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文档介绍
浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷
2012年浙江省省一级重点中学自主招生考试数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每题只有一个正确选项,每小题5分,共40分) 1.(5分)方程实数根的情况是( ) A. 仅有三个不同实根 B. 仅有两个不同实根 C. 仅有一个不同实根 D. 无实根 考点: 二次函数的图象;反比例函数的图象.216560 专题: 计算题. 分析: 原方程有意义,则x≠0,把方程去分母、整理可得,x3﹣2x2+2x﹣1=0,分解因式得(x﹣1)(x2﹣x+1)=0,讨论其根的情况,即可解答. 解答: 解:原方程整理得, x3﹣2x2+2x﹣1=0, ∴(x﹣1)(x2﹣x+1)=0, ∵方程x2﹣x+1=0,其△<0,无解, ∴x2﹣x+1≠0, ∴x﹣1=0,即x=1. 故选C. 点评: 本题考查了二次函数、反比例函数的性质,主要应用了一元二次方程的根与判别式△的关系. 2.(5分)将矩形纸片ABCD对折,得折痕MN,再把点B叠在折痕MN上,得折痕AE,若AB=,则折痕AE的长为( ) A. B. 2 C. D. 2 考点: 翻折变换(折叠问题).216560 分析: 首先由矩形纸片ABCD对折,得折痕MN,推出∠BMN=∠AMN=90°,∠CNM=∠DNM=90°,M为AB的中点,然后根据矩形的性质推出∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,即可推出AD∥MN∥BC,H点为AE的中点,根据翻折变换的性质,结合题意推出AB=AB′=,∠BAE=∠B′AE,∠B=∠EB′A=90°,那么在Rt△AEB′中,AH=EH=B′H,得出∠EAB′=∠HB′A,根据平行线的性质推出∠DAB′=∠HB′A,通过等量代换可推出∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°,最后根据特殊角的三角函数值即可推出AE的长度. 解答: 解:如图,设MN和AE交于点H, ∵矩形ABCD, ∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°, ∵矩形纸片ABCD对折,得折痕MN, ∴∠BMN=∠AMN=90°,∠CNM=∠DNM=90°,M为AB的中点, ∴AD∥MN∥BC,H点为AE的中点, ∵点B叠在折痕MN上,得折痕AE,AB=, ∴AB=AB′=,∠BAE=∠B′AE,∠B=∠EB′A=90°, ∴在Rt△AEB′中,AH=EH=B′H, ∴∠EAB′=∠HB′A, ∵AD∥MN∥BC, ∴∠DAB′=∠HB′A, ∴∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°, ∵在Rt△BAE中,AB=,∠BAE=30°, ∴AE=2. 故选择B. 点评: 本题运用的知识点较多,主要考查翻折变换的性质,平行线的判定及性质,直角三角形的斜边上的中线的性质,矩形的性质,中点的性质,特殊角的三角函数值等知识点的综合运用,关键在于熟练运用相关的性质定理推出AH=EH=B′H,∠B′AE=∠EAB=B′AD=30°,运用特殊角的三角函数值认真的进行求解即可. 3.(5分)在半径为1的圆O中,弦AB、AC的长分别为、,则∠BAC的度数为( ) A. 60° B. 75° C. 60°或45° D. 15°或75° 考点: 垂径定理;解直角三角形.216560 专题: 分类讨论. 分析: 先根据题意画出图形,分别作AC、AB的垂线,连接OA,再根据锐角三角函数的定义求出∠AOD及∠AOE的度数,根据直角三角形的性质即可得出结论. 解答: 解:①如图1,两弦在圆心的异侧时,过O作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连接OA, ∵AB=,AC=, ∴AD=,AE=, 根据直角三角形中三角函数的值可知:sin∠AOD=, ∴∠AOD=45°, ∵sin∠AOE=, ∴∠AOE=60°, ∴∠OAD=90°﹣∠AOD=45°,∠OAC=90°﹣∠AOE=30° ∴∠BAC=∠OAD+∠OAC=45°+30°=75°; ②如图2,当两弦在圆心的同侧时同①可知∠AOD=45°,∠AOE=60°, ∴∠AOE=60°, ∴∠OAC=90°﹣∠AOE=90°﹣60°=30°,∠OAB=90°﹣∠AOD=90°﹣45°=45°. ∴∠BAC=∠OAB﹣∠OAC=45°﹣30°=15°. 故选D. 