六年级奥数教案:第18周 面积计算

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六年级奥数教案:第18周 面积计算

第十八周 面积计算(一)‎ 专题简析:‎ 计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。‎ 例题1。‎ ‎18-1‎ A B C F E D A B C F E D 已知图18-1中,三角形ABC的面积为8平方厘米,AE=ED,BD=BC,求阴影部分的面积。‎ ‎18-1‎ ‎【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF,可知S△AEF=S△EDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。‎ ‎ 因为BD=BC,所以S△BDF=2S△DCF。又因为AE=ED,所以S△ABF=S△BDF=2S△DCF。‎ ‎ 因此,S△ABC=5 S△DCF。由于S△ABC=8平方厘米,所以S△DCF=8÷5=1.6(平方厘米),则阴影部分的面积为1.6×2=3.2(平方厘米)。‎ 练习1‎ 1、 如图18-2所示,AE=ED,BC=3BD,S△ABC=30平方厘米。求阴影部分的面积。‎ 2、 如图18-3所示,AE=ED,DC=BD,S△ABC=21平方厘米。求阴影部分的面积。‎ A A B C F E D A 3、 如图18-4所示,DE=AE,BD=2DC,S△EBD=5平方厘米。求三角形ABC的面积。‎ F F E E D B C C D B ‎18-4‎ ‎18-3‎ ‎18-2‎ 例题2。‎ 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图18-5所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?‎ B C D A O ‎6‎ ‎12‎ ‎18-5‎ ‎【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍,且高相等,可知:BO=2DO;从S△ABD与S△ACD相等(等底等高)可知:S△ABO等于6,而△ABO与△AOD的高相等,底是△AOD的2倍。所以△AOD的面积为6÷2=3。‎ 因为S△ABD与S△ACD等底等高 所以S△ABO=6‎ 因为S△BOC是S△DOC的2倍 所以△ABO是△AOD的2倍 所以△AOD=6÷2=3。‎ ‎ 答:△AOD的面积是3。‎ 练习2‎ 1、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图18-6所示),已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少?‎ 2、 已知AO=OC,求梯形ABCD的面积(如图18-7所示)。‎ B C D A O 3、 已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。(如图18-8所示)。‎ B C D A O ‎4‎ B C D A O ‎8‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎18-8‎ ‎18-7‎ ‎18-6‎ 例题3。‎ D 四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图18-9所示)。‎ F A E ‎18-9‎ C B ‎【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形,它们的面积相等。同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。‎ ‎ 15×3=45(平方厘米)‎ ‎ 答:四边形ABCD的面积为45平方厘米。‎ 练习3‎ 1、 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图18-10)。‎ 2、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图18-11所示)。‎ 3、 如图18-12所示,求阴影部分的面积(ABCD为正方形)。‎ ‎6‎ E A D A D D E G A ‎4‎ F ‎·‎ F G C B C B E C B ‎18-12‎ ‎18-11‎ ‎18-10‎ 例题4。‎ B A D C O 如图18-13所示,BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?‎ E ‎18-13‎ ‎【思路导航】因为BO=2DO,取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质,可知S△DBC=S△CDA;S△COB=S△DOA=4,类推可得每个三角形的面积。所以,‎ ‎ S△CDO=4÷2=2(平方厘米) S△DAB=4×3=12平方厘米 ‎ S梯形ABCD=12+4+2=18(平方厘米)‎ ‎ 答:梯形ABCD的面积是18平方厘米。‎ 练习4‎ 1、 如图18-14所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC=2AO。求梯形面积。‎ 2、 已知OC=2AO,S△BOC=14平方厘米。求梯形的面积(如图18-15所示)。‎ D 3、 已知S△AOB=6平方厘米。OC=3AO,求梯形的面积(如图18-16所示)。‎ O A D A B A D C O O ‎18-16‎ C B ‎18-15‎ ‎18-14‎ C B 例题5。‎ 如图18-17所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。‎ A F F A C C E D E D B ‎18-17‎ ‎【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。‎ ‎ 由图上看出:三角形ADE的面积等于长方形面积的一半(16÷2)=8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC与三角形ACF等底等高,C为EF的中点,而三角形ABE与三角形BEC等底,高是三角形BEC的2倍,三角形BEC的面积为5÷2=2.5,所以,三角形ABC的面积为16-3-4-2.5=6.5。‎ 练习5‎ 1、 如图18-18所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积。‎ 2、 如图18-19所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,S△ABE=4平方厘米,S△AFD=6平方厘米,求三角形AEF的面积。‎ 3、 如图18-20所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积。‎ A D D C B A F D A F F C C E B E ‎18-19‎ B E ‎18-20‎ ‎18-18‎ 答案:‎ 练1‎ 1、 ‎30÷5×2=12平方厘米 2、 ‎21÷7×3=9平方厘米 3、 ‎5×3÷=22平方厘米 练2‎ ‎1、 4÷2=2 8÷2=4‎ ‎2、 8×2=16 16+8×2+4=36‎ ‎3、 15×3=45 15+5+15+45=80‎ 练3‎ 1、 ‎15×2=30平方厘米 1、 ‎15×4=60平方厘米 2、 ‎6×6÷2-6×4÷2=6平方厘米 6×2÷4=3平方厘米 ‎(6+3)×6÷2=27平方厘米 练4‎ ‎1、 4×2=8平方厘米 8×2=16平方厘米 ‎ 16+8+8+4=36平方厘米 ‎2、 14÷2=7平方厘米 7÷2=3.5平方厘米 ‎ 14+7+7+3.5=31.5平方厘米 ‎3、 6×(3+1)=24 6÷3=2 24+6+2=32‎ 练5‎ ‎1、 20÷2-7=3 3×=1.5 20-7-5-1.5=6.5‎ ‎2、 20÷2=10 (10-4)×=2 20-6-4-2=7 ‎3、 24÷2=12平方厘米 (12-4)×(1-)=5平方厘米 ‎ 24-4-4-5=10平方厘米
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