2020人教版六年级数学有趣经典的奥数题及答案解析

2020人教版六年级数学有趣经典的奥数题及答案解析

六年级数学有趣经典的奥数题及答案解析 【题-001】抽屉原理 有 5 个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子.请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子 的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水 8 小时淘完.如果要求 2 小时 淘完，要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中 6 只同时“翻转”. 请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使 9 只杯子全 部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商 40，余数是 16.被除数、除数、 商数与余数的和是 933，求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入 1 至 8 中的一个数字，使每行、每列、 每条对角线上 8 个数字都互不相同． 【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一 周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开小 1 时， 恰好在打开某根进水管 1 小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、 甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，灌满一池水比第一 周少用了 15 分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的 顺序轮流打开 1 小时，比第一周多用了 15 分钟．第四周他三个 管同时打开，灌满一池水用了 2 小时 20 分，第五周他只打开甲 管，那么灌满一池水需用________小时． 【题-007】 浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为 15%的酒精溶液 1000 克，现在又分别倒入 100 克和 400 克的 A、B 两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了 14%．已 知 A 种酒精溶液浓度是 B 种酒精溶液浓度的 2 倍，那么 A 种酒精 溶液的浓度是百分之几？ 【题-008】水和牛奶：（中等难度） 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另 一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才 能饮用．现在我把 A 桶里的液体倒入 B 桶，使其中液体的体积翻 了一番，然后我又把 B 桶里的液体倒进 A 桶，使 A 桶内的液体体 积翻番．最后，我又将 A 桶中的液体倒进 B 桶中，使 B 桶中液体 的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在 B 桶中， 水比牛奶多出 1 升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而 在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？ 【题-009】 巧算：（中等难度） 计算： 【题-010】队形：（中等难度） 做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形 队列）时，还多 10 人，如果站成一个每边多 1 人的实心方阵， 则还缺少 15 人.问：原有多少人？ 【题-011】计算：（中等难度） 一个自然数，如果它的奇数位上各数字之和与偶数位上各数字之 和的差是 11 的倍数，那么这个自然数是 11 的倍数，例如 1001， 因为 1+0=0+1，所以它是 11 的倍数；又如 1234，因为 4+2-（3 ＋1）=2 不是 11 的倍数，所以 1234 不是 11 的倍数.问：用 0、1、 2、3、4、5 这 6 个数字排成不含重复数字的六位数，其中有几 个是 11 的倍数？ 【题-012】分数：（中等难度） 某学校的若干学生在一次数学考试中所得分数之和是 8250 分. 第一、二、三名的成绩是 88、85、80 分，得分最低的是 30 分， 得同样分的学生不超过 3 人，每个学生的分数都是自然数.问： 至少有几个学生的得分不低于 60 分？ 【题-013】四位数：（中等难度） 某个四位数有如下特点：①这个数加 1 之后是 15 的倍数；②这 个数减去 3 是 38 的倍数；③把这个数各数位上的数左右倒过来 所得的数与原数之和能被 10 整除，求这个四位数. 【题-014】行程：（中等难度） 王强骑自行车上班，以均匀速度行驶.