小学数学精讲教案6_1_22 鸡兔同笼问题(二) 教师版

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文档介绍

小学数学精讲教案6_1_22 鸡兔同笼问题(二) 教师版

‎6-1-9.鸡兔同笼问题(二)‎ 教学目标 1. 熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.‎ 2. 利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题,需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象.‎ 知识精讲 一、鸡兔同笼 这个问题,是我国古代著名趣题之一.大约在年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有个头;从下面数,有只脚.求笼中各有几只鸡和兔? ‎ 你会解答这个问题吗?你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗? ‎ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的:假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独脚鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,鸡和兔的脚的总数就由只变成了只;如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多.因此,脚的总只数与总头数的差,就是兔子的只数,即(只).显然,鸡的只数就是(只)了. ‎ 这一思路新颖而奇特,其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外,“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”.‎ 假设法顺口溜:鸡兔同笼很奥妙,用假设法能做到,假设里面全是鸡,算出共有几只脚,和脚总数做比较,做差除二兔找到.‎ 解鸡兔同笼问题的基本关系式是:‎ 如果假设全是兔,那么则有:数=(每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)‎ ‎   兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡,那么就有:兔数=(实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数)÷(每只兔子脚数-每只鸡的脚数)‎ ‎    鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时,脚的关系:兔子是鸡的2倍 当脚数一样时,头的关系:鸡是兔子的2倍 在学习的过程中,注重假设法的运用,渗透假设法的重要性,在以后的专题中,如工程,行程,方程等专题中也都会接触到假设法 例题精讲 两个量的“鸡兔同笼”问题——变例 【例 1】 某次数学竞赛,共有道题,每道题做对得分,没做或做错都要扣分,小聪得了分,他做对了多少道题?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 做错 (道),因此,做对的 (道).‎ ‎【答案】道 【巩固】 数学竞赛共有20道题,规定做对一道得5分,做错或不做倒扣3分,赵天在这次数学竞赛中得了60分,他做对了几道题?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 假设他将所有题全部做对了,则可得100分,实际上只得了60分,比假设少了40分,做错一题要少得8分,少得的40分中,有多少个8分,就是他做错的题的数量,则知他做对了15道.‎ ‎【答案】道 【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛,共道试题.做对一题得分,没有做一题或做错一题都要倒扣分.刘钢得了分,问他做对了几道题?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 这道题也类似于“鸡兔同笼”问题.假设刘钢道题全对,可得分(分),但他实际上只得分,少了(分),因此他没做或做错了一些题.由于做对一道题得分,没做或做错一道题倒扣分,所以没做或做错一道题比做对一道题要少(分).分中含有多少个,就是刘钢没做或做错多少道题.所以,刘钢没做或做错题为(道),做对题为(道).‎ ‎【答案】道 【巩固】 某次数学竞赛,试题共有道,每做对一题得分,每做错一题倒扣分。小红最终得分,做对的题比做错的题多______道。‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,3年级,第8题,假设思想方法 【解析】 ‎,做错道题,做对道题,对的比错的多道。‎ ‎【答案】多道 【巩固】 次数学竞赛有道试题,若小宇得70分,根据图5中两人的对话可知小宇答对_________题。‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,五年级,一试,第12题 【解析】 设答对了道题,那么,所以,也就是小宇答对了8道题。‎ ‎【答案】题 【巩固】 一次口算比赛,规定:答对一题得8分,答错一题扣5分。小华答了18道题,得92分,小华在此次比赛中答错了________ 道题。‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,四年级,二试,第12题 【解析】 假设他全答对了,应该的18×8=144分,实际上少了144-92=52分,每答错一道题少8+5=13分,答错了52÷13=4道题。‎ ‎【答案】题 【例 1】 某工人与老板签订了一份30天的劳务合同:工作一天可得报酬48元,休息一天则要从所得报酬中扣掉12元。该工人合同到期后并没有拿到报酬,则他最多工作了_________天。‎ ‎【考点】和倍问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,四年级,二试,第5题 【解析】 方法一:假设他没有休息他会得(元),休息一天会少(元),所以他休息了(天),他工作了天 方法二:工作一天休息4天刚好抵消,那么最后没拿到钱,他只工作了30÷(4+1)=6天。