学而思小升初培优六：数论综合-学生版

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小升初培优（六）：数论综合 专题回顾练习：‎ ‎1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成个零件,第二道工序每名工人每小时可完成个零件,第三道工序每名工人每小时可完成个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?‎ ‎2甲、乙两数的最小公倍数是，乙、丙两数的最小公倍数是，甲、丙两数的最小公倍数是，那么甲数是多少? ‎ 例题解析 枚举法 枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。‎ 【例1】 求这样的三位数，它除以所得的余数等于它的三个数字的平方和。‎ ‎【分析】三位数只有个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为，，。由于任何数除以11所得余数都不大于，所以。‎ 从而，，。所求三位数必在以下数中：‎ 不难验证只有，两个数符合要求。‎ 【例1】 写出个都是合数的连续自然数。‎ ‎【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出以内最多可以写出个连续的合数：，，，，，，。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在与之间共有个都是合数的连续自然数：，，，，，，，，，，，，。‎ ‎ （法二）如果设这个数分别是，，，，，如果能被到中任意一个数整除，那么，，，，，能分别被、、,,整除，所以，只要取即可得到符合条件的个数。‎ ‎ （法三）上面的方法虽然巧妙，但是计算非常困难，所以应该选取折中的方法，设这个数分别是，，，，，。所以只要使能被到的所有整数整除，并且保证和都是合数即可，通过试验可得到即是符合条件的值。‎ 【例2】 如图，有三张卡片，在它们上面分别写着，，。从中抽出一张、两张、三张，按任意次序排起来，可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。（素数即质数）‎ 【分析】 因为这三个数字的和为，能被整除，所以用这三个数字任意排成的三位数都能被整除，所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为，根据同样的道理，用，组成的两位数也能被整除，因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有，，，这四个了。其中，，都是素数。最后一位数素数只有，。‎ ‎【拓展练习】、和都是两位数，、的个位分别是和，的十位是,如果它们满足等式，则。‎ 代数表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有：‎ 1. 十进制表示形式：；‎ 2. 二进制表示形式：；‎ 3. 带余形式：；（奇数可以表示为，偶数表示为，其中为整数）‎ 4. 标准分解式：；‎ 5. 的乘方与奇数之积式：；（其中为奇数）。‎ 6. 最大公约数与系数之积式：，，其中，。‎ 7. 【例3】 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．‎ ‎【分析】设所求的四位数为，则，其中，。可见平方数被整除，从而被整除．因此，数能被整除，于是能被整除．但，以．于是，由此可知是某个自然数的平方．对，，，逐一检验，易知仅时，为平方数，故所求的四位数是。‎ ‎【拓展练习】一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小，则满足条件的两位数共有______个。‎ 【例1】 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方（假定划掉的两个数字中的一个非零）。‎ ‎【分析】设 满足条件，令，其中。于是，即。因此，由此得，所以。 经验算，仅当时，满足条件。若则。因此，满足条件的最大的完全平方数为。‎ 【例2】 从自然数，，，，中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除？‎ ‎【分析】设，，，是所取出的数中的任意个数，则，，其中，是自然数。于是。上式说明所取出的数中任意个数之差是的倍数，即所取出的每个数除以所得的余数均相同。设这个余数为，则，，，其中，，是整数。于是。因为，所以，即，推知，，。因为，所以，从，，…，中可取，，，，共个数，它们中的任意个数之和能被整除。‎ 【例3】 如果被除余数为2，被除所得的余数为，求证：能被整除。（、都是自然数）‎ ‎【分析】（法一）设，，‎ ‎ 解方程组得到，所以能被整除。‎ ‎ （法二）由题目条件能被整除，即能被整除，继而得到能被整除，所以能被整除。