他观察来往的公共汽车， 发现每隔 12 分钟有一辆汽车从后面超过他，每隔 4 分钟迎面开 来一辆，如果所有汽车都以相同的匀速行驶，发车间隔时间也相 同，那么调度员每隔几分钟发一辆车？ 【题-015】跑步：（中等难度） 狗跑 5 步的时间马跑 3 步，马跑 4 步的距离狗跑 7 步，现在狗已 跑出 30 米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？ 【题-016】排队：（中等难度） 有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有 （ ） 【题-017】分数方程：（中等难度） 若干只同样的盒子排成一列，小聪把 42 个同样的小球放在这些 盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些 小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重排了一下．小聪 回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多 少只盒子? 【题-018】自然数和：（中等难度） 在整数中，有用 2 个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方 法．例如 9：9=4+5，9=2+3+4，9 有两个用 2 个以上连续自然数 的和来表达它的方法. 【题-019】准确值：（中等难度） 【题-020】巧求整数部分题目：（中等难度） (第六届小数报决赛)A 8.8 8.98 8.998 8.9998 8.99998，A 的整数部分是_________. 【题目答案】 【题-001 解答】抽屉原理 首先要确定 3 枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有： 3 黑，2 黑 1 白，1 黑 2 白，3 白共 4 种配组情况，看作 4 个抽屉. 把每人的 3 枚棋作为一组当作一个苹果，因此共有 5 个苹果.把 每人所拿 3 枚棋子按其颜色配组情况放入相应的抽屉.由于有 5 个苹果，比抽屉个数多，所以根据抽屉原理，至少有两个苹果在 同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的 【题-002 解答】牛吃草 这类问题，都有它共同的特点，即总水量随漏水的延长而增加. 所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变 的.船内原有的水量（即发现船漏水时船内已有的水量）也是不 变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。 如果设每个人每小时的淘水量为"1 个单位".则船内原有水量 与 3 小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数， 即 1×3×10＝30. 船内原有水量与 8 小时漏水量之和为 1×5×8=40。 每小时的漏水量等于 8 小时与 3 小时总水量之差÷时间差，即 （40-30）÷（8-3）=2（即每小时漏进水量为 2 个单位，相当于 每小时 2 人的淘水量）。 船内原有的水量等于 10 人 3 小时淘出的总水量-3 小时漏进水 量.3 小时漏进水量相当于 3×2=6 人 1 小时淘水量.所以船内原 有水量为 30-（2×3）=24。 如果这些水（24 个单位）要 2 小时淘完，则需 24÷2＝12（人）， 但与此同时，每小时的漏进水量又要安排 2 人淘出，因此共需 12+2＝14（人）。 从以上这两个例题看出，不管从哪一个角度来分析问题，都必 须求出原有的量及单位时间内增加的量，这两个量是不变的量. 有了这两个量，问题就容易解决了。 【题-003 解答】奇偶性应用 要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次"翻转".要使 9 只杯子 口全朝下，必须经过 9 个奇数之和次"翻转".即"翻转"的总次数 为奇数.但是，按规定每次翻转 6 只杯子，无论经过多少次"翻转 "，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次"翻转"，都 不能使 9 只杯子全部口朝下。∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是 856，除数是 21。 【题-004 解答】整除问题 ∵被除数=除数×商+余数， 即被除数=除数×40+16。 由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877， ∴（除数×40+16）+除数=877， ∴除数×41=877-16， 除数=861÷41， 除数=21， ∴被除数=21×40+16=856。 答：被除数是 856，除数是 21 【题-005 解答】填数字： 解此类数独题的关键在于观察那些位置较特殊的方格(对角线上 的或者所在行、列空格比较少的)，选作突破口．