中考数学 专题四 函数图象上的特征点问题课标解读典例诠释复习

中考数学 专题四 函数图象上的特征点问题课标解读典例诠释复习

专题四 函数图象上的特征点问题 ‎ 函数图象上的特征点问题实际上是针对2015年和2016年北京市中考数学试卷中的代数综合题第27题.特征点指的是函数图象本身的特殊点，以及函数图象与坐标轴、与其他函数相交产生的点，或者是函数图象围成的区域内的特征点等.‎ 典例诠释 例1 (2015·北京市中考数学27题)在平面直角坐标系xOy中，过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x－1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线:+bx+c经过点A，B.‎ ‎(1)求点A，B的坐标；‎ ‎(2)求抛物线的表达式及顶点坐标；‎ ‎(3)若抛物线:(a≠0)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.‎ ‎【解】 (1)直线y=x－1中，当y=2时，则x=3,‎ ‎∴ A(3,2).A，B关于直线x=1对称,∴ B(－1,2).‎ ‎(2)把A(3,2)、B(－1,2)代入+bx+c中，得解得 ‎∴ 抛物线的表达式为－2x－1.当x=1时,抛物线有最低点，此时纵坐标为－2，∴ 顶点坐标为(1,－2).‎ ‎(3)如图‎2-4-1‎，当过A点、B点时为临界，‎ 图‎2-4-1‎ 将A(3,2)代入，得a=，将B(－1,2)代入,得a=2.∴ ≤a<2‎ ‎【名师点评】 本题主要考查了对称点、待定系数法求函数表达式，以及特定条件下求函数表达式中待定系数的取值范围.同时还考查了学生动手画示意图的能力，考查了对于数形结合的认识和运用.本题利用数形结合的思想方法解题更加直观、清晰.(1)过点(0,2)且平行于x轴的直线，与直线y=x－1交于点A，由此知道A点的纵坐标是2，将纵坐标2代入表达式y=x－1中，可以求出x的值，从而求出A点坐标为(3,2)；题目中给出B点关于直线x=1与点A对称，因此可以求出B点坐标为(－1,2)(我们可以根据题意画出示意图，找出A点、B 点的大致位置，解题更直观，思路更清晰，不易出错).(2)经过点A，B.用待定系数法可以直接求出的表达式，这里有两个待定系数，通过代入A，B两点的坐标，得到一个二元一次方程组，从而使问题得解，解得：－2x－1.‎ ‎(3)中给出抛物线:(a≠0)与线段AB恰有一个公共点如图‎2-4-1‎，我们知道这里的a决定二次函数开口的方向和大小，与线段AB恰有一个公共点，就是告诉我们A、B是临界点，分别代入A、B点坐标，求出a的值，解得当过A点时，a=；当过B点时，a=2.在此我们可以画出函数图象的示意图发现，当a=2时，函数图象与线段AB有两个交点，因此结论是≤a<2.‎ 例2 (2016·海淀一模27题)在平面直角坐标系xOy中，抛物线－2mx+m－4(m≠0)的顶点为A，与x轴交于B，C两点(点B在点C左侧)，与y轴交于点D.‎ ‎(1)求点A的坐标；‎ ‎(2)若BC=4，‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②将抛物线在C，D之间的部分记为图象G(包含C，D两点).若过点A的直线y=kx+b(k≠0)与图象G有两个交点，结合函数的图象，求k的取值范围.‎ ‎【解】 －2mx+m－4‎ ‎－4.‎ ‎∴ 点A的坐标为(1,－4).‎ ‎(2)①由(1)得,抛物线的对称轴为直线x=1.‎ ‎∵ 抛物线与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),BC=4,‎ ‎∴ 点B的坐标为(－1,0),点C的坐标为(3,0).‎ ‎∴ m+2m+m－4=0.∴ m=1.‎ ‎∴ 抛物线的解析式为－2x－3.‎ ‎②由①可得点D的坐标为(0,－3).‎ 当直线过点A,D时,解得k=－1.‎ 当直线过点A,C时,解得k=2.‎ 结合函数的图象可知，k的取值范围为－1≤k<0或00)与x轴的交点为A,B.‎ ‎(1)求抛物线的顶点坐标;‎ ‎(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.‎ ‎①当m=1时，求线段AB上整点的个数；‎ ‎②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围.‎ ‎【解】 (1)将抛物线表达式变为顶点式,得－1,则抛物线顶点坐标为(1,－1).