六年级下册数学竞赛试题-第15届中环杯六年级决赛（PDF版含解析）全国通用

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第 15 届中环杯决赛试题解析（六年级） 一、填空题（本大题共 10 小题，每题 6 分，共 60 分）： 1. 计算：       2015 2014 2 2015 15 2 117 3 54 0.4 1 13 3 31 118483                           ________. 【答案】2015 【解答】           2015 2014 2 2015 15 2 117 3 54 0.4 1 13 3 31 118483 2 3 520 54 315 15 3 8 4 9 3520 54 3153 8 36 5 3 520 54 313 5 3 28 20 91 31 28 4 5 7 13 31 547                                                    13 31 2015 2. 方程 133 2 267 160 5267 533 80 x x x     的解为________． 【答案】 400x  【解答】观察法，首先 是方程的解，考虑到一元一次方程只有一个解，所以 答案就是 3. 9 个鸡蛋的价格为11元 a 分，13 个鸡蛋的价格为15 元b 分，其中 0 100 0 100 a b    ，那么一个 鸡蛋的价格为_______元_______分（注：本题不考虑“角”这个货币单位，1元 100 分） 【答案】1元 23 分 【解答】设一只鸡蛋的价格为 x 元，则 9 1100 13 1500 xa xb    。考虑到0 100a ，所以 1100 9 1200 123 133xx     ；考虑到 0 100b ，所以 1500 13 1600 116 123xx     ；对123 133x 、116 123x 取交集得 123x  ，所以一 只鸡蛋的价格为 元 分 【说明】考察不等式组 4. 五个数 , , , ,a b c d e 满足 1218 1224 1242 26 a b c d e d b c d e c c d e b d e a                         ，则 a b c d e    ________． 【答案】 2 【解答】第一个方程乘以8、第二个方程乘以 4 、第三个方程乘以 2 、第四个方程乘 以1，然后全部相加，从而推出16 16 16 16 15 30a b c d e a b c d         ，所以 2a b c d e     【说明】考察方程组 5. 如图， ABC 是等边三角形， ,,D E F 分别是三条边上的中点， 2AB  。所有圆弧的半 径均相同，那么阴影部分面积与 的面积之差（大减小）为________（答案保留  ） F ED C A B 【答案】 1 4 【解答】设正三角形的面积为 S ，则阴影部分面积可以分为两大块：其中一大块就 是在 ABC 内部的阴影部分，另一大块就是三个 5 6 个圆。显然，在 内部的阴影 部分面积为 3 2S  个圆，所以阴影部分总面积为： 个圆 3 个圆 S整个圆， 所以两者的面积之差就是整个圆，为 2 1 4r 6. 从甲地到乙地的路只有上坡与下坡，上坡与下坡长度的数值都是正整数，单位是千 米。如果上坡的速度是 4 千米，下坡的速度是 6 千米，从甲地到乙地需 5 小时，则 甲、乙两地之间距离的最小值为_______． 【答案】21 【解答】设上坡的长度为 x 千米，下坡的长度为 y 千米，则 5 3 2 6046 xy xy     ， 这个不定方程的通解为 22 27 3 xt yt    。考虑到 、 都是正整数，所以 2 2 0 0827 3 0 xt tyt          。我们要求的就是 29x y t   的最小值，当 t 取最大值的时 候， 29 t 达到最小，此时的最小值为 29 8 21 【说明】考察不定方程 7. 已知 330. 0. 37ab abc     ，相同的字母代表相同的数字，不同的字母也可以代表相同的数 字（比如 1ab），则 abc  ________. 【答案】 447 【解答】 33 330. 0. 37 99 999 37 ab abcab abc          ，两边同时乘以999 ，得 111 89111 ab abc   。 考虑到 ,891abc 都是正整数，所以 11111 ab  必须也是正整数，所以11| ab 。其次 891 111 110 0 411 11 ab ababc abc ab abc a          ，结合11| 4ab b，代入 111 891 711 ab abc c     8. 