本题可以选择 两条对角线上的方格为突破口，因为它们同时涉及三条线，所受 的限制最严，所能填的数的空间也就最小． 副对角线上面已经填了 2，3，8，6 四个数，剩下 1，4，5 和 7，这是突破口．观察这四个格，发现左下角的格所在的行已经 有 5，所在的列已经有 1 和 4，所以只能填 7．然后，第六行第 三列的格所在的行已经有 5，所在的列已经有 4，所以只能填 1．第 四行第五列的格所在的行和列都已经有 5，所以只能填 4，剩下 右上角填 5． 再看主对角线，已经填了 1 和 2，依次观察剩余的 6 个方格， 发现第四行第四列的方格只能填 7，因为第四行和第四列已经有 了 5，4，6，8，3．再看第五行第五列，已经有了 4，8，3，5， 所以只能填 6． 此时似乎无法继续填主对角线的格子，但是，可观察空格较少 的行列，例如第四列已经填了 5 个数，只剩下 1，2，5，则很明 显第六格填 2，第八格填 1，第三格填 5．此时可以填主对角线 的格子了，第三行第三列填 8，第二行第二列填 3，第六行第六 列填 4，第七行第七列填 5． 继续依次分析空格较少的行和列(例如依次第五列、第三行、 第八行、第二列……)，可得出结果如下图． 【题-006 解答】灌水问题： 如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打开 1 小时，恰好在打开丙管 1 小时后灌满空水池，则第二周他按乙、 丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开甲管 1 小时后灌满一池水．不合题意． 如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的顺序轮流打 开 1 小时，恰好在打开乙管 1 小时后灌满空水池，则第二周他按 乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开 丙管 45 分钟后灌满一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、 甲……的顺序轮流打开 1 小时，应在打开甲管后 15 分钟灌满一 池水．比较第二周和第三周，发现开乙管 1 小时和丙管 45 分钟 的进水量与开丙管、乙管各 1 小时加开甲管 15 分钟的进水量相 同，矛盾． 所以第一周是在开甲管 1 小时后灌满水池的．比较三周发 现，甲管 1 小时的进水量与乙管 45 分钟的进水量相同，乙管 30 分钟的进水量与丙管 1 小时的进水量相同．三管单位时间内的进 水量之比为 3:4:2． 【题-007 解答】 浓度问题 【题-008 解答】水和牛奶 【题-009 解答】 巧算： 本 题 的 重 点 在 于 计 算 括 号 内 的 算 式 ： ．这个算式不同于我们常见的分 数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分 子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适 当的变形，使之转化成我们熟悉的形式． 法一： 观察可知 5=2+3，7=3+4，……即每一项的分子都等于分母中前 两个乘数的和，所以 【题-010 解答】 队形 当扩大方阵时，需补充 10+15 人，这 25 人应站在扩充的方阵的 两条邻边处，形成一层人构成的直角拐角.补充人后，扩大的方 阵每边上有（10+15+1）÷2=13 人.因此扩大方阵共有 13×13=169 人，去掉 15 人，就是原来的人数 169-15=154 人 【题-011 解答】计算答案： 用１．２．３．４．５组成不含重复数字的六位数， ， 它能被 11 整除，并设 a1+a3+a5≥a2+a4+a6，则对某一整数 k≥0， 有： a1+a3+a5-a2-a4-a6=11k （*） 也就是： a1+a2+a3+a4+a5+a6=11k+2（a2+a4+a6） 15=0+1+2+3+4+5=11k+2（a2+a4+a6） （**） 由此看出 k 只能是奇数 由（*）式看出，0≤k<2 ，又因为 k 为奇数，所以只可能 k=1， 但是当 k=1 时，由（**）式看出 a2+a4+a6=2. 但是在 0、1、2、3、4、5 中任何三个数之和也不等于 2，可见 k≠1.因此（*）不成立. 对于 a2＋a4＋a6＞a1＋a3＋a5 的情形，也可类似地证明（a2＋ a4＋a6）-（a1＋a3＋a5）不是 11 的倍数. 根据上述分析知：用 0、1、2、3、4、5 不能组成不包含重复数 字的能被 11 整除的六位数. 【题-012 解答】 分数：（中等难度） 除得分 88、85、80 的人之外，其他人的得分都在 30 至 79 分之 间，其他人共得分：8250-（88＋85＋80）=7997（分）. 为使不低于 60 分的人数尽量少，就要使低于 60 分的人数尽 量多，即得分在 30～59 分中的人数尽量多，在这些分数上最多 有 3×（30＋31＋…＋59）= 4005 分（总分），因此，得 60～79 分的人至多总共得 7997-4005=3992 分. 如果得 60 分至 79 分的有 60 人，共占分数 3×（60+61+ …+ 79） = 4170，比这些人至多得分 7997-4005= 3992 分还多 178 分，所 以要从不低于 60 分的人中去掉尽量多的人.