点评: 本题考查的是垂径定理及勾股定理,解直角三角形,锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数,解答此题时要注意分类讨论,不要漏解. 4.(5分)如图,一个半径为3的圆O1的圆心经过一个半径为3的圆O2,则图中阴影部分的面积为( ) A. B. 9 C. D. 考点: 扇形面积的计算;勾股定理;相交两圆的性质.216560 专题: 计算题. 分析: 连接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B,由勾股定理的逆定理得∠O2CA=∠AO2B=90°,则点A、O1、B在同一条直线上,则AB是圆O1的直径,从的得出阴影部分的面积S阴影=S⊙1﹣S弓形AO1B=S⊙1﹣(S扇形AO2B﹣S△AO2B). 解答: 解:连接O1O2,O1A,O1B,O2A,O2B, ∵CO2=CA=3,O2A=, ∴CO22+CA2=O2A2, ∴∠O2CA=90°,同理∠O2CB=90°, ∴点A、C、B在同一条直线上,并且∠AO2B=90°, ∴AB是圆O1的直径, ∴S阴影=S⊙1﹣S弓形AO1B=S⊙1﹣(S扇形AO2B﹣S△AO2B) = =9. 故选B. 点评: 本题考查了扇形面积的计算、勾股定理和相交两圆的性质. 5.(5分)已知A,B是两个锐角,且满足,,则实数t所有可能值的和为( ) A. B. C. 1 D. 考点: 根与系数的关系;同角三角函数的关系.216560 专题: 计算题. 分析: 根据公式sin2α+cos2α=1列出关于未知数t的一元二次方程,然后根据根与系数的关系解答. 解答: 解:根据已知,得 ,即2=, ∴3t2+5t﹣8=0, ∴解得t1=1,t2=﹣, 又∵>0,即t>0, ∴t2=﹣不符合题意舍去, ∴t所有可能值的和为1. 故选C. 点评: 本题主要考查了同角三角函数的关系及根与系数的关系.解答此题的关键是熟练掌握同角三角函数的关系:sin2α+cos2α=1. 6.(5分)满足(n2﹣n﹣1)n+2=1的整数n有几个( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 考点: 一元二次方程的解;零指数幂.216560 专题: 计算题. 分析: 因为1的任何次幂为1,﹣1的偶次幂为1,非0数的0次幂为1,所以应分三种情况讨论n的值. 解答: 解:(1)n2﹣n﹣1=1,解得:n=2或n=﹣1; (2),解得:n=0; (3),解得:n=﹣2. 故选A. 点评: 本题比较复杂,解答此题时要注意1的任何次幂为1,﹣1的偶次幂为1,非0数的0次幂为1,三种情况,不要漏解. 7.(5分)如图,双曲线y=(x>0)与矩形OABC的边BC,BA分别交于点E,F,且AF=BF,连接EF,则△OEF的面积为( ) A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 考点: 反比例函数综合题.216560 分析: 设B(a,b),根据题意得F,由点F在双曲线上,得a×=2,即ab=4,E、B两点纵坐标相等,且E点在双曲线上,则E(,b),再根据S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC﹣S△FBE求解. 解答: 解:如图,设点B的坐标为(a,b),则点F的坐标为. ∵点F在双曲线上, ∴a×=2, 解得ab=4, 又∵点E在双曲线上,且纵坐标为b,所以点E的坐标为(,b),则 S△OEF=S梯形OFBC﹣S△OEC﹣S△FBE, =×(+b)a﹣×b×﹣××(a﹣) =(ab+1﹣2) =. 故选:A. 点评: 本题考查了反比例函数图象上点的性质,直角坐标系中三角形面积的表示方法.注意双曲线上点的横坐标与纵坐标的积为常数. 8.(5分)若实数a,b满足,则a的取值范围是( ) A. a≤﹣2 B. a≥4 C. a≤﹣2或a≥4 D. ﹣2≤a≤4 考点: 根的判别式.216560 分析: 把看作是关于b的一元二次方程,由△≥0,得关于a的不等式,解不等式即可. 解答: 解:把看作是关于b的一元二次方程, 因为b是实数,所以关于b的一元二次方程 的判别式△≥0,即a2﹣4(a+2)≥0,a2﹣2a﹣8≥0, (a﹣4)(a+2)≥0, 解得a≤﹣2或a≥4. 故选C. 点评: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式.当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.同时考查了一元二次不等式的解法. 二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 9.