‎ ‎【拓展练习1】如果是的倍数,证明：也是的倍数。（、都是自然数）‎ ‎【拓展练习2】如果是的倍数，求证也是的倍数。（、都是自然数）‎ ‎【拓展练习3】如果是的倍数，也是的倍数，求证是的倍数。（、、都是自然数）‎ 【例1】 有一个自然数，它除以、、所得到的商()与余数()之和都相等，这样的数最小可能是多少。‎ ‎【分析】‎ 至少为，‎ 至少为，‎ 至少为，[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 最小为1081。‎ 如何计算一个自然数的约数个数：‎ a 将该自然数用标准分解式表达：；‎ b 将该自然数的约数用标准分解式表达：，则，，，；‎ c 对于任意的可以取值到这个整数；‎ d 根据乘法原理不同的约数有个。‎ 【例2】 在到中，恰好有个约数的数有几个？‎ ‎【分析】只能表示为，所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个，且该质因数有个，注意到有个约数的数一定是质数的完全平方，，，，，，，，，这个数的平方数在到之间，共有个符合要求。‎ ‎【拓展练习】在到中，恰好有个约数的数有多少个？‎ 【例3】 两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”比如，就是一个“智慧数”．在自然数列中从开始数起，试问第个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由。‎ ‎【分析】显然不是“智慧数”，而大于的奇数，都是“智慧数”。‎ ‎，可见大于且能被整除的数都是“智慧数”而不是“智慧数”，由于=（其中、），当，奇偶性相同时，被整除。当，奇偶性相异时，为奇数，所以形如的数不是“智慧数”，在自然数列中前四个自然数中只有是“智慧数”，此后每连续四个数中有三个“智慧数”，由于，所以是第个“智慧数”。‎ ‎【拓展练习1】如果自然数使得和都恰好是平方数，试问能否是一个素数？‎ ‎【拓展练习2】将表示成两个自然数的倒数之和，有多少中表示方法？请给出所有的答案。‎ 13， 假设n是自然数，是的正约数．证明：不是完全平方。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【分析】设，是正整数，如果是整数的平方，那么但这是不可能的，因为与都是完全平方，而由得出不是平方数。‎ 14， 设正整数 不等于、、。求证：、、这三个数中至少有一个不是完全平方数。‎ ‎【分析】、、这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．‎ ‎ 用反证法，设…………………………⑴[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ …………………………⑵‎ ‎ …………………………⑶‎ 其中、、是正整数．‎ 由⑴式知，是奇数，不妨设。‎ 代入有 即 …………………⑷‎ ‎⑷式说明也是奇数．于是由⑵、⑶知、是偶数，‎ 设，，代入⑵、⑶相减后除以有 。‎ 因是偶数，即是偶数，所以、同为偶数或同为奇数，从而和都是偶数，即是的倍数，因此是偶数．这与是奇数相矛盾，故命题正确。‎ 15， 将写成若干个（至少两个）连续自然数的和，有多少种不同的写法？给出全部可能的答案。‎ ‎【分析】设这个自然数可以表示为个连续自然数和的形式，如果是奇数，那么一定存在中间数，即为，则这个连续自然数的和为，即为一个奇数和一个自然数的乘积形式，如果是偶数，那么存在两个中间的数，即为，，则这 个联系自然数的和为，是奇数，为偶数，所以为整数，也是奇数与一个自然数的乘积形式。，其大于的奇约数有，，这三个，如果有奇数个连续自然数相加：‎ 当时，，即个连续的自然数，中间数为，有，，，，；‎ 当或时，在在自然数范围内没有符合条件的连续数。‎ 如果有偶数个连续自然数相加：‎ 当时，，即个自然数相加，中间两个数中较小的数是，有，；‎ 当时，，即个自然数相加，中间两数中较小的是，有，，，；‎ 当或时，自然数范围内不存在符合条件的连续数。‎ ‎ 所以符合条件的自然数一共有种。[来源:学科网]‎ 巅峰练习：‎ 1. 自然数的数字和用来表示。是否存在一个自然数，使得；‎ ‎[来源:Z*xx*k.Com]‎ 2. 一个三位数，个位和百位数字交换后还是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的差。‎ 3. 如果被除余的倍数，被除余，求证：是的倍数。（、都是自然数）‎ 4. 红、黄、白、蓝卡片各一张，每张上写有一个数字。小明将这4张卡片如下图放置，使它们组成一个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。‎ 小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是5544。那么红、黄、蓝三张卡上的数字分别是_____、_____、_____。 ‎ ‎ ‎