北京市西城区中考数学一模试卷含答案解析

北京市西城区中考数学一模试卷含答案解析

‎2016年北京市西城区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 ‎1．2016年春节假期期间，我市接待旅游总人数达到9 186 000人次，比去边同期增长1.9%，将9 186 000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．9186×103 B．9.186×105 C．9.186×106 D．9.186×107‎ ‎2．如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（　　）‎ A．点M B．点N C．点P D．点Q ‎3．如图，直线AB∥CD，直线EF分别于AB，CD交于点E，F，FP⊥EF于点F，且与∠BEF的平分线交于点P，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．35° B．30° C．25° D．20°‎ ‎4．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．关于x的一元二次方程+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k B．k= C．k D．k ‎6．老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖．一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块塘的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张．从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（　　）‎ A．1.2，1.3 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.3‎ ‎8．在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径，如图，直角角尺，∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA、OB与圆的交点C、D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（　　）‎ A．17 B．14 C．12 D．10‎ ‎9．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）‎ A．300米 B．150米 C．900米 D．米 ‎10．如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点P从点A出发，沿三角形边界按顺时针方向匀速运动一周，点Q在线段AB上，且满足AQ+AP=2．设点P运动的时间为x，AQ的长为y，则y与x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．分解因式：ab3﹣4ab=　　．‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，将点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为　　．‎ ‎13．已知函数满足下列两个条件：‎ ‎①x＞0时，y随x的增大而增大；‎ ‎②它的图象经过点（1，2）．‎ 请写出一个符合上述条件的函数的表达式　　．‎ ‎14．已知⊙O，如图所示．‎ ‎（1）求作⊙O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为　　．‎ ‎15．阅读下面材料：‎ 如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I、F在OC上，点H、E在半圆上，求证：IG=FD．小云发现连接已知点得到两条线段，使可证明IG=FD．‎ 请回答：小云所作的两条线段分别是　　和　　，证明IG=FD的依据是　　．‎ ‎16．有这样一个数字游戏：将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x代表的数字是　　，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有　　种．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ‎17．计算：2sin45°+||﹣（π﹣2016）0+（）﹣2．‎ ‎18．已知a2﹣a﹣3=0，求代数式a（3a﹣2）﹣b2﹣（a+b）（a﹣b）的值．‎ ‎19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．‎ 求证：AB平分∠EAD．‎ ‎20．解不等式组．‎ ‎21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：四边形AEDF是矩形；‎ ‎（2）连接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=，求BD的长．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与x轴交于点A，且与双曲线y=的一个交点为B（，m）．‎ ‎（1）求点A的坐标和双曲线y=的表达式；‎ ‎（2）若BC∥y轴，且点C到直线y=x+1的距离为2，求点C的纵坐标．‎ ‎23．上海迪士尼乐园将于2016年6月正式开园，小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论：‎ ‎1．如果选择住在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目；‎ ‎2．一家三口住在乐园内的日均支出是在乐园外的日均支出的1.5倍；‎ ‎3．