(4分)若关于x的方程(x﹣2)(x2﹣4x+m)=0有三个根,且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,则m的取值范围是 3<m≤4 . 考点: 根与系数的关系;三角形三边关系.216560 专题: 计算题. 分析: 根据原方程可知x﹣2=0,和x2﹣4x+m=0,因为关于x的方程(x﹣2)(x2﹣4x+m)=0有三个根,所以x2﹣4x+m=0的根的判别式△>0,然后再由三角形的三边关系来确定m的取值范围. 解答: 解:∵关于x的方程(x﹣2)(x2﹣4x+m)=0有三个根, ∴①x﹣2=0,解得x1=2; ②x2﹣4x+m=0, ∴△=16﹣4m≥0,即m≤4, ∴x2=2+, x3=2﹣, 又∵这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长, 且最长边为x2, ∴x1+x3>x2; 解得3<m≤4, ∴m的取值范围是3<m≤4. 故答案为:3<m≤4. 点评: 本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式及三角形的三边关系.解答此题时,需注意,三角形任意两边和大于第三边. 10.(4分)已知:sinα﹣cosα=,则sinαcosα= (0<α<90°) 考点: 同角三角函数的关系.216560 分析: 对sinα﹣cosα=两边平方,然后根据sin2α+cos2α=1即可求解. 解答: 解:∵sinα﹣cosα=, ∴(sinα﹣cosα)2=, ∴sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=, ∵sin2α+cos2α=1 ∴2sinαcosα=1﹣=. ∴sinαcosα=. 点评: 本题主要考查了同角的三角函数的关系,正确理解sin2α+cos2α=1是关键. 11.(4分)双曲线y=(x>0)与直线y=x在坐标系中的图象如图所示,点A、B在直线上AC、BD分别平行y轴,交曲线于C、D两点,若BD=2AC 则4OC2﹣OD2的值为 6 . 考点: 反比例函数综合题.216560 分析: 根据A,B两点在直线y=x上,分别设A,B两点的坐标为(a,a),(b,b),得到点C的坐标为(a,),点D的坐标为(b,),线段AC=a﹣,线段BD=b﹣,根据BD=2AC,有b﹣=2(a﹣),然后利用勾股定理进行计算求出4OC2﹣OD2的值. 解答: 解:设A(a,a),B(b,b),则C(a,),D(b,), AC=a﹣,BD=b﹣, ∵BD=2AC, ∴b﹣=2(a﹣), 4OC2﹣OD2=4(a2+)﹣(b2+) =4[+2]﹣[+2] =4+8﹣4﹣2 =6. 故答案为:6. 点评: 本题考查的是反比例函数综合题,根据直线与反比例函数的解析式,设出点A,B的坐标后可以得到点C,D的坐标,运用勾股定理进行计算求出代数式的值. 12.(4分)二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴正方向交于A,B两点,与y轴正方向交于点C.已知,∠CAO=30°,则c= . 考点: 二次函数综合题.216560 分析: 首先利用根与系数的关系求得A,B两点横坐标之间的关系,再进一步结合已知,利用直角三角形的边角关系,把两点横坐标用c表示,由此联立方程解决问题. 解答: 解:如图, 由题意知,点C的坐标为(0,c),OC=c. 设A,B两点的坐标分别为(x1,0),(x2,0), 则x1,x2是方程x2+bx+c=0的两根, 由根与系数的关系得x1+x2=﹣b,x1x2=c, 又∠CAO=30°,则; 于是,, . 由x1x2=9c2=c,得. 故答案为:. 点评: 本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系解答问题. 13.(4分)如图,AB是⊙O的直径,AB=10cm,M是半圆AB的一个三等分点,N是半圆AB的一个六等分点,P是直径AB上一动点,连接MP、NP,则MP+NP的最小值是 cm. 考点: 轴对称-最短路线问题;圆心角、弧、弦的关系.216560 专题: 计算题.[来源:学科网] 分析: 作N关于AB的对称点N′,连接MN′交AB于点P,则点P即为所求的点,再根据M是半圆AB的一个三等分点,N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值,再由勾股定理即可求出MN′的长. 解答: 解:作N关于AB的对称点N′,连接MN′交AB于点P,则点P即为所求的点, ∵M是半圆AB的一个三等分点,N是半圆AB的一个六等分点, ∴∠MOB==60°,∠BON′==30°, ∴∠MON′=90°, ∵AB=10cm, ∴OM=ON′=5cm, ∴MN′===5cm,即MP+NP的最小值是cm. 故答案为:5. 