六年级奥数教案：第18周 面积计算

六年级奥数教案：第18周 面积计算

第十八周 面积计算（一）‎ 专题简析：‎ 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。‎ 例题1。‎ ‎18－1‎ A B C F E D A B C F E D 已知图18－1中，三角形ABC的面积为8平方厘米，AE＝ED，BD=BC，求阴影部分的面积。‎ ‎18－1‎ ‎【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF，可知S△AEF=S△EDF（等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。‎ ‎ 因为BD=BC，所以S△BDF＝2S△DCF。又因为AE＝ED，所以S△ABF＝S△BDF＝2S△DCF。‎ ‎ 因此，S△ABC＝5 S△DCF。由于S△ABC＝8平方厘米，所以S△DCF＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。‎ 练习1‎ 1、 如图18－2所示，AE＝ED，BC=3BD，S△ABC＝30平方厘米。求阴影部分的面积。‎ 2、 如图18－3所示，AE=ED，DC＝BD，S△ABC＝21平方厘米。求阴影部分的面积。‎ A A B C F E D A 3、 如图18－4所示，DE＝AE，BD＝2DC，S△EBD＝5平方厘米。求三角形ABC的面积。‎ F F E E D B C C D B ‎18－4‎ ‎18－3‎ ‎18－2‎ 例题2。‎ 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？‎ B C D A O ‎6‎ ‎12‎ ‎18－5‎ ‎【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2＝3。‎ 因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO＝6‎ 因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍 所以△AOD＝6÷2＝3。‎ ‎ 答：△AOD的面积是3。‎ 练习2‎ 1、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形，（如图18－6所示），已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积是多少？‎ 2、 已知AO＝OC，求梯形ABCD的面积（如图18－7所示）。‎ B C D A O 3、 已知三角形AOB的面积为15平方厘米，线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。（如图18－8所示）。‎ B C D A O ‎4‎ B C D A O ‎8‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎18－8‎ ‎18－7‎ ‎18－6‎ 例题3。‎ D 四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－9所示）。‎ F A E ‎18－9‎ C B ‎【思路导航】由于E、F三等分BD，所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知，三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍，三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍，从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。‎ ‎ 15×3＝45（平方厘米）‎ ‎ 答：四边形ABCD的面积为45平方厘米。‎ 练习3‎ 1、 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分，且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－10）。‎ 2、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积（如图18－11所示）。‎ 3、 如图18－12所示，求阴影部分的面积（ABCD为正方形）。‎ ‎6‎ E A D A D D E G A ‎4‎ F ‎·‎ F G C B C B E C B ‎18－12‎ ‎18－11‎ ‎18－10‎ 例题4。‎ B A D C O 如图18－13所示，BO＝2DO，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？‎ E ‎18－13‎ ‎【思路导航】因为BO＝2DO，取BO中点E，连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质，可知S△DBC＝S△CDA；S△COB＝S△DOA＝4，类推可得每个三角形的面积。所以，‎ ‎ S△CDO＝4÷2＝2（平方厘米） S△DAB＝4×3＝12平方厘米 ‎ S梯形ABCD＝12+4+2＝18（平方厘米）‎ ‎ 答：梯形ABCD的面积是18平方厘米。‎ 练习4‎ 1、 如图18－14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC＝2AO。求梯形面积。‎ 2、 已知OC＝2AO，S△BOC＝14平方厘米。求梯形的面积（如图18－15所示）。‎ D 3、 已知S△AOB＝6平方厘米。OC＝3AO，求梯形的面积（如图18－16所示）。‎ O A D A B A D C O O ‎18－16‎ C B ‎18－15‎ ‎18－14‎ C B 例题5。‎ 如图18－17所示，长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，求三角形ABC的面积。‎ A F F A C C E D E D B ‎18－17‎ ‎【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后，使问题可有如下解法。‎ ‎ 由图上看出：三角形ADE的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高，C为EF的中点，而三角形ABE与三角形BEC等底，高是三角形BEC的2倍，三角形BEC的面积为5÷2＝2.5，所以，三角形ABC的面积为16－3－4－2.5＝6.5。‎ 练习5‎ 1、 如图18－18所示，长方形ABCD的面积是20平方厘米，三角形ADF的面积为5平方厘米，三角形ABE的面积为7平方厘米，求三角形AEF的面积。‎ 2、 如图18－19所示，长方形ABCD的面积为20平方厘米，S△ABE＝4平方厘米，S△AFD＝6平方厘米，求三角形AEF的面积。‎ 3、 如图18－20所示，长方形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米，求三角形AEF的面积。‎ A D D C B A F D A F F C C E B E ‎18－19‎ B E ‎18－20‎ ‎18－18‎ 答案：‎ 练1‎ 1、 ‎30÷5×2＝12平方厘米 2、 ‎21÷7×3＝9平方厘米 3、 ‎5×3÷＝22平方厘米 练2‎ ‎1、 4÷2＝2 8÷2＝4‎ ‎2、 8×2＝16 16+8×2+4＝36‎ ‎3、 15×3＝45 15+5+15+45＝80‎ 练3‎ 1、 ‎15×2＝30平方厘米 1、 ‎15×4＝60平方厘米 2、 ‎6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米 6×2÷4＝3平方厘米 ‎（6+3）×6÷2＝27平方厘米 练4‎ ‎1、 4×2＝8平方厘米 8×2＝16平方厘米 ‎ 16+8+8+4＝36平方厘米 ‎2、 14÷2＝7平方厘米 7÷2＝3.5平方厘米 ‎ 14+7+7+3.5＝31.5平方厘米 ‎3、 6×（3+1）＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32‎ 练5‎ ‎1、 20÷2－7＝3 3×＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5‎ ‎2、 20÷2＝10 （10－4）×＝2 20－6－4－2＝7 ‎3、 24÷2＝12平方厘米 （12－4）×（1－）＝5平方厘米 ‎ 24－4－4－5＝10平方厘米