2018_2019学年高中数学第二章向量数乘运算及其几何性质课下能力提升（十六）（含解析）

2018_2019学年高中数学第二章向量数乘运算及其几何性质课下能力提升（十六）（含解析）

课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组1　向量的线性运算1.等于(　　)A．2a－bB．2b－aC．b－aD．a－b解析：选B　原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a.2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.A．①④B．①②C．①③D．③④解析：选B　①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．题组2　用已知向量表示未知向量3．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析：选A　依题意＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c，选A.4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，又＝t，则t的值为(　　)A.B.C.D.n解析：选A　由题意可得＝－＝＋－＝(－)＝，又＝t，∴t＝.5．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．解析：由＝－＝－＝(－)＋＝－＋，得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.答案：6.如图所示，已知▱ABCD的边BC、CD的中点分别为K、L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.解：法一：设＝x，则＝x，＝e1－x，＝e1－x，又＝x，由＋＝得x＋e1－x＝e2，解方程，得x＝e2－e1，即＝e2－e1，由＝－，＝e1－x，得＝－e1＋e2.法二：设＝x，＝y，则＝x，＝－y.由＋＝，＋＝得－2×②＋①得x－2x＝e1－2e2，解得x＝(2e2－e1)，n即＝(2e2－e1)＝e2－e1，同理得y＝(－2e1＋e2)，即＝－e1＋e2.法三：如图所示，BC与AL的延长线相交于点E.则△DLA≌△CLE，从而＝2，＝，＝，由＝－，得＝2e2－e1，即＝(2e2－e1)＝e2－e1.同理可得＝(－2e1＋e2)＝－e1＋e2.题组3　共线向量定理的应用7．对于向量a，b有下列表示：①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.其中，向量a，b一定共线的有(　　)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④解析：选A　对于①，a＝－b；对于②，a＝－b；对于③，a＝4b；对于④，若a＝λb(λ≠0)，则e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，即(1－2λ)e1＋(1＋2λ)e2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，矛盾，故④中a与b不共线．8．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　)nA．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直解析：选A　由－＝2(－)，得＝＋.同理可得，＝＋，＝＋，所以＋＋＝－，故选A.9．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.解析：由题设知＝，所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.答案：－2或10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.(1)用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．解：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为BC长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．[能力提升综合练]1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则(　　)A．＝－＋B．＝－C．＝＋D．＝－n解析：选A　＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.2．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是(　　)①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.A．①②B．①③C．②D．③④解析：选A　由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．3．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)A．2B．3C．4D．5解析：选B　如图，在△ABC中，以BM，CM为邻边作平行四边形MBDC，依据平行四边形法则可得＋＝，又＋＋＝0，则＝，两向量有公共点M，则A，M，D三点共线，设BC∩MD＝E，结合MD是平行四边形MBDC的对角线可知，AE是△ABC的中线，同理可证BM，CM也在△ABC的中线上，即M是△ABC的重心．以AB、AC为邻边作平行四边形ABFC，依据向量加法的平行四边形法则可得＋＝＝2＝2×＝3，则＋＝3.4．如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)(　　)n①＋2；②＋；③＋；④＋.A．①②B．①②④C．①②③D．③④解析：选A　依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有＝λ＝λ[x＋(1－x)]＝λx＋(1－x)λ，其中0＜x＜1，λ＞1，注意到λx＋(1－x)λ＝λ＞1；注意到1＋2＝3＞1，＋＞＋＝1，＋＝＜1，＋＝＜1，故选A.5．在四边形ABCD中，＝3e，＝－5e，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________．解析：由已知可得＝－，所以∥，且||≠||.又||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．答案：等腰梯形6．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．解析：设＝k,0≤k≤1，则＝k(＋2)＝k[＋2(－)]＝2k－k，∵＝λ＋μ，∴∴t＝λ－μ＝3k.又0≤k≤1，∴当k＝1时，t取最大值3.故t＝λ－μ的最大值为3.答案：37．如图，已知在平行四边形ABCD中，AH＝HD，BF＝MC＝BC，设＝a，＝b，试用a，b分别表示，，.n解：∵ABCD是平行四边形，BF＝MC＝BC，∴FM＝BC－BF－MC＝BC.∴FM＝BC＝AD＝AH.∴FM綊AH.∴四边形AHMF也是平行四边形．∴＝.又＝＝＝b，而＝－＝－b，∴＝＋＝a＋b.＝＝＋＝－b－a.＝＝－＝b＋a.8．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．(1)求证：A，B，M三点共线；(2)若点B在线段AM上，求实数λ的范围．解：(1)证明：∵＝λ＋(1－λ)，∴＝λ＋－λ，－＝λ－λ，∴＝λ(λ∈R，λ≠0且λ≠1)．又与有公共点A，∴A，B，M三点共线．(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，n则与同向且||＞||(如图所示)．∴λ＞1.