无论住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元．‎ 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？‎ ‎24．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．‎ ‎（1）求证：CF⊥AB；‎ ‎（2）若CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求EF的长．‎ ‎25．阅读下列材料：‎ 据报道，2014年北京市环境空气中PM2.5年平均浓度为85.9微克/立方米．PM2.5一级优天数达到93天，较2013年大幅度增加了22天，PM2.5导致的重污染天数也明显减少，从2013年的58天下降为45天，但严重污染天数增加2天．‎ ‎2015年北京缓解空气中PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，约为国家标准限值的2.3倍，成为本市大气污染治理的突出问题，市环保局数据显示，2015年本市空气质量达标天数为186天，较2014年增加14天，其中PM2.5一级优的天数增加了13天．‎ ‎2015年本市PM2.5重污染天数占全年总天数的11.5%，其中在11﹣12月当中发生重污染22天，占11月和12月天数的36%，与去年同期相比增加15天．‎ 根据以上材料解答下列问题：‎ ‎（1）2014年本市空气质量达标天数为　　天；‎ PM2.5年平均浓度的国家标准限值是　　微克/立方米；（结果保留整数）‎ ‎（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年PM2.5一级优天数的情况表示出来；‎ ‎（3）小明从报道中发现“2015年11﹣12月当中发生重污染22天，占11月和12月天数的36%，与去年同期相比增加15天”，他由此推断“2015年全年的PM2.5重污染天数比2014年要多”你同意他的结论吗？并说明理由．‎ ‎26．有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，请探究筝形的性质和判定方法．‎ 小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．‎ 下面是小南的探究过程：‎ ‎（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质时：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等．‎ 请将下面证明此猜想的过程补充完整：‎ 已知：如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD．‎ 求证：　　．‎ 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．‎ ‎（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线，结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：　　‎ ‎（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一，试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是”是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以证明．‎ ‎27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴的一个交点为B（3，0）．‎ ‎（1）求抛物线C1的表达式；‎ ‎（2）D是抛物线C1与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m，0），其中m＞0，△ADE的面积为．‎ ‎①求m的值；‎ ‎②将抛物线C1向上平移n个单位，得到抛物线C2．若当0≤x≤m时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围．‎ ‎28．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．‎ ‎（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是　　；‎ ‎（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．‎ ‎①依题意补全图2；‎ ‎②判断△QPM的形状并加以证明；‎ ‎（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．‎ ‎29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．‎ ‎（1）如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．‎ ‎①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是　　；‎ ‎②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为　　．‎ ‎（2）如图2，已知点C（1，），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为，圆心E在直线l：y=﹣x+4上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；‎ ‎（3）如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的结距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△‎ NQT的周长的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016年北京市西城区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 ‎1．