江苏专用2018_2019学年高中数学圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学案苏教版

江苏专用2018_2019学年高中数学圆锥曲线与方程2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学案苏教版

2.2.1　椭圆的标准方程学习目标：1.了解椭圆标准方程的推导过程．(难点)　2.掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程．(重点)　3.能用标准方程判定曲线是否是椭圆．[自主预习·探新知]椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形焦点坐标(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a，b，c的关系b2＝a2－c2[基础自测]1．判断正误：(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　　)(2)方程2x2＋y2＝4表示的曲线不是椭圆．(　　)(3)圆是椭圆的特殊形式．(　　)(4)方程＋＝1(a>0)，表示焦点在x轴上的椭圆．(　　)【解析】　(1)√.由椭圆方程的推导过程可知a2＝b2＋c2.(2)×.把方程2x2＋y2＝4化为标准形式为＋＝1，易知其表示的曲线是椭圆．(3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误．(4)×.当a2＞2a，即a＞2时，方程＋＝1(a＞0)才表示焦点在x轴上的椭圆，否则不是．【答案】　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×2．a＝5，c＝3，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为______.【导学号：95902077】【解析】　∵a＝5，c＝3，∴b2＝25－9＝16，又∵焦点在y轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.n【答案】　＋＝1[合作探究·攻重难]求椭圆的标准方程　求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[思路探究]　(1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求解．【自主解答】　(1)方法一：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.方法二：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∵2a＝＋＝10，∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法三：由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．因为椭圆经过点(5,0)，所以a＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)方法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有，解得.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有，解得，因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有，解得.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.n[规律方法]　1．确定椭圆方程的“定位”与“定量”2．巧设椭圆方程(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．(2)与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆方程可设为＋＝1.[跟踪训练]1．求焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)的椭圆的标准方程．【解】　由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴，⇒.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.与椭圆有关的轨迹问题　如图221所示，圆x2＋y2＝1上任意一点P，过点P作x轴的垂线段PP′，P′为垂足．M为直线PP′上一点，且P′M＝λPP′(λ为大于零的常数)．当点P在圆上运动时，点M的轨迹是什么？为什么？图221[思路探究]　设出点M和点P的坐标，根据P′M＝λPP′找到二者的联系，用点M的坐标表示点P的坐标，利用点P在圆上代入可得点M的轨迹方程，讨论λ可得点M的轨迹．【自主解答】　设M(x，y)，P(x0，y0)，∵PP′⊥x轴，且P′M＝λPP′，∴x＝x0，yn＝λy0，即x0＝x，y0＝y.∵点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，∴x＋y＝1.把x0＝x，y0＝y代入上式得x2＋＝1.当0＜λ＜1时，点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当λ＝1时，点M的轨迹是圆；当λ＞1时，点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆.[规律方法]　求解与椭圆有关的轨迹问题，一般利用相关点法(代入法)，可先设动点的坐标为(x，y)，然后通过题设条件给出的等量关系列出等式，再化简等式得到对应的轨迹方程.[跟踪训练]2．已知点P(x0，y0)是椭圆＋＝1上一点，A点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹方程．【解】　设M(x，y)，则∴∵点P在椭圆＋＝1上，∴＋＝1.把代入＋＝1，得＋＝1，即＋y2＝1为所求．椭圆的定义及标准方程的应用[探究问题]1．椭圆的定义是什么？能否用一个数学式来表示椭圆的定义？【提示】　平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．即PF1＋PF2＝2a(2a＞F1F2)．2．若点P是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点，则PF1＋PF2的值为多少？【提示】PF1＋PF2＝2a.3．在三角形PF1F2中，F1F2的长是多少？设∠F1PF2＝θ，结合余弦定理，PF1·PF2能否用椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中的参数来表示？【提示】　F1F2＝2c.在三角形PF1F2中，由余弦定理可得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2cosθ＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2(1＋cosθ)，n即4c2＝4a2－2PF1·PF2(1＋cosθ)，所以PF1·PF2＝.4．根据探究3的讨论，能把三角形PF1F2的面积表示出来吗？根据基本不等式，PF1·PF2和PF1＋PF2存在不等关系吗？【提示】　S＝PF1·PF2sinθ＝，根据基本不等式PF1·PF2≤＝a2.5．设点F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P是椭圆上任意一点，则三角形PF1F2叫做该椭圆的焦点三角形，通过以上探究，我们解决焦点三角形问题时需要注意哪些知识？【提示】　要注意充分利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理(勾股定理)和三角形的面积公式，若涉及范围问题，往往要利用基本不等式解决．　已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点．(1)若∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积；(2)求PF1·PF2的最大值．[思路探究]　(1)在焦点三角形PF1F2中，应用椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积公式可求解；(2)利用椭圆的定义和基本不等式可求PF1·PF2.【自主解答】　(1)由椭圆的定义可知，PF1＋PF2＝20，①在△PF1F2中，由余弦定理，得F1F＝PF＋PF－2PF1·PF2·cos∠F1PF2，即122＝PF＋PF－PF1·PF2.②①2＋②，并整理，得PF1·PF2＝.∴S＝PF1·PF2·sin＝.(2)由＋＝1可知，a＝10，c＝6.∴PF1＋PF2＝20，∴PF1·PF2≤＝100.当且仅当PF1＝PF2＝10时，等号成立．∴PF1·PF2的最大值是100.[规律方法]　n1．椭圆的定义给出了一个结论：椭圆上的点P到两焦点F1，F2的距离的和为常数2a，则已知点P到一个焦点的距离就可以利用PF1＋PF2＝2a求出该点到另一个焦点的距离．2．椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．3．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absinC把PF1·PF2看成一个整体，运用公式PF＋PF＝(PF1＋PF2)2－2PF1·PF2及余弦定理求出PF1·PF2，而无需单独求出，这样可以减少运算量．[跟踪训练]3．已知椭圆＋＝1的左、右两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是__________.【导学号：95902078】【解析】　因为＋＝1，焦点在x轴上，则a＝2，由椭圆定义：|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2，又|PF1|－|PF2|＝2，可得|PF1|＝3，|PF2|＝1，由12＋(2)2＝9，所以△PF1F2是直角三角形，S△PF1F2＝|PF2|·|F1F2|＝.【答案】　[构建·体系][当堂达标·固双基]1．设P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则PF1＋PF2＝________.【导学号：95902079】【解析】　由标准方程得a2＝25，∴2a＝10，由椭圆定义知PF1＋PF2＝2a＝10.【答案】　102．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为n________.【解析】　c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的方程为＋＝1.【答案】　＋＝13．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是________.【导学号：95902080】【解析】　由于椭圆焦点在x轴上，∴即⇔a>3或－63或－60，n>0，m≠n)，则∴∴椭圆方程为x2＋＝1.