点评: 本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系,根据M是半圆AB的一个三等分点,N是半圆AB的一个六等分点,求出∠MON′=90°是解答此题的关键. 14.(4分)函数y=x+(x>0)的最小值为 2 . 考点: 函数最值问题.216560 专题: 计算题. 分析: 注意到两项的积为定值,且为正数,故考虑利用基本不等式即可解决. 解答: 解:∵y=x+≥2=2, 当且仅当x=,即x=1时,取等号. 故函数y=x+(x>0)的最小值为2. 故答案为:2. 点评: 此题考查了函数的最值问题,解答本题的关键是掌握不等式的基本性质,及a+b≥2,难度一般. 三、解答题(本大题共5小题,共56分,解答应写出必要的过程或演算步骤) 15.(10分)已知△ABC中,AD是BC边上的高,∠C=32°,若AD2=BD•CD,求∠ABC的度数. 考点: 相似三角形的判定与性质.216560 专题: 分类讨论. 分析: 根据已知可得到△BDA∽△ADC,注意∠C可以是锐角也可是钝角,故应该分情况进行分析,从而确定∠BCA度数. 解答: 解:分两种情况:(1)当B、C分别位于点D的两侧时(如图1), ∵AD2=BD•DC,AD是BC边上的高得, ∴△ABD∽△CAD, ∴∠B=∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣32°=58°; (2)当B、C分别位于点D的同侧时(如图2), ∵AD2=BD•DC,AD是BC边上的高得, ∴△ABD∽△CAD, ∴∠BAD=∠C=32°, ∴∠ABC=∠BAD+∠ADB=32°+90°=122°. 点评: 本题考查的是相似三角形的判定与性质,解答此题时要注意分类讨论,不要漏解. 16.(10分)如图,身高1.5米的小亮AB在路灯CD下的影长为1米,当小亮向远离路灯的方向走出1米后,影长变成了2米.求路灯CD的高. 考点: 相似三角形的应用.216560 专题: 计算题. 分析: 运用已知条件得出AB∥CD,A′B′∥CD,进而得出相应比例式,得出关于BD,CD的方程,进而求出CD. 解答: 解:根据题意可得:AB∥CD,A′B′∥CD, ∵AB=1.5米,BB′=1米,B′E=2米, ∴, ∴,① ∴, ∴,② 由①得: 2CD﹣1.5BD=4.5,③ 由②得: CD﹣1.5BD=1.5,④ ③﹣④得:CD=3米, 答:路灯CD的高为3米. 点评: 此题主要考查了相似三角形的性质,利用对应变成比例得出比例式,进而求出方程的解是解决问题的关键. 17.(10分)如图,已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N,点M在对角线BD上,且满足∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN. 求证:(1)M为BD的中点; (2). [来源:Z*xx*k.Com] 考点: 圆内接四边形的性质;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理;相似三角形的判定与性质.216560 专题:[来源:学&科&网Z&X&X&K] 证明题. 分析: (1)要证M为BD的中点,即证BM=DM,由∠BAM=∠DAN,∠BCM=∠DCN,及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM,△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式,可证明BM=DM; (2)欲证,可以通过平行线的性质证明,需要延长AM交圆于点P,连接CP,证明PC∥BD,得出比例式,相应解决MP=CM的问题即可. 解答: 证明: (1)根据同弧所对的圆周角相等,得∠DAN=∠DBC,∠DCN=∠DBA. 又∵∠DAN=∠BAM,∠BCM=∠DCN, ∴∠BAM=∠MBC,∠ABM=∠BCM. ∴△BAM∽△CBM, ∴,即BM2=AM•CM.① 又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB, ∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM, ∴△DAM∽△CDM, 则,即DM2=AM•CM.② 由式①、②得BM=DM, 即M为BD的中点. (2)如图,延长AM交圆于点P,连接CP. ∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC. ∵PC∥BD, ∴.③ 又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD,∠DBC=∠PCB, ∴∠ABC=∠MCP. 