⊥CD于点M，BN⊥AD于点N，‎ ‎∴∠ANB＝∠CMB＝90°，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC，‎ ‎∵∠DAB+∠DCB＝180°，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∠DCB+∠BCM＝180°，‎ ‎∴∠OAB＝∠BCM，‎ ‎∴△ABN≌△CBM（AAS），‎ ‎∴BM＝BN，[来~源:zz^*st@%ep.com]‎ ‎∴BD平分∠ADC；[来源^:*&@中~教网]‎ ‎（2）证明：在BD上取点E，使DE＝CD，‎ ‎∵∠BDC＝60°‎ ‎∴△CDE为等边三角形，‎ ‎∴∠DCE＝∠ACB＝60°，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCE，‎ ‎∵AC＝BC，‎ ‎∴△ADC≌△BEC（SAS），‎ ‎∴AD＝BE，[来源:中#国教育~出版&*网^]‎ ‎∴BD﹣CD＝AD；‎ ‎（3）解：∵△ABC，△BEF为等边三角形，∴AB＝CB，BF＝BE，∠ABF＝∠CBE[中*国教^&%育#出版网]‎ ‎∴△ABF≌CBE（SAS），‎ ‎∴∠DFB＝∠CEB，‎ ‎∵∠CEB+∠CEF＝60°，∠EFB＝60°‎ ‎∴∠FDE＝180°﹣∠DFB﹣∠EFB﹣∠CEF＝60°[w&@w^w.%zzst~ep.com]‎ ‎∴∠ADC＝120°，[来@&%^源:#中教网]‎ ‎∴∠ADC+∠ABC＝180°，‎ 由（1）得BD平分∠ADC ‎∴∠BDE＝60°，‎ ‎∴∠FDB＝120°，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴∠FDB+∠FEB＝180°，‎ ‎∴F，E，B，D四点共圆，‎ ‎∴∠CEF＝∠DBF ‎∵∠DBF＝60°﹣α．‎ ‎∴∠CEF＝60°﹣α．‎ 故答案为：60°﹣α．[来源:zzs@tep.c^&%o#m]‎ ‎15．已知，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，m），过B点作直线a与x轴互相垂直，C为x轴上的一个动点，且∠BAC＝90°．‎ ‎（1）如图1，若点B是第二象限内的一个点，且m＞2时，求点C的坐标；（用m的代数式表示）‎ ‎（2）如图2，若点B是第三象限内的一个点，设C点的坐标（x，0），求x的取值范围：‎ ‎（3）如图3，连接BC，作∠ABC的平分线BD，点E.F分别是射线BD与边BC上的两个动点，连接CE.EF，当m＝3时，试求CE+EF的最小值．‎ 解：（1）如图1，过B点作BH⊥y轴于点H，[来源%&^@:中#教网]‎ ‎[w~ww@.%zzstep#.&com]‎ ‎∴∠BHA＝90°，∠ABH+∠BAH＝90°，‎ ‎∴∠BHA＝∠AOC＝90°，‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠BAH+∠CAO＝90°，‎ ‎∴∠ABH＝∠CAO，‎ ‎∵点A（0，2），B（﹣2，m），‎ ‎∴AO＝BH＝2，OH＝m，‎ ‎∵AO＝BH，∠ABH＝∠CAO，∠BHA＝∠AOC＝90°，‎ ‎∴△BHA≌△AOC（ASA）‎ ‎∴CO＝AH＝OH﹣AO＝m﹣2，[来@源%:中*^~教网]‎ ‎∵m＞2，点C在x轴负半轴，[来源@#:%zzste~&p.com]‎ ‎∴点C（2﹣m，0）；‎ ‎（2）如图2，过B点作BK⊥y轴于点K，则∠AKB＝90°，[w^*#w~w.zzs@tep.com]‎ ‎∵∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠BAK+∠CAK＝90°，且∠BAK+∠ABK＝90°，‎ ‎∴∠CAK＝∠ABK，‎ ‎∵点A（0，2），B（﹣2，m），‎ ‎∴AO＝BK＝2，OH＝m，‎ ‎∵AO＝BK，∠CAK＝∠ABK，∠AOC＝∠AKB＝90°，‎ ‎∴△ABK≌△CAO（AAS）‎ ‎∴CO＝AK＝2﹣m，‎ ‎∵C点的坐标（x，0），‎ ‎∴CO＝x＝2﹣m，‎ ‎∵点B是第三象限内的一个点，[www.z&zstep%.com@#~]‎ 第 33 页 共 33 页 ‎∴m＜0，‎ ‎∴2﹣m＞2，‎ ‎∴x＞2；‎ ‎（3）如图3，在AB上截取BN＝BF，‎ ‎∵BD是∠ABC的平分线，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE，且BE＝BE，BF＝BN，‎ ‎∴△BEF≌△BEN（SAS）[来#源:@中%国教*育出版~网]‎ ‎∴EF＝EN，‎ ‎∴CE+EF＝CE+EN，[来%源:#中^教*网&]‎ ‎∴当C，E，F三点共线，且N与点A重合时，CE+EF有最小值，‎ 此时最小值为AC，‎ 由（1）可知：点C（2﹣m，0）；‎ 且m＝3，‎ ‎∴点C（﹣1，0），‎ ‎∴CO＝1，‎ ‎∴AC＝＝＝，‎ ‎∴CE+EF的最小值为．‎ 第 33 页 共 33 页