‎ ‎【答案】天 【例 1】 春风小学3名云参加数学竞赛,共10道题,答对一道题得10分,答错一道题扣3分,这3名同学都回答了所有的题,小明得了87分,小红得了74分,小华得了9分,他们三人一共答对了_____道题.‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 三人共得(分),比满分(分)少(分)‎ 因此三个人共做错:(道)题,共答对了(道)题 ‎【答案】‎ 【例 2】 张明、李华两人进行射击比赛,规定每射中一发得20分,脱靶一发扣12分,两人各射了10发,共得208分,其中张明比李华多64分,则张明射中___________发。‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯,4年级,1试 【解析】 张明得分(208+64)2=136分,根据鸡兔同笼,‎ 张明脱靶(20×10-136)(20+12)=2,射中8发。‎ ‎【答案】发 【巩固】 小明和小刚进行数学解题能力对抗赛,两人商定,对一题得20分,不答或答错一题扣12分。两人各解答了10道题,一共得208分,又知道小明比小刚多得64分。那么小刚做对了 道题。‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,高年级,初试,10题 【解析】 小刚得了(分),如果小刚道题都做对了,应得分,实际得分,所以错了(道),做对了(道)。‎ ‎【答案】道 【巩固】 有两次自然测验,第一次24道题,答对1题得5分,答错(包含不答)1题倒扣1分;第二次15道题,答对1题8分,答错或不答1题倒扣2分,小明两次测验共答对30道题,但第一次测验得分比第二次测验得分多10分,问小明两次测验各得多少分? ‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 法一:如果小明第一次测验24题全对,得(分).那么第二次只做对(题)得分是(分).两次相差(分).比题目中条件相差10分,多了80分.说明假设的第一次答对题数多了,要减少.第一次答对减少一题,少得(分),而第二次答对增加一题不但不倒扣2分,还可得8分,因此增加分.两者两差数就可减少(分).(题).因此,第一次答对题数要比假设(全对)减少5题,也就是第一次答对19题,第二次答对(题).第一次得分.第二次得分.‎ 法二:答对30题,也就是两次共答错(题).第一次答错一题,要从满分中扣去(分),第二次答错一题,要从满分中扣去(分).答错题互换一下,两次得分要相差 (分).如果答错9题都是第一次,要从满分中扣去.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”,要少了.‎ 因此,第二次答错题数是(题).第一次答错(题).‎ 第一次得分(分).第二次得分 (分).‎ ‎【答案】第一次得分分.第二次得分分.‎ 【例 3】 某旅游点有儿童票、成人票两种规格的门票卖,儿童票的价格为30元,成人票的价格为40元,如果是团体还可以买平均32元一位的团体票,一个由8个家庭组成的旅游团(每个家庭由两位大人,或两个大人、一个小孩组成)来景点旅游,如果他们买团体票那么可以比他们各买各的少花120元,问这个旅游团一共有多少人? ‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 每个三口之家可以少花(元),每个二口之家可以少花(元),如果这8个家庭都是三口之家,那么一共少花(元),所以这8个家庭中有 ‎(个)家庭是二口之家,所以这个旅游团一共有(人).‎ ‎【答案】人 【例 1】 一张数学试卷,只有道选择题.做对一题得分,做错一题倒扣分;如不做,不得分也不扣分.若小明得了分,那么他做对 题,做错 题,没做 题. ‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】假设思想方法,祖冲之杯 【解析】 这道题不是普通的鸡兔同笼问题,需要寻找一些特殊的线索.‎ ‎ 小明得了分,而且只有做对了题目才能得分.‎ ‎,所以可以知道小明至少做对道题目,否则一定低于(分);‎ ‎ 再假设他做对题,发现即使另外四题都错,小明仍然有(分),超过了分,所以小明至多做对道题目;‎ ‎ 综上,可以断定小明做对了道题.‎ ‎ 至此本题转化为简单鸡兔同笼问题.‎ ‎ 假设剩下题全部没做,那么小明应得(分).‎ ‎ 但是只得了分,说明又倒扣了分,说明错了道题,道题没做.‎ ‎ 所以小明做对了道题,做错了道题,没做道题.‎ ‎【答案】对了道题,做错了道题,没做道题 【例 2】 一批钢材,用小卡车装载要辆,用大卡车装载只要辆.已知每辆大卡车比每辆小卡车多装吨,那么这批钢材有多少吨?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 要算出这批钢材有多少吨,需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨.利用假设法,假设只用辆小卡车来装载这批钢材,因为每辆大卡车比每辆小卡车多装吨,所以要剩下 (吨).根据条件,要装完这吨钢材还需要(辆)小卡车.这样每辆小卡车能装(吨).由此可求出这批钢材有吨.‎ ‎【答案】吨 【例 3】 下面是小波和售货员阿姨的一段对话:小波:“阿姨,您好!” 售货员:“同学,你好.想买点什么?”小波:“我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.”售货员:“好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请拿好.再见.”根据这段对话,则钢笔每支是 元,笔记本每本是 元.‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,4年级,第14题 【解析】 一共花了元。如果是买本笔记本可以少花元,即元。所以每本笔记本元,每支钢笔元 ‎【答案】元 【例 4】 买一些4分和8分的邮票,共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张,那么两种邮票各买了多少张 ‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 解一:如果拿出40张8分的邮票,余下的邮票中8分与4分的张数就一样多. ‎ ‎(680-8×40)÷(8+4)=30(张), ‎ 这就知道,余下的邮票中,8分和4分的各有30张. ‎ 因此8分邮票有 40+30=70(张). ‎ 解二:譬如,假设有20张4分,根据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分.