下图是一个捕鱼网，这个网是由一个个节点与一条条绳索构建而成（两个相邻节点之 间都有一条绳索）。每次剪一刀，剪断其中的一条绳索，那么最多能剪______刀，使 得剩下的绳索还能连成一个整体（不会断成两部分或者多个部分） 【答案】 24 【解答】要使得剪的次数最多，那么留下的绳索越少越好。一共有 7 5 35 个节 点，为了使得所有节点还能连接起来，那么至少需要保留35 1 34 条绳索。原先一 共有 6 5 4 7 58    条绳索，所以最多能剪58 34 24刀，最后构造如下： 9. 如果一个自然数  1NN 满足： N 的因数个数就是其个位数字，那么这样的 N 就称为 “中环数”（比如34 2 17 ，所以它有 4 个因数，正好就是34 的个位数字，所以34 就 是一个“中环数”），在 2 ~ 84中，一共有________个“中环数” 【答案】 6 【解答】如果一个数的因数个数是奇数的话，那么这个数必须是完全平方数。在 2 ~ 84中，完全平方数有 4 、9 、16 、 25 、36 、 49 、64 、81，逐一检验，发现没有 满足条件的数，所以“中环数”的个位数只能是偶数，而且显然不可能是 0 ，接下来 分类讨论： （1）如果 N 的个位数为 2 ，也就是说 必须为质数，所以 2N  ； （2）如果 的个位数为 4 ，则 3Na 或 ab ，检验所有以 4 结尾的数，发现14 、34 、 74 满足要求； （3）如果 的个位数为 6 ，则 5Na 或 2ab，检验所有以 6 结尾的数，发现 76 满足要 求； （4）如果 的个位数为8，则 7Na 或 3ab或 abc ，检验所有以8结尾的数，发现 78 满足要求； 综上所述，满足条件的“中环数”有 6 个 10. 将若干个自然数从小到 大排成一行，若满足下面两个条件，这样的排法称为“中环排法” （1）最左边的数为 0，最右边的数为 12，这行数至少有 2 个； （2）任意两个相邻的自然数中有且只有一个数为偶数（注意：0 也是偶数）； 那么，一共有________种“中环排法” 【答案】144 【解答】假设最右边的数为 n ，并设此时满足要求的排法有 na 个。我们先尝试一下 ▲若 1n  ，只有 0，1 这种排法，所以 1 1a  ； 若 2n  ，只有 0，1，2 这种排法，所以 2 1a  ； ▲若 3n  ，只有 0，3 或者 0，1，2，3 这 2 种排法，所以 3 2a  ； 若 4n  ，只有 0，1，4 或者 0，3，4 或者 0，1，2，3，4 这 3 种排法，所以 3 3a  ； 感觉上，这就是一个斐波那契数列，接下来我们要证明这点： （1）当 n 为偶数时， 前面的数可以是 1n  、 3n  、、1，所以此时 1 3 1n n na a a a    ； （2）当 为奇数时， 前面的数可以是 、 、 、2 甚至不填，所以此时 1 3 2 1n n na a a a     ； 这个递推式比较麻烦，化简一下：当 2nk 时， 2 2 1 2 3 1k k ka a a a    ，而 2 2 2 3 2 5 1k k ka a a a      ，所以推出 2 2 1 2 2k k ka a a；当 21nk时， 2 1 2 2 2 2 1k k ka a a a     ，而 2 1 2 2 2 4 2 1k k ka a a a       ，所以推出 2 1 2 2 1k k ka a a ； 将两种情况总结一下，得到 12n n na a a，构成斐波那契数列，从而知道我们的答 案为 12 144a  二、动手动脑（本大题共 4 小题，每题 10 分，共 40 分）： 11. 如图所示，中心的立方体的棱长为 8，在其每个面的中心粘上一个棱长为 4 的立方 体，在所有棱长为 4 的立方体的露出面中心再粘上一个棱长为 2 的立方体。求：这个 立体图形的表面积 【答案】1248 【解答】我们先不管中心立方体，先考察一个棱长为 4 的立方体带着 5 个棱长为 2 的立方体的表面积：每个棱长为 2 的立方体的一个面可以转移到棱长为 4 的立方体 上，所以整个图形的表面积为 225 4 5 4 2 80 80 160       。将其中的 4 4 16 的部分 转移到中心立方体上，所以最后答案为  2160 16 6 6 8 1248     12. 若关于 ,xy的方程组 3 10 24 ax y x by    的解为 2 2 x y    ，而关于 x 的方程      21 3 5 3 0a x b x x c x d        有无数个解，求： 5x a x c x d     的最小值 【答案】 6 【解答】利用第一个条件，我们可以推出 2 0 a b    ，所以      21 3 5 3 0a x b x x c x d        就是      2 1 3 0 2 2 3 0x c x d c x c d           。