小学数学精讲教案7_4_3 排列的综合应用 教师版

小学数学精讲教案7_4_3 排列的综合应用 教师版

‎7-4-3.排列的综合应用 教学目标 ‎1.使学生正确理解排列的意义；‎ ‎2.了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列；‎ ‎3.掌握排列的计算公式；‎ ‎4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；‎ 通过本讲的学习，对排列的一些计数问题进行归纳总结，并掌握一些排列技巧，如捆绑法等．‎ 知识要点 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．‎ 一般地，从个不同的元素中取出()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．‎ 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．‎ 排列的基本问题是计算排列的总个数．‎ 从个不同的元素中取出()个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．‎ 根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：‎ 步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；‎ 步骤：从剩下的()个元素中任取一个元素排在第二位，有()种方法；‎ ‎……‎ 步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有(种)方法；‎ 由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是，即，这里，，且等号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．‎ 二、排列数 一般地，对于的情况，排列数公式变为．‎ 表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其中．‎ 例题精讲 【例 1】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间必须有两个人，问一共有多少种站法？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先考虑给甲乙两人定位，两个人可以站在队伍从左数的一、四个，二、五个或三、六个，甲乙两人要在内部全排列，剩下四个人再全排列，所以站法总数有：（种）．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲乙两人之间最多有两个人，问一共有多少种站法？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 类似地利用刚才的方法，考虑给甲乙两人定位，两人之间有两个人、一个人、没有人时分别有3、4、5种位置选取方法，所以站法总数有：（种）．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队，要求：甲不能站在队伍左半边，乙不能站在队伍右半边，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先对丙定位，有4种站法，无论丙站在哪里，甲和乙一定有一个人有两种站法，一个人有三种站法，剩下三个人进行全排列，所以站法总数有：（种）．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八个人站队，要求：甲不能站在队伍最靠左的三个位置，乙不能站在队伍最靠右的三个位置，丙不能站在队伍两端，问一共有多少种站法？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 按甲在不在队伍最靠右的位置、乙在不在队伍最靠左的位置分四种情况讨论：‎ 如果甲在队伍最靠右的位置、乙在队伍最靠左的位置，那么丙还有6种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：（种）‎ 如果甲在队伍最靠右的位置，而乙不在队伍最靠左的位置，那么乙还有4种站法，丙还有5种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：‎ ‎（种）‎ 如果甲不在队伍最靠右的位置，而乙在队伍最靠左的位置，分析完全类似于上一种，因此同样有2400种站法 如果甲不在队伍最靠右的位置，乙也不在队伍最靠左的位置，那么先对甲、乙整体定位，甲、乙的位置选取一共有（种）方法．丙还有4种站法，剩下的五个人进行全排列，站法总数有：‎ ‎（种）‎ 所以总站法种数为（种）‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：‎ ‎⑴ 甲不在中间也不在两端；‎ ‎⑵ 甲、乙两人必须排在两端；‎ ‎⑶ 男、女生分别排在一起；‎ ‎⑷ 男女相间． ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随 意排，也就是个元素全排列的问题，有(种)选择．由乘法原理，共有(种)排法．‎ ‎⑵ 甲、乙先排，有(种)排法；剩下的个人随意排，有 ‎(种)排法．由乘法原理，共有(种)排法．‎ ‎⑶ 分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有 ‎(种)和(种)排法．‎ 由乘法原理，共有(种)排法．‎ ‎⑷ 先排名男生，有(种)排法，再把名女生排到个空档中，有(种)排法．由乘法原理，一共有(种)排法．‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？‎ ‎（1）七个人排成一排； ‎ ‎（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.‎ ‎（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.‎ ‎（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.