2016年春节假期期间，我市接待旅游总人数达到9 186 000人次，比去边同期增长1.9%，将9 186 000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．9186×103 B．9.186×105 C．9.186×106 D．9.186×107‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：9 186 000=9.186×106，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（　　）‎ A．点M B．点N C．点P D．点Q ‎【考点】实数与数轴．‎ ‎【分析】先相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最大的数即可解答．‎ ‎【解答】解：∵实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，‎ ‎∴原点在点M与N之间，‎ ‎∴这四个数中绝对值最大的数对应的点是点Q，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．如图，直线AB∥CD，直线EF分别于AB，CD交于点E，F，FP⊥EF于点F，且与∠BEF的平分线交于点P，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）‎ A．35° B．30° C．25° D．20°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据平行线的性质求得∠BEF=180°﹣90°﹣20°，再进一步根据角平分线的定义求解．‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，FP⊥EF于点F，∠1=20°，‎ ‎∴∠BEF=180°﹣90°﹣20°=70°，‎ ‎∵∠BEF的平分线，‎ ‎∴∠2=35°，‎ 故选A ‎　‎ ‎4．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可．‎ ‎【解答】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；‎ B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；‎ C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；‎ D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．关于x的一元二次方程+3x+‎ k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k B．k= C．k D．k ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】根据判别式的意义得到△=32﹣4×k＞0，然后解不等式即可．‎ ‎【解答】解：根据题意得△=32﹣4×k＞0，‎ 解得k＜．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．老北京的老行当中有一行叫做“抓彩卖糖”：商贩将高丽纸裁成许多小条，用矾水在上面写上糖的块数，最少一块，多的是三块或五块，再将枝条混合在一起．游戏时叫儿童随意抽取一张，然后放入水罐中浸湿，即出现白道儿，按照上面的白道儿数给糖．一个商贩准备了10张质地均匀的纸条，其中能得到一块糖的纸条有5张，能得到三块塘的纸条有3张，能得到五块糖的纸条有2张．从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】概率公式．‎ ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：‎ ‎①全部情况的总数；‎ ‎②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ ‎【解答】解：∵共有10张质地均匀的纸条，能得到三块塘的纸条有3张，‎ ‎∴从中随机抽取一张纸条，恰好是能得到三块塘的纸条的概率是；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．李阿姨是一名健步走运动的爱好者，她用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（　　）‎ A．1.2，1.3 B．1.4，1.3 C．1.4，1.35 D．1.3，1.3‎ ‎【考点】众数；条形统计图；中位数．‎ ‎【分析】中位数，因图中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可，本题是最中间的两个数；对于众数可由条形统计图中出现频数最大或条形最高的数据写出．‎ ‎【解答】解：由条形统计图中出现频数最大条形最高的数据是在第四组，7环，故众数是1.4（万步）；‎ 因图中是按从小到大的顺序排列的，最中间的步数都是1.3（万步），故中位数是1.3（万步）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．在数学实践活动课中，小辉利用自己制作的一把“直角角尺”测量、计算一些圆的直径，如图，直角角尺，∠AOB=90°，将点O放在圆周上，分别确定OA、OB与圆的交点C、D，读得数据OC=8，OD=9，则此圆的直径约为（　　）‎ A．17 B．14 C．12 D．10‎ ‎【考点】圆周角定理．