以"分"作为计算单位,此时邮票总值是 4×20+8×60=560. ‎ 比680少,因此还要增加邮票.为了保持"差"是40,每增加1张4分,就要增加1张8分,每种要增加的张数是 (680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(张). ‎ 因此4分有20+10=30(张),8分有60+10=70(张).‎ ‎【答案】4分有30张,8分有70张.‎ 【例 1】 喜羊羊的存钱罐中只有5角和1元的硬币共100枚,其中5角的硬币比1元的硬币多20元,喜羊羊的存钱罐中总共有________钱。‎ ‎【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,4年级,第3题 【解析】 元。枚,枚,元。‎ ‎【答案】元 【例 2】 小同有一个储蓄筒,存放的都是硬币,其中2分币比5分币多22个;按钱数算,5分币却比2分币多4角;另外,还有36个1分币.小同共存了多少钱?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 假设去掉22个2分币,那么按钱数算,5分币比2分币多8角4分,一个5分币比一个2分币多3分,所以5分币有(个),2分币有(个), (分).‎ ‎【答案】分 【例 3】 现有大小油桶50个,每个大桶可装油‎4千克,每个小桶可装油‎2千克,大桶比小桶共多装油‎20千克,问大小桶各多少个?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 方法一:假设50个油桶都是大桶,则共装油千克,而这小桶所装油则为0.这样大桶比小桶多装‎200千克,比条件所给的差数多了千克,若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶,则每拿一个大桶换成小桶,大桶装的油就减少‎4千克,而小桶共装的油就增加‎2千克,那么大桶比小桶多装的数量就减少千克,所以小桶有:(个),大桶有:(个).‎ 方法二:这道题也可以用另外一种假设;每个大桶比每个小桶多装‎2千克,如果大小桶同样多,大桶要比小桶共多装‎20千克,则应该大小桶各个,现在共有50个桶,在剩下的个桶中,大小桶应装同样多的油,而每个大桶装的油是每个小桶装的倍,那么在这30个桶中,应该有个大桶,个小桶;所以可求出50个桶中,有大小桶各多少个.‎ 解:(个) ‎ ‎(个) (大桶)‎ ‎(个) (大桶共有)‎ ‎(个) (小桶共有)‎ ‎【答案】大桶个,小桶个 【例 4】 大、小猴共只,它们一起去采摘水蜜桃.猴王不在时,一只大猴一个小时可采摘千克,一只小猴子一小时可摘千克;猴王在场监督的时候,每只猴子不论大小每小时都可以多采摘千克.一天,采摘了小时,其中第一小时和最后一小时猴王在监督,结果共采摘了千克水蜜桃.在这个猴群中,共有小猴子多少只?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔.但是却有猴王来捣乱,所以我们先让猴王消失.一天中,猴王监视了小时,假设猴王一直都不在,同猴王在时相比,每只猴子每小时都会少采千克,那样猴群只能采摘(千克);这是一天也就是小时的工作量,据此可以求出这群猴每小时采(千克);假设都是大猴子,应该每小时采摘(千克),比实际多采了(千克).而每只小猴子被假设成大猴子,会多采(千克).因此可以求出小猴子有:(只).‎ ‎【答案】只 【例 5】 今年是1998年,父母年龄(整数)和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后(2002年)父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 ‎4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 1998年,兄年龄是14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是2003年. ‎ ‎【答案】年 【例 1】 一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打30÷6=5(份),乙每小时打30÷10=3(份). 现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了. 根据前面的公式"兔"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "鸡"数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了2.5小时. ‎ ‎【答案】小时 【例 2】 箱子里红、白两种玻璃球,红球数是白球数的倍多只,每次从箱子里取出只白球、只红球.如果经过若干次以后,箱子里剩下只白球、只红球.那么箱子里原有红球多少只? ‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】假设思想方法 【解析】 假设每次一起取只白球和只红球,由于每次拿得红球都是白球的倍,所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的倍多.由于每次取的白球和原定的一样多,所以最后剩下的白球应该不变,仍然是个.按照我们的假设,剩下的红球应该是白球的倍多,即(只).但是实际上最后剩了只红球,比假设多剩只,因为每一次实际取得与假设相比少只,所以可以知道一共取了(次).所以可以知道原来有红球(只).‎ ‎【答案】只 【例 3】 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车,车的辆数与车的轮子数之比是2∶5。问:摩托车的辆数与小卧车的辆数之比是多少?‎ ‎【考点】鸡兔同笼问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛,初赛,第10题 【解析】 车库中,平均每2辆车有5个轮子,也就是说,平均每4辆车有10个轮子。简单的试凑可以知道,1辆小卧车和3辆摩托车恰好有10个轮子。所以摩托车的辆数与小卧车的辆数之比为3∶1‎ ‎【答案】:‎
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