‎ ‎(2)①当m=1时,抛物线表达式为－2x,因此A,B的坐标分别为(0,0)和(2,0),则线段AB上的整点有(0,0),(1,0),(2,0)共3个;‎ ‎②抛物线顶点坐标为(1,－1),则由线段AB之间的部分及线段AB 所围成的区域的整点的纵坐标只能为－1或者0,所以即要求AB线段上(含A，B两点)必须有5个整点.又有抛物线表达式,令－2mx+m－1=0,得到A,B两点的坐标分别为 , ,即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到2≤<3,∴ －4.‎ ‎ ‎ 图‎2-4-3‎ ‎②当直线与抛物线只有一个交点时,‎ ‎∴ －x－4=x+b.‎ 整理得－3x－8－2b=0.‎ ‎∵ Δ=9+4(8+2b)=0,∴ b=－，‎ ‎∴ 此时直线y=x+b与图象G只有一个公共点，需满足b<－.‎ 结合函数图象可知,b的取值范围为b>－4或b<－.‎ ‎3.(2016·延庆一模27题)已知：抛物线+bx+c经过点A(2，－3)和B(4，5).‎ ‎(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；‎ ‎(2)将抛物线沿x轴翻折，得到图象，求图象的表达式；‎ ‎(3)设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线:y＝(a≠0)与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.‎ ‎【解】 (1)把A(2，－3)和B(4，5)分别代入+bx+c，‎ 得解得∴ 抛物线的表达式为－2x－3.‎ ‎∵ 4，∴ 顶点坐标为(1，－4).‎ ‎(2)∵ 将抛物线沿x轴翻折，得到的图象与原抛物线图形关于x轴对称，‎ ‎∴ 图象的表达式为+2x+3.‎ ‎(3)∵ B(4，5),对称轴为直线x=1，‎ ‎∴ B点关于对称轴的对称点E点的坐标为(－2,5).‎ 如图‎2-4-4‎，当过E，B点时为临界，将E(－2,5)代入,得a=;‎ 图‎2-4-4‎ 将B(4,5)代入,得a=.‎ 由图象可知，抛物线与线段EB恰有一个公共点，a的取值范围应为≤a<.‎ ‎4.(2016·顺义一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线－2x的对称轴为直线x= －1.‎ ‎(1)求a的值及抛物线－2x与x轴的交点坐标；‎ ‎(2)若抛物线－2x+m与x轴有交点，且交点都在点A(－4，0)，B(1，0)之间，求m的取值范围.‎ ‎【解】 (1)∵ 抛物线－2x的对称轴为直线x=－1，‎ ‎∴ －=－1，解得a=－1，∴ －2x.‎ 令y=0，则－2x=0，解得=0,=－2.‎ ‎∴ 抛物线与x轴的交点为(0，0)，(－2，0).‎ ‎(2)∵ 抛物线－2x与抛物线－2x+m的二次项系数相同，‎ ‎∴ 抛物线－2x+m可以由抛物线－2x上下平移得到.‎ ‎∵ 抛物线－2x的对称轴与x轴的交点为(－1，0)，‎ 抛物线－2x与x轴的交点(0，0)，(－2，0)都在点A，B之间，‎ 且点B(1，0)比点A(－4，0)离对称轴x=－1近，如图‎2-4-5‎所示.‎ ‎∴ 把点B(1，0)代入－2x+m中，得m=3，‎ 把点(－1，0)代入－2x+m中，得m=－1.‎ ‎∴ －1≤m<3．‎ 图‎2-4-5‎ ‎5.(2016·西城一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线：y＝+bx+c经过点A(2,－3)，且与x轴的一个交点为B(3，0).‎ ‎(1)求抛物线的表达式；‎ ‎(2)D是抛物线与x轴的另一个交点，点E的坐标为(m，0)，其中m>0，△ADE的面积为.‎ ‎①求m的值；‎ ‎②将抛物线向上平移n个单位长度，得到抛物线，若当0≤x≤m时，抛物线与x轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n的取值范围.‎ ‎【解】 (1)∵ 抛物线:+bx+c经过点A(2,－3),且与x轴的一个交点为B(3,0).‎ ‎∴ 解得 ‎∴ 抛物线的表达式为－2x－3.‎ ‎(2)①过点A作AF⊥x轴于点F,如图‎2-4-6‎.‎ 图‎2-4-6‎ ‎∵ －4，‎ ‎∴ 抛物线的对称轴为直线x=1.∴ 点D的坐标为(－1,0).‎ ‎∵ 点E的坐标为(m,0),且m>0，‎ ‎∴ =DE·AF＝DE×3=.∴ DE＝.∴ m=OE=DE－OD=.‎ ‎②设抛物线的表达式为－4+n.‎ 如图‎2-4-7‎，当抛物线经过点E时.－4+n=0，解得n=；‎ 当抛物线经过原点O时，－4+n=0，解得n=3.‎ ‎∵ 当0≤x≤时，抛物线与x轴只有一个公共点，‎ ‎∴ 结合图象可知，当≤n<3时，符合题意. ‎ 图‎2-4-7‎