‎ ‎（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.‎ ‎（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.‎ ‎（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排． ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎（1）（种）．‎ ‎（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．（种）.‎ ‎（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440(种)．‎ ‎（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置． (种)．‎ ‎（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.‎ ‎（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．（种）.‎ ‎（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．‎ ‎【答案】（1）（种）．（2）（种）.（3）2×=1440(种)．（4） (种)．‎ ‎（5）（种）.（6）（种）.（7）4×3××2=2880(种)．‎ 【例 2】 一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列。现在他们要变成排的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列。同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有__________种不同排法。‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，初赛，六年级，第13题 【解析】 将这8人按身高从低到高依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8.，现在相当于要求将这8个数填入下面的的方格中，每个方格中填一个数，使得每一行的方格中的数依次增大，而每一列中下面的方格中的数比上面的方格中的数要大。‎ 首先可以确定1和8只能分别在左上角和右下角的方格内，2只能在第一行第二列或第二行第一 列的方格内，7只能在第一行第四列或第二行第三列的方格内。2和7的填法共有种可能，对这4种情况分别进行讨论：⑴若2和7的位置如图①，则第一行第三列的方格不可以填6，但可以填3，4，5，这个方格填好后，第二行的三个空格只有唯一的填法。所以此时有3种填法；‎ ‎ ‎ ‎① ②‎ ‎⑵若2和7的位置如图②，现在需要从3，4，5，6四个数中选取2个填入第一行的两个空格，有种选法。所选出的2个数只有一种填法，且这两个数选出后，剩下的两个数填在第二行的两个空格，也只有一种填法，所以这种情况下有6种填法；⑶若2和7的位置如图③，则第二行第二列的方格内不能填3，可以填4，5，6，每一种填法就对应整个方格的一种填法，所以此时有3种填法；‎ ‎ ③ ④‎ ‎⑷若2和7的位置如图④，则此时3和6只能分别填在中间方格的左上角和右下角，4和5填在剩下的2个方格，有2种填法。根据加法原理，共有 种不同的填法。所以原题中二列纵队有14种不同的排法。‎ ‎【答案】种 【例 1】 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有种排法，再排甲，也有种排法，剩下的人随意排，有(种)排法．由乘法原理，一共有(种)不同的排法．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 书架上有本故事书，本作文选和本漫画书，全部竖起来排成一排．⑴ 如果同类的书不分开，一共有多少种排法？⑵ 如果同类的书可以分开，一共有多种排法？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 可以分三步来排：先排故事书，有(种)排法；再排作文选，有(种)排法；最后排漫画书有种排法，而排故事书、作文选、漫画书的先后顺序也可以相互交换，排列的先后顺序有(种)．故由乘法原理，一共有种排法．‎ ‎⑵ 可以看成(本)书随意排，一共有(种)排法．‎ 若同类书不分开，共有种排法；若同类书可以分开，共有种排法．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 一共有赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的灯各一盏，按照下列条件把灯串成一串，有多少种不同的串法？‎ ‎⑴ 把盏灯都串起来，其中紫灯不排在第一位，也不排在第七位．‎ ‎⑵ 串起其中盏灯，紫灯不排在第一位，也不排在第四位． ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 可以先考虑紫灯的位置，除去第一位和第七位外，有种选择；然后把剩下的盏灯随意排， 是一个全排列问题，有(种)排法．‎ 由乘法原理，一共有(种)．‎ ‎⑵ 先安排第一盏和第四盏灯．第一盏灯不是紫灯，有种选择；第四盏灯有种选择；剩下的盏灯中随意选出盏排列，有(种)选择．由乘法原理，有(种)．‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出，一场体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有种选择．剩下的个节目随意安排顺序，有(种)选择．由乘法原理，一共有(种)不同的播放节目方案．‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 从名运动员中选出人参加接力赛．试求满足下列条件的参赛方案各有多少种：‎ ‎⑴ 甲不能跑第一棒和第四棒；‎ ‎⑵ 甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒． ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 先确定第一棒和第四棒．