‎ ‎【分析】‎ 连接CD，根据圆周角定理得到CD为圆的直径，根据勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：连接CD，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴CD为圆的直径，‎ CD=≈12，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）‎ A．300米 B．150米 C．900米 D．米 ‎【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．‎ ‎【分析】由题意可得在Rt△ACD中，∠A=30°，CD=300米，在Rt△BCD中，∠B=45°，然后利用三角函数，求得AD与BD的长，继而求得答案．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠A=30°，CD=300米，‎ ‎∴AD===300（米），‎ ‎∵在Rt△BCD中，∠B=45°，CD=300米，‎ ‎∴BD=CD=300米，‎ ‎∴AB=AD+BD=米．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在等边三角形ABC中，AB=2，动点P从点A出发，沿三角形边界按顺时针方向匀速运动一周，点Q在线段AB上，且满足AQ+AP=2．设点P运动的时间为x，AQ的长为y，则y与x的函数图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据题意可以得到各段y随x的变化如何变化，从而可以得到哪个选项比较符合y与x的函数图象．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 当点P从点A运动到C时，y随着x的增大而减小；‎ 当点P从点C到点B的过程中，y随x的增大先增大，再减小，y的最大值是2﹣；‎ 当点P从点C运动到点A的过程中，y随x的增大而增大；‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共18分，每小题3分）‎ ‎11．分解因式：ab3﹣4ab=　ab（b+2）（b﹣2）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】先提取公因式ab，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：ab3﹣4ab，‎ ‎=ab（b2﹣4），‎ ‎=ab（b+2）（b﹣2）．‎ 故答案为：ab（b+2）（b﹣2）．‎ ‎　‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，将点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为　（2，﹣3）　．‎ ‎【考点】坐标与图形变化﹣旋转．‎ ‎【分析】利用关于原点中心对称的点的坐标特征求解．‎ ‎【解答】解：点（﹣2，3）绕原点O旋转180°，所得到的对应点的坐标为（2，﹣3）．‎ 故答案为（2，﹣3）．‎ ‎　‎ ‎13．已知函数满足下列两个条件：‎ ‎①x＞0时，y随x的增大而增大；‎ ‎②它的图象经过点（1，2）．‎ 请写出一个符合上述条件的函数的表达式　y=2x（答案不唯一）　．‎ ‎【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质．‎ ‎【分析】根据y随着x的增大而增大推断出k与0的关系，再利用过点（1，2）来确定函数的解析式．‎ ‎【解答】解：∵y随着x的增大而，增大 ‎∴k＞0．‎ 又∵直线过点（1，2），‎ ‎∴解析式为y=2x或y=x+1等．‎ 故答案为：y=2x（答案不唯一）．‎ ‎　‎ ‎14．已知⊙O，如图所示．‎ ‎（1）求作⊙O的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）若⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为　4　．‎ ‎【考点】正多边形和圆；作图—复杂作图．‎ ‎【分析】（1）作出直径AC，再过点O作AC的垂线，进而得出答案；‎ ‎（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：正方形ABCD即为所求；‎ ‎（2）∵⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，OA=OB=4，‎ ‎∴AB===4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎15．阅读下面材料：‎ 如图，C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，且CO⊥AB，在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF，且点I、F在OC上，点H、E在半圆上，求证：IG=FD．小云发现连接已知点得到两条线段，使可证明IG=FD．‎ 请回答：小云所作的两条线段分别是　OH　和　DF　，证明IG=FD的依据是　等量代换　．‎ ‎【考点】矩形的判定与性质；圆的认识．‎ ‎【分析】连接OH、OE，由矩形OGHI和正方形ODEF的性质得出IG=OH，OE=FD，由OH=OE，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：连接OH、OE，如图所示：‎ ‎∵在矩形OGHI和正方形ODEF中，IG=OH，OE=FD，‎ ‎∵OH=OE，‎ ‎∴IG=FD；‎ 故答案为：OH、OE，等量代换．‎ ‎　‎ ‎16．有这样一个数字游戏：将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x代表的数字是　2　，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有　6　种．‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，1、2、9只有一种填法，5只能填右上角或左下角，有2种方法，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，有3种选择；余下的两个数字按从小到大只有一种方法，根据分步计数原理可得结果．‎ ‎【解答】解：根据题意知，x＜4且x≠3，则x=2或x=1，‎ ‎∵x前面的数要比x小，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，‎ ‎∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，‎ ‎5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，‎ 余下的两个数字按从小到大只有一种方法，‎ ‎∴共有2×3=6种结果，‎ 故答案为：2，6．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 ‎17．计算：2sin45°+||﹣（π﹣2016）0+（）﹣2．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式=2×+3﹣﹣1+9‎ ‎=11．‎ ‎　‎ ‎18．已知a2﹣a﹣3=0，求代数式a（3a﹣2）﹣b2﹣（a+b）（a﹣b）的值．‎ ‎【考点】整式的混合运算—化简求值．‎ ‎【分析】原式利用单项式乘以多项式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=3a2﹣2a﹣b2﹣a2+b2=2a2﹣2a=2（a2﹣a），‎ 由a2﹣a﹣3=0，得到a2﹣a=3，‎ 则原式=6．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE=．‎ 求证：AB平分∠EAD．‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；角平分线的性质．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=BC，AD⊥BC根据角平分线的判定定理即可得到结论．．‎ ‎【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴BD=BC，AD⊥BC，‎ ‎∵BE=BC，‎ ‎∴BD=BE，‎ ‎∵AE⊥BE，‎ ‎∴AB平分∠EAD．‎ ‎　‎ ‎20．解不等式组．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：解不等式x+2（1﹣2x）≥﹣4，得：x≤2，‎ 解不等式＞x﹣1，得：x＞﹣，‎ 故不等式组的解集为：﹣＜x≤2．‎ ‎　‎ ‎21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：四边形AEDF是矩形；‎ ‎（2）连接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=，求BD的长．‎ ‎【考点】平行四边形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，AE⊥DC，DF⊥BA，易证得四边形AEDF是平行四边形，继而证得四边形AEDF是矩形；‎ ‎（2）由四边形AEDF是矩形，可得在Rt△AFD中，tan∠FAD==，继而求得BF的长，然后由勾股定理求得答案．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，AF∥ED，‎ ‎∵AE⊥DC，DF⊥BA，‎ ‎∴DF∥EA，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形，‎ ‎∵AE⊥DE，‎ ‎∴∠E=90°，‎ ‎∴四边形AEDF是矩形；‎ ‎（2）如图，连接BD，‎ ‎∵四边形AEDF是矩形，‎ ‎∴FD=AE=2，∠F=90°，‎ ‎∵在Rt△AFD中，tan∠FAD==，‎ ‎∵AF=5，‎ ‎∴AB=2，‎ ‎∴BF=AB+AF=7，‎ 在Rt△BFD中，BD==．‎ ‎　‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与x轴交于点A，且与双曲线y=的一个交点为B（，m）．‎ ‎（1）求点A的坐标和双曲线y=的表达式；‎ ‎（2）若BC∥y轴，且点C到直线y=x+1的距离为2，求点C的纵坐标．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）令直线y=x+1中y=0，解关于x的一元一次方程即可得出A点的坐标，由点B在直线y=x+1上，可求出m的值，再将点B坐标代入双曲线y=中，解关于k的一元一次方程即可求出双曲线y=的表达式；‎ ‎（2）令直线y=x+1与y轴的交点为D，过点C作CE⊥直线y=x+1于点E，由BC∥y轴结合B点坐标即可找出直线BC的函数表达式，设C点的坐标为（，n），由平行线的性质可得出∠CBE=∠ADO，结合∠CEB=∠AOD=90°即可得出△BEC∽△DOA，根据相似三角形的性质可得出，由此即可得出关于n的函数绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出n值．‎ ‎【解答】解：令y=0，则有0=x+1，解得x=﹣，‎ 即点A的坐标为（﹣，0）．‎ 令x=，则m=+1=3，‎ 即点B的坐标为（，3）．‎ 将点B（，3）代入到双曲线y=中得3=，‎ 解得k=8，‎ ‎∴双曲线的表达式为y=．‎ ‎（2）依照题意画出图形，令直线y=x+1与y轴的交点为D，过点C作CE⊥直线y=x+1于点E，如图所示．‎ ‎∵BC∥y轴且点B的坐标为（，3），‎ ‎∴直线BC的表达式为x=，‎ 设点C的坐标为（，n）．‎ 令y=x+1中x=0，则y=1，‎ ‎∴点D（0，1），‎ ‎∴AD==，OA=．‎ ‎∵BC∥y轴，‎ ‎∴∠CBE=∠ADO，‎ ‎∵∠CEB=∠AOD=90°，‎ ‎∴△BEC∽△DOA，‎ ‎∴．