由于这个方程有无数个解，所以 2 0 2 3 2 0 8 cc d c d        ，所以 5 2 5 2 8x a x c x d x x x           ，接下来零点 分段： （1）当 2x  时，      2 5 2 8 2 5 2 8 5 16x x x x x x x               。由于 ，所以 5 10 5 16 6xx       ； （2）当 22x   时，      2 5 2 8 2 5 2 8 5 4x x x x x x x              。由于 ，所以 10 5 10 6 5 4 14xx        ； （3）当 28x时，      2 5 2 8 2 5 2 8 7x x x x x x x            。由于 ，所以14 7 56x； （4）当 8x  时，      2 5 2 8 2 5 2 8 5 16x x x x x x x             。由于 ， 所以5 40 5 16 56xx    ； 综上所述，最小值为 6 ，当 2x  时取到最小值 13. 已知六个不同的数字 , , , , ,A B C D E F ，满足算式： AAA BBB CCC DD EF    （5 个数的 最高位都不能是 0 ），求： A B C D E F     【答案】36 或38 【解答】显然等式左边为    111 3 37A B C A B C        ，而等式的右边为 11 D EF ，所以推出11| A B C。考虑到 9 8 7 24A B C      ，所以 11A B C   或 22 ，接下来分类讨论： （1）如果 ，则等式左边为11 111 ，从而推出 11 111 11 111D EF D EF       。考虑到111 3 37 ，导致 3DE，所以这种情况 不可能； （2）如果 22A B C   ，则等式左边为 22 111 ，从而推出 22 111 11 222D EF D EF       。由于 222 6 37 3 74    ，所以产生两组解。最后 检验一下 22 9 8 5A B C      ，不会与3,4,6,7 重复，从而这两组解都是有效的 所以 22 6 3 7 38A B C D E F          或 22 3 7 4 36    14. 用红、绿、蓝三种颜色涂正八面体的八个面，要求相邻面涂不同的颜色（有一条公共 棱的面称为相邻面），有多少种不同的涂色方法？（旋转后相同的视为同一种涂色方 法） 【答案】15 【解答】注意，这个正八面体除了可以上下颠倒以外，还可以将左半部分旋转至上 面，如下图所示 D E B A CB A E C D 考虑到相邻面的颜色肯定不同，所以同一种颜色最多涂 4 个面，我们不妨设涂红色 的面的数量（用 r 表示）  涂蓝色的面的数量（用b 表示） 涂绿色的面的数量（用 g 表示），接下来分类讨论： （1） 4, 4, 0r b g   ，此时只有 1 种涂色方法。考虑到颜色的选择，一共有 2 3 13C  种涂色方法； （2） 4, 3, 1r b g   ，显然红色必须间隔涂色，下图中就画了两块红色的面，剩下 四块中选一块涂绿色即可，所以只有 1 种涂色方法。考虑到颜色的选择，一共有 3 3 16A  种涂色方法； F B A E C D （3） 4, 2, 2r b g   ，显然红色必须间隔涂色，剩下四块中选两块涂绿色即可，有 1 种涂色方法。考虑到颜色的选择，一共有 种涂色方法； （4） 3, 3, 2r b g   （4.1）如果绿色的两块有公共顶点，如下图中的面 ABD 与面 AEF （公共顶点为 A ）。此时，红色有 3 个面，在下半部分中最多有 2 个面可以涂红色，所以上半部 分中至少有 1 个面需要图红色。同理，上半部分中至少有 1 个面需要图蓝色，所以 上半部分就是红、蓝相对，下半部分就是红、蓝间隔。但是上半部分是红、蓝，所 以下半部分没有办法涂了，所以这种情况不存在； F B A E C D （4.2）如果绿色的两块相对，如下图中的面 与面CEF 。此时上面可以红色相对 （面 ABE 和面 ADF ），下面为蓝色相对（面CBE 和面CDF ），剩下的面 AEF 涂蓝 色、面CBD 涂红色，有 1 种涂色方法。考虑到颜色的选择，一共有 2 3 13C  种涂色 方法； F B A E C D 综上所述，一共有3 6 3 3 15    种涂色方法