第一棒是甲以外的任何一个人，有种选择，第四棒有种选择，剩下的个人中随意选择个人跑第二棒和第三棒，有种选择．由乘法原理，一共有(种)参赛方案．‎ ‎⑵ 先不考虑甲、乙的特殊要求，从名运动员中随意选择人参赛，有种选择．考虑若甲跑第一棒，其余人随意选择人参赛，对应种不同的选择，考虑若乙跑第四棒，也对应种不同的选择，但是，从种中减去两个种的时候，重复减了一次甲跑第一棒，且乙跑第四棒的情况．这种情况下，对应于第一棒，第四棒已确定只需从剩下的人选择人参赛的(种)方案，应加上．‎ 综上所述，一共有(种)不同的参赛方案．‎ ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【例 1】 一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求： ‎ ‎⑴ 当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？‎ ‎⑵ 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴ 先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有 (种)方法．第二步再排个舞蹈节目，也就是个舞蹈节 目全排列的问题，有(种)方法．‎ 根据乘法原理，一共有(种)方法．‎ ‎⑵ 首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是个元素全排列的问题，一共有(种)方法．‎ ‎×□×□×□×□×□×□×‎ 第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“×”的位置)，这相当于从个“×”中选个来排，一共有(种)方法．‎ 根据乘法原理，一共有(种)方法．‎ ‎【答案】⑴ ⑵‎ 【巩固】 由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？ ‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有(种)排法；再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法．由乘法原理，一共有(种)不同的编排方法．‎ ‎【小结】排列中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目排好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数相乘，得出最后的答案．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 用排成四位数： ‎ ‎（1）共有多少个四位数？‎ ‎（2）无重复数字的四位数有多少个？‎ ‎（3）无重复数字的四位偶数有多少个？‎ ‎（4）2在3的左边的无重复数字的四位数有多少个？‎ ‎（5）2在千位上的无重复数字的四位数有多少个？‎ ‎（6）5不在十位、个位上的无重复数字的四位数有多少个？‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴条件中未限制“无重复数字”，所以，数字可以重复出现，如等．‎ 依分步计数乘法原理共有（个）‎ ‎⑵（个）‎ ‎⑶个位上只能是或，有（个）‎ ‎⑷所有四位数中，在的左边或在的右边的数各占一半，共有（个）‎ ‎⑸在千位上，只有种方法，此后只能在另外的个位置上排列，有（个）‎ ‎⑹法一：不在十位、个位上，所以只能在千位上或百位上，有（个）‎ 法二：从中减去不合要求的（在十位上、个位上），有（个）．‎ ‎【答案】⑴（个）⑵（个）⑶（个）⑷（个）⑸（个）‎ ‎⑹法一： （个）法二： （个）．‎ 【巩固】 用数字组成没有重复数字的正整数． ‎ ‎　　　　⑴能组成多少个五位数？‎ ‎⑵能组成多少个正整数？‎ ‎⑶能组成多少个六位奇数？‎ ‎⑷能组成我少个能被整除的四位数？‎ ‎⑸能组成多少个比 大的数？‎ ‎⑹求三位数的和．‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位置和特殊元素．‎ ‎（1）因为万位上的数字不能是，所以万位上的数字的排法有种，其余四位上的排法有种，所以，共可组成个五位数．‎ ‎（2）组成的正整数，可以是一位、二位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法依次有，‎ 所以，可组成个正整数．‎ ‎（3）首位与个位的位置是特殊位置，是特殊元素，先选个位数字，有种不同的选法；再考虑首位，有种不同的选法；其余四个位置的排法有种．‎ 所以，能组成个六位奇数．‎ ‎（4）能被整除的四位数的特殊是末两位数是或，这两种形式的四位数依次是和个．‎ 所以，能组成个能被25整除的四位数．‎ ‎（5）因为除首位数字以外，其余个数字顺次递增排列，所以， 是首位数是的没有重复数字的最小六位数，比它小的六位数是首位数为的没有重复数字的最小六位数．比它小的六位数是首位数为的六位数，共有个，而由组成的六位数有个．‎ 所以，大于 的没有重复数字的六位数共有（个）‎ ‎（6）由组成无重复数字的三位数共有（个）.‎ 个位数字是的三位数有（个），同理个位数字是2、3、4、5的三位数都各有16个，所以，个位数字的和是；同样十位上是数字1、2、3、4、5的三位数也都各有个，这些数字的和为；百位上是数字1、2、3、4、5的三位数都各自有个，这些数字的和为．‎ 所以，这100个三位数的和为 ‎【答案】本题属带有限制条件的排列问题，利用直接方法或间接方法都可以解决这类问题，但需考虑特殊位置和特殊元素．‎ ‎（1） （2）．（3）．‎ ‎（4）．（5）（个）（6）‎ 【例 1】 由0，2，5，6，7，8组成无重复数字的数． ‎ ‎⑴四位数有多少个？‎ ‎⑵四位数奇数有多少个？‎ ‎⑶四位数偶数有多少个？‎ ‎⑷整数有多少个？‎ ‎⑸是5的倍数的三位数有多少个？‎ ‎⑹是25的倍数的四位数有多少个？‎ ‎⑺大于5860的四位数有多少个？‎ ‎⑻小于5860的四位数有多少个？‎ ‎⑼由小到大排列的四位数中，5607是第几个数？‎ ‎⑽由小到大排列的四位数中，第128个数是多少？‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴（个）（或（个））．