‎ ‎∵CE=2，BC=|n﹣3|，‎ ‎∴，‎ 解得：n=或n=．‎ 故点C的纵坐标为或．‎ ‎　‎ ‎23．上海迪士尼乐园将于2016年6月正式开园，小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论：‎ ‎1．如果选择住在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目；‎ ‎2．一家三口住在乐园内的日均支出是在乐园外的日均支出的1.5倍；‎ ‎3．无论住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元．‎ 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？‎ ‎【考点】分式方程的应用．‎ ‎【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题．‎ ‎【解答】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，‎ ‎，‎ 解得，x=2，‎ 经检验，x=2是原分式方程的根，‎ 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天．‎ ‎　‎ ‎24．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E在上，连接DE，AE，连接CE并延长交AB于点F，∠AED=∠ACF．‎ ‎（1）求证：CF⊥AB；‎ ‎（2）若CD=4，CB=4，cos∠ACF=，求EF的长．‎ ‎【考点】垂径定理；勾股定理；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）连接BD，由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，于是得到结论；‎ ‎（2）连接OE，由∠ADB=90°，得到∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，根据勾股定理得到DB==8解直角三角形得到CD=4，根据勾股定理即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）连接BD，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠DAB+∠1=90°，‎ ‎∵∠1=∠2，∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠DAB+∠3=90°，‎ ‎∴∠CFA=180°﹣（DAB+∠3）=90°，‎ ‎∴CF⊥AB；‎ ‎（2）连接OE，‎ ‎∵∠ADB=90°，‎ ‎∴∠CDB=180°﹣∠ADB=90°，‎ ‎∵在Rt△CDB中，CD=4，CB=4，‎ ‎∴DB==8，‎ ‎∵∠1=∠3，‎ ‎∴cos∠1=cos∠3==，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∴OA=OE=5，AD==6，‎ ‎∵CD=4，∴AC=AD+CD=10，‎ ‎∵CF=AC•cos∠3=8，‎ ‎∴AF==6，‎ ‎∴OF=AF﹣OA=1，‎ ‎∴EF==2．‎ ‎　‎ ‎25．阅读下列材料：‎ 据报道，2014年北京市环境空气中PM2.5年平均浓度为85.9微克/立方米．PM2.5一级优天数达到93天，较2013年大幅度增加了22天，PM2.5导致的重污染天数也明显减少，从2013年的58天下降为45天，但严重污染天数增加2天．‎ ‎2015年北京缓解空气中PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，约为国家标准限值的2.3倍，成为本市大气污染治理的突出问题，市环保局数据显示，2015年本市空气质量达标天数为186天，较2014年增加14天，其中PM2.5一级优的天数增加了13天．‎ ‎2015年本市PM2.5重污染天数占全年总天数的11.5%，其中在11﹣12月当中发生重污染22天，占11月和12月天数的36%，与去年同期相比增加15天．‎ 根据以上材料解答下列问题：‎ ‎（1）2014年本市空气质量达标天数为　172　天；‎ PM2.5年平均浓度的国家标准限值是　35　微克/立方米；（结果保留整数）‎ ‎（2）选择统计表或统计图，将2013﹣2015年PM2.5一级优天数的情况表示出来；‎ ‎（3）小明从报道中发现“2015年11﹣12月当中发生重污染22天，占11月和12月天数的36%，与去年同期相比增加15天”，他由此推断“2015年全年的PM2.5重污染天数比2014年要多”你同意他的结论吗？并说明理由．‎ ‎【考点】统计图的选择；加权平均数．‎ ‎【分析】（1）根据：“2015年本市空气质量达标天数为186天，较2014年增加14天“可知2014年本市空气质量达标天数，根据：“2015年北京缓解空气中PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，约为国家标准限值的2.3倍“可知PM2.5年平均浓度的国家标准限值；‎ ‎（2）列统计表即可；‎ ‎（3）通过计算知2015年重污染天数约为42天，而2014年重污染天数为45天，故不同意．‎ ‎【解答】解：（1）2014年本市空气质量达标天数为186﹣14=172（天）；‎ PM2.5年平均浓度的国家标准限值是80.6÷2.3≈35（微克/立方米）；‎ ‎（2）填表如下：‎ 年份 ‎2013年 ‎2014年 ‎2015年 一级优天数 ‎71‎ ‎93‎ ‎106‎ ‎（3）不同意，‎ 因为通过计算2015年重污染天数约为42天，而2014年重污染天数为45天，‎ 所以2015年全年的PM2.5重污染天数比2014年少．‎ 故答案为：（1）172，35．‎ ‎　‎ ‎26．有这样一个问题：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，请探究筝形的性质和判定方法．