云南省泸西县中枢镇2018中考数学复习第四章三角形讲义

云南省泸西县中枢镇2018中考数学复习第四章三角形讲义

第四章三角形第一节角、相交线与平行线考点1角及其平分线常见的角若0°＜α＜90°，则α为锐角；若90°＜α＜180°，则α为钝角；若α=90°，则α为直角；若α=180°，则α为平角；若α=360°，则α为周角。两角间的关系互余如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。互补如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角。角平分线定义如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线。性质角平分线上的点到角两边的距离相等。考点2同一平面内两直线的位置关考点3垂线性质及垂直平分线的性质1、垂线的性质（1）平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间的线段的长度叫做点到直线的距离。2、垂直平分线（1）性质：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等。（2）逆定理：和线段的两端点的距离相等的点在该线段的垂直平分线上。考点4平行线与平行公理1、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3、平行线的性质定理与判定定理。习题精编1、从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°2、如图，AB∥CD，EF⊥CD于F，已知∠2=30°，则∠1是（）A．20B．60C．30D．45n3、如图，C、D是线段AB上两点，若CD=5cm，DB=8cm，且D是AC的中点，则AC的长等于（）A．3cmB．6cmC．8cmD．11cm4、已知∠α=72°，则∠α的余角是_____________________。5、在命题“同位角相等，两直线平行”中，题设是：___________________________________。6、如图，AB∥CD，AC⊥BC,垂足为C，若∠A=40°，则∠BCD=______________。7、在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=10,AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD=3∶2，则点D到线段AB的距离为___________。8、如图，直线a、b被第三条直线c所截，并且a∥b，若∠1=65°，则∠2=____________9、如图，B、A、E三点在同一条直线上，请你添加一个条件，使AD∥BC，你所添加的条件是______________________（不允许添加任何辅助线）。第二节三角形及其性质考点1三角形的分类（按边分、按角分）1、按边分三条边都不相等有两边相等三条边都相等不等边三角形等腰三角形等边三角形2、按角分3、按角、边综合分类n考点2一般三角形的性质1、三角形的三边关系及内角和定理（1）三角形的两边这和大于第三边，两边之差小于第三边。（2）三角形的内角和等于180°。（3）在同一直角三角形中，大边对大角，小边对小角。2、三角形内外角的关系（1）三角形的任一个外角等于与它不相邻的两相个内角之和。（2）三角形的任一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。（3）三角形的“四线”四线定义备注中线连接一个顶点和它所对边的中点的连线段永远在三角形内，每条中线平分三角形面积高线从三角形一个顶点向它对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段锐角三角形的三条高都在三角形内；直角三角形的一条高在三角形内，其他两条高分别与两直角边重合；钝角三角形的一条高在三角形内，其他两条高在三角形外。角平分线一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角顶点和交点的线段中位线三角形两边中点的连线永远在三角形内（4）三角形的“四心”四心定义备注重心三条中线的交点把中线分成2∶1两部分，永远在三角形内垂心三条高所在直线的交点把三个内角分成相等的两组，每组角的度数和为90°内心三条内角平分线的交点内接圆圆心，到三边距离相等，以内心和原三角形三个顶点连接组成的三个三角形面积的比等于原三角形三边的外心三边中垂线的交点外接圆的圆心，到三个顶点距离相等。考点3特殊三角形的性质及判定三角形性质判定n等腰三角形（1）两腰相等，两底角相等；（2）顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合；（3）是轴对称图形，有三条对称轴。（1）有两边相等；（2）有两角相等。等边三角形（1）三边相等；（2）三角相等，且每一个角都等于60°；（3）内外心重合；（4）是轴对称图形，有三条对称轴。（1）三边都相等；（2）三角都相等；（3）有一个角是60°的等腰三角形。直角三角形（1）两锐角之和等于90°；（2）斜边上的中线等于斜边的一半；（3）30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）勾股定理；（5）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所在的锐角等于30°；（6）直角三角形的面积，等于两直角边乘积的一半。（1）有一个角为90°；（2）勾股定理的逆定理：若，则以a、b、c为边的三角形是直角三角形。第三节全等三角形考点1全等三角形的性质性质1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。性质2、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高、中位线）相等，对应周长相等，对应面积相等。考点2三角形全等的判定已知条件图形结论三边SSS两边一角两边夹角SASn两角一边两角夹边ASA两角对边AAS直角三角形HL三角形全等的证明思路：考点3直角三角形全等的性质及判定（1）性质：和一般三角形全等的性质相同。（2）判定：HL公理；斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等。考点4全等三角形的应用全等三角形的应用主要有：证明线段、角相等；求线段的长度、角的度数、三角形面积；测量不可直接测量的距离等。习题精编：1、如图，在ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由。2、如图，OP平分∠AOD，且OA=OB（1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）；（2）从（10）中任选一个结论进行证明。n1、如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF。（1）请你添加一个条件（不再清加辅助线），使△ABC≌△EFD，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明△ABC≌△EFD。4、已知：如图，点P为平行四边形ABCD中CD边的延长线上的一点，连接BP，交AD于点E。探究：当PD与CD有什么数量关系时，△ABE≌△DPE，画出图形并证明△ABE≌△DPE。第四节解直角三角形考点1三角函数的定义锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，正弦=；余弦=；正切=考点2特殊角的三角函数值角度三角函数30°45°60°1考点3解直角三角形的类型和解法已知条件图形解法n一直角边和一锐角（a，∠A）∠B=90°-∠A，c=,b=或（b=）已知斜边和一个锐角（c，∠A）∠B=90°-∠A,a=c,b=c(或b=已获知两直角边（a,b）C=,由=求∠A,∠B=90°-∠A已知斜边和一条直角边(c,a)b=，由=，求∠A，∠B=90°-∠A考点4直角三角形边角关系的应用仰角、俯角在视线与水平视线所成的锐角中，视线在水平上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫做坡角。i==n习题精编1、如图，小明家住的楼房高度AB=10米，到对面较高楼房的距离BD=20米，当阳光刚好从两楼房的顶部射入时，测得光线与水平线的夹角为40°，根据以上条件，小明便知楼房CD的高。请你写出计算过程（结果精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84）1、如图，小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口70海里外甲船从A出发，乙船从港口P出发沿AP方向以每小时20海里的速度驶向港口P；乙船从港口P出发沿着南偏东60°方向，以每小时15海里的速度驶离港口，若两船同时出发。（1）甲船出发x小时，与港口P的距离是多少海里（用含x的式子表示）？（2）几小时后两船与港口P的距离相等？（3）当乙船在甲船的正方向时，船体发生了故障不能继续航行，此时，乙船向甲船发出求救信号，问甲船以现有航速赶去救援，需几小时能到达出事地点（不考虑其它影响航速的因素）？(最后结果精确到0.1)（参考数据：1.41≈1.73）