‎ ‎⑵个位上只能是5或7，0不能作千位数字，有（个）．‎ ‎⑶个位上只能是0或2，6，8，个位上是0的有个，个位上的是2，6，8的有个，所以共有（个）．‎ ‎⑷包括一位数，二位数，…，六位数，共有（个）．‎ ‎⑸5的倍数只能是个位上的0或5的数，共有（个）．‎ ‎⑹末两位数只能是25，50，75，共有（个）．‎ ‎⑺共有（个）．‎ ‎⑻共有（个），或者从总数300中减去大于和等于5860的数的个数（个）．‎ ‎⑼小于5607的四位数，即形如，，，的数，共有（个）．‎ 所以，5607是第86个数．‎ ‎⑽由小到大排列的四位数形如，，各有个，共120个；需再向后数8个，，，各有个，然后是6072，6075，这样，6075是第（个）数．‎ 所以，6075为所求的数．‎ ‎【答案】⑴⑵．⑶．⑷．⑸．⑹．‎ ‎⑺．⑻．⑼第86个数．⑽第（个）．‎ 【例 1】 ‎⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）‎ ‎⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？‎ ‎⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？‎ ‎⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？‎ ‎⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？‎ ‎⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有种．‎ ‎⑵3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有种．‎ ‎⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中的3个往上排（座号找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种．‎ ‎⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有种．‎ ‎⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种．‎ ‎⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种．‎ ‎【答案】⑴有种．⑵有种．⑶有种．⑷有种．⑸有种．⑹有种．‎ 【例 2】 现有男同学3人，女同学4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各2人，分别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组： ‎ ‎(1)共有多少种选法?‎ ‎(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?‎ ‎(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?‎ ‎(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎（1）从3个男同学中选出2人，有=3种选法．从4个女同学中选出2人，有=6种选法．在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有4×3×2×1=24种选法．‎ ‎3×6×24=432，所以共有432种选法．‎ ‎（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有2×3×2×1=12种选法．‎ ‎3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有216种．‎ ‎（3）考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人，从3个女同学中选出1人，3个人参加3个小组时的选法．‎ ‎3×3×3×2×1=54，所以参加数学小组的是王红时的选法有54种，432-54=378，所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有378种．‎ ‎（4）考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个男同学中选出2人参加两个不同的小组，从3个女同学中选出1人参加美术小组时的选法．‎ ‎3×2×3=18，所以参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法有18种，216-18=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有198种．‎ ‎【答案】（1）432种．‎ ‎（2）216种．‎ ‎（3）378种．‎ ‎（4）198种．‎ 【例 1】 观察如图所示的减法算式发现，得数175和被减数571的数字顺序相反。那么，减去396后，使得数与被减数的数字顺序相反的三位被减数共有__________个。‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，六年级，一试，第16题 【解析】 即且 ‎ ‎ ‎ ∴共个 ‎【答案】个 【例 2】 将0～9这十个数字分别填入下面算式的□内，每个数字只能用一次；那么满足条件的正确填法共有______种． □＋□□＋□□□＝□□□□‎ ‎【考点】排列之综合运用 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】 根据弃九法(或者说四大同余定理之一)，两边的数除以9的余数应该相同，即各位数字之和应该相差．所以，如图，则，设，．所以，‎ 因为与同奇偶，所以不可能等于偶数，可以是9，或者27．‎ 当时，，，则，不成立．‎ 当时，，，则，成立．‎ 所以，、可能为四种．‎ 当则有．‎ 当则有；‎ 当则有；‎ 当则有；‎ 上面从右边分类看，共分5类，每一类中与都可以交换，，，可以交换排列 所以每一类有种．所以共有5×12=60(种)．‎ ‎【答案】种