‎ 小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．‎ 下面是小南的探究过程：‎ ‎（1）由筝形的定义可知，筝形的边的性质时：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等．‎ 请将下面证明此猜想的过程补充完整：‎ 已知：如图，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD．‎ 求证：　∠B=∠C　．‎ 由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．‎ ‎（2）连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线，结合图形，写出筝形的其他性质（一条即可）：　筝形的两条对角线互相垂直　‎ ‎（3）筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一，试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是”是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以证明．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）证明：连接AC，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C．‎ ‎（2）根据轴对称图形的性质得到结论；‎ ‎（3）不成立，举反例说明即可．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，连接AC，‎ 在△ABC和△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△ADC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ 故答案为：∠B=∠C；‎ ‎（2）解：筝形的两条对角线互相垂直，筝形的一条对角线平分一组对角，筝形是轴对称图形；‎ ‎（3）解：不成立，‎ 证明反例如图2所示，‎ 在平行四边形ABCD中，AB≠AD，对角线相交于点O，‎ 由平行四边形的性质可知 此图形满足∠ABC=∠ADC，AC平分BD，但是四边形ABCD不是筝形．‎ ‎　‎ ‎27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2+bx+c经过点A（2，﹣3），且与x轴的一个交点为B（3，0）．‎ ‎（1）求抛物线C1的表达式；‎ ‎（2）D是抛物线C1与x轴的另一个交点，点E的坐标为（m，0），其中m＞0，△ADE的面积为．‎ ‎①求m的值；‎ ‎②将抛物线C1向上平移n个单位，得到抛物线C2．若当0≤x≤m时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围．‎ ‎【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．‎ ‎【分析】（1）把A点和B点坐标分别代入y=x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可；‎ ‎（2）①通过解方程x2﹣2x﹣3=0可得D点坐标，然后根据面积公式得到×3×（m+1）=，再解关于m的方程即可；‎ ‎②利用抛物线的平移变换，可设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣4+n，讨论：分别求出抛物线C2过点E和原点时对应的n的值，并且画出函数图象，利用函数图象可确定n的范围；当抛物线C2的顶点在x轴上，易得n=4，此时顶点满足条件，然后综合两种情况即可得到n的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）把A（2，﹣3）、B（3，0）代入y=x2+bx+c得，解得，‎ 所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3；‎ ‎（2）①当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则D（﹣1，0），‎ ‎∵△ADE的面积为，‎ ‎∴×3×（m+1）=，‎ ‎∴m=；‎ ‎②∵抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣4+n，‎ 当抛物线C2经过点E（，0）时，（﹣1）2﹣4+n=0，解得n=，‎ 当抛物线C2经过点（0，0）时，（0﹣1）2﹣4+n=0，解得n=3，‎ ‎∵当0≤x≤时，抛物线C2与x轴只有一个公共点，‎ ‎∴由图象可得≤n＜3时，满足条件；‎ 当抛物线C2的顶点在x轴上，则n=4，此时顶点坐标为（1，4），满足条件，‎ 综上所述，n的取值范围为n=4或≤n＜3．‎ ‎　‎ ‎28．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．‎ ‎（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是　等腰直角三角形　；‎ ‎（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．‎ ‎①依题意补全图2；‎ ‎②判断△QPM的形状并加以证明；‎ ‎（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）连接AC，由正方形的性质得到∠DBC=45°，再求出∠BQM=90°，根据等腰直角三角形的判定即可解答；‎ ‎（2）①根据题意补充图形即可；‎ ‎②△QPM的形状是等腰三角形，延长BC至E，使CE=BP，连接AE，证明△DCP≌△ABE，得到∠DPC=∠E，再证明MN∥AE，得到∠NMP=∠E，通过等量代换得到∠DPC=∠NMP，根据等角对等边得到QM=QP，即可解答．‎ ‎（3）利用相似三角形的性质定理和判定定理、对称的性质，写出解题思路．