第40讲 不定方程

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第40讲 不定方程

第40讲 不定方程 一、知识要点 当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有:‎ x=2.4 x=2.7 x=3.06 x=3.6‎ y=1 y=1.5 y=2.1 y=3‎ 如果限定x、y的解是小于5的整数,那么解就只有x=3,Y=2这一组了。因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。‎ 解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。‎ 对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。‎ 解答应用题时,要根据题中的限制条件(有时是明显的,有时是隐蔽的)取适当的值。‎ 二、精讲精练 ‎【例题1】求3x+4y=23的自然数解。‎ 先将原方程变形,y=。可列表试验求解:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ Y ‎5‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎2‎ ‎×‎ ‎×‎ 所以方程3x+4y=23的自然数解为 ‎ X=1 x=5‎ ‎ Y=5 y=2‎ 练习1‎ ‎1、求3x+2y=25的自然数解。‎ 6‎ ‎2、求4x+5y=37的自然数解。‎ ‎3、求5x-3y=16的最小自然数解。‎ ‎【例题2】求下列方程组的正整数解。‎ ‎5x+7y+3z=25‎ ‎3x-y-6z=2‎ 这是一个三元一次不定方程组。解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程。‎ ‎5x+7y+3z=25 ①‎ ‎3x-y-6z=2 ②‎ 由①×2+②,得13x+13y=52‎ ‎ X+y=4 ③‎ 把③式变形,得y=4-x。‎ 因为x、y、z都是正整数,所以x只能取1、2、3.‎ 当x=1时,y=3‎ 当x=2时,y=2‎ 当x=3时,y=1‎ 把上面的结果再分别代入①或②,得x=1,y=3时,z无正整数解。‎ ‎ x=2,y=2时,z也无正整数解。‎ ‎ x=3时,y=1时,z=1.‎ 所以,原方程组的正整数解为 x=1‎ ‎ y=1‎ ‎ z=1‎ 6‎ 练习2‎ 求下面方程组的自然数解。‎ ‎1、4x+3y-2z=7 2、 7x+9y+11z=68‎ ‎3x+2y+4z=21 5x+7y+9z=52‎ ‎3、5x+7y+4z=26‎ ‎3x-y-6z=2‎ ‎【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完。如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?‎ 两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解。‎ 设大盒子有x个,小盒子有y个,则 ‎ 12x+5y=99(x>0,y>0,x+y>9)‎ ‎ y=(99-12y)÷5‎ 经检验,符合条件的解有: x=2 x=7‎ y=15 y=3‎ 所以,大盒子有2个,小盒子有15个,或大盒子有7个,小盒子有3个。‎ 6‎ 练习3.‎ ‎1、某校6(1)班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只?(大、小船都有)‎ ‎2、甲级铅笔7角钱一枝,乙级铅笔3角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝?‎ ‎3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种,而且小华买来的铅笔比小强多,小华比小强多买来多少枝?‎ ‎【例题4】买三种水果‎30千克,共用去80元。其中苹果每千克4元,橘子每千克3元,梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克?‎ 设苹果买了x千克,橘子买了y千克,梨买了(30-x-y)千克。根据题意得:‎ ‎ 4x+3y+2×(30-x-y)=82‎ ‎ x=10- 由式子可知:y<20,则y必须是2的倍数,所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此,原方程的解如下表:‎ 苹果 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 橘子 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎18‎ 梨 ‎19‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎16‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎11‎ 6‎ 练习4‎ ‎1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只,其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍,蓝皮球有多少只?‎ ‎2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角,彩色笔每枝4角,钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝?(每种都要买)‎ ‎3、晓敏在文具店买了三种贴纸;普通贴纸每张8分,荧光纸每张1角,高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么,晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张?‎ ‎【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝,二等奖每人发3枝,三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝,二等奖每人发4枝,三等奖每人发1枝。问:一、二、三等奖的学生各有几人?‎ 设一等奖有x人,二等奖有y人,三等奖有z人。则 ‎ 6x+3y+2z=22 ①‎ ‎ 9x+4y+z=22 ②‎ 由②×2-①,得12x+5y=22‎ ‎ y = x=1‎ x只能取1。Y=2,代入①得z=5,原方程的解为 y=2‎ z=5‎ 所以,一等奖的学生有1人,二等奖的学生有2人,三等奖的学生有5人。‎ 6‎ 练习5‎ ‎1、某人打靶,8发打了53环,全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发?‎ ‎2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个,价值24元。已知煮蛋每个0.60元,茶叶蛋每个1元,皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋?‎ ‎3、一头猪卖3个银币,一头山羊卖1个银币,一头绵羊买个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头?‎ ‎ ‎ 6‎
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