而∠ABC=∠APC, 则∠APC=∠MCP, 有MP=CM.④ 由式③、④得. 点评: 本题考查了相似三角形的性质,圆周角的性质,是一道较难的题目. 18.(12分)已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O,两直角边分别经过点B、C,然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α(0°<α<90°),旋转后,直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H,四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分(如图所示).那么,在上述旋转过程中: (1)线段BH与CK具有怎样的数量关系?四边形CHOK的面积是否发生变化?证明你发现的结论; (2)连接HK,设BH=x. ①当△CHK的面积为时,求出x的值. ②试问△OHK的面积是否存在最小值,若存在,求出此时x的值,若不存在,请说明理由. 考点: 旋转的性质;二次函数的最值;全等三角形的判定与性质.216560 专题: 代数几何综合题. 分析: (1)连接OC,可以证得:△COK≌△BOH,根据S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC即可证得:四边形CHOK的面积始终保持不变; (2)①BC=4,CH=4﹣x,三角形的面积公式可以得到:CH•CK=,即(4﹣x)x=3,从而求得x的值; ②设△OKH的面积为S,根据三角形的面积公式,即可得到关于x的函数关系式,然后根据函数的性质即可求解. 解答: 解:(1)在旋转过程中,BH=CK,四边形CHOK的面积始终保持不变,其值为△ABC面积的一半. 理由如下: 连接OC ∵△ABC为等腰直角三角形,O为斜边AB的中点,CO⊥AB ∴∠OCK=∠B=45°,CO=OB,又∵∠COK与∠BOH均为旋转角, ∴∠COK=∠BOH=α ∴△COK≌△BOH ∴BH=CK,S四边形CHOK=S△COK+S△COH=S△BOH+S△COH=S△COB=S△ABC=4. (2)①由(1)知CK=BH=x, ∵BC=4, ∴CH=4﹣x,根据题意,得CH•CK=,即(4﹣x)x=3, 解这个方程得x1=1,x2=3, 此两根满足条件:0<x<4 所以当△CKH的面积为时,x的取值是1或3; ②设△OKH的面积为S,由(1)知四边形CHOK的面积为4,于是得关系式: S=4﹣S△CKH=4﹣x(4﹣x)=(x2﹣4x)+4 =(x﹣2)2+2 当x=2时,函数S有最小值2, ∵x=2时,满足条件0<x<4, ∴△OKH的面积存在最小值,此时x的值是2. 点评: 本题考查了三角形全等的判定与性质,以及二次函数的性质,正确列出函数解析式是解题的关键. 19.(14分)已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象经过两点P(1,a),Q(2,10a). (1)如果a,b,c都是整数,且c<b<8a,求a,b,c的值. (2)设二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴的交点为A、B,与y轴的交点为C.如果关于x的方程x2+bx﹣c=0的两个根都是整数,求△ABC的面积. 考点: 二次函数综合题.216560 分析: (1)代入两点坐标,求得b、c(用a表示),再由已知c<b<8a,联立不等式组求得a、b、c的值; (2)设出程x2+bx﹣c=0的两个根,根据根与系数的关系与因式分解求得两根,得出函数解析式,进一步求得图象与x、y轴的交点A、B、C三点解答问题. 解答: 解:点P(1,a)、Q(2,10a)在二次函数y=x2+bx﹣c的图象上, 故1+b﹣c=a,4+2b﹣c=10a, 解得b=9a﹣3,c=8a﹣2; (1)由c<b<8a知, 解得1<a<3, 又a为整数,所以a=2,b=9a﹣3=15,c=8a﹣2=14; (2)设m,n是方程的两个整数根,且m≤n. 由根与系数的关系可得m+n=﹣b=3﹣9a,mn=﹣c=2﹣8a, 消去a,得9mn﹣8(m+n)=﹣6, 两边同时乘以9,得81mn﹣72(m+n)=﹣54,分解因式,得(9m﹣8)(9n﹣8)=10. 所以或或或, 解得或或或; 又∵m,n是整数,所以后面三组解舍去, 故m=1,n=2. 因此,b=﹣(m+n)=﹣3,c=﹣mn=﹣2, 二次函数的解析式为y=x2﹣3x+2. 易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2), 所以△ABC的面积为. 点评: 此题主要考查二次函数图象上点的坐标特点、根与系数的关系、不等式组、以及三角形的面积计算公式. 查看更多