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，∠DBC=45°，‎ ‎∵点M、N分别为BC、AP的中点，‎ ‎∴MN∥AC，‎ ‎∴∠BQM=∠BOC=90°，‎ ‎∴∠QMB=45°，‎ ‎∴△QPM是等腰直角三角形，‎ 故答案为：等腰直角三角形．‎ ‎（2）①如图2，‎ ‎②△QPM的形状是等腰三角形，‎ 如图3，延长BC至E，使CE=BP，连接AE，‎ ‎∵PB=CE，‎ ‎∴PB+BC=CE+BC，即CP=BE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，‎ 在△DCP和△ABE中，‎ ‎∴△DCP≌△ABE，‎ ‎∴∠DPC=∠E，‎ ‎∵M为BC的中点，‎ ‎∴MB=MC，‎ ‎∴MB+BP=MC+CE，即MP=ME，‎ ‎∴M为PE的中点，‎ ‎∵N为AP的中点，‎ ‎∴MN∥AE，‎ ‎∴∠NMP=∠E，‎ ‎∴∠DPC=∠NMP，‎ ‎∴QM=QP，‎ ‎∴△QPM是等腰三角形．‎ ‎（3）求解思路如下：‎ a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE=BP，连接AE，如图4．‎ b，由（2）可得QM∥AE，可证．‎ c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而．‎ d，可得．‎ e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′=BP=CE，设BP′=BP=CE=x，由AD=BC=2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．‎ ‎　‎ ‎29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．‎ ‎（1）如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．‎ ‎①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是　P1，P4　；‎ ‎②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为　（2，6）　．‎ ‎（2）如图2，已知点C（1，），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为，圆心E在直线l：y=﹣x+4上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；‎ ‎（3）如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的结距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．‎ ‎【考点】圆的综合题．‎ ‎【分析】（1）①根据新定义直接判断，②由A1B1∥AB得到 ‎，求出即可；‎ ‎（2）分两种情况计算①当⊙E与y轴相切时，②当⊙E与直线OI相切时，求出角，线段用锐角三角函数求解即可；‎ ‎（3）先判断出只有当N'TQN''共线时，l取得最小值N'N''，Q，T的位置，用△OGM∽△OHQ，得出比例式计算出HQ，最后用勾股定理求解即可．‎ ‎【解答】解（1）①线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”，‎ ‎∴OP1与线段AB没有公共点，OP2与线段AB有公共点（1，2），OP3与线段AB有公共点（1，），OP4与线段AB没公共点，‎ ‎∴关于线段AB的“阳光点”是P1，P4，‎ 故答案为P1，P4‎ ‎②∵A1B1∥AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵点A1在B1的上方 ‎∴A1（2，6），‎ 故答案为（2，6），‎ ‎（2）情况一：‎ 当⊙E与y轴相切时，设切点为F，连接EF ‎∵⊙E与y轴相切于点F，‎ ‎∴EF⊥y轴 ‎∵⊙E的半径为 ‎∴EF=‎ ‎∴此时点E的横坐标为 情况二：‎ 设直线l分别与x轴，y轴交于点G，D，连接CD，CO，过点O作⊙C的另一条切线OI，切点为I，直线OI与直线l交于点j，‎ 当⊙E与直线OI相切时，过点E作EF⊥y轴于点K ‎∵⊙C与y轴相切于点D，‎ ‎∴CD⊥y轴 ‎∵点C的坐标（1，） ‎ ‎∴tan∠COD=‎ ‎∴∠COD=30°，‎ ‎∵⊙C与OI相切于点I ‎∴∠COI=∠COD=30°‎ ‎∴∠HOJ=∠COI+∠COD=90°‎ ‎∵直线l：y=﹣x+4分别与x轴，y轴交于点G，H，‎ ‎∴点 G（4，0），H（0，4）‎ ‎∴tan∠OHG=‎ ‎∴∠OHG=30°‎ ‎∴∠OJH=180°﹣∠HOJ﹣∠OHJ=90°‎ ‎∴HG⊥OJ ‎∵⊙E与直线OJ相切，‎ ‎∴切点为点J ‎∴EJ=‎ ‎∵在Rt△OHJ中，HJ=OH×cos∠OHJ=6‎ ‎∴HE=HJ﹣EJ=‎ ‎∴KH=HE=‎ ‎∴此时点E的横坐标为 可知，点E在直线l上，从情况一中的位置运动到情况二中的位置时，都满足题意，所以点E的横坐标的取值范围≤xE≤‎ ‎（3）如图：‎ 连接OM，交圆于N，OA与OB分别于⊙M相切，‎ 则N点在OA与OB上对称点分别为N'与N''；连接N'N''交OA于T，交OB于Q，交OM于C，‎ ‎△NTQ的周长l=TN+TQ+QN=TN'+TQ+QN''；‎ 只有当N'、T、Q、N''共线时，l取得最小值N'N''，‎ 此时的T与Q即为所求；‎ 由辅助线知，∠MHO=∠NDO=90°，NN″=2CN″，‎ sin∠MOH===，‎ ‎∴=，‎ ‎∴DN=，‎ ‎∴NN″=2DN=，‎ ‎∵∠N''+∠DQN''=90°，‎ ‎∠CQO+∠COQ=90°，‎ ‎∴∠N″=∠MOH，‎ ‎∴sin∠N″=，‎ ‎∴cos∠N″==，‎ ‎∴CN″=，‎ ‎∴N'N″=2CN″=，‎ ‎∴△NQT的周长最小值l=N'N″=．‎ ‎　‎ ‎2017年3月10日