但显然最多只能去 掉两个不低于 60 分的（另加一个低于 60 分的，例如，178=60 ＋60＋58）.因此，加上前三名，不低于 60 分的人数至少为 61 人. 【题-013 解答】四位数：（中等难度） 四位数答案： 因为该数加 1 之后是 15 的倍数，也是 5 的倍数，所以 d=4 或 d=9. 因为该数减去 3 是 38 的倍数，可见原数是奇数，因此 d≠4， 只能是 d=9. 这表明 m=27、37、47；32、42、52.（因为 38m 的尾数为 6） 又因为 38m＋3=15k-1（m、k 是正整数）所以 38m+4=15k. 由于 38m 的个位数是 6，所以 5|（38m＋4）， 因此 38m+4=15k 等价于 3|（38m＋4），即 3 除 m 余 1，因此可知 m=37，m=52. 所求的四位数是 1409，1979. 【题-014 解答】 行程答案： 汽车间隔距离是相等的，列出等式为：（汽车速度-自行车速度） ×12=（汽车速度+自行车速度）×4 得出：汽车速度=自行车速度的 2 倍. 汽车间隔发车的时间=汽 车间隔距离÷汽车速度=（2 倍自行车速度-自行车速度）×12÷2 倍自行车速度=6（分钟）. 【题-015 解答】跑步：（中等难度） 根据"马跑 4 步的距离狗跑 7 步"，可以设马每步长为 7x 米，则 狗每步长为 4x 米。 根据"狗跑 5 步的时间马跑 3 步"，可知同一时间马跑 3*7x 米＝ 21x 米，则狗跑 5*4x＝20x 米。 可以得出马与狗的速度比是 21x：20x＝21：20 根据"现在狗已跑出 30 米"，可以知道狗与马相差的路程是 30 米， 他们相差的份数是 21-20＝1，现在求马的 21 份是多少路程，就 是 30÷（21-20）×21＝630 米 【题-016 解答】排队：（中等难度） 根据乘法原理，分两步： 第一步是把 5 对夫妻看作 5 个整体，进行排列有 5×4×3×2×1 ＝120 种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会 产生 5 个 5 个重复，因此实际排法只有 120÷5＝24 种。 第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻 均有 2 种排法，总共又 2×2×2×2×2＝32 种 综合两步，就有 24×32＝768 种 【题-017 解答】分数方程：（中等难度） 设原来小球数最少的盒子里装有 a 只小球，现在增加了 b 只，由 于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装 有 a 个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球． 同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装 有(a+2)个小球． 类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等， 故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数． 现在变成：将 42 分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分 法，每一种分法有多少个加数? 因为 42=6×7，故可以看成 7 个 6 的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3) 是 6 个 6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9，一共有 7 个加数； 又因为 42=14×3，故可将 42：13+14+15，一共有 3 个加数； 又因为 42=21×2，故可将 42=9+10+11+12，一共有 4 个加数． 所以原问题有三个解：一共有 7 只盒子、4 只盒子或 3 只盒子. 【题-018 解答】自然数和：（中等难度） 请写出只有 3 种这样的表示方法的最小自然数． (2)请写出只有 6 种这样的表示方法的最小自然数． 关于某整数，它的"奇数的约数的个数减 1"，就是用连续的整数 的和的形式来表达种数. 根据（1）知道，有 3 种表达方法，于是奇约数的个数为 3+1=4， 对 4 分解质因数 4=2×2，最小的 15(1、3、5、15)； 有连续的 2、3、5 个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5； 根据(2)知道，有 6 种表示方法，于是奇数约数的个数为 6+1=7， 最小为 729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的 2,3、6、9、 10、27 个数相加： 364+365；242+243+244；119+120+…+124；77+78+79+…+85； 36+37+…+45；14+15+…+40 【题-019 解答】准确值：（中等难度） 【题-020 解答】巧求整数部分题目：（中等难度）